1.2 常用逻辑用语-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

§1.2　常用逻辑用语 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 5.全称量词与特称量词 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 6.充分条件与必要条件 0 14 0 3 1 3 0 2 2 1 0 2 3 24 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是高考频率较低的内容( ),主要题型为选择题或填空题,分值约为4~5分. (2)考查方向:一是考查全称量词与特称量词;二是考查充分条件与必要条件. (3)明智备考:一是准确掌握含量词的命题的否定格式;二是熟练掌握充分条件与必要条件判断的基本方法. (4)主编提示:常用逻辑用语是高中数学的基础,命题的兴趣点是以函数、不等式、立体几何、解析几何等基础知识为背景,考查充分条件与必要条件的判断、含量词的命题等为重点. 考点5全称量词与特称量词　 1.(2024·全国新高考2,2,5分,难度★)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1,命题q:∃x>0,x3=x,则 (　B　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析　当x=0时,p不成立,当x=1时,q成立,故p假q真,故选B. 2.(2016·浙江,理4,5分,难度★★)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 (　D　) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 解析　先改写量词,再由n≥x2的否定为n<x2,知选D. 考点6充分条件与必要条件　 1.(2024·北京,5,4分,难度★★)已知向量a,b,则“(a+b)(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的(　A　)条件. A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若“a=b或a=-b”,则a+b=0或a-b=0,故“(a+b)(a-b)=0”,必要性成立,反之不一定成立.故选A. 2.(2024·天津,2,5分,难度★)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 (　C　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由题意,知a3=b3⇔a=b,3a=3b⇔a=b,则a3=b3⇔3a=3b,即二者互为充要条件.故选C. 3.(2023·全国新高考1,7,5分,难度★★)记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则 (　C　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析　(充分性)若{an}为等差数列,设其首项为a1,公差为d,则Sn=na1+d,则=a1+d=n+a1-, 故-=,为常数,则为等差数列,则甲是乙的充分条件. (必要性)反之,若为等差数列,设=An+B,A≠0,则Sn=An2+Bn,a1=S1=A+B. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=A(2n-1)+B=2An-A+B. 当n=1时也符合上式, 故an=2An-A+B,故{an}为等差数列,则甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C. 4.(2023·全国甲,理7,5分,难度★★)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 (　B　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析　由sin α+cos β=0,得sin α=-cos β,等号两边同时平方,得sin2α=cos2β=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,故必要性成立. 当α=β=时,sin2α+sin2β=1成立,而sin α+cos β=≠0,故充分性不成立. 综上,“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的必要条件但不是充分条件.故选B. 5.(2023·天津,2,5分,难度★)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　B　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以a2=b2,故必要性成立;又当a=1,b=-1时,满足a2=b2,而a2+b2=2ab不成立,故充分性不成立.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 6.(2022·北京,6,4分,难度★★★)设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的 (　C　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　①充分性证明: 若{an}为递增数列,则有对∀n∈N*,an+1>an,公差d=an+1-an>0,an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d). 令an>0,则n>1-. 当a1≥0时,取N0=2; 当a1<0时,取正整数N0=-+2其中-为不大于-的最大整数, 则当n>N0时,由于>0,都有an=a1+(n-1)d>a1+-+1d>0,故充分性成立. ②必要性的证明: 假设数列{an}的公差d<0. an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d). 令an<0,则n>, 显然当n取比N0和都大的正整数时,an<0. 这与存在正整数N0,当n>N0时,an>0矛盾,所以d>0,即{an}为递增数列,故必要性成立.故选C. 7.(2022·浙江,4,4分,难度★)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的 (　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由sin x=1,得x=2kπ+,k∈Z,此时cos x=0; 由cos x=0,得x=kπ+,k∈Z,此时sin x=±1,故选A. 8.(2021·全国甲,理7,5分,难度★★)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则 (　B　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析　当q=1时,Sn=na1,只有当a1>0时,数列{Sn}才是递增数列,故甲不是乙的充分条件;若数列{Sn}是递增数列,则Sn-Sn-1>0对任意n≥2,n∈N*恒成立,即an=a1qn-1>0(n≥2,n∈N*)恒成立,所以a1>0,q>0,因此甲是乙的必要条件.故甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B. 充分条件和必要条件的判定 充分条件和必要条件的判定,针对具体情况,应采取不同的策略,关键是分清条件和结论以免混淆充分性与必要性.对于那些带有否定的条件和结论,往往先通过集合转化为补集间的关系,再进行求解,如A⊆B⇔∁UB⊆∁UA,应认真领会这种“正难则反”的思想,培养思维的灵活性. 9.(2021·浙江,3,4分,难度★★)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的 (　B　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当c与a,b垂直时,a·c=b·c=0,但a与b不一定相等,所以由a·c=b·c不能推出a=b, 故“a·c=b·c”不是“a=b”的充分条件. 由a=b,可得a-b=0,则(a-b)·c=0, 即a·c=b·c, 所以由a=b可以推出a·c=b·c, 故“a·c=b·c”是“a=b”的必要条件. 综上所述,“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件.故选B. 10.(2021·天津,2,5分,难度★)已知a∈R,则“a>6”是“a2>36”的 (　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　a2>36等价于|a|>6⇔a>6或a<-6,故a>6⇒|a|>6,即a2>36,但|a|>6⇒/a>6,因此“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件. 11.(2021·北京,3,4分,难度★)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“f(x)在区间[0,1]上单调递增”是“f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1)”的 (　A　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当函数f(x)在区间[0,1]上单调递增时,函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(1);当函数f(x)在区间[0,1]上的最大为f(1)时,函数f(x)在区间[0,1]上不一定单调递增.