2.2 函数的基本性质-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§2.2　函数的基本性质 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 12.函数的单调性 0 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 3 3 13.函数的奇偶性 1 1 0 1 2 0 1 0 5 0 0 2 9 4 14.函数的周期性 1 3 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 3 3 15.函数性质的综合应用 4 4 4 2 2 0 2 0 1 0 0 0 13 6 续表 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考必考的内容(),属于高档题,主要题型为选择题或填空题,分值约为4~5分. (2)考查方向:一是考查函数的单调性,根据解析式判断函数单调性、利用单调性比较大小、解不等式等问题;二是考查函数的奇偶性,根据解析式判断函数奇偶性、利用奇偶性求参数值;三是考查函数的周期性,主要利用函数的周期性求函数值;四是考查 函数性质的综合应用,函数单调性、奇偶性与周期性的综合应用等. (3)明智备考:一是要准确理解函数的基本性质,把握住自变量之间的关系与对应函数值之间关系的相互转化;二是熟练运用函数的性质,灵活转化自变量与对应函数值 之间的关系. (4)主编提示:函数单调性与奇偶性是该部分命题的热点,命题的兴趣点是以给出的 函数为载体,利用函数的基本性质求函数值、解不等式等,考查逻辑推理的核心素养.高三备考,要抓住函数基本性质命题的四个方向,理顺不同函数性质之间的内在联系与转化. 考点12函数的单调性　 1.(2024·全国新高考1,6,5分,难度★★)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　B　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 解析　当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1)单调递增,当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以要使函数f(x)在R上单调递增,需满足解得-1≤a≤0.故所求a的取值范围为[-1,0]. 2.(2021·全国甲,文4,5分,难度★★)下列函数中是增函数的为 (　D　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.f(x)=-x B.f(x)=x C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析　对于A,函数f(x)=-x为R上的减函数,故A不正确; 对于B,因为<1,所以函数f(x)=x为R上的减函数,故B不正确; 对于C,函数f(x)=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不正确; 对于D,函数f(x)=为R上的增函数,故D正确.故选D. 3.(2020·全国2,理11文12,5分,难度★★★)若2x-2y<3-x-3-y,则 (　A　) A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 解析　∵2x-2y<3-x-3-y,∴2x-3-x<2y-3-y. ∵f(t)=2t-3-t在R上为增函数,且f(x)<f(y), ∴x<y,∴y-x>0,∴y-x+1>1, ∴ln(y-x+1)>ln 1=0.故选A. 4.(2019·北京,文3,5分,难度★★)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　A　) A.y= B.y=2-x C.y=lox D.y= 解析　函数y=2-x,y=lox,y=在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,故选A. 5.(2016·北京,文4,5分,难度★★★)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 (　D　) A.y= B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x 解析　选项A,y=在(-∞,1)和(1,+∞)上为增函数,故在(-1,1)上为增函数; 选项B,y=cos x在(-1,1)上先增后减; 选项C,y=ln(x+1)在(-1,+∞)上递增, 故在(-1,1)上为增函数; 选项D,y=2-x=x在R上为减函数,故在(-1,1)上是减函数. 6.(2016·北京,文10,5分,难度★★★)函数f(x)=(x≥2)的最大值为　　　　　.  答案　2 解析　∵f(x)=1+在[2,+∞)上是减函数, ∴f(x)的最大值为2. 考点13函数的奇偶性　 1.(2024·天津,4,5分,难度★★)下列函数是偶函数的是 (　B　) A. B. C. D. 解析　对于A,设f(x)=,则f(x)的定义域为R,由f(-1)=,f(1)=,得f(-1)≠f(1),所以f(x)不是偶函数,A不符合; 对于B,设g(x)=,则g(x)的定义域为R,且g(-x)===g(x),所以g(x)为偶函数,B符合; 对于C,设h(x)=,则h(x)的定义域为{x|x≠-1},显然定义域不关于原点对称,所以h(x)不是偶函数,C不符合; 对于D,设φ(x)=,则φ(x)的定义域为R,由φ(-1)=,φ(1)=,得φ(-1)≠φ(1),所以φ(x)不是偶函数,D不符合.故选B. 2.(2023·全国新高考2,4,5分,难度★★)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　B　) A.-1 B.0 C. D.1 解析　方法一:∵函数f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x). 不妨令x=1,则有f(-1)=f(1), ∴(-1+a)ln 3=(1+a)ln, ∴-1+a=-1-a,∴a=0. 此时f(x)=xln, 易知函数f(x)的定义域为∪, f(-x)=-xln=-xln=xln=f(x), ∴a=0符合题意. 方法二:设g(x)=ln,函数g(x)的定义域是∪. g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x), ∴函数g(x)是奇函数. 而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数,有f(-x)=(-x+a)·g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x), 故x-a=x+a,则a=0.故选B. 3.(2023·全国乙,理4文5,5分,难度★★)已知f(x)=是偶函数,则a= (　D　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　方法一:由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x), 即=,整理得eax=e2x,所以a=2. 