2.5 函数的综合应用-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§2.5　函数的综合应用 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 21.函数与方程 2 6 0 1 0 2 0 0 0 0 1 1 3 10 22.函数的实际应用 0 3 2 2 1 0 0 1 1 0 0 0 4 6 23.函数的综合应用 2 2 2 0 2 0 0 1 0 0 1 2 7 5 续表 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考必考的内容(),题型主要为选择题或填空题,分值为4~5分,常作为压轴小题. (2)考查方向:一是考查函数与方程,求函数零点、根据函数零点求参数;二是考查函数的实际应用,通过建立函数模型,研究基本初等函数在实际问题中的应用;三是考查函数的综合应用,根据函数的图象性质或给出的新定义研究函数与不等式等综合问题. (3)明智备考:一是要熟练掌握基本初等函数的性质,尤其是单调性与对称性问题;二是掌握灵活处理函数零点的方法和技巧,特别是数形结合的应用. (4)主编提示:函数的综合应用命题的兴趣点在于综合利用函数的性质处理零点和不 等式的相关问题.近几年高考命题中,以科技、热点问题为背景的函数建模问题成为高考命题的热点,考查逻辑推理与数学建模的核心素养. 考点21函数与方程　 1.(2024·全国新高考2,6,5分,难度★★★)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= (　D　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B. C.1 D.2 解析　(方法一)由f(x)=g(x),得a=,设h(x)=,h(x)在(-1,1)上为偶函数,当x∈(0,1)时, h'(x)=<0, 所以h(x)在(0,1)上单调递减,h(x)≤h(0)=2,要使y=a与y=h(x)只有一个交点,则a=2.故选D. (方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x. 又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2. 故选D. 2.(2021·天津,9,5分,难度★★★★)设a∈R,函数f(x)=若f(x)在区间(0,+∞)内恰好有6个零点,则a的取值范围是 (　A　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.2,∪, B.,2∪, C.2,∪,3 D.,2∪,3 解析　因为二次函数最多有2个零点,所以f(x)=cos(2πx-2πa)至少有4个零点, 因为f(x)=cos(2πx-2πa)=cos[2π(x-a)], 而2π(x-a)=+kπ,k∈Z, 整理得x=++a(k∈Z)⇒0<++a<a⇒-2a-<k<-. 当x<a时,当-5≤-2a-<-4,f(x)有4个零点,即<a≤, 当-6≤-2a-<-5,f(x)有5个零点,即<a≤, 当-7≤-2a-<-6,f(x)有6个零点,即<a≤, 当x≥a时,f(x)=x2-2(a+1)x+a2+5,令Δ=4(a+1)2-4(a2+5)=0,解得a=2, 当a<2时,Δ<0,f(x)无零点, 当a=2时,Δ=0,f(x)=x2-6x+9=(x-3)2有1个零点, 当a>2时,令f(a)=a2-2a(a+1)+a2+5=0,解得a=, 则当2<a≤时,f(x)有2个零点,当a>时,f(x)有1个零点. 即当x≥a时,有a<2时,f(x)无零点,a=2或a>时,f(x)有1个零点,2<a≤时,f(x)有2个零点. 综上可得a∈,∪2,.故选A. 3.(2020·天津,9,5分,难度★★★★)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是 (　D　) A.-∞,-∪(2,+∞) B.-∞,-∪(0,2) C.(-∞,0)∪(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 解析　f(x)=g(x)=f(x)-|kx2-2x|有4个零点,即f(x)=|kx2-2x|有四个交点. (1)若k>0,则示意图如图. ①当x<0时,-x=kx2-2x,即kx2-x=0,解得x=0或x=(均不符合).∴左侧无交点. ②由图可知,当x>时,x3=kx2-2x要有两个根,即x2-kx+2=0有两根, ∵Δ=k2-8>0,∴k>2. 综上①②,k>2. (2)若k<0,则示意图如图. ∵点,-恰在y=-x上,且过二次函数顶点, ∴当x<0时,有两个零点,即当x≥0时,f(x)=|kx2-2x|要有两个根,即x3=-kx2+2x,x(x2+kx-2)=0,其中必有一零点为0,而x2+kx-2=0必有一正一负两个零点(负的舍去). ∴k<0恒成立. (3)当k=0时,不符合题意. 综上,k∈(-∞,0)∪(2,+∞).故选D. 已知函数零点个数,求参数取值范围的方法 (1)数形结合法:将函数的解析式或方程进行适当的变形,把函数的零点或方程的根的问题转化为两个函数图象交点的问题,再结合图象求参数的取值范围. 例如:①“f(x)=a的解的个数”型问题,等价于y=f(x)和y=a图象交点的个数问题.