3.1 三角函数的概念及三角恒等变换-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

第三章　三角函数与解三角形 §3.1　三角函数的概念及三角恒等变换 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 32.任意角和弧度制、三角函数的概念 1 2 0 1 0 1 1 0 0 0 0 6 2 5 33.同角三角函数的基本关系式、诱导公式 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2 1 34.三角恒等变换 7 13 4 2 2 0 1 2 3 0 2 0 19 17 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容(),主要是选择题或填空题,一般命制一道选择题或填空题,也有渗透在解答题中考查.分值4~5分. (2)考查方向:一是考查三角函数的概念,主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值;二是考查同角三角函数关系式、诱导公式,主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用;三是考查三角恒等变换,两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用等. (3)明智备考:一是要注意求值过程中角的取值范围,学会根据条件缩小范围;二是熟 练掌握两角和与差公式的逆用以及倍角公式的变形用,解题时要注意公式的选择. (4)主编提示:命题的 兴趣点在于两角和与差公式以及倍角公式的灵活运用,通常作为解决三角函数问题的工具渗透在考题中,考查数学运算的核心素养.高三备考,注 意角的范围,掌握角的变换技巧,高考无忧!!! 考点32任意角和弧度制、三角函数的 概念　 1.(2022·全国甲,理8,5分,难度★★)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s= (　B　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A. B. C. D. 解析　由已知得,△OAB为等边三角形,所以AB=OA=2,则OC=,CD=2-,所以s=2+=2+=,故选B. 2.(2020·北京,10,4分,难度★★★)2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(π Day).历史上,求圆周率π的方法有多种,与中国传统数学中的“割圆术”相似.数学家阿尔·卡西的方法是:当正整数n充分大时,计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长,将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法,π的近似值的表达式是 (　A　) A.3nsin +tan B.6nsin +tan C.3nsin +tan D.6nsin +tan 解析　单位圆内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为=,每条边长为2sin , 所以,单位圆的内接正6n边形的周长为12nsin , 单位圆的外切正6n边形的每条边长为2tan ,其周长为12ntan , ∴2π==6nsin +tan , 则π=3nsin +tan .故选A. 3.(2019·北京,文8,5分,难度★★★)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为 (　B　) A.4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β 解析　如图,设圆心为O,连接OA,OB,半径r=2,∠AOB=2∠APB=2β,阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S1=βr2=4β为定值,S△OAB=|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值,全部阴影部分的面积S=S△PAB+S1-S△OAB.当P为弧AB的中点时S△PAB最大,最大值为(2|OA|sin β)(OP+|OA|cos β)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β,所以全部阴影部分的面积S的最大值为4β+4sin β,故选B. 4.(2018·全国1,文11,5分,难度★★★)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|= (　B　) A. B. C. D.1 解析　因为cos 2α=2cos2α-1=,所以cos2α=,sin2α=.所以tan2α=,tan α=±. 由于a,b的正负性相同,不妨设tan α>0, 即tan α=,由三角函数定义得a=,b=, 故|a-b|=. 5.(2018·北京,文7,5分,难度★★★)在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tan α<cos α<sin α,则P所在的圆弧是 (　C　) A. B. C. D. 解析　若P在上,则由角α的三角函数线知,cos α>sin α,排除A;若P在上,则tan α>sin α,排除B;若P在上,则tan α>0,cos α<0,sin α<0,排除D;故选C. 6.(2021·北京,14,5分,难度★★★)若点A(cos θ,sin θ)关于y轴的对称点为Bcosθ+,sinθ+,则θ的一个取值为　　　　.  答案　(答案不唯一) 解析　由题意,可知θ+=+kπ,k∈Z,解得θ=+kπ,k∈Z.令k=0,取θ=. 7.(2017·北京,文9,5分,难度★★)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=　　　　　.  答案　 解析　由角α与角β的终边关于y轴对称,得α+β=2kπ+π,k∈Z,即β=2kπ+π-α,k∈Z,故sin β=sin(2kπ+π-α)=sin α=. 考点33同角三角函数的基本关系式、诱导公式　 1.(2024·全国甲,理8文9,5分,难度★★)已知=,则tanα+= (　B　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 解析　由=,得=, 则tan α=1-, 所以tanα+==2-1.