2.3 基本初等函数-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§2.3　基本初等函数 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 16.指数与指数函数 0 3 0 2 0 0 0 1 1 1 0 0 1 7 17.对数与对数函数 6 7 3 1 1 2 1 0 0 0 1 2 12 12 18.二次函数与幂函数 0 2 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 5 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考必考的内容( ),属于中档题,多为选择题 或填空题,分值为4~5分. (2)考查方向:一是考查指数与指数函数,指数幂的运算、应用指数函数图象与单调性比较大小,解不等式;二是考查对数与对数函数,对数运算、应用对数函数图象与单调 性比较大小、解不等式;三是考查二次函数与幂函数,画简单幂函数的图象,应用单调性比较大小、二次函数图象的特征,求二次函数的最值、单调区间. (3)明智备考:一是要熟练掌握指数运算与对数运算的规律;二是要准确理解指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质,灵活运用单调性比较函数值的大小. (4)主编提示:基本初等函数是历年高考命题的热点,命题的兴趣点为以指、对运算为 支点考查比较大小问题.高三备考,熟练掌握指数与对数的互化,把握比较数式大小的常见类型与方法,提升数学运算和数学建模的核心素养!!! 考点16指数与指数函数　 1.(2023·全国新高考1,4,5分,难度★★)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　D　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析　方法一(导数法):由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2, 由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D. 方法二(复合函数法):因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数f(x)=2x(x-a)在(0,1)内单调递减,只需函数h(x)=x(x-a)=-在(0,1)内单调递减,所以≥1,即a≥2.故选D. 2.(2023·天津,3,5分,难度★)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则 (　D　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析　因为函数y=1.01x为增函数,所以1.010.6>1.010.5>1.010=1.又0.60.5<0.60=1,所以1.010.6>1.010.5>0.60.5,即b>a>c.故选D. 3.(2022·浙江,7,4分,难度★★)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　C　) A.25 B.5 C. D. 解析　由log83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b==,所以4a-3b=(2a-3b)2=,故选C. 4.(2020·天津,6,5分,难度★★★)设a=30.7,b=-0.8,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为 (　D　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　∵b=-0.8=30.8>30.7=a>30=1,c=log0.70.8<log0.70.7=1,∴c<a<b.故选D. 5.(2020·北京,6,4分,难度★★★)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是(　D　) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析　因为f(x)=2x-x-1,所以f(x)>0等价于2x>x+1, 在同一直角坐标系中作出y=2x和y=x+1的图象如图: 两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2), 不等式2x>x+1的解为x<0或x>1. 所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选D. 6.(2017·北京,理5,5分,难度★★)已知函数f(x)=3x-x,则f(x) (　A　) A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数 解析　因为f(x)的定义域为R,f(-x)=3-x--x=x-3x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 又y=3x和y=-x在R上都是增函数, 所以函数f(x)在R上是增函数.故选A. 7.(2015·天津,文7,5分,难度★★★)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　B　) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 解析　∵f(-x)=2|-x-m|-1=2|x+m|-1,且f(x)为偶函数, ∴2|x+m|-1=2|x-m|-1对任意的x∈R恒成立,解得m=0. ∴f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数. ∵a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),c=f(2m)=f(0),且0<log23<log25, ∴f(0)<f(log23)<f(log25),即c<a<b. 8.(2018·上海,11,5分,难度★★★)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点Pp,,Qq,-.