3.4 正弦定理和余弦定理-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§3.4　正弦定理和余弦定理 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 40.正弦定理和余弦定理 2 8 3 1 2 2 0 1 2 1 0 0 10 13 41.边角互化公式的应用 4 4 0 0 0 1 2 0 2 0 0 0 8 5 42.三角形面积公式的应用 4 5 0 1 1 0 1 2 0 0 0 0 6 8 续表 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题必考的内容(),属于中低档题目,三种题型都有考查,分值约为5分或12分. (2)考查方向:一是考查正弦定理与余弦定理,利用正弦、余弦定理解三角形;二是考查边角互化公式的应用,利用边角互化公式研究三角形中的边与角的关系;三是考查三角形面积公式的应用,先确定三角形的边、角,再求面积或根据三角形的面积求三角形的边、角等. (3)明智备考:一是要灵活掌握正弦定理与余弦定理及其变形式,这是实施边角互化的基础;二是要熟练掌握恒等式的转化与化简,这是准确化简已知求角的基础. (4)主编提示:命题的兴趣点在于正、余弦定理在三角形中求解边、角、面积的应用,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.高三备考,掌握边角之间的灵活转化,是解题的关键! 考点40正弦定理和余弦定理　 1.(2021·全国甲,文8,5分,难度★★)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC= (　D　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.1 B. C. D.3 解析　设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-2×2x·cos 120°,解得x=3或x=-5(舍).故选D. 2.(2020·全国3,理7,5分,难度★★)在△ABC中,cos C=,AC=4,BC=3,则cos B= (　A　) A. B. C. D. 解析　∵AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos C=16+9-24×=9,∴AB=3, ∴cos B===. 3.(2018·全国2,理6文7,5分,难度★★)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB= (　A　) A.4 B. C. D.2 解析　∵cos C=2cos2-1=-, ∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×=32.∴AB=4. 4.(2016·天津,理3,5分,难度★★)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC= (　A　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由余弦定理得13=9+AC2+3AC, ∴AC=1.故选A. 5.(2016·山东,文8,5分,难度★★★)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A= (　C　) A. B. C. D. 解析　由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A, 又因为b=c, 所以a2=b2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A). 由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A. 因为A∈(0,π),所以A=. 6.(2015·广东,文5,5分,难度★★)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b= (　C　) A.3 B.2 C.2 D. 解析　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2-6b+8=0,解得b=2或4.因为b<c,所以b=2. 7.(2021·全国乙,理15文15,5分,难度★★★)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　.  答案　2 解析　由题意可知△ABC的面积S=acsin 60°=,整理得ac=4. 结合已知得a2+c2=3ac=12. 因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8,所以b=2. 8.(2021·浙江,14,6分,难度★★★)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=2,则AC=　　　　　,cos∠MAC=　　　　　.  答案　2　 解析　在△ABM中,由余弦定理,得AM 2=AB2+BM 2-2AB·BMcos 60°, 即(2)2=22+BM 2-2×2·BM·, 即BM 2-2BM-8=0, 解得BM=4或BM=-2(舍去). ∵M是BC的中点,∴MC=4,BC=8. 在△ABC中,由余弦定理,得AC2=22+82-2×2×8cos 60°=52,∴AC=2. 在△AMC中,由余弦定理,得 cos∠MAC==. 9.(2018·浙江,13,6分,难度★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=,c=. 答案　　3 解析　由正弦定理=,可知sin B=. ∵a=>b=2,∴B为锐角. ∴cos B==. ∴cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=. 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=7+4-2×2××=7+4-2=9.∴c=3. 10.(2017·全国3,文15,5分,难度★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=　　　　　.  答案　75° 解析　由正弦定理得=, 即sin B===. 因为b<c,所以B<C, 所以B=45°,故A=180°-B-C=75°. 