故选B. 2.(2021·全国新高考1,6,5分,难度★★)若tan θ=-2,则=(　C　) A.- B.- C. D. 解析　法一:(求值代入法)因为tan θ=-2,所以角θ的终边在第二、四象限,(提示:根据正切值的正负,确定角θ可能所在的象限) 所以或 所以==sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θcos θ=-=.故选C. 法二:(弦化切法)因为tan θ=-2, 所以==sin θ(sin θ+cos θ)====.故选C. 法三:(正弦化余弦法)因为tan θ=-2, 所以sin θ=-2cos θ.则==sin θ(sin θ+cos θ)====.故选C. 破解同角三角函数的基本关系式、诱导公式的关键 一是化简,利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系等,化简已知三角式;二是求值,利用弦化切或切化弦,求出三角函数值. 3.(2015·福建,文6,5分,难度★★)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值等于 (　D　) A. B.- C. D.- 解析　∵sin α=-,且α为第四象限角, ∴cos α==.∴tan α==-. 考点34三角恒等变换　 1.(2024·全国新高考1,4,5分,难度★)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)= (　A　) A.-3m B.- C. D.3m 解析　∵tan αtan β=2,∴sin αsin β=2cos αcos β. ∵cos(α+β)=m, 即cos αcos β-sin αsin β=cos αcos β-2cos αcos β=m,∴cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m.∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-m-2m=-3m. 2.(2023·全国新高考1,8,5分,难度★★★)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)= (　B　) A. B. C.- D.- 解析　由题意,∵sin(α-β)=,cos αsin β=, ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=sin αcos β-=, 解得sin αcos β=. ∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=, ∴cos(2α+2β)=cos [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×2=.故选B. 求解角问题的易错点:一是公式记忆出错,应注意公式的准确性;二是公式的运用能力,需要熟练掌握三角函数的公式. 3.(2023·全国新高考2,7,5分,难度★★)已知α为锐角,cos α=,则sin= (　D　) A. B. C. D. 解析　由cos α=1-2sin2,得sin2= =1-==2. 因为0<α<,所以0<<, 所以sin>0,所以sin=.故选D. 4.(2022·全国新高考2,6,5分,难度★★)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cosα+sin β,则(　C　) A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1 C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1 解析　方法一:sin(α+β)+cos(α+β) =sinα+β+=sinα++β =sinα+cos β+cosα+sin β. 又sin(α+β)+cos(α+β)=2cosα+sin β, 故sinα+cos β=cosα+sin β, 故sinα+cos β-cosα+sin β=0, 即sinα+-β=0. 故sinα-β+=sin(α-β)+cos(α-β)=0. 故sin(α-β)=-cos(α-β).故tan(α-β)=-1.故选C. 方法二:由已知等式,得sin αcos β+sin βcos α+cos αcos β-sin αsin β=2×(cos α-sin α)sin β,整理得sin αcos β-sin βcos α+cos αcos β+sin αsin β=0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1,故选C. 方法三:(特殊值法)令β=0,则由已知等式,得sin α+cos α=0,取α=,得tan(α+β)=-1,故排除A,B;令α=0,则由已知等式,得sin β+cos β=2sin β,即sin β=cos β,取β=,则tan(α-β)=-1,tan(α+β)=1,故排除D.故选C. 5.(2021·全国甲,理9文11,5分,难度★★★)若α∈0,,tan 2α=,则tan α= (　A　) A. B. C. D. 解析　由题意=,=,因为α∈0,,所以cos α>0,所以=,解得sin α=,则cos α==,所以tan α=. 给值求值问题的解题策略 即条件求值.解决此类问题的基本策略如下: (1)角之关系,即由条件式与目标式中角之关系,利用条件式中的角表示目标式中的角,整体代入求值,如已知sin-α=,求sin2α+的值时,可进行如下转化:设-α=β,则2α+=-2β,所以sin2α+=sin-2β=cos 2β=1-2sin2β=1-=. 常见的角之关系还有:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α=[(α+β)+(α-β)]=[(α+β)-(β-α)],=α---β,α+β=(2α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等. (2)当由条件式难以建立角之关系时,则由条件式考虑方程思想的运用,如已知cosα-=cos 2α,求sin 2α的值时,由cosα-=cos 2α得cos2α-=cos22α=1-2sin22α,即==1-sin22α,解得sin 2α=-1或sin 2α=. (3)角之范围,即利用角之范围确定开方时符号的选取,当角之范围过大时,应能由条件式中值的符号或值的大小缩小角之范围. 6.