方法二:由题意,知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1), 即=,所以a=2.故选D. 4.(2021·全国乙,理4文9,5分,难度★★)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　B　) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 解析　函数f(x)==-1+,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1). 将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B. 5.(2015·北京,文3,5分,难度★★)下列函数中为偶函数的是 (　B　) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 解析　A选项中函数为奇函数,B选项中函数为偶函数,C选项中函数定义域为(0,+∞)不具有奇偶性,D选项中函数既不是奇函数也不是偶函数.故选B. 6.(2024·上海,4,4分,难度★)设a∈R,且f(x)=x3+a是奇函数,则a=　　　　　.  答案　0 解析　∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即03+a=0,解得a=0. 7.(2023·全国甲,理13文14,5分,难度★★)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+为偶函数,则a=　　　　　.  答案　2 解析　f(x)=x2+(a-2)x+cos x+1, ∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-a)x+cos x+1, ∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2+(2-a)x+cos x+1,解得a=2. 8.(2022·全国乙,文16,5分,难度★★★)若f(x)=ln+b是奇函数,则a=　　　　　,b=　　　　　.  答案　-　ln 2 解析　方法一:f(x)=ln+b,定义域为不等式组的解集. 因为函数f(x)为奇函数,所以其定义域关于原点对称,由1-x≠0,易知x≠1,所以函数f(x)的定义域中一定不含有-1, 所以x=-1是方程a+1-ax=0的根, 即a+1-a·(-1) =0,解得a=-. 所以f(x)=ln+b,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞). 由函数f(x)为奇函数知f(0)=0(提示:利用若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0这一特性), 所以f(0)=ln+b=0,解得b=ln 2. 方法二:f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0在定义域内恒成立. 故f(x)+f(-x)=ln+b+ln+b =ln+2b=0.(*) 要使(*)对定义域内任意x恒成立, 须知ln为常数, 即·为非零常数,设该常数为k, 故(a+1-ax)(a+1+ax)=k(1-x)(1+x),k≠0, 即(a+1)2-a2x2=k-kx2, 所以(a+1)2=a2=k,解得a=-,k=, 则f(x)+f(-x)=ln|k|+2b=ln+2b=0,b=ln 2. 9.(2021·全国新高考1,13,5分,难度★★)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.  答案　1 解析　∵函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数, ∴f(x)=f(-x), 即x3(a·2x-2-x)=(-x)3[a·2-x-2-(-x)]. 整理,得a·2x-2-x=-a·2-x-2x, 即(a-1)·2x+(a-1)·2-x=0. (a-1)(2x+2-x)=0.∴a=1. 10.(2020·江苏,7,5分,难度★★)已知y=f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=,则f(-8)的值是　　　　.  答案　-4 解析　∵y=f(x)是奇函数, ∴f(-8)=-f(8)=-=-4. 11.(2019·全国2,理14,5分,难度★★)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=　　　　　.  答案　-3 解析　∵ln 2∈(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数, ∴f(-ln 2)=-8. ∵当x<0时,f(x)=-eax, ∴f(-ln 2)=-e-aln 2=-8, ∴e-aln 2=8,∴-aln 2=ln 8, ∴-a=3,∴a=-3. 12.(2018·全国3,文16,5分,难度★★★★)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=　　　　　.  答案　-2 解析　令g(x)=ln(-x),g(-x)=ln(+x), ∴g(x)+g(-x)=ln(1+x2-x2)=0, ∴g(x)为奇函数.∴f(x)=g(x)+1. ∴f(a)+f(-a)=g(a)+1+g(-a)+1=2. ∴f(-a)=-2. 13.(2017·全国2,文14,5分,难度★★)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　　.  答案　12 解析　因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12. 考点14函数的周期性　 1.(2022·全国新高考2,8,5分,难度★★★)若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)= (　A　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 解析　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),即f(x+1)=f(x)-f(x-1). 从而f(x+2)=f(x+1)-f(x), f(x+3)=f(x+2)-f(x+1). 消去f(x+2)和f(x+1),得到f(x+3)=-f(x), 从而f(x+6)=f(x),故f(x)的周期为6. 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),得f(0)=2, f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2, f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2, f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+(-1)+(-2)+(-1)=-3. 即f(k)=-3,故选A. 2.