1.3 不等式-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§1.3　不等式 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 7.等式的性质、不等式的性质与解法 2 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5 8.基本不等式 0 8 0 3 1 1 2 0 0 0 1 1 4 13 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题常与其他模块知识相结合进行考查,属于常考内容( ),命题属于中低档题目,主要以选择题或填空题的形式进行考查. (2)考查方向:一是考查不等式的性质与解法,不等式的性质多与常用逻辑用语模块知识相结合,不等式的解法多与集合基本运算相结合;二是考查基本不等式,主要考查条件不等式的求解,经常与目标函数的最值问题相结合进行考查. (3)明智备考:一是要熟练掌握不等式的性质,这是准确判断相关命题,求解不等式的基础;二是掌握灵活变形构造基本不等式求解最值与范围问题的方法. (4)主编提示:该部分常与其他模块知识相结合,命题的关注点在于基本不等式作为工具在解决最值问题中的应用. 考点7等式的性质、不等式的性质与 解法　 1.(多选题)(2020·山东,11,5分,难度★★★)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (　ABD　) 　 　　　　　 　　　　　 　　　　 A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 解析　∵a+b=1,得≥2=,即a2+b2≥,当且仅当a=b=时取得等号,故A正确; ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+1=2a+b>b, ∴a-b>-1,∴2a-b>2-1=,故B正确; ∵a+b=1≥2,∴ab≤,log2a+log2b=log2ab≤log2=-2,故C错误; ∵a+b=1≥2,∴2≤1,(+)2=a+b+2≤2,∴+≤,故D正确,故选ABD. 灵活利用基本不等式的变形,掌握ab≤2≤. 2. (2019·全国1,理4文4,5分,难度★★)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是 (　B　) A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 解析　设人体脖子下端至肚脐的长度为x cm, 则≈,得x≈42.07, 又其腿长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B. 3.(2019·全国2,理6,5分,难度★★)若a>b,则 (　C　) A.ln(a-b)>0 B.3a<3b C.a3-b3>0 D.|a|>|b| 解析　取a=2,b=1,满足a>b.但ln(a-b)=0,排除A; ∵3a=9,3b=3,∴3a>3b,排除B;∵y=x3是增函数,a>b,∴a3>b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,排除D.故选C. 4.(2015·浙江,文6,5分,难度★★★)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是 (　B　) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz 解析　不妨设x=1,y=2,z=3,a=4,b=5,c=6, 选项A,ax+by+cz=4+10+18=32; 选项B,az+by+cx=12+10+6=28; 选项C,ay+bz+cx=8+15+6=29; 选项D,ay+bx+cz=8+5+18=31,故选B. 5.(2024·上海,3,4分,难度★)设x∈R,则不等式x2-2x-3<0的解集为　　　　　.  答案　(-1,3) 解析　对于方程x2-2x-3=0,可解得其根为x1=-1,x2=3. ∵x2-2x-3<0,∴可作图如下: 由图像可知原不等式的解集为(-1,3). 6.(2019·天津,文10,5分,难度★★)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　　.  答案　-1, 解析　由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0. 解得-1<x<. 7.(2015·江苏,理7,5分,难度★★★)不等式<4的解集为　　　　　　.  答案　{x|-1<x<2}(或(-1,2)) 解析　<4,即<22,所以x2-x<2,即x2-x-2<0,解得-1<x<2,故不等式的解集为{x|-1<x<2}(或(-1,2)). 考点8基本不等式　 1.(2024·全国新高考2,8,5分,难度★★★★)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为 (　C　) A. B. C. D.1 解析　当x≤-a时,x+a≤0,当x≥-a时,x+a≥0,当-b<x≤1-b时,ln(x+b)≤0,当x≥1-b时,ln(x+b)≥0,要使f(x)≥0,必须-a=1-b,即b=a+1, 所以a2+b2=(a+1)2+a2=2+≥,当且仅当a=-,b=时,等号成立.故选C. 2.(2024·北京,9,4分,难度★★★)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,则下列正确的是 (　A　) A.log2> B.log2< C.log2>x1+x2 D.log2<x1+x2 解析　方法1:∵y1=,y2=, ∴y1+y2=+>2=2·, ∴log2>log2=.故选A. 方法2(特值法):令x1=1, 则y1=2,令x2=3,则y2=8. log2=log2=log25>log24=2=.故选A. 3.(多选题)(2022·全国新高考2,12,5分,难度★★★)若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则(　BC　) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 解析　法一:由x2+y2-xy=1,得x-2+y2=1. 令(θ为参数), 得(θ为参数), 故x+y=sin θ+cos θ=2sinθ+∈[-2,2],故选项A错误,B正确; x2+y2=sin θ+cos θ2+sin θ2=sin 2θ-cos 2θ+=sin(2θ-φ)+∈,2其中tan φ=, 故选项D不正确,C正确.故选BC. 法二:x2+y2-xy=1,得(x+y)2-3xy=1, 而xy=-, 所以(x+y)2-3-=1, 即1=+≥, 所以-2≤x+y≤2,所以A不正确,B正确; 对于C,D:由x2+y2-xy=1,得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y时等号成立, 所以x2+y2≤2,所以C正确; 当x=,y=-时,x2+y2<1,所以D不正确.故选BC. 双配方的应用 常有两种形式:xy=-与x2+y2=+. 4.(2021·全国乙,文8,5分)下列函数中最小值为4的是 (　C　) A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+ C.y=2x+22-x D.y=ln x+ 解析　A中,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,不符合题意. B中,y=|sin x|+,令t=|sin x|, 则y=t+,t∈(0,1].