3.2 三角函数的图象与性质-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§3.2　三角函数的图象与性质 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 35.三角函数的性质 6 9 0 1 2 1 2 1 1 1 1 1 12 14 36.三角函数的图象 2 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 4 2 37.三角函数图象变换 1 3 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 3 5 27.导数与函数的最值 1 3 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0 5 5 28.生活中的最优化问题 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 29.利用导数解决恒成立、存在性问题 2 3 1 1 0 0 0 0 2 0 3 0 8 4 30.利用导数证明不等式 5 3 1 2 2 0 1 1 2 0 0 1 11 7 31.利用导数研究函数的零点 6 5 3 1 3 0 4 0 1 0 1 0 18 6 续表 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题必考的内容(),属于中档题,常见题型为选择题或填空题,分值为4~5分. (2)考查方向:一是考查三角函数的性质,考查根据三角函数解析式研究三角函数的单调性、对称性、周期性等性质;二是考查三角函数的图象,考查根据给出的三角函数 图象确定函数解析式中的参数,根据给出的情境确定三角函数图象等问题;三是考查三角函数图象变换,根据给出的两个三角函数确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值的问题. (3)明智备考:一是要正确理解三角函数解析式中的各个参数与图象特征的对应,这是研究三角函数图象的基础;二是熟练掌握两个三角函数图象之间相互变换的顺序 与变换的方式. (4)主编提示:命题的兴趣点在于三角函数图象与性质的综合.本专题常作为多选题题型的命题素材,考查数学运算、逻辑推理的核心素养.高三备考,熟练掌握函数图象 特征与性质之间的对应关系,便可顺利通关!!! 考点35三角函数的性质　 1.(多选题)(2024·全国新高考2,9,6分,难度★★★)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列正确的有 (　BC　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析　由f(x)=0,得2x=kπ,k∈Z,此时g(x)=sin≠0,A错误; 两函数的最大值均为1,B正确; 两函数的最小正周期都为π,C正确; 函数f(x)图象的对称轴为x=+,k∈Z,函数g(x)图象的对称轴为x=+,k∈Z,D错误. 故选BC. 2.(2024·上海,14,4分,难度★★)下列函数中,f(x)的最小正周期是2π的是 (　A　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.f(x)=sin x+cos x B.f(x)=sin xcos x C.f(x)=sin2x+cos2x D.f(x)=sin2x-cos2x 解析　对于A,f(x)=sin x+cos x=sin x+cos x=sinx+,则T=2π,满足条件,故A选项符合题意; 对于B,f(x)=sin xcos x=sin 2x,则T=π,不满足条件,故B选项不符合题意; 对于C,f(x)=sin2x+cos2x=1,为常函数,则不存在最小正周期,不满足条件,故C选项不符合题意; 对于D,f(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,则T=π,不满足条件,故D选项不符合题意. 故选A. 3.(2023·全国乙,理6文10,5分,难度★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间,单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f-= (　D　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.- B.- C. D. 解析　由题意,知函数f(x)的周期T=2-=π,所以ω==2. 又由题意,得f=-1,即sin2×+φ=-1,所以+φ=2kπ+(k∈Z),所以φ=2kπ+(k∈Z),所以f-=sin2×-+2kπ+=sin=.故选D. 4.(2023·天津,5,5分,难度★★)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为 (　B　) A.sinx B.cosx C.sinx D.cosx 解析　由题意可得,ω===,故排除C,D;又sin×2=0,cos×2=-1,所以直线x=2为函数y=cosx图象的对称轴.故选B. 5.(2022·全国新高考1,6,5分,难度★★)记函数f(x)=sinωx++b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点,2中心对称,则f= (　A　) A.1 B. C. D.3 解析　∵y=f(x)的图象关于点,2中心对称, ∴b=2,且sinω+=0, ∴ω+=kπ,k∈Z,解得ω=-,k∈Z. ∵T=,ω>0,<T<π, ∴<<π,∴2<ω<3. ∴当k=4时,ω=符合题意. 故f(x)=sinx++2. ∴f=sin++2=1.故选A. 6.(多选题)(2022·全国新高考2,9,5分,难度★★)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点,0对称,则 (　AD　) A.f(x)在0,单调递减 B.f(x)在-,有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的一条切线 解析　由题意得,f=sin+φ=0, 所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z. 