若2p+q=36pq,则a=　　　　　.  答案　6 解析　∵f(x)=的图象经过点P,Q, ∴=,=-, 两式相加,得+=1, 即=1, 化简,得2·2p+q+a(p·2q+q·2p) =2p+q+a(p·2q+q·2p)+a2pq,即 2p+q=a2pq=36pq,∴a2=36.∵a>0,∴a=6. 考点17对数与对数函数　 1.(2024·北京,7,4分,难度★★★)记水的质量为d=,并且d越大,水质量越好.若S不变,且d1=2.1,d2=2.2,则n1与n2的关系为 (　C　) A.n1<n2 B.n1>n2 C.若S<1,则n1<n2;若S>1,则n1>n2 D.若S<1,则n1>n2;若S>1,则n1<n2 解析　∵d1==2.1,d2==2.2, ∴=. 若S<1,则n1,n2∈(0,1)且n1<n2;若S>1,则n1,n2∈(1,+∞),且n1>n2.故选C. 2.(2024·天津,5,5分,难度★★)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　B　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 解析　∵函数y=4.2x在R上单调递增, 且-0.3<0<0.3, ∴0<4.2-0.3<4.20<4.20.3, 即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<1<b. ∵函数y=log4.2x在区间(0,+∞)内单调递增,且0<0.2<1,∴log4.20.2<log4.21=0, 即c<0.∴b>a>c.故选B. 3.(2022·全国甲,文12,5分,难度★★★)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则 (　A　) A.a>0>b B.a>b>0 C.b>a>0 D.b>0>a 解析　方法一:(基本不等式) 因为9m=10,所以m=log910. 又因为lg 11×lg 9<2=2<1=lg 10×lg 10(提示:利用基本不等式求出两个正实数乘积的取值范围), 所以>,log910>log1011.a=10m-11=1-11>1-11=11-11=0,所以a>0. 因为lg 10×lg 8<2=2<2=lg 9×lg 9,所以<,log910<log89.b=8m-9=-9<-9=9-9=0,所以b<0.综合a>0>b,故选A. 方法二:(构造函数) 由9m=10,得m=log910∈1,. 由于a=10m-10-1,b=8m-8-1,构造函数f(x)=xm-x-1(x>1), 则f'(x)=mxm-1-1(x>1). 令f'(x0)=0,解得x0=. 由m∈1,,知x0∈(0,1), 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增, 即f(10)>f(8),所以a>b. 又f(9)=-10=0,所以a>0>b.故选A. 4.(2021·全国新高考2,7,5分,难度★★)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(　C　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 解析　因为>2=5a,所以a<. 因为8b=3>,所以b>,故a<c<b,故选C. 先利用对数与指数互化,再根据函数单调性易求解. 5.(2021·天津,5,5分,难度★★)设a=log20.3,0.4,c=0.40.3,则a,b,c的大小关系为 (　D　) A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b 解析　∵a=log20.3<log21=0,b=lo0.4>lo0.5=1,0<c=0.40.3<0.40=1,∴a<c<b,故选D. 6.(2021·天津,7,5分,难度★★)若2a=5b=10,则+= (　C　) A.-1 B.lg 7 C.1 D.log710 解析　∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510, ∴+=+=lg 2+lg 5=1,故选C. 7.(2020·全国1,文8,5分,难度★★★)设alog34=2,则4-a=(　B　) A. B. C. D. 解析　因为alog34=log34a=2,所以4a=32=9, 所以4-a==. 8.(2020·全国3,文10,5分,难度★★★)设a=log32,b=log53,c=,则 (　A　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　∵a=log32=lo23=log98<1,∴a<. ∵b=log53=lo33=log2527>1,∴b>. 又c=,∴a<c<b.故选A. 9.(2020·全国3,理12,5分,难度★★★★)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则 (　A　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　∵a=log53=lo34=log12581<1, ∴a<. ∵b=log85=lo54=log512625>1,∴b>, ∵55<84,∴b=log85=lo55<1,∴b<, ∵134<85,∴c=log138=lo85>1, ∴c>.综上,a<b<c. 10.(2020·海南,7,5分,难度★★★)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　D　) A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(5,+∞) D.[5,+∞) 解析　由x2-4x-5>0,得x>5或x<-1. 所以f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞). 因为y=x2-4x-5在(5,+∞)上单调递增, 所以f(x)=lg(x2-4x-5)在(5,+∞)上单调递增.所以a≥5,故选D. 与指数函数、对数函数有关的复合函数的单调性与应用 解决与指数函数、对数函数有关的复合函数单调性问题的基本方法是利用复合函数单调性的判定法则,即“同增异减”.判定外层函数的单调性,要在内层函数的值域内进行,所以厘清复合函数的复合过程是解题的关键. 