由于y=t+在区间(0,1]上单调递减,因此y≥1+4=5,最小值是5,不符合题意. C中,y=2x+22-x,令m=2x,则y=m+,m∈(0,+∞),所以y≥2=4,当且仅当m=2,即x=1时取等号,符合题意. D中,当x∈(0,1)时,ln x<0,y=ln x+<0不符合题意.故选C. 基本不等式应用中易错点 (1)在研究函数y=x+(a>0)形式的最值时,若x=成立,可考虑使用基本不等式;若x=不成立,可通过配凑等方法使问题转化为符合基本不等式的形式或利用函数y=x+的单调性来求:f(x)=x+(a>0)在(0,]上是减函数,在[,+∞)上是增函数. (2)对于B,虽然|sin x|·是定值,但是取等号的条件是|sin x|=,即|sin x|=2,又|sin x|≠2,此时不满足基本不等式中取等号的条件,故不符合题意. 5.(2020·上海,13,5分,难度★★)下列不等式恒成立的是 (　B　) A.a2+b2≤2ab B.a2+b2≥-2ab C.a+b≥2 D.a+b≥-2 解析　A.由基本不等式可知a2+b2≥2ab,故A不正确; B.a2+b2≥-2ab⇒a2+b2+2ab≥0,即(a+b)2≥0恒成立,故B正确; C.当a=-1,b=-1时,不等式不成立,故C不正确; D.当a=0,b=-1时,不等式不成立,故D不正确.故选B. 6.(2015·福建,理5,5分,难度★★)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于 (　C　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　∵直线+=1过点(1,1),∴+=1.又a,b均大于0,∴a+b=(a+b)+=1+1++≥2+2=2+2=4.故选C. 7.(2022·全国甲,理16文16,5分,难度★★★)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　　.  答案　-1 解析　 (方法1)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则C(2t,0),A(1,),B(-t,0),==4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立.此时,=-1. (方法2)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得===4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立,此时,=-1. 在解三角形、平面向量等问题中,选取适当的坐标系,利用建系来解决问题,有时可达到“事半功倍”的效果. 8.(2021·天津,13,5分,难度★★★)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.  答案　2 解析　∵a>0,b>0,∴++b≥2+b=+b≥2=2,当且仅当=和=b,即a=b=时等号成立. 9.(2020·天津,14,5分,难度★★★)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　　.  答案　4 解析　法一:∵ab=1,∴b=.∴++=++=+a+. 令+a=t>0, 则原式=+≥2=2=4. 当且仅当t2=16,即t=4时,等号成立, 此时+a=4. 法二:由已知得,++=+=+≥2=4, 当且仅当=且ab=1,即或时取等号,故++的最小值为4. 用基本不等式求函数的最值是高中数学的重点,也是近几年高考的一个热点,三个必要条件“一正、二定、三相等”更是相关考题“瞄准”的焦点.在具体的题目中,“正数”条件往往易从题设中获得,“相等”条件也易验证确定,而如何获得“定值”条件却常常被设计为一个难点,解题时需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定了基本不等式应用的可行性,这是解题成功的关键. 10.(2020·江苏,12,5分,难度★★★)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.  答案　 解析　由5x2y2+y4=1,得x2=-y2. 所以x2+y2=·-y2+y2=+y2≥2=. 当=y2,即y2=,x2=时,上式取等号, 所以x2+y2的最小值为. 11.(2019·天津,文13,5分,难度★★★)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为　.  答案　 解析　===2+.∵x+2y=4,∴4≥2, ∴2xy≤4.∴≥.∴2+≥2+=. 12.(2019·天津,理13,5分,难度★★★)设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为　　　　　.  答案　4 解析　= ==2+ ≥2·=4. 当且仅当=,即xy=3时等号成立. 13.(2018·天津,理13文13,5分,难度★★★)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　　.  答案　 解析　∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6, ∴2a+=2a+2-3b≥2 =2=2=2×2-3=, 当且仅当即时等号成立. 14.(2018·江苏,13,5分,难度★★★★)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为　　　　　.  答案　9 解析　由题意可知,S△ABC=S△ABD+S△BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得acsin 120°=a×1×sin 60°+c×1×sin 60°,化简得ac=a+c,+=1.因此4a+c=(4a+c)+=5++≥5+2=9,当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c的最小值为9. 15.(2017·江苏,10,5分,难度★★★)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　　.  答案　30 解析　一年的总运费与总存储费用之和为4x+×6=4x+≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立. 16.(2017·天津,理12文13,5分,难度★★★)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　.  答案　4 解析　∵a,b∈R,且ab>0, ∴≥=4ab+≥4, 当且仅当即时取等号. 17.(2017·山东,文12,5分,难度★★★)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　　.  答案　8 解析　∵直线+=1过点(1,2),∴+=1. ∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)+ =4++≥4+2=8. 当且仅当b=2a时等号成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$