又0<φ<π,所以k=2,φ=. 故f(x)=sin2x+. 选项A,当x∈0,时,2x+∈,⊂,,所以f(x)在区间0,内单调递减,故A正确; 选项B,当x∈-,时,2x+∈,, 由函数f(x)的图象(图略),易知y=f(x)只有一个极值点,由2x+=,可得极值点为x=,故B错误; 选项C,当x=时,f=sin2×+=0,所以直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴,故C错误; 对于D,f'(x)=2cos2x+,若直线y=-x为曲线y=f(x)的切线,则2cos2x+=-1,所以2x+=2kπ+(k∈Z)或2x+=2kπ+(k∈Z),所以x=kπ(k∈Z)或x=kπ+(k∈Z).当x=kπ(k∈Z)时,f(x)=,则由=-kπ(k∈Z),解得k=0;当x=kπ+(k∈Z)时,f(x)=-,方程-=-kπ-(k∈Z)无解.综上所述,直线y=-x为曲线y=f(x)的切线,故D正确.故选AD. 7.(2022·北京,5,4分,难度★★)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 (　C　) A.f(x)在-,-上单调递减 B.f(x)在-,上单调递增 C.f(x)在0,上单调递减 D.f(x)在,上单调递增 解析　f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,对于选项A,当x∈-,-时,2x∈-π,-,f(x)单调递增,故A错误;对于选项B,当x∈-,时,2x∈-,,f(x)不单调,故B错误;对于选项C,当x∈0,时,2x∈0,,f(x)单调递减,故C正确;对于选项D,x∈,时,2x∈,,f(x)不单调,故D错误.故选C. 8.(2021·全国乙,文4,5分,难度★)函数f(x)=sin+cos的最小正周期和最大值分别是(　C　) A.3π和 B.3π和2 C.6π和 D.6π和2 解析　f(x)=sin+,故函数f(x)的最小正周期T==6π,函数f(x)的最大值为.故选C. 9.(2021·全国新高考1,4,5分,难度★★)下列区间中,函数f(x)=7sinx-的单调递增的区间是 (　A　) A.0, B.,π C.π, D.,2π 解析　由题意知x-∈-+2kπ,+2kπ,k∈Z,即x∈-+2kπ,+2kπ,k∈Z.当k=0时,函数f(x)=7sinx-的单调递增区间为-,,∵0,⊆-,,∴0,是函数f(x)的一个单调递增区间.故选A. 求复杂三角函数单调区间的方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时,首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可,注意要先把ω化为正数. 10.(2021·北京,7,4分,难度★★)函数f(x)=cos x-cos 2x是 (　D　) A.奇函数,且最大值为2 B.偶函数,且最大值为2 C.奇函数,且最大值为 D.偶函数,且最大值为 解析　f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos 2x=f(x),所以f(x)为偶函数.f(x)=cos x-cos 2x=-2cos2x+cos x+1=-2cos x-2+.因为cos x∈[-1,1],所以当cos x=时,f(x)max=.故选D. 11.(2020·天津,8,5分,难度★★★)已知函数f(x)=sinx+.给出下列结论: ①f(x)的最小正周期为2π; ②f是f(x)的最大值; ③把函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,可得到函数y=f(x)的图象. 其中所有正确结论的序号是 (　B　) A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 解析　∵f(x)=sinx+, ∴①f(x)最小正周期T==2π,正确; ②f=sin+=sin≠1,不正确; ③y=sin xf(x)=sinx+,正确.故选B. 12.(2019·全国2,理9,5分,难度★★★)下列函数中,以为周期且在区间,单调递增的是 (　A　) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 解析　y=|cos 2x|的图象为,由图知y=|cos 2x|的周期为,且在区间,内单调递增,符合题意;y=|sin 2x|的图象为,由图知它的周期为,但在区间,内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cos x,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为, 由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A. 13.(2019·全国2,文8,5分,难度★★★)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= (　A　) A.2 B. C.1 D. 解析　由题意,得f(x)=sin ωx的周期T==2-=π,解得ω=2,故选A. 14.(2018·全国1,文8,5分,难度★★★)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 (　B　) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 解析　因为f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=3×+1=cos 2x+,所以函数f(x)的最小正周期为=π,当cos 2x=1时,f(x)max=4. 15.