4.1 平面向量的概念及运算-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

第四章　平面向量与复数 §4.1　平面向量的概念及运算 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 46.平面向量的线性运算及平面向量基本定理 1 2 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 2 4 47.平面向量的坐标运算 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 4 1 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容(),属于中低档题目,主要题型为选择题或填空题,分数为4~5分. (2)考查方向:一是考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理,主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题),利用已知向量分解目标向量;二是考查平面向量的坐标运算,根据给出点的坐标求向量坐标以及利用向量共线求参数等. (3)明智备考:一是要熟练掌握平面图形中的向量线性运算,树立基底意识;二是准确记忆向量共线的坐标公式,树立坐标意识. (4)主编提示:命题的兴趣点在于向量的线性运算,通常也出现在三角函数或解析几何等试题中,考查数学运算、直观想象的核心素养,高三备考,抓住线性运算与坐标运 算这两个重点即可! 考点46平面向量的线性运算及平面向量基本定理　 1.(2022·全国新高考1,3,5分,难度★★)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　B　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n 解析　 如图, ∵BD=2DA,∴=3, ∴=+=+3=+3(-)=-2+3. 又=m,=n, 所以=-2m+3n.故选B. 通过观察图象直接寻求向量之间的关系,其具体步骤: 第一步,观察待求向量所在的三角形或平行四边形,利用三角形法则或平行四边形法则先将待求向量表示成两个(或多个)相关向量a,b(c,d,…)的和或差; 第二步,把向量a,b(c,d,…)分别进行分解,直到用基底表示向量a,b(c,d,…); 第三步,将向量a,b(c,d,…)代入第一步中的式子,从而得到结果. 2.(2020·海南,3,5分,难度★★)在△ABC中,D是AB边上的中点,则= (　C　) A.2+ B.-2 C.2- D.+2 解析　如图,=+=+2=+2(-)=2-.故选C. 3.(2018·全国1,文7,5分,难度★)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则= (　A　) A.- B.- C.+ D.+ 解析　 如图,=- =-(+) =- =-(-)=-. 4.(2020·江苏,13,5分,难度★★★)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若=m+-m(m为常数),则CD的长度是　　　　.  答案　或0 解析　如图,以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 则B(4,0),C(0,3). 由=m+-m, 得=m(+)+-m(+), 整理得=-2m+(2m-3) =-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9). 又AP=9,所以64m2+(6m-9)2=81, 解得m=或m=0. 当m=0时,=(0,-9),此时,C,D重合,CD=0; 当m=时,直线PA的方程为y=x, 直线BC的方程为+=1, 联立两直线方程可得x=m,y=3-2m. 即D,,∴CD==. ∴CD的长度是或0. 5. (2017·江苏,12,5分,难度★★★)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=　　　　　.  答案　3 解析　由tan α=7可得cos α=,sin α=, 则==, 由cos∠BOC=可得==, 因为cos∠AOB=cos (α+45°)=cos αcos 45°-sin αsin 45°=×-×=-,所以·=-,所以m-n=,-m+n=1,所以m+n=,所以m+n=3. 6.(2015·北京,理13,5分,难度★★)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　　,y=　　　　　.  答案　　- 解析　如图,∵=+=- =-(-) =-, ∴x=,y=-. 考点47平面向量的坐标运算　 1.(2024·全国甲,理9,5分,难度★★)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 (　C　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 解析　若a⊥b,则x(x+1)+2x=0,解得x=0或x=-3.若a∥b,则2(x+1)-x2=0,解得x=1+或x=1-.故选C. 2.(2024·全国新高考1,3,5分,难度★★)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　D　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0, 即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2. 3.(2021·全国乙,文13,5分,难度★★)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　　.  答案　 解析　由a∥b,可得=,解得λ=. 4.(2018·全国3,理13文13,5分,难度★★)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=　　　　　.  答案　 解析　2a+b=(4,2),c=(1,λ), 由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=. 5.(2017·山东,文11,5分,难度★★)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　.  答案　-3 解析　∵a∥b,∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3. 学科网（北京）股份有限公司 $$