11.(2019·全国1,理3文3,5分,难度★★)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 (　B　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 解析　因为a=log20.2<0,b=20.2>20=1, 又0<c=0.20.3<0.20<1,所以a<c<b.故选B. 12.(2019·天津,理6,5分,难度★★★)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为 (　A　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　∵a=log52<log5=,b=log0.50.2>log0.50.5=1,c=0.50.2=0.2>1, ∴b>c>a.故选A. 13.(2019·天津,文5,5分,难度★★★)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为 (　A　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　a=log27>log24=2.b=log38<log39<2,且b>1. 又c=0.30.2<1,故c<b<a,故选A. 14.(2018·全国3,理12,5分,难度★★★★)设a=log0.20.3,b=log20.3,则 (　B　) A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b 解析　∵a=log0.20.3>0,b=log20.3<0,∴ab<0. 又a+b=+=+= 而lg 2-1<0,2lg 2-1<0,lg 3-1<0,lg 2>0,∴a+b<0. =+=log0.32+log0.30.2=log0.30.4<log0.30.3=1.∴ab<a+b.故选B. 15.(2018·天津,理5,5分,难度★★)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(　D　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　因为c=lo=log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1. 因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,且b=ln 2, 所以ln 2<ln e=1,即b<1. 综上可知,c>a>b.故选D. 16.(2018·天津,文5,5分,难度★★)已知a=log3,b=,c=lo,则a,b,c的大小关系为 (　D　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　∵c=lo=log35>log3>log33=1,∴c>a>1. 又b=<0=1,∴c>a>b. 17.(2017·全国1,理11,5分,难度★★★)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 (　D　) A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 解析　由2x=3y=5z,同时取自然对数,得xln 2=yln 3=zln 5. 由==>1,可得2x>3y;再由==<1,可得2x<5z; 所以3y<2x<5z,故选D. 18.(2017·全国2,文8,5分,难度★★)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　D　) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 解析　由题意可知x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x2-2x-8在(-∞,-2)内单调递减,在(4,+∞)内单调递增.因为y=ln t在t∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D. 求复合函数单调区间的注意点 函数的单调区间一定是函数定义域的子集,所以给定函数的单调区间,既要满足单调性的要求,又要确保函数在单调区间内的意义.本题求单调区间时,一定不能忽略定义域,否则易误选C. 19.(2017·全国1,文9,5分,难度★★★)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则 (　C　) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 解析　f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x∈(1,2)时,x增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C. 20.(2017·山东,理7,5分,难度★★★)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 (　B　) A.a+<<log2(a+b) B.<log2(a+b)<a+ C.a+<log2(a+b)< D.log2(a+b)<a+< 解析　不妨令a=2,b=,则a+=4,=,log2(a+b)=log2∈(log22,log24)=(1,2),即<log2(a+b)<a+.故选B. 21.(2024·全国甲,理15,5分,难度★★★)已知a>1且-=-,则a=　　　　　.  答案　64 解析　由-=-log2a=-,得(log2a)2-5log2a-6=0, 即(log2a+1)(log2a-6)=0, 又a>1,则log2a+1>0, 所以log2a=6,则a=64. 22.(2018·全国1,文13,5分,难度★★)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=　　　　　.  答案　-7 解析　因为f(3)=log2(9+a)=1,所以9+a=2,即a=-7. 23.(2016·浙江,理12,6分,难度★★★)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　　,b=　　　　　.  