(2017·全国3,理6,5分,难度★★)设函数f(x)=cosx+,则下列结论错误的是 (　D　) A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在,π单调递减 解析　由f(x)=cosx+的解析式知-2π是它的一个周期,故A中结论正确; 将x=代入f(x)=cosx+,得f=-1, 故y=f(x)的图象关于直线x=对称,故B中结论正确; f(x+π)=cosx+,当x=时,f(x+π)=cos+=0,故C中结论正确; 当x∈,π时,x+∈,,显然f(x)先单调递减再单调递增,故D中结论错误. 16.(2017·全国2,文3,5分,难度★★)函数f(x)=sin2x+的最小正周期为(　C　) A.4π B.2π C.π D. 解析　T==π,故选C. 17.(2017·天津,理7文7,5分,难度★★★)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则 (　A　) A.ω=,φ= B.ω=,φ=- C.ω=,φ=- D.ω=,φ= 解析　∵f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π, ∴f(x)的最小正周期为4-=3π. ∴ω==,∴f(x)=2sin x+φ. ∴2sin ×+φ=2, ∴φ=2kπ+,k∈Z. 又|φ|<π,∴取k=0,得φ=. 18.(2017·山东,文7,5分,难度★★★)函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为 (　C　) A. B. C.π D.2π 解析　因为y=sin 2x+cos 2x=2sin 2x+cos 2x=2sin2x+,所以其最小正周期T==π. 19.(2016·全国1,理12,5分,难度★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为 (　B　) A.11 B.9 C.7 D.5 解析　由题意知--=+,k∈Z,即=T=·,k∈Z,又ω>0,所以ω=2k+1,k∈Z. 又因为f(x)在,单调, 所以-≤,T≥,即≥,ω≤12. 因为ω>0,所以0<ω≤12. 若ω=11,又|φ|≤,则φ=-,此时f(x)=sin 11x-,f(x)在,单调递增,在,单调递减,不满足条件; 若ω=9,又|φ|≤,则φ=, 此时f(x)=sin 9x+,满足f(x)在,单调的条件,由此得ω的最大值为9. 已知函数y=Asin(ωx+φ)在给定区间上的单调性,求ω的取值范围的步骤 第一步:根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期T的一半,即x2-x1≤T=·=,求得0<ω≤; 第二步:方法一 当函数在[x1,x2]上单调递增时,有(k∈Z)如图所示: 当函数在[x1,x2]上单调递减时,有(k∈Z)如图所示: 方法二 当函数在[x1,x2]上单调递增时,令2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)求出函数的单调递增区间,设为[t1,t2],则t1≤x1<x2≤t2,如图所示: 当函数在[x1,x2]上单调递减时,令2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)求出函数的单调递减区间,设为[m1,m2],则m1≤x1<x2≤m2,如图所示: 由上述方法求出ω的取值范围(含参数k)后,结合第一步求出的ω的范围对k赋值,从而求出ω(不含参数k)的取值范围. 20.(2016·山东,理7,5分,难度★★★)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是 (　B　) A. B.π C. D.2π 解析　f(x)=2sinx+×2cosx+=2sin2x+,故最小正周期T==π,应选B. 21.(2016·浙江,理5,5分,难度★★★)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期 (　B　) A.与b有关,且与c有关 B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关 D.与b无关,但与c有关 解析　f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=-cos 2x+bsin x++c. 当b=0时,f(x)=-cos 2x++c,周期T=π; 当b≠0时,f(x)=-cos 2x+bsin x++c, ∵y=-cos 2x的周期为π,y=bsin x的周期为2π, ∴f(x)的周期T=2π. ∴f(x)的最小正周期与b有关,但与c无关.故选B. 22.(2018·北京,理11,5分,难度★★★)设函数f(x)=cosωx-(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　.  答案　 解析　∵f(x)≤f对任意的实数x都成立, ∴当x=时,f(x)取得最大值, 即f=cosω-=1, ∴ω-=2kπ,k∈Z,∴ω=8k+,k∈Z. ∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值. 23.(2018·江苏,7,5分,难度★★)已知函数y=sin(2x+φ)-<φ<的图象关于直线x=对称,则φ的值为　　　　　.  答案　- 解析　由题意可得sin+φ=±1,解得+φ=+kπ(k∈Z),即φ=-+kπ(k∈Z). 因为-<φ<,所以k=0,φ=-. 24.(2015·天津,文14,5分,难度★★★)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为　　　　　.  答案　 解析　f(x)=sin ωx+cos ωx=sin ωx+, 因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称, 所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z. 又ω-(-ω)≤,即ω2≤,所以ω=. f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,说明(-ω,ω)为f(x)单调增区间的一个子区间,又函数图象关于x=ω对称,可知f(ω)为最大值,从而可以建立ω的关系式求解. 