故选A. 12.(2020·天津,2,5分,难度★★)设a∈R,则“a>1”是“a2>a”的 (　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若a>1,则a2>a成立.若a2>a,则a>1或a<0. ∴“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件.故选A. 13.(2020·上海,16,5分,难度★★★)命题p:若存在a∈R且a≠0,对任意的x∈R,均有f(x+a)<f(x)+f(a)恒成立.已知命题q1:f(x)单调递减,且f(x)>0恒成立;命题q2:f(x)单调递增,存在x0<0使得f(x0)=0.则下列说法正确的是 (　A　) A.q1,q2都是p的充分条件 B.只有q1是p的充分条件 C.只有q2是p的充分条件 D.q1,q2都不是p的充分条件 解析　q1:当a>0时,f(a)>0,因为函数f(x)单调递减,所以f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a),即f(x+a)<f(x)+f(a),存在a>0,当满足命题q1时,使命题p成立. q2:当a=x0<0时,f(a)=0,因为函数f(x)单调递增,所以f(x+a)<f(x)=f(x)+f(a),即f(x+a)<f(x)+f(a),存在a<0,当满足命题q2时,命题p成立. 综上,可知命题q1,q2都是命题p的充分条件.故选A. 14.(2020·北京,9,4分,难度★★★)已知α,β∈R,则“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的 (　C　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　(1)当存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ时, 若k为偶数,则sin α=sin(kπ+β)=sin β; 若k为奇数,则sin α=sin(kπ- β)=sin[(k-1)π+π-β]=sin(π- β)=sin β; (2)当sin α=sin β时,α=β+2mπ或α+β=π+2mπ,m∈Z, 即α=kπ+(-1)kβ(k=2m)或α=kπ+(-1)kβ(k=2m+1), 亦即存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ. 所以,“存在k∈Z使得α=kπ+(-1)kβ”是“sin α=sin β”的充分必要条件.故选C. 15.(2019·浙江,5,4分,难度★★)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 (　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当a>0,b>0时,a+b≥2,若a+b≤4,则2≤a+b≤4,所以ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件. 16.(2019·北京,文6,5分,难度★★)设函数f(x)=cos x+bsin x(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的 (　C　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当b=0时,f(x)=cos x+bsin x=cos x,f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)对任意的x恒成立,f(-x)=cos(-x)+bsin(-x)=cos x-bsin x,由cos x+bsin x=cos x-bsin x,得bsin x=0对任意的x恒成立,从而b=0.从而“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件,故选C. 根据定义域为R的函数f(x)为偶函数等价于f(-x)=f(x)进行判断. 17.(2019·北京,理7,5分,难度★★)设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的(　C　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　∵A,B,C三点不共线,∴|+|>||⇔|+|>|-|⇔|+|2>|-|2⇔·>0⇔与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C. 18.(2019·天津,理3,5分,难度★★)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的 (　B　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由x2-5x<0,得0<x<5.由|x-1|<1,得0<x<2.故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件. 19.(2018·北京,文4,5分,难度★★)设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 (　B　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　ad=bca,b,c,d成等比数列,例如1×9=3×3;a,b,c,d成等比数列⇒=⇒ad=bc.故选B. 20.(2018·天津,理4文3,5分,难度★★)设x∈R,则“<”是“x3<1”的 (　A　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由<,可得0<x<1.由x3<1,可得x<1.因为(0,1)⫋(-∞,1), 所以“<”是“x3<1”的充分而不必要条件.故选A. 21.(2018·浙江,6,4分,难度★★)已知平面α,直线m,n满足m⊄α,n⊂α,则“m∥n”是“m∥α”的(　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当m⊄α,n⊂α时,由线面平行的判定定理可知,m∥n⇒m∥α;但反过来不成立,m与n还可能异面.故选A. 22.(2017·北京,理6,5分,难度★★)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　A　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　m,n为非零向量,若存在λ<0,使m=λn,即两向量反向,夹角是180°,则m·n=|m||n|cos 180°=-|m||n|<0.反过来,若m·n<0,则两向量的夹角为(90°,180°],并不一定反向,即不一定存在负数λ,使得m=λn,所以是充分而不必要条件.故选A. 23.(2017·天津,理4,5分,难度★★)设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的 (　A　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当<时,0<θ<, ∴0<sin θ<. ∴“<”是“sin θ<”的充分条件. 当θ=-时, sin θ=-<,但不满足<. ∴“<”不是“sin θ<”的必要条件. ∴“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件. 24.(2017·浙江,理6,5分,难度★★)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的 (　C　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为Sn=na1+d, 所以S4+S6>2S5⇔10a1+21d>10a1+20d⇔d>0,即“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件,选C. 25.(2016·北京,理4,5分,难度★★)设a,b是向量,则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的 (　D　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由|a|=|b|无法得到|a+b|=|a-b|,充分性不成立;由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,也无法得到|a|=|b|,必要性不成立.故选D. 26.(2016·天津,理5,5分,难度★★)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的 (　C　) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由题意,得a2n-1+a2n<0⇔a1(q2n-2+q2n-1)<0⇔q2(n-1)·(q+1)<0⇔q∈(-∞,-1),因此,q<0是对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0的必要不充分条件.故选C. 27.(2016·山东,理6,5分,难度★★)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 (　A　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面,故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$