特别地,若函数f(x)的图象关于直线x=m对称,且f(x)=a有唯一解,则唯一解为x=m,即必有f(m)=a. ②“f(a1)=f(a2)=f(a3)=…=f(am)=k”型问题,等价于y=f(x)和y=k的图象有m个交点的问题. (2)参变分离法:首先将参数单独分离出来,将问题转化为“f(x)=a的解的个数”型问题,然后再用数形结合法求解或转化为函数的值域问题. 4.(2018·全国1,理9,5分,难度★★★)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 (　C　) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 解析　要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C. 5.(2017·全国3,理11文12,5分,难度★★★★)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a= (　C　) A.- B. C. D.1 解析　∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1), ∴f(2-x) =(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1) =x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1) =x2-2x+a(ex-1+e-x+1), ∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴. ∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1, 即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=. 6.(2021·北京,15,5分,难度★★★★)已知函数f(x)=|lgx|-kx-2,给出下列四个结论: ①当k=0时,f(x)恰有2个零点; ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点; ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点; ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  答案　①②④ 解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,则|lg x|=kx+2,问题可转化成两个函数y=|lg x|,y=kx+2的图象的交点问题.对于①,当k=0时,函数y=|lg x|与y=2的图象有两个交点,故①正确;对于②,当k≠0时,直线y=kx+2恒过点(0,2),存在k<0,使直线y=kx+2与曲线y=|lg x|相切,故②正确;对于③,当k<0时,直线y=kx+2与曲线y=|lg x|最多有2个公共点,故③错误;对于④,当k>0时,存在直线y=kx+2与曲线y=|lg x|有3个交点,故④正确. 7.(2019·江苏,14,5分,难度★★★)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)= 其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是　　　　　.  答案　, 解析　当x∈(0,2]时,设y=f(x)=⇔(x-1)2+y2=1(y≥0),结合f(x)是周期为4的奇函数,可作出f(x)的图象: ∵当x∈(1,2]时,g(x)=-,又g(x)的周期为2, ∴当x∈(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,g(x)=-. 由图可知:当x∈(1,2]∪(3,4]∪(5,6]∪(7,8]时,f(x)与g(x)的图象有2个交点, ∴当x∈(0,1]∪(2,3]∪(4,5]∪(6,7]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个交点. 由图可知:当x∈(2,3]∪(6,7]时,f(x)与g(x)的图象无交点, ∴当x∈(0,1]∪(4,5]∪(8,9]时,f(x)与g(x)的图象有6个交点, 由f(x)与g(x)的周期性可知:当x∈(0,1]时,f(x)与g(x)的图象有2个交点. 如图,当y=k(x+2)与圆弧:(x-1)2+y2=1(0<x≤1)相切时,d==1⇒k2=(k>0)⇒k=. 当y=k(x+2)过点A(-2,0)与B(1,1)时,k=. ∴≤k<. 8.(2018·天津,理14,5分,难度★★★★★)已知a>0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是　　　　　.  答案　(4,8) 解析　作出函数f(x)的示意图,如图.l1是过原点且与抛物线y=-x2+2ax-2a相切的直线,l2是过原点且与抛物线y=x2+2ax+a相切的直线. 由图可知,当直线y=ax在l1,l2之间(不含直线l1,l2)变动时,符合题意. 由消去y,整理得x2-ax+2a=0. 由Δ=0,得a=8(a=0舍去). 由消去y,整理得x2+ax+a=0. 由Δ=0,得a=4(a=0舍去). 综上,得4<a<8. 9.(2018·天津,文14,5分,难度★★★)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是　　　　　.  