(2021·全国甲,理12,5分,难度★★★)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　D　) A.- B.- C. D. 解析　∵f(x+1)是奇函数, ∴f(-x+1)=-f(x+1). ∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x). ∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x). ∵f(x+2)是偶函数,∴f(x+2)=f(2-x), ∴-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. ∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x), ∴函数f(x)的周期为4,∴f(3)=f(1)=0. ∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2), ∴f(0)=-f(2). ∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b, ∴由f(1)=0得a+b=0. ∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6. 即4a+b=-6,∴a=-2,b=2, ∴f=f=-f =--2×2+2=.故选D. 3.(2018·全国2,理11,5分,难度★★★)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　C　) A.-50 B.0 C.2 D.50 解析　∵f(-x)=f(2+x)=-f(x), ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)的周期为4. ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0. ∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0). ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. ∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2. 4.(2016·山东,文9,5分,难度★★★)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,fx+=fx-,则f(6)= (　D　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析　由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数; 当x>时,由fx+=fx-可得f(x+1)=f(x). 所以f(6)=f(5×1+1)=f(1). 而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2. 所以f(6)=2.故选D. 5.(2018·江苏,9,5分,难度★★★)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为　　　　　.  答案　 解析　由f(x+4)=f(x),得函数f(x)的周期为4, 所以f(15)=f(16-1)=f(-1)==. 因此f(f(15))=f=cos=. 6.(2017·山东,文14,5分,难度★★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=　　　　　.  答案　6 解析　由f(x+4)=f(x-2)知,f(x)为周期函数,其周期T=6. 又f(x)为偶函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1)=f(-1)=61=6. 考点15函数性质的综合应用　 1.(多选题)(2023·全国新高考1,11,5分,难度★★★)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (　ABC　) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 解析　对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确; 对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确; 对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确; 对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC. 2.(2022·全国乙,理12,5分,难度★★★★)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)= (　D　) A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 解析　由g(x)的图象关于直线x=2对称, 可知g(x)=g(4-x). ∵f(x)+g(2-x)=5,∴f(-x)+g(2+x)=5. 又g(2-x)=g(2+x),∴f(x)=f(-x). ∵g(x)-f(x-4)=7,∴g(4-x)-f(-x)=7. 又g(x)=g(4-x),∴f(x-4)=f(-x)=f(x). ∴f(x)的周期为4. 当x=0时,f(0)+g(2)=5, ∴f(0)=5-g(2)=1, ∴f(4)=f(0)=1. 当x=2时,g(2)-f(-2)=7, ∴f(-2)=g(2)-7=-3, ∴f(2)=f(-2)=-3. 当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7, 又f(-3)=f(1), ∴g(1)-f(1)=7, ∴f(1)=-1, ∴f(-1)=f(1)=-1, ∴f(3)=f(-1)=-1. ∴f(k)=5(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)=5×(-1-3-1+1)-1-3=-24. 图象的对称性、函数的周期性、奇偶性的综合问题的求解策略 利用图象的对称性与函数的奇偶性,转化得到函数周期性的特征,进而求解. 掌握下面重要结论: (1)对于定义在R上的函数f(x) ①若有两条对称轴x=a,x=b,则f(x)是周期函数且2|a-b|是它的一个周期. ②若有两个对称中心(a,0),(b,0),则f(x)是周期函数且2|a-b|是它的一个周期. ③若有一个对称中心(a,0)和一条对称轴x=b,则f(x)是周期函数且4|a-b|是它的一个周期. (2)若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=或f(x+a)=-(a是常数且a≠0),则f(x)是以2a为一个周期的周期函数. (3)对于函数y=f(x),若其图象关于直线x=a对称[当a=0时,f(x)为偶函数],则 ①f(a+x)=f(a-x); ②f(2a+x)=f(-x); ③f(2a-x)=f(x). (4)对于函数y=f(x),若其图象关于点(a,b)中心对称,则 ①f(a+x)+f(a-x)=2b; ②f(2a+x)+f(-x)=2b; ③f(2a-x)+f(x)=2b. 3.(多选题)(2022·全国新高考1,12,5分,难度★★★★)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f-2x,g(2+x)均为偶函数,则 (　BC　) A.f(0)=0 B.g-=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 解析　∵f-2x是偶函数, ∴f+2x=f-2x, ∴函数f(x)的图象关于直线x=对称, ∴f(-1)=f(4).故C正确; ∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x), ∴g(x)的图象关于直线x=2对称. ∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称. ∵f(x)的图象关于直线x=对称, ∴g(x)的图象关于点,0对称. ∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数. ∴f(0)=f(2)=t(不一定等于0),故A错误; g-=g=0,∴B正确; 构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos 2π=π,故D错误.故选BC. 4.(2021·全国新高考2,8,5分,难度★★★)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则 (　B　) A.f-=0 B.f(-1)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 解析　∵f(x+2)是偶函数, ∴f(-x+2)=f(x+2),∴f(1)=f(3). ∵f(2x+1)是奇函数, ∴f(-2x+1)=-f(2x+1), ∴f(1)=-f(1),f(-1)=-f(3), ∴f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,故选B. 5.(2020·全国2,文10,5分,难度★★★)设函数f(x)=x3-,则f(x) (　A　) A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减 解析　由题意可知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. ∵f(x)=x3-, ∴f(-x)=(-x)3-=-x3-=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 易知f(x)=x3-在区间(0,+∞)内单调递增.故选A. 6.(2020·全国2,理9,5分,难度★★★)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) (　D　) A.是偶函数,且在,+∞单调递增 B.是奇函数,且在-,单调递减 C.是偶函数,且在-∞,-单调递增 D.是奇函数,且在-∞,-单调递减 解析　由题意可知,f(x)的定义域为,关于原点对称. ∵f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|, ∴f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x), ∴f(x)为奇函数. 当x∈-,时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x), ∴f'(x)=-=>0, ∴f(x)在区间-,内单调递增. 同理,f(x)在区间-∞,-,,+∞内单调递减.故选D. 7.(2020·全国3,文12,5分,难度★★★★)已知函数f(x)=sin x+,则 (　D　) A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 解析　由sin x≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,且函数f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x),故该函数为奇函数,其图象关于原点对称,选项B错误;令t=sin x,则t∈[-1,0)∪(0,1],由g(t)=t+的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),故f(x)无最小值,选项A错误;由f(2π-x)=sin(2π-x)+=-sin x-=-f(x),f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),故函数f(x)的图象关于直线x=对称,选项D正确.故选D. 8.(2020·山东,8,5分,难度★★★)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (　D　) A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3] 解析　不等式xf(x-1)≥0可化为 或 ∵f(2)=0,∴f(-2)=0. ∵f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0. ∵f(x)在(-∞,0)上单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减. ∴或 解得1≤x≤3或-1≤x≤0, ∴满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选D. 9.(2019·全国1,理11,5分,难度★★★)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: ①f(x)是偶函数;②f(x)在区间,π内单调递增;③f(x)在[-π,π]有4个零点;④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是 (　C　) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 解析　因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确; 当<x<π时,f(x)=2sin x,它在区间,π内单调递减,故②错误; 当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误; 当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确; 综上可知①④正确,故选C. 10.(2019·全国3,理11文12,5分,难度★★★)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则 (　C　) A.flog3>f()>f() B.flog3>f()>f() C.f()>f()>flog3 D.f()>f()>flog3 解析　∵f(x)是R上的偶函数, ∴flog3=f(-log34)=f(log34). 