1.1 集合及其运算-【十年高考】备战2025年高考数学真题分类解析与应试策略（Word版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 §1.1　集合及其运算 考点 2015-2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 合计 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 全国卷 地方卷 1.集合的含义与表示 2 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 2.集合间的基本关系 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 2 1 3.集合的基本运算 20 15 4 7 5 3 5 2 5 1 3 3 42 31 4.与集合相关的新概念问题 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 3 命题分析与备考建议 (1)命题热度:本专题是历年高考必考的内容( ),主要题型为选择题或填空题,分值为5分. (2)考查方向:一是考查集合的含义与表示;二是考查集合间的基本关系;三是考查集合的基本运算;四是考查与集合相关的新概念问题. (3)明智备考:一是要准确区分集合中元素的性质与形式;二是熟练掌握集合的三种基本运算. (4)主编提示:命题的兴趣点是以不等式的求解为背景,集合的基本运算为核心.高三备考,应侧重集合的基本运算,熟练掌握各类简单不等式的解法,以中低档题目训练为主. 注:表格内数字表示该考点十年内考试次数。 考点1集合的含义与表示　 1.(2022·全国乙,理1,5分,难度★)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则(　A　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析　∵U={1,2,3,4,5},∁UM={1,3}, ∴M={2,4,5},∴2∈M,3∉M,4∈M,5∈M.故选A. 2.(2020·全国3,文1,5分,难度★)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为(　B　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　根据交集的定义,A∩B={5,7,11}.故选B. 3.(2020·全国3,理1,5分,难度★)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为 (　C　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析　满足x,y∈N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4个,故A∩B中元素的个数为4. 4.(2018·全国2,理2,5分,难度★)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为 (　A　) A.9 B.8 C.5 D.4 解析　满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个. 5.(2017·全国3,理1,5分,难度★)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为 (　B　) A.3 B.2 C.1 D.0 解析　A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,易知圆x2+y2=1与直线y=x相交,故A∩B中有2个元素. 考点2集合间的基本关系　 1.(2023·全国新高考2,2,5分,难度★)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a=(　B　) A.2 B.1 C. D.-1 解析　∵A⊆B,∴a-2=0或2a-2=0.若a-2=0,则a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然A⊄B;若2a-2=0,则a=1,A={0,-1},B={1,-1,0},A⊆B成立.故选B. 2.(2021·全国乙,理2,5分,难度★)已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T= (　C　) A.⌀ B.S C.T D.Z 解析　在集合T中,t=4n+1=2(2n)+1(n∈Z),而集合S中,s=2n+1(n∈Z),所以必有T⊆S,所以S∩T=T,故选C. 判断两个集合A、B是否存在包含关系的步骤 第一步,明确集合A、B中元素的特征; 第二步,分析集合A、B中元素之间的关系,(1)当集合A中的元素都属于集合B时,A⊆B;(2)当集合A中的元素都属于集合B,但集合B中至少有一个元素不属于集合A时,A⫋B;(3)当集合A中的元素都属于集合B,并且集合B中的元素都属于集合A时,A=B;(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至少有一个元素不属于集合A时,集合A、B互不包含. 3.(2015·重庆,理1,5分,难度★)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则 (　D　) A.A=B B.A∩B=⌀ C.A⫋B D.B⫋A 解析　因为A={1,2,3},B={2,3},所以B⫋A. 考点3集合的基本运算　 1.(2024·全国新高考1,1,5分,难度★)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= (　A　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 解析　∵A={x|-5<x3<5}={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},又1<<=2,∴-2<-<-1,∴A∩B={-1,0}. 2.(2024·全国甲,理2,5分,难度★)已知集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|∈A},则∁A(A∩B)= (　D　) A.{1,4,9} B.{3,4,9} C.{1,2,3} D.{2,3,5} 解析　由题意,知B={x|∈A}={1,4,9,16,25,81},则A∩B={1,4,9},所以∁A(A∩B)={2,3,5},故选D. 3.(2024·全国甲,文1,5分,难度★)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B= (　A　) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 解析　B={0,1,2,3,4,8},则A∩B={1,2,3,4}.故选A. 4.(2024·北京,1,4分,难度★)已知集合M={x|-4<x≤1},N={x|-1<x<3},则M∪N= (　A　) A.{x|-4<x<3} B.{x|-1<x≤1} C.{0,1,2} D.{x|-1<x<4} 解析　M∪N={x|-4<x<3}.故选A. 5.(2024·天津,1,5分,难度★)集合A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则A∩B= (　B　) A.{1,2,3,4} B.{2,3,4} C.{2,4} D.{1} 解析　∵集合A={1,2,3,4},B={2,3,4,5}, ∴A∩B={2,3,4}.故选B. 6.(2023·全国新高考1,1,5分,难度★)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N= (　C　) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 解析　由题意,x2-x-6≥0,解得x≤-2或x≥3,N=(-∞,-2]∪[3,+∞).因为M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}.故选C. 7.(2023·全国甲,理1,5分,难度★)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则∁U(M∪N)= (　A　) A.{x|x=3k,k∈Z} B.{x|x=3k-1,k∈Z} C.{x|x=3k-2,k∈Z} D.⌀ 解析　(方法一)在数学研究中,通常将研究对象按某种标准划分为几个没有公共元素的子类的并,化整为零,各个击破.任意一个整数m,除以3其余数只能是0,1或2.由题设,本题将全集U=Z,按照被3除所得余数的标准进行分类,其中余数为1的记为M={x|x=3k+1,k∈Z},余数为2的记为N={x|x=3k+2,k∈Z}.根据集合并的定义,M∪N即为被3除所得余数为1或2的整数的全体;再根据集合补集的定义,∁U(M∪N)等于全集U=Z中去除被3除所得余数为1或2的整数构成的集合,也就是余数为0,即被3整除的整数构成的集合,亦即∁U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},所以正确选项为A. (方法二)排除法　根据思路 1的分析,M∪N并不能构成全集U=Z,从而M∪N≠⌀,排除选项D;注意到集合M={x|x=3k+1,k∈Z}可以表示为{x|x=3k-2,k∈Z},由补集的定义,集合∁U(M∪N)不可能含M中元素,故排除选项C;同理可排除选项B,所以正确选项为A. 8.(2023·全国甲,文1,5分,难度★)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪∁UM= (　A　) A.{2,3,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 解析　∵U={1,2,3,4,5},M={1,4}, ∴∁UM={2,3,5}. ∵N={2,5},∴N∪∁UM={2,3,5},故选A. 9.(2023·全国乙,理2,5分,难度★)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}= (　A　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 解析　M∪N={x|x<2},故∁U(M∪N)={x|x≥2}.故选A.其他选项均不符合题意. 10.(2023·全国乙,文2,5分,难度★)设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则M∪∁UN= (　A　) A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U 解析　由题意,得∁UN={2,4,8},所以M∪∁UN={0,2,4,6,8}.故选A. 11.(2023·天津,1,5分,难度★)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则∁UB∪A= (　A　) A.{1,3,5} B.{1,3} C.{1,2,4} D.{1,2,4,5} 解析　由题意,得∁UB={3,5},所以∁UB∪A={1,3,5}.故选A. 12.(2022·全国乙,文1,5分,难度★)集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},则M∩N= (　A　) A.{2,4} B.{2,4,6} C.{2,4,6,8} D.{2,4,6,8,10} 解析　∵集合M={2,4,6,8,10},N={x|-1<x<6},∴M∩N={2,4}.故选A. 13.(2022·全国甲,理3,5分,难度★)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},则∁U(A∪B)= (　D　) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0} 解析　由题意知B={1,3},则A∪B={-1,1,2,3}, 所以∁U(A∪B)={-2,0},故选D. 14.(2022·全国甲,文1,5分,难度★)设集合A={-2,-1,0,1,2},B=,则A∩B=(　A　) A.{0,1,2} B.{-2,-1,0} C.{0,1} D.{1,2} 解析　由题得,A∩B={0,1,2},故选A. 15.(2022·全国新高考1,1,5分,难度★)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=(　D　) A.{x|0≤x<2} B. C.{x|3≤x<16} D. 解析　由已知条件得,M={x|0≤x<16},N=,故M∩N=.故选D. 集合运算方法 当集合是用列举法表示时(如数集),可以通过列举集合的元素得到所求的集合;当集合是用描述法表示时(如以不等式形式表示的集合),则可运用数轴求解. 16.