25.(2016·天津,理15,13分,难度★★★)已知函数f(x)=4tan xsin-xcosx--. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间-,上的单调性. 解　(1)f(x)的定义域为. f(x)=4tan xcos xcosx-- =4sin xcosx-- =4sin xcos x+sin x- =2sin xcos x+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x =2sin2x-, 所以,f(x)的最小正周期T==π. (2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是-+2kπ,+2kπ,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=-,,B=x+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=-,.所以,当x∈-,时,f(x)在区间-,上单调递增,在区间-,-上单调递减. 26.(2016·北京,文16,13分,难度★★★)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 解　(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx =sin 2ωx+cos 2ωx=sin2ωx+, 所以f(x)的最小正周期T==. 依题意,=π,解得ω=1. (2)由(1)知f(x)=sin2x+.函数y=sin x的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z). 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+.所以f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+(k∈Z). 考点36三角函数的图象　 1.(多选题)(2020·山东,10,5分,难度★★★)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= (　BC　) A.sinx+ B.sin-2x C.cos2x+ D.cos-2x 解析　由题图可知,=-=,∴T=π, ∵=π,∴ω=2,A错误; ∴y=sin(2x+φ).又∵过点,0, ∴sin2×+φ=0,即+φ=2π,∴φ=. ∴y=sin2x+=sinπ-2x+ =sin-2x,故B正确; ∵y=sin-2x=sin-+2x =cos2x+,∴C正确; ∵cos-2x=cosπ-2x+ =-cos2x+,∴D错误,故选BC. 2. (2016·全国2,文3,5分,难度★★)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 (　A　) A.y=2sin2x- B.y=2sin2x- C.y=2sinx+ D.y=2sinx+ 解析　由题图知,A=2,周期T=2--=π, 所以ω==2,y=2sin(2x+φ). 因为函数图象过点,2,所以2=2sin2×+φ. 所以+φ=2kπ+(k∈Z).令k=0,得φ=-,所以y=2sin2x-,故选A. 依据图象确定A,ω,φ的值的方法 利用函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式,是进一步研究三角函数性质的基础,也是高考中常考的一类题型.解决此类问题的基本途径是:(1)利用函数的最值确定A与b,即A=,b=;(2)利用函数的周期确定ω,即ω=;(3)求φ. 其中φ的求解是重点,也是难点,常见的方法有: 方法一(取点代入)即在函数的部分图象上选取一个确定的点(最好选取平衡位置以外的点,以避免产生增根)代入函数解析式求φ的值; 方法二(初相法)即由函数的部分图象的标准型的起点横坐标确定其初相,即得φ的值; 方法三(五点法)即选择函数部分图象的标准型中的一个点,利用ωx+φ=0,,π,,2π(选取的是第几个点,则相应的取第几个数)求φ的值. 3.(2023·全国新高考2,16,5分,难度★★★)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　　.  答案　- 解析　对比正弦曲线y=sin x的图象易知,点对应“五点法”中的第五点,所以ω+φ=2π①. 由题目中图象知|AB|=xB-xA=,线段AB的垂直平分线对应于正弦曲线y=sin x在y轴右边的第1条对称轴直线x=, 所以由sin(ωx+φ)=,得两式相减,得ω(xB-xA)=,即ω=,解得ω=4,代入①,得φ=-,所以f(x)=sin,所以f(π)=sin=-sin=-. 由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定A,ω,φ的题型,常以“五点法”中的对应点作为突破口,要从图象中找准点的位置,要善于抓住特殊量和特殊点. 4. (2021·全国甲,文15,5分,难度★★★)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　.  答案　- 解析　设f(x)的最小正周期为T,由图形可知,T=-,则T=π,所以ω=2. 由2cos+φ=2,得φ=-+2kπ,k∈Z, 令k=0,所以φ=-,所以f(x)=2cos2x-,则f=2cos=-. 5.(2018·全国3,理15,5分,难度★★★)函数f(x)=cos3x+在[0,π]的零点个数为　　　　　.  答案　3 解析　令f(x)=cos3x+=0,得3x+=+kπ,k∈Z,∴x=+=,k∈Z. 则k=0,1,2时,函数在[0,π]的零点有,,.故有3个. 6.(2015·湖南,文15,5分,难度★★★)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=　　　　　.  答案　 解析　如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象,A,B为符合条件的两交点. 