答案　4　2 解析　设logba=t,由a>b>1,知t>1. 由题意,得t+=,解得t=2,则a=b2. 由ab=ba,得b2b=,即得2b=b2,即b=2, ∴a=4. 24.(2015·北京,文10,5分,难度★★★)2-3,,log25三个数中最大的数是　　　　　.  答案　log25 解析　2-3=<1,=,log25>log24=2>,所以log25最大. 考点18二次函数与幂函数　 1.(2020·浙江,9,4分,难度★★★)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则 (　C　) A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0 解析　当a<0时,在x≥0上,x-a≥0恒成立,所以只需满足(x-b)(x-2a-b)≥0恒成立,此时2a+b<b,由二次函数的图象可知,只有b<0时,满足(x-b)(x-2a-b)≥0,b>0不满足条件; 当b<0时,在[0,+∞)上,x-b≥0恒成立,所以只需满足(x-a)(x-2a-b)≥0恒成立,此时两根分别为x=a和x=2a+b, (1)当a+b>0时,此时0<a<2a+b,当x≥0时,(x-a)(x-2a-b)≥0不恒成立; (2)当a+b<0时,此时2a+b<a,若满足(x-a)·(x-2a-b)≥0恒成立,只需满足a<0; (3)当a+b=0时,此时2a+b=a>0,满足(x-a)·(x-2a-b)≥0恒成立. 综上可知,满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0恒成立时,只有b<0.故选C. 2.(2017·浙江,5,4分,难度★★★)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m (　B　) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 解析　因为最值在f(0)=b,f(1)=1+a+b,f-=b-中取,所以最值之差一定与a有关,与b无关,故选B. 3.(2023·天津,15,5分,难度★★★★)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为　　　　　.  答案　(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) 解析　解含参数、含绝对值的二次函数问题的基本思想:去绝对值符号、分类讨论. 令g(x)=x2-ax+1(如何去绝对值?利用g(x)=0的Δ=a2-4来讨论),方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4. ①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立, 所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1). 若a=0或a=1,则f(x)仅有一个零点-1; 若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1,. ②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况. 若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1)(*), 若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1)(**), 由(*)式得x1=,x2=-1, 由(**)式得x3=,x4=1. 将x1=代入x2-ax+1,有2-a·+1=; 将x2=-1代入x2-ax+1,有(-1)2+a+1=a+2; 将x3=代入x2-ax+1,有2-a·+1=; 将x4=1代入x2-ax+1,有12-a+1=2-a, 所以当a>2时,<0,不满足条件;a+2>0,满足条件;>0,不满足条件;2-a<0,满足条件,故f(x)有两个零点-1,1. 当a<-2时,>0,满足条件;a+2<0,不满足条件;<0,满足条件;2-a>0,不满足条件,故f(x)有两个零点,. 综上所述,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 4.(2022·北京,14,5分,难度★★★)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　　;a的最大值为　　　　　.  答案　0(第一空答案不唯一)　1 解析　根据题意可以用0,2为a的取值的分界点,研究函数f(x)的性质.当a<0时,f(x)=-ax+1,x<a,该函数的值域为(-∞,-a2+1),故整个函数没有最小值;当a=0时,f(x)=-ax+1,x<a,该函数的值域为{1},而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),即存在最小值为0,故a的一个取值可以为0;当0<a≤2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段函数的值域为(-a2+1,+∞),而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0,+∞),若存在最小值,则需满足-a2+1≥0,于是结合0<a≤2可得0<a≤1;当a>2时,f(x)=-ax+1,x<a,该段函数的值域为(-a2+1,+∞),而函数f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[(a-2)2,+∞),若存在最小值,则满足-a2+1≥(a-2)2,此时无解. 综上,a的取值范围为[0,1],故a的最大值为1. 5.(2018·上海,7,5分,难度★★)已知α∈-2,-1,-,,1,2,3,若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　　.  答案　-1 解析　因为幂函数f(x)=xα为奇函数,所以α只能为-1,1,3.又函数f(x)=xα在(0,+∞)上递减,所以α=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $$