3.3 三角函数的综合应用-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§3.3　三角函数的综合应用 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 38.三角函数的最值 8 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 6 6 39.三角函数图象和性质的综合应用 1 7 1 1 1 0 2 0 2 0 1 1 8 9 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容(),属于中档题,主要题型为选择题或填空题,解答题考查的频率有所降低. (2)考查方向:一是考查三角函数的最值,研究给出的解析式的三角函数的最值问题;二是考查三角函数图象和性质的综合应用,与函数的极值、零点等问题相结合求解参数范围问题. (3)明智备考:一是要熟练掌握利用三角恒等变换公式化简,化为一角一函数是研究三角函数图象与性质的基础;二是要灵活运用三角函数图象,利用图象的直观性解决 相关问题. (4)主编提示:命题的兴趣点在于三角函数的化简与最值求解的结合.多选题题型的 出现,使得三角函数的图象与性质成为此类题型的选材热点.备考要注意“三角函数”作为工具属性在其他方面的应用,考查数学运算、逻辑推理等核心素养. 考点38三角函数的最值　 1.(2024·天津,7,5分,难度★★)已知函数f(x)=sin3ωx+(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)在区间-,上的最小值是 (　A　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.- B.- C.0 D. 解析　f(x)=sin3ωx+=sin(3ωx+π)=-sin 3ωx.由T==π,得ω=, 则f(x)=-sin 2x. 当x∈-,时,2x∈-,, 因为函数y=sin x在区间-,上单调递增,所以f(x)=-sin 2x 在区间-,上单调递减,所以当x=时,f(x)min=-sin=-.故选A. 2.(2017·全国3,文6,5分,难度★★)函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为 (　A　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A. B.1 C. D. 解析　因为cosx-=cos-x+=sinx+, 所以f(x)=sinx++sinx+=sinx+, 故函数f(x)的最大值为.故选A. 求三角函数最值的规律 (1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,应用辅助角公式化为y=sin(x+φ)+c(a,b为非零常数)的形式,再根据y=sin(x+φ)∈[-1,1]求值域(最值); (2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数y=at2+bt+c,再根据二次函数的单调性求值域(最值); (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,得到t2=1±2sin xcos x,根据此关系把原函数式化为关于t的二次函数,再求值域(最值). 3.(2016·全国2,文11,5分,难度★★)函数f(x)=cos 2x+6cos-x的最大值为 (　B　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析　因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2sin x-2+,而sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取最大值5,故选B. 4.(2024·北京,12,5分,难度★)已知α∈,,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为　　　　.  答案　- 解析　由题可知β=(2k+1)π+α,k∈Z,∴cos β=cos(2kπ+π+α)=cos(π+α)=-cos α.∵α∈,,∴cos α∈,,∴cos β∈-,-,∴cos β的最大值为-. 5.(2020·北京,14,5分,难度★★★)若函数f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为　　　　.  答案　2kπ+,k∈Z均可 解析　∵sin(x+φ)≤1,cos x≤1,f(x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2, ∴sin(x+φ)=1,cos x=1. 此时x=2kπ,k∈Z.则sin(x+φ)=sin φ=1. 于是φ=+2kπ,k∈Z.故可选当k=0时,φ=. 6.(2019·全国1,文15,5分,难度★★)函数f(x)=sin2x+-3cos x的最小值为　　　　　.  答案　-4 解析　f(x)=sin2x+-3cos x =-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1 =-2cos x+2+. ∵-1≤cos x≤1,∴当cos x=1时,f(x)min=-4. 故函数f(x)的最小值是-4. 7.(2018·全国1,理16,5分,难度★★★)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是　　　　　.  答案　- 解析　由题意可得T=2π是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域. 由f(x)=2sin x+sin 2x, 得f'(x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x-2. 令f'(x)=0,可得cos x=或cos x=-1,x∈[0,2π)时,解得x=或x=或x=π. 因为f(x)=2sin x+sin 2x的最值只能在x=,x=,x=π或x=0时取到,且f=,f=-,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-. 8.(2017·全国2,理14,5分,难度★★)函数f(x)=sin2x+cos x-x∈0,的最大值是　　　　　.  答案　1 解析　由题意可知f(x)=1-cos2x+cos x-=-cos2x+cos x+=-cos x-2+1. 因为x∈0,,所以cos x∈[0,1]. 所以当cos x=时,函数f(x)取得最大值1. 既有sin x(cos x)的一次式,又有sin x(cos x)的二次式,则需通过sin2x+cos2x=1统一为sin x或cos x的形式,利用换元法求最值,但需注意由于设sin x(cos x)=t,故有-1≤sin x(cos x)≤1的限制. 9.(2017·全国2,文13,5分,难度★★)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为　　　　　.  答案　 解析　因为f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ)(其中tan φ=2), 所以f(x)的最大值为. 10.(2018·北京,文16,13分,难度★★★)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)若f(x)在区间-,m上的最大值为,求m的最小值. 解　(1)因为f(x)=+sin 2x =sin 2x-cos 2x+=sin2x-+, 所以f(x)的最小正周期为T==π. (2)由(1)知f(x)=sin2x-+. 因为x∈-,m, 所以2x-∈-,2m-. 