已知三角形两边及一边的对角解三角形的基本步骤 (1)求正弦:根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值.判断解的情况. (2)求角:先根据正弦值求角,再根据内角和定理求第三角. (3)求边:根据正弦定理求第三条边的长度. 11.(2015·福建,理12,5分,难度★★)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于　　　　　.  答案　7 解析　由S△ABC=|AB|·|AC|·sin A=×5×8·sin A=10,得sin A=. ∵△ABC为锐角三角形,∴A=60°. 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos 60°=25+64-2×5×8×=49,∴BC=7. 12.(2015·天津,理13,5分,难度★★★)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为　　　　　.  答案　8 解析　∵S△ABC=bcsin A=bc =bc×=3,∴bc=24.又b-c=2, ∴a2=b2+c2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc×-=4+2×24+×24=64. ∵a为△ABC的边,∴a=8. 13.(2015·福建,文14,5分,难度★★★)若△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,则BC=　　　　　.  答案　 解析　B=60°,由正弦定理,得=,得BC=. 14.(2015·重庆,文13,5分,难度★★★)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=　　　　　.  答案　4 解析　由于3sin A=2sin B,根据正弦定理可得3a=2b, 又a=2,所以b=3. 由余弦定理可得c= ==4. 15.(2023·全国新高考2,17,10分,难度★★)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 解　 (1)方法一(正弦定理+余弦定理) 由题意可知S△ABC=acsin B=,故acsin B=2. ① 在△ABD中,有=, 由∠ADC=,得∠ADB=, 所以=,故csin B=. ② 将②式代入①式,得a=4. 在△ADB中,由余弦定理得 AB2=c2=AD2+BD2-2AD·BDcos, 即c2=12+22-2×1×2×=7,得c=. 在△ABD中,cos B===>0, 故B∈,则sin B=,tan B=. 方法二(余弦定理) 因为AD为△ABC的中线, 所以S△ABC=2S△ADC=2×××1×sin=a=,故a=4. 在△ADC中,由余弦定理知b2=12+22-2×1×2×cos=3. 在△ABD中,c2=AB2=12+22-2×1×2×cos=7. 在△ABC中,cos B===>0, 故B∈,有sin B=,tan B=. (2)方法一 在△ABC中,由=+,得||2=|+|2=(||2+||2+2·). 由余弦定理得2·=||2+||2-||2. 故||2=(2||2+2||2-||2), 即AD2=(b2+c2)-a2,得a=2. 由S△ABC=bcsin A和b2+c2-a2=2bccos A,得S△ABC=(b2+c2-a2)tan A, 得tan A=-<0,故A∈,有A=. 又因为S△ABC=bcsin A,所以bc=4. 由b2+c2=8和bc=4,得b=c=2. 方法二(几何法) 过点A作AH⊥BC交BC于点H. 在△ABC,△ABD中, 由余弦定理得cos B==,解得a2=2(b2+c2)-4. 将b2+c2=8代入a2=2(b2+c2)-4中得a=2. S△ABC=BC·AH=×2AH=,则AH=1. 又因为AD=1,所以点H与点D重合, 即AD为边BC的中垂线,所以b=c===2. 16.(2023·全国乙,理18,12分,难度★★)在△ABC中,已知∠BAC=120°,AB=2,AC=1. (1)求sin∠ABC; (2)若D为BC上一点,且∠BAD=90°,求△ADC的面积. 解　 (1)在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos∠BAC=7,∴BC=. 又由正弦定理得=, ∴sin∠ABC==. (2)由(1)和题设得 cos∠ABC==. 故tan∠ABC==. 由题设可知tan∠ABC=,故AD=. 所以△ADC的面积为AC·AD·sin(120°-90°)=. 17.(2023·天津,16,14分,难度★★)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,∠A=120°. (1)求sin B的值; (2)求c的值; (3)求sin(B-C)的值. 解　(1)(第一步:由正弦定理求sin B) 由已知及正弦定理,得=, ∵a=,b=2,∠A=120°, ∴sin B===. (2)解法一:(第二步:由两角差的正弦公式求sin C) 由(1)及已知,得cos B==, sin C=sin(180°-120°-B)=sin(60°-B) =cos B-sin B=. 由正弦定理,得c===5. 解法二:(利用余弦定理列关于c的一元二次方程,直接求c) 由余弦定理,得b2+c2-2bccos A=a2, 即4+c2-2×2c×-=39, 整理,得c2+2c-35=0, 解得c=5或c=-7(舍去). (3)(直接由两角差的正弦公式求值) ∵C为锐角, ∴cos C===. ∴sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=×-×=. 18.(2022·浙江,18,14分,难度★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=c,cos C=. (1)求sin A的值; (2)若b=11,求△ABC的面积. 解　(1)∵cos C=且0<C<π,∴sin C=. 又∵4a=c,∴=. 由正弦定理得=,∴==, ∴sin A=×sin C=×=. (2)∵b=11,∴由余弦定理可知c2=b2+a2-2abcos C, c2=112+c2-2×c×11×, c2=112+c2-c, 即c2+c-112=0, 整理得5c2+24c-880=0, 解得c==4(负值舍去), ∴a=×4=5. ∴S△ABC=absin C=×5×11×=22. 