答案　,2 解析　当x>0时,f(x)≤|x|可化为-x2+2x-2a≤x,即x-2+2a-≥0,所以a≥; 当-3≤x≤0时,f(x)≤|x|可化为x2+2x+a-2≤-x,即x2+3x+a-2≤0.对于函数y=x2+3x+a-2,其图象的对称轴方程为x=-.因为当-3≤x≤0时,y≤0,所以当x=0时,y≤0,即a-2≤0,所以a≤2. 综上所述,a的取值范围为,2. 10.(2018·浙江,15,6分,难度★★★)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　　.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是　　　　　.  答案　(1,4)　(1,3]∪(4,+∞) 解析　当λ=2时, f(x)= 当x≥2时,f(x)=x-4<0, 解得x<4,∴2≤x<4. 当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0, 解得1<x<3, ∴1<x<2. 综上可知,1<x<4,即f(x)<0的解集为(1,4). 分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图, 由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4. 故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞). 11.(2016·山东,文15,5分,难度★★★)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　　.  答案　(3,+∞) 解析　当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.其所在抛物线的顶点为P(m,4m-m2). 函数y=f(x)的图象与直线x=m的交点为Q(m,m). (分类讨论) (1)点P在点Q的上方或与Q点重合时,即4m-m2≥m,也就是m(m-3)≤0时,解得0≤m≤3,又因为m>0,所以0<m≤3. 此时函数的图象如图①所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多只有两个交点,不合题意; 图① (2)点P在点Q的下方时,即4m-m2<m,也就是m(m-3)>0时,解得m<0或m>3,又因为m>0,所以m>3. 此时函数的图象如图②所示(实线部分),显然此时直线y=b与函数图象最多可有三个交点,符合题意. 图② 所以m>3. f(x)=b的根的个数可化为y=f(x)与y=b的交点个数,从而可作出两函数图象,分析y=b变化时的交点个数,确定b的范围. 12.(2016·天津,文14,5分,难度★★★)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是　　　　　.  答案　, 解析　由函数f(x)在R上单调递减可得解得≤a≤. 作出函数y=|f(x)|,y=2-的图象如图. 由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-有且仅有一个解;在(-∞,0)上,|f(x)|=2-同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<.综上可得≤a<,所以a的取值范围是,. 13.(2024·上海,18,14分,难度★★★)已知f(x)=logax(a>0,且a≠1). (1)若y=f(x)的图像过点(4,2),求f(2x-2)<f(x)的解集; (2)若存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列,求a的取值范围. 解　(1)由y=f(x)的图像过点(4,2)可得loga4=2, 即4=a2,解得a=±2,又a>0,故a=2. 因为f(x)=log2x在(0,+∞)上是严格增函数, 由f(2x-2)<f(x),得0<2x-2<x,即1<x<2,所以f(2x-2)<f(x)的解集为(1,2). (2)因为f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列, 所以f(x+1)+f(x+2)=2f(ax), 即loga(x+1)+loga(x+2)=2loga(ax)有解,化简可得loga(x+1)(x+2)=loga(ax)2, 得(x+1)(x+2)=(ax)2,且 解得x>0,则a2=在(0,+∞)上有解, 又=++1=2-,∈(0,+∞),a2≥min>2×-=1, 即a2>1,解得a<-1或a>1. 又a>0,所以a>1. 考点22函数的实际应用　 1.(多选题)(2023·全国新高考1,10,5分,难度★★★)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　ACD　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2 解析　由题意可知,燃油汽车=20×lg∈[60,90],所以=,∈[60,90],① 同理,=,∈[50,60],② ==102=100.