要使f(x)在-,m上的最大值为, 即y=sin2x-在-,m上的最大值为1. 所以2m-≥,即m≥. 所以m的最小值为. 11.(2015·天津,理15,13分,难度★★★)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间-,上的最大值和最小值. 解　(1)由已知,有 f(x)=- =cos 2x+sin 2x-cos 2x =sin 2x-cos 2x=sin2x-. 所以,f(x)的最小正周期T==π. (2)因为f(x)在区间-,-上是减函数,在区间-,上是增函数,f-=-,f-=-,f=.所以,f(x)在区间-,上的最大值为,最小值为-. 12.(2015·北京,理15,13分,难度★★★)已知函数f(x)=sin cos -sin2. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值. 解　(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x) =sinx+-, 所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤. 当x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值. 所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f-=-1-. 考点39三角函数图象和性质的综合应用　 1.(2024·全国新高考1,7,5分,难度★★★)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin3x-的交点个数为 (　C　) A.3 B.4 C.6 D.8 解析　在同一平面直角坐标系中,画出区间[0,2π]上的曲线y=sin x与y=2sin3x-,如图所示. 由图可知,在区间[0,2π]上,曲线y=sin x与y=2sin3x-有6个交点. 2.(2024·北京,6,4分,难度★★★)已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=,则ω=(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　∵f(x)在x1,x2处分别取得最小值与最大值,|x1-x2|min=,∴最小正周期为2×=π, ∴ω==2.故选B. 3.(2023·全国甲,理10文12,5分,难度★★★)函数y=f(x)的图像由函数y=cos2x+的图像向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图像与直线y=x-的交点个数为 (　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由题意,f(x)=cos2x++=cos2x+=-sin 2x, 如图,在平面直角坐标系中画出y=f(x)的图像,以及直线y=x-. 直线y=x-过点(-1,-1)和点(3,1),所以当x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)时,y=f(x)的图像与直线y=x-没有公共点.由图像可知,y=f(x)的图像与直线y=x-共有3个交点,故选C. 4.(2022·全国甲,理11,5分,难度★★★)设函数f(x)=sinωx+在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 (　C　) A., B., C., D., 解析　设ωx+=t, 由x∈(0,π),得t∈,πω+. 因为有两个零点,可得2π<πω+≤3π, 即<ω≤. 又因为有三个极值点,(sin t)'=cos t, 即y=cos t在,πω+上有三个零点, 所以<πω+≤,解得<ω≤. 综上可得<ω≤.故选C. 解答该类问题关键是两点:一是把相位看作是一个整体,二是找准两个端点的取值范围. 5.(2020·全国1,理7文7,5分,难度★★) 设函数f(x)=cosωx+在[-π,π]的图象大致如右图,则f(x)的最小正周期为 (　C　) A. B. C. D. 解析　由题图知f-=cos-ω+=0, 所以-ω+=+kπ(k∈Z), 化简得ω=-(k∈Z). 因为T<2π<2T,即<2π<, 所以1<|ω|<2,解得-<k<-或<k<. 当且仅当k=-1时,1<|ω|<2. 所以ω=,最小正周期T==. 6.(2019·全国3,理12,5分,难度★★★)设函数f(x)=sinωx+(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论: ①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在0,单调递增 ④ω的取值范围是, 其中所有正确结论的编号是 (　D　) A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④ 解析　∵f(x)=sinωx+(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点, ∴5π≤2πω+<6π,解得≤ω<,故④正确. 画出f(x)的图象(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0<x<时,<ωx+<+, 又≤ω<,∴+<+=<,∴③正确. 综上可知①③④正确.故选D. 7.(2018·全国2,理10,5分,难度★★★)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(　A　) A. B. C. D.π 解析　f(x)=cos x-sin x =-sin x·-cos x· =-sin x-, 当x∈-,π,即x-∈-,时, y=sin x-单调递增, y=-sin x-单调递减. ∵函数f(x)在[-a,a]是减函数, ∴[-a,a]⊆-,π,∴0<a≤, ∴a的最大值为. 8.(2023·全国新高考1,15,5分,难度★★★)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　　.  答案　[2,3) 解析　由题意可知,要使函数f(x)=cos ωx-1在[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=cos ωx的图象在[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cos ωx的最小正周期为T,如图(草图), 要满足题意,需要2T≤2π<3T,即<T=≤π,解得2≤ω<3. 本题先将函数零点转化成函数的最值个数问题,然后结合三角函数图象特征,得出要使函数有且仅有3个零点,就需要函数图象在[0,2π]上包含3个最值但又不能包含第4个最值,从而得出2π与函数周期的关系. 9.(2022·全国乙,理15,5分,难度★★★)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　　.  答案　3 解析　依题意,T=, 则f(T)=f=cos(2π+φ)=cos φ=. 又0<φ<π,∴φ=.∴f(x)=cosωx+. 又x=为f(x)的零点,∴f=cosω+=0, ∴ω+=+kπ,k∈Z,∴ω=3+9k,k∈Z. 又ω>0,∴ω的最小值为3. 10.(2021·全国甲卷,16,5分,难度★★★)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-f(x)-f>0的最小正整数x为　　　　　.  答案　2 解析　设函数f(x)的最小正周期为T,由图象可知,T=-=,所以T=π-,所以ω=±2. 