19.(2021·北京,16,13分,难度★★★)在△ABC中,c=2bcos B,∠C=. (1)求∠B; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,求BC边上中线的长. 条件①:c=b; 条件②:△ABC的周长为4+2; 条件③:△ABC的面积为. 注;如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 解　(1)由正弦定理=及c=2bcos B,得sin C=2sin Bcos B. 因为∠C=,所以sin 2B=. 又因为0<∠B<,所以∠B=. (2)选条件②:△ABC的周长为4+2. 由(1)知,∠A=π--=. 所以△ABC是顶角为,底角为的等腰三角形. 所以a=b,c=a. 由题设,(2+)a=4+2.所以a=2. 设BC边上中线的长为d. 由余弦定理得d2=2+a2-2××acos C. 所以d2=1+4-2×1×2×-.故d=. 选条件③:△ABC的面积为. 由(1)知,∠A=π--=. 所以△ABC是顶角为,底角为的等腰三角形.所以a=b. 由题设,a2sin=.所以a=. 设BC边上中线的长为d. 由余弦定理得d2=2+a2-2××acos C. 所以d2=+3-2×××-. 故d=. 20.(2020·全国2,文17,12分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2+A+cos A=. (1)求A; (2)若b-c=a,证明:△ABC是直角三角形. (1)解　由已知得sin2A+cos A=, 即cos2A-cos A+=0. 所以cos A-2=0,cos A=. 由于0<A<π,故A=. (2)证明　由正弦定理及已知条件可得 sin B-sin C=sin A. 由(1)知B+C=,所以sin B-sin-B=sin . 即sin B-cos B=,sinB-=. 由于0<B<,故B=.从而△ABC是直角三角形. 21.(2020·全国2,理17,12分,难度★★★)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C. (1)求A; (2)若BC=3,求△ABC周长的最大值. 解　(1)由正弦定理和已知条件得BC 2-AC 2-AB2=AC·AB. ① 由余弦定理得BC 2=AC 2+AB2-2AC·ABcos A. ② 由①②得cos A=-.因为0<A<π, 所以A=. (2)由正弦定理及(1)得===2,从而AC=2sin B,AB=2sin(π-A-B)=3cos B-sin B. 故BC+AC+AB=3+sin B+3cos B=3+2sinB+. 又0<B<,所以当B=时,△ABC周长取得最大值3+2. 22.(2020·山东,17,10分,难度★★★)在①ac=,②csin A=3,③c=b这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由. 问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin A=sin B,C=,　　　　　?  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解　方案一:选条件①. 由C=和余弦定理,得=. 由sin A=sin B及正弦定理,得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由①ac=,解得a=,b=c=1. 因此,选条件①时,问题中的三角形存在,此时c=1. 方案二:选条件②. 由C=和余弦定理,得=. 由sin A=sin B及正弦定理,得a=b. 于是=, 由此可得b=c.所以B=C=. 由A+B+C=π,得A=π--=. 由②csin A=3,即csin=3, 所以c=b=2,a=6. 因此,选条件②时,问题中的三角形存在,此时c=2. 方案三:选条件③. 由C=和余弦定理,得=. 由sin A=sin B及正弦定理,得a=b. 于是=,由此可得b=c. 由③c=b,与b=c矛盾. 因此,选条件③时,问题中的三角形不存在. 23.(2019·全国1,理17,12分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C. (1)求A; (2)若a+b=2c,求sin C. 解　(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 故由正弦定理得b2+c2-a2=bc. 由余弦定理得cos A==. 因为0°<A<180°,所以A=60°. (2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得sin A+sin(120°-C)=2sin C, 即+cos C+sin C=2sin C, 可得cos(C+60°)=-. 由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=, 故sin C=sin(C+60°-60°) =sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60°=. 考点41边角互化公式的应用　 1.(2023·全国乙,文4,5分,难度★★)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=,则B= (　C　) A. B. C. D. 解析　由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,即sin(A-B)=sin C. 又因为A,B,C是△ABC的内角, 所以A-B=C,所以A-B=.① 又因为A+B=π-C=,② 结合①②解得B=.故选C. 2.(2019·全国1,文11,5分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则= (　A　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析　由已知及正弦定理,得a2-b2=4c2, 由余弦定理的推论,得-=cos A=, ∴=-,∴-=-, ∴=×4=6,故选A. 3.