③ 对于A选项,由表知≥,所以A正确; 对于B选项,由②÷③,得=∈[,10], 所以≤10,所以p2≤10p3,所以B错误; 对于C选项,由③,得=100,故p3=100p0,所以C正确; 对于D选项,由①÷②,得=∈[1,102], 所以∈[1,100].所以p1≤100p2.所以D正确. 故选ACD. 2.(2022·北京,7,4分,难度★★)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 (　D　) A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 解析　对于选项A,lg P=lg 1 026>3,T=220,根据图象可知二氧化碳处于固态;对于选项B,lg P=lg 128>2,T=270,根据图象可知二氧化碳处于液态;对于选项C,lg P=lg 9 987≈3.999,T=300,根据图象可知二氧化碳处于固态;对于选项D,lg P=lg 729>2,T=360,根据图象可知二氧化碳处于超临界状态.故选D. 3.(2021·全国甲,理4文6,5分,难度★★)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) (　C　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 解析　由题意L=5+lg V,当L=4.9时,有4.9=5+lg V,lg V=-0.1,V==≈≈0.8. 构建函数模型解决实际问题的基本步骤 ①明确题意,引进数学符号,利用数量关系建立函数模型;②利用函数性质对函数模型进行解答,并给出实际问题的解. 4.(2020·全国2,文3,5分,难度★★)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12.设1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,则称ai,aj,ak为原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,则称ai,aj,ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 (　C　) A.5 B.8 C.10 D.15 解析　结合题意,原位大三和弦有(a1,a5,a8),(a2,a6,a9),(a3,a7,a10),(a4,a8,a11),(a5,a9,a12),共5个,原位小三和弦有(a1,a4,a8),(a2,a5,a9),(a3,a6,a10),(a4,a7,a11),(a5,a8,a12),共5个,故原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为5+5=10.故选C. 5.(2020·全国3,理4文4,5分,难度★★)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (　C　) A.60 B.63 C.66 D.69 解析　由=0.95K,得=,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln 19≈-3,所以t*≈66. 6.(2020·山东,6,5分,难度★★★)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=er t描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) (　B　) A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 解析　由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r, ∴r==0.38, ∴e0.38t=2, 即0.38t=ln 2,0.38t≈0.69, ∴t≈≈1.8(天),故选B. 7.(2017·北京,理8,5分,难度★★★★)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) (　D　) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 解析　设=x=,两边取对数,得lg x=lg=lg 3361-lg 1080=361×lg 3-80≈93.28,所以x≈1093.28,即与最接近的是1093.故选D. 8.(2020·北京,15,5分,难度★★★★)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论: ①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; ④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　.  答案　①②③ 解析　-表示区间端点连线斜率的负数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,①正确;甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,④错误;在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,②正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,③正确;故答案为:①②③. 9.