(2021·全国乙,文6,5分,难度★★)cos2-cos2= (　D　) A. B. C. D. 解析　原式=cos2-cos2-= cos2-sin2=cos=. 7.(2020·全国1,理9,5分,难度★★★)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= (　A　) A. B. C. D. 解析　原式化简得3cos2α-4cos α-4=0, 解得cos α=-或cos α=2(舍去). ∵α∈(0,π),∴sin α==. 8.(2020·全国2,理2,5分,难度★★)若α为第四象限角,则 (　D　) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 解析　∵α为第四象限角,∴sin α<0,cos α>0, ∴sin 2α=2sin αcos α<0.故选D. 9.(2020·全国3,理9,5分,难度★★★)已知2tan θ-tanθ+=7,则tan θ= (　D　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　由已知得2tan θ-=7,即tan2θ-4tan θ+4=0,解得tan θ=2. 10.(2019·全国2,理10文11,5分,难度★★★)已知α∈0,,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α= (　B　) A. B. C. D. 解析　∵2sin 2α=cos 2α+1, ∴4sin αcos α=2cos2α. ∵α∈0,,∴cos α>0,sin α>0, ∴2sin α=cos α. 又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,即sin2α=. ∵sin α>0,∴sin α=.故选B. 11.(2018·全国3,理4文4,5分,难度★★)若sin α=,则cos 2α=(　B　) A. B. C.- D.- 解析　cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=. 12.(2018·全国3,文6,5分,难度★★★)函数f(x)=的最小正周期为(　C　) A. B. C.π D.2π 解析　f(x)====sin 2x, ∴f(x)的最小正周期是π.故选C. 13.(2017·全国3,文4,5分,难度★★)已知sin α-cos α=,则sin 2α= (　A　) A.- B.- C. D. 解析　∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α=,∴sin 2α=-. 14.(2017·山东,文4,5分,难度★★)已知cos x=,则cos 2x=(　D　) A.- B. C.- D. 解析　cos 2x=2cos2x-1=2×2-1=. 15.(2015·重庆,理9,5分,难度★★★)若tan α=2tan,则= (　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为tan α=2tan, 所以== = ===3. 16.(2015·重庆,文6,5分,难度★★★)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β= (　A　) A. B. C. D. 解析　tan β=tan[(α+β)-α] ===. 17.(2024·全国新高考2,13,5分,难度★★★)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　　.  答案　- 解析　(方法一)tan(α+β)==-2. 又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z, 所以α+β为第四象限角. 由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)=. 又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=-. (方法二)设tan α=m,tan β=n,m>0,n<0,则sin α=,cos α=,sin β=,cos β=,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==-. 18.(2023·全国乙,文14,5分,难度★)若θ∈0,,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　　.  答案　- 解析　因为θ∈0,,tan θ=, 所以sin θ=,cos θ=, 所以sin θ-cos θ=-. 19.(2022·北京,13,5分,难度★★)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A=　　　　　;f=　　　　　.  答案　1　- 解析　由题意知f=Asin-cos=A-=0,所以A=1. 从而f(x)=sin x-cos x=2sinx-,故f=2sin-=2sin-=-. 20.(2022·浙江,13,6分,难度★★)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　　,cos 2β=　　　　　.  答案　　 解析　由α+β=,β=-α代入3sin α-sin β=0,整理得3sin α-cos α=, 即(sin αcos φ-cos αsin φ)=其中tan φ=,所以sin(α-φ)=1,即α-φ=2kπ+,k∈Z,α=2kπ++φ,k∈Z,∴sin α=cos φ. 由tan φ=解得cos φ=,∴sin α=, 由sin α=cos β得,cos β=, 则cos 2β=2cos2β-1=. 21.(2020·全国2,文13,5分,难度★★)若sin x=-,则cos 2x=　　　　　.  答案　 解析　∵sin x=-, ∴cos 2x=1-2sin2x=1-2×=. 22.(2020·浙江,13,6分,难度★★)已知tan θ=2,则cos 2θ=　　　　;tanθ-=　　　　.  答案　-　 解析　cos 2θ=cos2θ-sin2θ===-;tanθ-==. 23.(2020·江苏,8,5分,难度★★)已知sin2+α=,则sin 2α的值是　　　　.  答案　 解析　∵cos+2α=1-2sin2+α =1-2×=-. 又cos+2α=-sin 2α,∴sin 2α=. 24.(2019·江苏,13,5分,难度★★)已知=-,则sin2α+的值是　　　　　.  