(2017·山东,理9,5分,难度★★★)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　A　) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 解析　∵sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, ∴sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C, ∴sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, ∴2sin Bcos C=sin Acos C, 又△ABC为锐角三角形,∴2sin B=sin A, 由正弦定理,得a=2b.故选A. 4.(2019·全国2,文15,5分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=　　　　　.  答案　 解析　由正弦定理,得sin Bsin A+sin Acos B=0. ∵A∈(0,π),B∈(0,π), ∴sin A≠0,∴sin B+cos B=0,即tan B=-1, ∴B=. 5.(2017·全国2,文16,5分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=. 答案　 解析　由题意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=. 又因为B∈(0,π),所以B=. 边角互化的规律 对于正、余弦定理的选择,我们可有如下策略:若条件中含有正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理;若条件中含有角的余弦或边的二次式,则考虑用余弦定理;若条件不是很明显,则考虑两个定理都可能用到. 6.(2016·北京,文13,5分,难度★★★)在△ABC中,A=,a=c,则=　　　　　.  答案　1 解析　由正弦定理知==, 即sin C==,又a>c,可得C=, ∴B=π--=,∴b=c,即=1. 7.(2015·北京,理12,5分,难度★★★)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=　　　　　.  答案　1 解析　在△ABC中,由正弦定理,得==2cos A·=2cos A×=cos A, 再根据余弦定理,得cos A==, 所以=×=1. 8.(2023·全国甲,文17,12分,难度★★)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2. (1)求bc; (2)若-=1,求△ABC的面积. 解　 (1)由余弦定理,知cos A=, 则=2bc=2,得bc=1. (2)由正弦定理,有-=1. ① 在△ABC中,A+B+C=π, 则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B. ①式变形为sin Acos B-sin Bcos A-sin B=sin Acos B+cos Asin B, 即-sin B=2sin Bcos A. ∵0<B<π,∴sin B≠0.则cos A=-. ∵0<A<π,∴A=. 由(1)知bc=1,故S△ABC=bcsin A=×1×sin=×1×=. 9.(2022·全国乙,理17,12分,难度★★★)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)证明:2a2=b2+c2; (2)若a=5,cos A=,求△ABC的周长. (1)证明　∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), ∴sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin B·sin Ccos A-sin Bsin Acos C, 由正弦定理及余弦定理,得ca·-cb·=bc·-ba·, 化简整理,得2a2=b2+c2. (2)解　∵a=5,∴b2+c2=2a2=50. 由余弦定理,得cos A===, ∴bc=.∴b+c==9, ∴a+b+c=14. 故△ABC的周长为14. 10.(2022·全国乙,文17,12分,难度★★★)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A). (1)若A=2B,求C; (2)证明:2a2=b2+c2. (1)解　∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),A=2B,∴sin Csin B=sin Bsin(C-A). 又sin B>0,∴sin C=sin(C-A). ∴C=C-A(舍去)或C+C-A=π,即C=, 又A+B+C=π,∴=π,解得A=. ∴C=. (2)证法一 ∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), ∴sin C(sin Acos B-cos Asin B)=sin B(sin C·cos A-cos Csin A), 即sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B=sin Bsin C·cos A-sin Bcos Csin A, 即sin A(sin Ccos B+cos Csin B)=2sin Bsin C·cos A, 即sin Asin(B+C)=2sin Bsin Ccos A, 即sin2A=2sin Bsin Ccos A. 由正弦定理、余弦定理,得a2=2bc·, 即a2=b2+c2-a2,故2a2=b2+c2. 证法二 ∵sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A), ∴sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin B·sin Ccos A-sin Bsin Acos C, 由正弦定理及余弦定理,得ca·-cb·=bc·-ba·, 化简整理,得2a2=b2+c2. 11.(2021·天津,16,14分,难度★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin A∶sin B∶sin C=2∶1∶,b=. (1)求a的值; (2)求cos C的值; (3)求sin2C-的值. 解　(1)由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶1∶,b=,所以a=2,c=2. (2)由余弦定理可得: cos C===. (3)cos C=>0,则sin C==,sin 2C=2sin Ccos C=2××=, cos 2C=1-2sin2C=1-2×=,sin2C-=sin 2Ccos-cos 2Csin=×-×=. 12.(2017·全国1,理17,12分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长. 解　(1)由题设得acsin B=, 即csin B=. 由正弦定理得sin Csin B=. 故sin Bsin C=. (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-. 所以B+C=,故A=. 由题设得bcsin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+. 13.(2016·浙江,文16,14分,难度★★★)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若cos B=,求cos C的值. (1)证明　由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A·cos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)解　由cos B=得sin B=,cos 2B=2cos2B-1=-,故cos A=-,sin A=,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=. 考点42三角形面积公式的应用　 1.(2018·全国3,理9文11,5分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C= (　C　) A. B. C. D. 解析　由S==absin C,得c2=a2+b2-2absin C.又由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,∴sin C=cos C,即C=. 2.(2022·浙江,11,4分,难度★★)我国南宋著名数学家秦九韶,发现了从三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”,它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式,就是S=,其中a,b,c是三角形的三边,S是三角形的面积.设某三角形的三边a=,b=,c=2,则该三角形的面积S=　　　　　.  答案　 解析　由题意得S==. 3.(2019·全国2,理15,5分,难度★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为　　　　　.  答案　6 解析　∵b2=a2+c2-2accos B, ∴(2c)2+c2-2×2c×c×=62, 即3c2=36,解得c=2或c=-2(舍去). ∴a=2c=4. ∴S△ABC=acsin B=×4×2×=6. 4.(2022·全国新高考2,18,12分,难度★★★)记△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,以a,b,c为边长的三个正三角形的面积分别为S1,S2,S3,且S1-S2+S3=,sin B=. (1)求△ABC的面积; (2)若sin Asin C=,求b. 解　(1)边长为a的正三角形的面积为a2, S1-S2+S3=(a2-b2+c2)=,即accos B=1. 由sin B=,得cos B=. 故ac==. 故S△ABC=acsin B=××=. (2)由正弦定理可得===,b=sin B=. 5.(2022·北京,16,14分,难度★★★)在△ABC中,sin 2C=sin C. (1)求∠C; (2)若b=6,且△ABC的面积为6,求△ABC的周长. 解　(1)由sin 2C=sin C,得2sin Ccos C=sin C. ∵∠C是三角形的内角, ∴sin C>0,∴cos C=. ∵0<C<π,∴C=. (2)∵S△ABC=6,∴absin C=6. 又b=6,C=,∴×6×a×=6,解得a=4. 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=(4)2+62-2×4×6×=12,∴c=2, ∴△ABC的周长为4+6+2=6+6. 已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解; (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解. 6.(2021·全国新高考2,18,12分,难度★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边长为a,b,c,b=a+1,c=a+2. (1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积; (2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由. 解　(1)因为2sin C=3sin A, 所以由正弦定理得2c=3a, 解得 在△ABC中,由余弦定理得,cos C==, 所以sin C==, 所以S△ABC=absin C=×4×5×=. (2)假设存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形. 因为b=a+1,c=a+2,所以可知c>b>a,所以角C为钝角, 则cos C=<0,即a2+b2-c2<0, 则a2+(a+1)2-(a+2)2<0, 整理得a2-2a-3<0, 即(a-3)(a+1)<0,所以-1<a<3, 又因为a为正整数,所以a=1或a=2. 当a=1时,b=2,c=3,不能构成三角形,舍去; 当a=2时,b=3,c=4,满足条件. 故当a=2时,△ABC为钝角三角形. 7.(2020·北京,17,13分,难度★★★)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)a的值; (2)sin C和△ABC的面积. 条件①:c=7,cos A=-; 条件②:cos A=,cos B=. 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 解　选择条件①　(1)∵c=7,cos A=-,a+b=11, ∴a2=b2+c2-2bc cos A=(11-a)2+72-2(11-a)·7·-,∴a=8. (2)∵cos A=-,A∈(0,π), ∴sin A==. 由正弦定理得:=,∴=, ∴sin C=. S=basin C=×(11-8)×8×=6. 选择条件②　(1)cos A=,cos B=,A,B∈(0,π) ∴sin A==,sin B==. 由正弦定理得:=,∴=, ∴a=6. (2)sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=×+×=. S=basin C=×(11-6)×6×=. 8.(2017·全国2,理17,12分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b. 解　(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2, 故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=. (2)由cos B=得sin B=, 故S△ABC=acsin B=ac. 又S△ABC=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B) =36-2××1+=4.所以b=2. 9.(2017·全国3,理17,12分,难度★★★)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. 解　(1)由已知可得tan A=-,所以A=. 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos, 即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为=1. 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2, 所以△ABD的面积为. 10.(2017·北京,理15,13分,难度★★★)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积. 解　(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a, 所以由正弦定理得sin C==×=. (2)因为a=7,所以c=×7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6. 11.(2017·山东,文17,12分,难度★★★)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a. 解　因为·=-6,所以bccos A=-6, 又S△ABC=3,所以bcsin A=6. 因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=. 又b=3,所以c=2. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2×-=29,所以a=. 12.(2016·浙江,理16,14分,难度★★★)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B; (2)若△ABC的面积S=,求角A的大小. (1)证明　由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B) =sin B+sin Acos B+cos Asin B. 于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)解　由S=得absin C=, 故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B. 因sin B≠0,得sin C=cos B. 又B,C∈(0,π),所以C=±B. 当B+C=时,A=;当C-B=时,A=. 综上,A=或A=. 13.(2015·浙江,理16,14分,难度★★★)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,b2-a2=c2. (1)求tan C的值; (2)若△ABC的面积为3,求b的值. 解　(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C. 又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2. (2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=, cos C=. 又因为sin B=sin(A+C)=sin+C, 所以sin B=.由正弦定理得c=b, 又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6. 故b=3. 14.(2015·山东,理16,12分,难度★★★)设f(x)=sin xcos x-cos2x+. (1)求f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 解　(1)由题意知 f(x)=-=-=sin 2x-. 由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z, 可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z; 由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z, 可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是-+kπ,+kπ(k∈Z); 单调递减区间是+kπ,+kπ(k∈Z). (2)由f=sin A-=0,得sin A=, 由题意知A为锐角,所以cos A=. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 可得1+bc=b2+c2≥2bc, 即bc≤2+,且当b=c时等号成立. 因此bcsin A≤. 所以△ABC面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$