又y=2x在R上单调递增, ∴log34>1=20>>. 又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减, ∴f(log34)<f()<f(), ∴f()>f()>flog3.故选C. 11.(2018·全国3,文7,5分,难度★★★)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是 (　B　) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 解析　设所求函数的图象上点P(x,y)关于x=1对称的点为Q(2-x,y),由题意知Q在y=ln x上,∴y=ln(2-x),故选B. 12.(2018·上海,16,5分,难度★★★)设D是含数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是(　B　) A. B. C. D.0 解析　若f(1)=,则f()=1,f(1)=-,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=,则f=0,f(1)=-,与函数的定义矛盾,舍去; 若f(1)=0,则f=,f=-,与函数的定义矛盾,舍去. 因此f(1)的可能取值只能是,故选B. 13.(2017·全国1,理5,5分,难度★★★)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 (　D　) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 解析　因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3]. 求解抽象函数不等式的方法 在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.有时,在不等式一边没有符号“f”时,需转化为含符号“f”的形式.如若已知f(a)=0,f(x-b)<0,则f(x-b)<f(a). 14.(2017·天津,理6,5分,难度★★★)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为 (　C　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 解析　∵f(x)是R上的奇函数, ∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数. ∴g(-log25.1)=g(log25.1). ∵奇函数f(x)在R上是增函数, ∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0. ∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立, ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数. ∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3. 结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C. 15.(2021·全国新高考2,14,5分,难度★★)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):　　　　　.  ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0;③f'(x)是奇函数. 答案　f(x)=x2(x∈R),答案不唯一 解析　∵f(x)=x2, ∴f(x1x2)=(x1x2)2==f(x1)f(x2)满足①. 又f'(x)=2x, ∴当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,且f'(x)为奇函数,满足②③. 16.(2020·全国3,理16,5分,难度★★★★)关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题: ①f(x)的图象关于y轴对称. ②f(x)的图象关于原点对称. ③f(x)的图象关于直线x=对称. ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是　　　　　.  答案　②③ 解析　对于①②,由sin x≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},故定义域关于原点对称,且由f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x), 所以该函数为奇函数,关于原点对称,故①错误,②正确; 对于③,因为f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,③正确; 对于④,令t=sin x,则t∈[-1,0)∪(0,1], 由函数g(t)=t+(t∈[-1,0)∪(0,1])的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错误. 17.(2020·上海,11,5分,难度★★★)已知a∈R,若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件:①对任意x0∈R,f(x0)的值为x0或;②关于x的方程f(x)=a无实数解,则a的取值范围为　　　　.  答案　(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) 解析　如图,由y=x2和y=x的图象和函数的定义可知,若满足f(x0)的值为x0或,只有f(0)=0=02,f(1)=1=12,结合②可知若方程f(x)=a无实数解,则a∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 故答案为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 18.(2019·北京,理13,5分,难度★★★)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=　　　　　;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是　　　　　.  答案　-1　(-∞,0] 解析　若函数f(x)=ex+ae-x为奇函数, 则f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(ex+ae-x), (a+1)(ex+e-x)=0对任意的x恒成立,则a=-1. 若函数f(x)=ex+ae-x是R上的增函数,则f'(x)=ex-ae-x≥0恒成立,即a≤e2x,故a≤0. 19.(2018·北京,理13,5分,难度★★★)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是　　　　.  答案　f(x)=(答案不唯一) 解析　画出f(x)=的图象如图所示,满足f(x)>f(0),x∈(0,2]. 但f(x)在[0,2]上不是增函数. 学科网（北京）股份有限公司 $$