答案　 解析　由= ==-, 得3tan2α-5tan α-2=0, 解得tan α=2或tan α=-. 又sin2α+=sin 2αcos+cos 2αsin =(sin 2α+cos 2α) =× =×. (*) ①当tan α=2时,(*)式=×=×=; ②当tan α=-时,(*)式=×=×=. 综上,sin2α+=. 25.(2018·全国2,理15,5分,难度★★★)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　　　.  答案　- 解析　∵(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=1, ∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sin αcos β+2sin βcos α=1+1+2sin(α+β)=1. ∴sin(α+β)=-. 26.(2018·全国2,文15,5分,难度★★)已知tanα-=,则tan α=　　　　　　.  答案　 解析　∵tanα-π===, ∴5tan α-5=1+tan α.∴tan α=. 27.(2017·全国1,文15,5分,难度★★★)已知α∈0,,tan α=2,则cosα-=　　　　　.  答案　 解析　由tan α=2,得sin α=2cos α. 又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=. 因为α∈0,,所以cos α=,sin α=. 因为cosα-=cos αcos+sin αsin, 所以cosα-=×+×=. 28.(2017·北京,理12,5分,难度★★)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则cos(α-β)=　　　　　.  答案　- 解析　由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin2α-1=2×2-1=-. 29.(2017·江苏,理5文5,5分,难度★★)若tanα-=,则tan α=　　　　　.  答案　 解析　因为tanα-===,所以tan α=. 30.(2016·四川,理11,5分,难度★★)cos2-sin2=　　　　　.  答案　 解析　cos2-sin2=cos=. 31.(2016·浙江,理10文10,6分,难度★★★)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　　,b=　　　　　.  答案　　1 解析　因为2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin2x++1,所以A=,b=1. 32.(2015·江苏,理8,5分,难度★★★)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为　　　　　.  答案　3 解析　tan β=tan[(α+β)-α] = ==3. 三角函数化简的基本规律 一看“角”,即通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确地使用公式; 二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“弦切互化”; 三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇到根式化被开方式为完全平方式”等. 最后需注意的是根式的化简常常需要升幂去根号,在化简过程中要注意角的范围,以确定三角函数值的正负. 33.(2019·浙江,18,14分,难度★★★)设函数f(x)=sin x,x∈R. (1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=fx+2+fx+2的值域. 解　(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ), 即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ, 故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0. 又θ∈[0,2π),因此θ=或. (2)y=fx+2+fx+2 =sin2x++sin2x+ =+ =1-cos 2x-sin 2x =1-cos2x+. 因此,函数的值域是1-,1+. 34.(2018·浙江,18,14分,难度★★★)已知角α的顶点与原点O重复,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-,-. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 解　(1)由角α的终边过点P-,-, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=. (2)由角α的终边过点P-,-, 得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±. 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=. 35.(2018·江苏,16,14分,难度★★★)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-. (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 解　(1)因为tan α=,tan α=, 所以sin α=cos α. 因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=, 因此,cos 2α=2cos2α-1=-. (2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π). 又因为cos(α+β)=-, 所以sin(α+β)==, 因此tan(α+β)=-2. 因为tan α=,所以tan 2α==-, 因此,tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]==-. 36.(2015·广东,文16,12分,难度★★★)已知tan α=2. (1)求tanα+的值; (2)求的值. 解　(1)tanα+= ===-3. (2) = = ===1. 学科网（北京）股份有限公司 $$