(2019·北京,理14文14,5分,难度★★★)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%. (1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　　元;  (2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.  答案　(1)130　(2)15 解析　(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y元, y<120元时,李明得到的金额为y·80%,符合要求. y≥120元时,有(y-x)·80%≥y·70%成立, 即8(y-x)≥7y,x≤,即x≤min=15. 所以x的最大值为15. 10.(2018·上海,19,14分,难度★★★)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)= (单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟.试根据上述分析结果回答下列问题: (1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间? (2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义. 解　(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40, 即x2-65x+900>0, 解得x<20或x>45, ∴当x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间. (2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-; 当30<x<100时,g(x)=2x+-90·x%+40(1-x%)=-x+58. 所以g(x)= 则g'(x)= 令g'(x)=0,即x-=0,解得x=32.5. 当0<x<32.5时,g(x)单调递减; 当32.5<x<100时,g(x)单调递增. 说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的; 有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的; 当32.5%的人自驾时,人均通勤时间最少. 考点23函数的综合应用　 1.(2024·全国新高考1,8,5分,难度★★★★)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 (　B　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 解析　∵当x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2.∵f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1 000.∴f(20)>1 000.结合各选项知,选项B一定正确. 2.(2024·上海,16,5分,难度★★★★)已知函数f(x)的定义域为R,定义集合M={x0|x0∈R,x∈(-∞,x0),f(x)<f(x0)},在使得M=[-1,1]的所有f(x)中,下列成立的是 (　B　) A.存在f(x),使得f(x)是偶函数 B.存在f(x),使得f(x)在x=2处取最大值 C.存在f(x),使得f(x)严格增 D.存在f(x),使得f(x)在x=-1处取到极小值 解析　∵集合M={x0|x0∈R,x∈(-∞,x0),f(x)<f(x0)}=[-1,1],∴当x0∈[-1,1],x∈(-1,1)时,f(x)<f(x0),即函数f(x)在区间[-1,1]上是严格增函数,选项A不成立; 假设存在f(x),使得f(x)严格增,则M=R,与已知M=[-1,1]矛盾,选项C不成立; 假设存在f(x),使得f(x)在x=-1处取极小值,则存在xδ∈(-1-δ,-1),使得f(xδ)>f(-1),这与已知集合M的定义矛盾,选项D不成立; 对于选项B,可构造函数f(x)=满足集合M=[-1,1],由图像知,该函数f(x)的最大值是f(2).故选B. 3.(2022·浙江,9,4分,难度★★★)已知a,b∈R,若对任意x∈R,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0,则 (　D　) A.a≤1,b≥3 B.a≤1,b≤3 C.a≥1,b≥3 D.a≥1,b≤3 解析　不等式a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0等价于a|x-b|≥|2x-5|-|x-4|, 令f(x)=a|x-b|,g(x)=|2x-5|-|x-4|, 则g(x)=|2x-5|-|x-4|= 由此根据题意画出y=f(x)与y=g(x)的图象,如图所示, 由图易知即 结合选项可知只有选项D满足,故选D. 根据函数的奇偶性,求得函数为周期函数,并求出周期,根据特殊函数值列出关于a,b的方程组,并求出a,b,再利用周期性转化求得函数值. 4.(2021·全国甲,文12,5分,难度★★★)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f-=,则f= (　C　) A.- B.- C. D. 解析　∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∵f(x+1)=f(-x),∴f(x+1)=-f(x), 则f(x+2)=-f(x+1)=f(x), 所以函数f(x)的周期为2, 则f=f2-=f-=.故选C. 5.(多选题)(2021·全国新高考2,12,5分,难度★★★★)设正整数n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+…+ak,则 (　ACD　) A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1 C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n 解析　对于A选项,ω(n)=a0+a1+…+ak,2n=a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1,所以,ω(2n)=a0+a1+…+ak=ω(n),A选项正确; 对于B选项,取n=2,2n+3=7=1·20+1·21+1·22,所以ω(7)=3, 而2=0·20+1·21,则ω(2)=1, 即ω(7)≠ω(2)+1,B选项错误; 对于C选项,8n+5=a0·23+a1·24+…+ak·2k+3+5=1·20+1·22+a0·23+a1·24+…+ak·2k+3, 所以,ω(8n+5)=2+a0+a1+…+ak, 4n+3=a0·22+a1·23+…+ak·2k+2+3=1·20+1·21+a0·22+a1·23+…+ak·2k+2, 所以,ω(4n+3)=2+a0+a1+…+ak, 因此,ω(8n+5)=ω(4n+3),C选项正确; 对于D选项,2n-1=20+21+…+2n-1,故ω(2n-1)=n,D选项正确.故选ACD. 6.(2020·全国1,理12,5分,难度★★★)若2a+log2a=4b+2log4b,则 (　B　) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 解析　由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b. 因为22b+log2b<22b+log22b=22b+1+log2b, 所以2a+log2a<22b+log22b. 令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 由f(a)<f(2b)可得a<2b. 7.(2020·全国2,理12,5分,难度★★★★)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i=1,2,…),且存在正整数m,使得ai+m=ai(i=1,2,…)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足ai+m=ai(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…an…,C(k)=aiai+k(k=1,2,…,m-1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中,满足C(k)≤(k=1,2,3,4)的序列是 (　C　) A.11010… B.11011… C.10001… D.11001… 解析　因为0-1序列的周期为5, 所以C(k)=aiai+k(k=1,2,3,4), 且a6=a1+5=a1,a7=a2+5=a2. 对于A:C(1)=aiai+1=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5+a5a6)=×(1+0+0+0+0)=, C(2)=aiai+2=(a1a3+a2a4+a3a5+a4a6+a5a7)=×(0+1+0+1+0)=>,不符合题意. 对于B:C(1)=aiai+1=×(1+0+0+1+1)=>,不符合题意. 对于C:C(1)=aiai+1=×(0+0+0+0+1)=, C(2)=aiai+2=×(0+0+0+0+0)=0, C(3)=aiai+3=×(0+0+0+0+0)=0, C(4)=aiai+4=×(1+0+0+0+0)=,符合题意. 对于D:C(1)=aiai+1=×(1+0+0+0+1)=>,不符合题意.故选C. 解答本题的关键是理解题意并逐项判断C(k)=aiai+k≤(k=1,2,3,4)是否成立. 8.(2019·全国2,理12,5分,难度★★★★★)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是 (　B　) A.-∞, B.-∞, C.-∞, D.-∞, 解析　∵f(x+1)=2f(x),∴f(x)=2f(x-1). ∵当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1), ∴f(x)的图象如图所示. ∵当2<x≤3时, f(x)=4f(x-2)= 4(x-2)(x-3), ∴令4(x-2)(x-3)=-, 整理得9x2-45x+56=0,即(3x-7)(3x-8)=0, 解得x1=,x2=. ∵当x∈(-∞,m]时,f(x)≥-恒成立,即m≤,故m∈-∞,. 9.(2016·全国2,理12,5分,难度★★★★★)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)= (　B　) A.0 B.m C.2m D.4m 解析　由f(-x)=2-f(x),得f(x)的图象关于点(0,1)对称. 而y==1+的图象是由y=的图象向上平移一个单位长度得到的,故y=的图象关于点(0,1)对称. 则函数y=与y=f(x)图象的交点也关于点(0,1)对称,且每一组对称点(xi,yi),(x'i,y'i)(i=1,2,…,m)满足xi+x'i=0,yi+y'i=2, 所以(xi+yi)=xi+yi=×0+×2=m. 常见函数对称轴和对称中心 (1)函数f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x). (2)函数f(x)关于x=对称⇔f(a+x)=f(b-x). (3)函数f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b. (4)函数f(x)关于点,对称⇔f(a+x)+f(b-x)=c. 10.(2024·天津,15,5分,难度★★★★★)若函数f(x)=2-|ax-2|+1有唯一零点,则a的取值范围为　　　　　.  答案　(-,-1)∪(1,) 解析　令f(x)=0,则2=|ax-2|-1. 由题意可得x2-ax≥0. 当a=0时,x∈R,有2=|-2|-1=1, 则x=±,不符合题意,舍去. 当a>0时, 有2=|ax-2|-1= 设g(x)=2,h(x)= 则当a>0时,要使函数f(x)有唯一零点,需函数g(x)与函数h(x)的图象有唯一交点. 由x2-ax≥0,可得x≥a或x≤0. 若x≤0,则ax-2<0,2=1-ax, ∴4x2-4ax=(1-ax)2,整理得(4-a2)x2-2ax-1=[(2+a)x+1][(2-a)x-1]=0, 当a=2时,有4x+1=0,解得x=-; 当a∈(0,2)时,x=-或x=>0(正值舍去); 当a∈(2,+∞)时,x=-<0或x=<0,有两解,不符合题意,舍去. 所以当a∈(0,2]时,f(x)在区间(-∞,0]上有唯一解. 所以当a∈(0,2]时,f(x)在区间[a,+∞)内需无解. 当a∈(0,2],且x≥a时,函数h(x)=的图象关于直线x=对称,令h(x)=0,可得x=或x=,且函数h(x)在区间,内单调递减,在区间,内单调递增. 令y=g(x)=2,整理得-=1,故当x≥a时,g(x)的图象为双曲线-=1的右支在x轴及其上方的部分向右平移个单位长度所得的图象. -=1的渐近线方程为y=±x=±2x,所以g(x)图象的渐近线方程为y=2x-,其斜率为2,又a∈(0,2],所以当x≥时,h(x)的图象的斜率a∈(0,2]. 令g(x)=2=0,可得x=a或x=0(舍去),且函数g(x)在区间(a,+∞)内单调递增,故有解得1<a<,故1<a<符合题意; 当a<0时, 有2=|ax-2|-1= 此时h(x)=则当a<0时,要使函数f(x)有唯一零点,需函数g(x)与h(x)的图象有唯一交点. 由x2-ax≥0,可得x≥0或x≤a. 若x≥0,则ax-2<0,2=1-ax, ∴4x2-4ax=(1-ax)2,整理得(4-a2)x2-2ax-1=[(2+a)x+1][(2-a)x-1]=0, 当a=-2时,有4x-1=0,解得x=; 当a∈(-2,0)时,x=-<0(负值舍去)或x=>0; 当a∈(-∞,-2)时,x=->0或x=>0,有两解,不符合题意,舍去. 所以当a∈[-2,0)时,f(x)在区间[0,+∞)内有唯一解. 所以当a∈[-2,0)时,f(x)在区间(-∞,a]上需无解. 当a∈[-2,0),且x≤a时,函数h(x)=的图象关于直线x=对称,令h(x)=0,可得x=或x=,且函数h(x)在区间,内单调递减,在区间,内单调递增, 同理可得当x≤a时,g(x)的图象为双曲线-=1的左支在x轴及其上方的部分向左平移个单位长度所得的图象,g(x)图象的渐近线方程为y=-2x+,其斜率为-2, 又a∈[-2,0),所以当x≤时,h(x)图象的斜率a∈[-2,0). 令g(x)=2=0,可得x=a或x=0(舍去),且函数g(x)在区间(-∞,a)内单调递减,故有解得-<a<-1,故-<a<-1符合题意. 综上所述,a∈(-,-1)∪(1,). 11.(2019·浙江,16,4分,难度★★★★)已知a∈R,函数f(x)=ax3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤,则实数a的最大值是　　　　.  答案　 解析　由题意知,|f(t+2)-f(t)|=|a(6t2+12t+8)-2|≤有解,即-≤a(6t2+12t+8)-2≤有解,所以≤a≤有解,因为6t2+12t+8∈[2,+∞),所以∈0,,∈0,,所以只需要0<a≤,即amax=. 12.(2017·浙江,17,4分,难度★★★)已知a∈R,函数f(x)=+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是　　　　　.  答案　-∞, 解析　x∈[1,4],x+∈[4,5].令t=x+,则f(x)=|t-a|+a,结合数轴易知,t=为[4,5]的对称轴,当a≤时,a靠近左端点4,此时|t-a|≤|5-a|=5-a, f(x)max=5-a+a=5,符合题意; 当a>时,a靠近右端点5, 此时|t-a|≤|4-a|=a-4, f(x)max=a-4+a=2a-4>5,不符合题意. 综上可得,a的取值范围是-∞,. 学科网（北京）股份有限公司 $$