当ω=2时,把点,2的坐标代入f(x)的解析式,得2cosω+φ=2cos×2+φ=2,所以φ=2kπ-,k∈Z,则f(x)=2cos2x+2kπ-=2cos2x-; 当ω=-2时,将点,2的坐标代入f(x)的解析式,得2cosω+φ=2cos×(-2)+φ=2cos×2-φ=2,所以φ=2kπ+,k∈Z,则f(x)=2cos(2x-φ)=2cos2x-. 综上得f(x)=2cos2x-, 所以f-=2cos2×--=1, f=2cos2×-=0, 所以(f(x)-1)f(x)>0, 所以f(x)<0或f(x)>1, 所以cos2x-<0或cos2x->, 所以+2kπ<2x-<+2kπ或-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,即+kπ<x<+kπ或-+kπ<x<+kπ,k∈Z,所以当k=0时,x能取到的最小正整数为2. 11.(2020·江苏,10,5分,难度★★★)将函数y=3sin2x+的图象向右平移个单位长度,则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是　　　　.  答案　x=- 解析　将函数y=3sin2x+的图象向右平移个单位长度后得到函数y=3sin2x-+=3sin2x-的图象. 由2x-=+kπ,k∈Z,得 平移后的对称轴的方程为x=+,k∈Z. 当k=0时,x=,当k=-1时,x=-. 所以与y轴最近的对称轴的方程是x=-. 12.(2018·上海,18,14分,难度★★★)设常数a∈R,函数f(x)=asin 2x+2cos2x. (1)若f(x)为偶函数,求a的值; (2)若f=+1,求方程f(x)=1-在区间[-π,π]上的解. 解　(1)∵f(x)=asin 2x+2cos2x, ∴f(-x)=-asin 2x+2cos2x. ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴-asin 2x+2cos2x=asin 2x+2cos2x, ∴2asin 2x=0,∴a=0. (2)∵f=+1, ∴asin+2cos2=a+1=+1,∴a=, ∴f(x)=sin 2x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=2sin2x++1. ∵f(x)=1-,∴2sin2x++1=1-, ∴sin2x+=-, ∴2x+=-+2kπ或2x+=π+2kπ,k∈Z,∴x=kπ-或x=kπ+,k∈Z. ∵x∈[-π,π],∴x=-或-或或. ∴所求方程的解为x=-或-或或. 13.(2017·北京,文16,13分,难度★★★)已知函数f(x)=cos2x--2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求证:当x∈-,时,f(x)≥-. (1)解　f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x =sin 2x+cos 2x=sin2x+. 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)证明　因为-≤x≤, 所以-≤2x+≤. 所以sin2x+≥sin-=-. 所以当x∈-,时,f(x)≥-. 14.(2017·浙江,18,14分,难度★★★)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x∈R). (1)求f的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解　(1)由sin=,cos=-, f=2--2-2××-, 得f=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin2x+. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以,f(x)的单调递增区间是+kπ,+kπ (k∈Z). 15.(2016·山东,文17,12分,难度★★★)设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值. 解　(1)由f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2sin2x-(1-2sin xcos x) =(1-cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x-cos 2x+-1 =2sin2x-+-1, 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间是kπ-,kπ+ (k∈Z)或kπ-,kπ+(k∈Z). (2)由(1)知f(x)=2sin2x-+-1, 把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sinx-+-1的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到y=2sin x+-1的图象,即g(x)=2sin x+-1. 所以g=2sin+-1=. 16.(2015·湖北,理17,11分,难度★★★)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式; (2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为,0,求θ的最小值. 解　(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-. 数据补全如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函数表达式为f(x)=5sin2x-. (2)由(1)知f(x)=5sin2x-, 得g(x)=5sin2x+2θ-. 因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z. 由于函数y=g(x)的图象关于点,0成中心对称, 令+-θ=,k∈Z,解得θ=-,k∈Z. 由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值. 17.(2015·福建,理19,13分,难度★★★★)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度. (1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α,β. ①求实数m的取值范围; ②证明:cos(α-β)=-1. (1)解　将g(x)=cos x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cos x的图象,再将y=2cos x的图象向右平移个单位长度后得到y=2cosx-的图象, 故f(x)=2sin x. 从而函数f(x)=2sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z). (2)①解　f(x)+g(x)=2sin x+cos x =sin x+cos x=sin(x+φ) 其中sin φ=,cos φ=. 依题意,sin(x+φ)=在[0,2π)内有两个不同的解α,β当且仅当<1,故m的取值范围是(-,). ②因为α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)内的两个不同的解, 所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)= . 当1≤m<时,α+β=2-φ, 即α-β=π-2(β+φ); 当-<m<1时,α+β=2-φ, 即α-β=3π-2(β+φ), 所以cos(α-β)=-cos 2(β+φ) =2sin2(β+φ)-1=22-1=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$