则A,,B-,-,由|AB|=2,得=2,解得=2,即ω=. 考点37三角函数图象变换　 1.(2022·全国甲,文5,5分,难度★★)将函数f(x)=sinωx+(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若关于y轴对称,则ω的最小值是 (　C　) A. B. C. D. 解析　由题可知,曲线C的解析式为fx+=sinωx+ω+. 令g(x)=fx+,因为曲线C的图象关于y轴对称,则ω+=kπ+,k∈Z,所以ω=+2k,k∈Z. 因为ω>0,取k=0,所以ω的最小值为.故选C. 2.(2022·浙江,6,4分,难度★★)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin3x+图象上所有的点 (　D　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析　由y=2sin3x+=2sin3x+,因此需要将函数图象向右平移个单位长度,即可得到y=2sin 3x的图象,故选D. 3.(2021·全国乙,理7,5分,难度★★)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sinx-的图象,则f(x)= (　B　) A.sin- B.sin+ C.sin2x- D.sin2x+ 解析　方法一:函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到y=f(2x)的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到y=f2x-的图象,根据已知得到了函数y=sinx-的图象,所以f2x-=sinx-,令t=2x-,x=+,x-=+,所以f(t)=sin+,即f(x)=sin+.故选B. 方法二:由已知的函数y=sinx-逆向变换,将y=sinx-的图象向左平移个单位长度,得到y=sinx+-=sinx+的图象.将第一步所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin+的图象,即为y=f(x)的图象,所以f(x)=sin+.故选B. 三角函数图象变换的两种途径 由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. y=sin x y=sin ωxy=sin(ωx+φ) y=sin xy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ) 4.(2019·天津,文7,5分,难度★★★)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若g=,则f= (　C　) A.-2 B.- C. D.2 解析　已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0. f(x)的最小正周期为π,∴=π. ∴ω=2.f(x)=Asin 2x. ∴g(x)=Asin x. 由g=,得Asin =,∴A=2. ∴f(x)=2sin 2x.∴f=2sin =,故选C. 5.(2018·天津,理6,5分,难度★★★)将函数y=sin2x+的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数 (　A　) A.在区间,上单调递增 B.在区间,π上单调递减 C.在区间,上单调递增 D.在区间,2π上单调递减 解析　函数y=sin2x+图象向右平移个单位长度 y=sin2x-+=sin 2x. 当-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin 2x单调递增. 当+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin 2x单调递减, 结合选项,可知y=sin 2x在,上单调递增.故选A. 6.(2017·全国1,理9,5分,难度★★★)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin2x+,则下面结论正确的是 (　D　) A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2 D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2 解析　曲线C1的方程可化为y=cos x=sinx+,把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得曲线y=sin2x+=sin 2x+,为得到曲线C2:y=sin 2x+,需再把得到的曲线向左平移个单位长度. 7.(2016·北京,理7,5分,难度★★★)将函数y=sin2x-图象上的点P,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则(　A　) A.t=,s的最小值为 B.t=,s的最小值为 C.t=,s的最小值为 D.t=,s的最小值为 解析　设P'(x,y).由题意得t=sin2×-=,且P'的纵坐标与P的纵坐标相同,即y=.又P'在函数y=sin 2x的图象上,则sin 2x=,故点P'的横坐标x=+kπ(k∈Z)或+kπ(k∈Z),结合题意可得s的最小值为-=. 8.(2015·山东,理3文4,5分,难度★★)要得到函数y=sin4x-的图象,只需将函数y=sin 4x的图象 (　B　) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 解析　∵y=sin4x-=sin4x-, ∴只需将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位即可. 三角变换中名称不一的处理方法 对于变换前后名称不一致的情况,首先,两函数名不同应先利用诱导公式化为同名函数,且函数的系数相同,x的系数的正负相同,其次,若x的系数不为1,则应先提取x的系数,再观察x的变化. 学科网（北京）股份有限公司 $$