(2022·全国新高考2,1,5分,难度★)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},则A∩B=(　B　) A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4} 解析　B={x|0≤x≤2},则A∩B={1,2},故选B. 17.(2022·北京,1,4分,难度★)已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x≤1},则∁UA= (　D　) A.(-2,1] B.(-3,-2)∪[1,3) C.[-2,1) D.(-3,-2]∪(1,3) 解析　∵U={x|-3<x<3},A={x|-2<x≤1}, ∴∁UA=(-3,-2]∪(1,3),故选D. 18.(2022·浙江,1,4分,难度★)设集合A={1,2},B={2,4,6},则A∪B= (　D　) A.{2} B.{1,2} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6} 解析　由并集运算,得A∪B={1,2,4,6},故选D. 19.(2021·全国甲,理1,5分,难度★)设集合M={x|0<x<4},N=,则M∩N= (　B　) A. B. C.{x|4≤x<5} D.{x|0<x≤5} 解析　如图,由交集的定义及图知M∩N=x≤x<4. 20.(2021·全国甲,文1,5分,难度★)设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则M∩N=(　B　) A.{7,9} B.{5,7,9} C.{3,5,7,9} D.{1,3,5,7,9} 解析　∵M={1,3,5,7,9},N=, ∴M∩N={5,7,9}.故选B. 21.(2021·全国乙,文1,5分,难度★)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则∁U(M∪N)= (　A　) A.{5} B.{1,2} C.{3,4} D.{1,2,3,4} 解析　(方法一)∵M∪N={1,2,3,4},U={1,2,3,4,5}, ∴∁U(M∪N)={5}. (方法二)∵∁UM={3,4,5},∁UN={1,2,5}, ∴∁U(M∪N)=(∁UM)∩(∁UN)={5}. 22.(2021·全国新高考1,1,5分,难度★)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B=(　B　) A.{2} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4} 解析　∵A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5}, ∴A∩B={2,3}.故选B. 23.(2021·全国新高考2,2,5分,难度★)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩(∁UB)= (　B　) A.{3} B.{1,6} C.{5,6} D.{1,3} 解析　∵∁UB={1,5,6},A={1,3,6}, ∴A∩(∁UB)={1,6},故选B. 24.(2021·天津,1,5分,难度★)设集合A={-1,0,1},B={1,3,5},C={0,2,4},则(A∩B)∪C= (　C　) A.{0} B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4} D.{0,2,3,4} 解析　由A={-1,0,1},B={1,3,5}得A∩B={1},所以(A∩B)∪C={1}∪{0,2,4}={0,1,2,4},故选C. 25.(2021·北京,1,4分,难度★)已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B=(　B　) A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x≤2} C.{x|0≤x<1} D.{x|0≤x≤2} 解析　如图,结合数轴可知,A∪B={x|-1<x≤2}.故选B. 26.(2021·浙江,1,4分,难度★)设集合A={x|x≥1},B={x|-1<x<2},则A∩B= (　D　) A.{x|x>-1} B.{x|x≥1} C.{x|-1<x<1} D.{x|1≤x<2} 解析　因为集合A={x|x≥1},B={x|-1<x<2},所以A∩B={x|1≤x<2}.故选D. 27.(2020·全国1,文1,5分,难度★)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B= (　D　) A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3} 解析　由不等式x2-3x-4<0,解得-1<x<4,故A∩B={1,3}. 28.(2020·全国1,理2,5分,难度★)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a= (　B　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 解析　由已知得A={x|-2≤x≤2}, B=. 因为A∩B={x|-2≤x≤1}, 所以有-=1,解得a=-2. 29.(2020·全国2,文1,5分,难度★)已知集合A={x∈Z||x|<3},B={x∈Z||x|>1},则A∩B=(　D　) A.⌀ B.{-3,-2,2,3} C.{-2,0,2} D.{-2,2} 解析　∵A={x∈Z||x|<3},B={x∈Z||x|>1}, ∴A∩B={x∈Z|1<|x|<3}={-2,2}.故选D. 30.(2020·全国2,理1,5分,难度★)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=(　A　) A.{-2,3} B.{-2,2,3} C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3} 解析　∵A∪B={-1,0,1,2},U={-2,-1,0,1,2,3}, ∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A. 31.(2020·山东,1,5分,难度★)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B= (　C　) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} 解析　(数形结合)如图,由数轴可知A∪B={x|1≤x<4},故选C. 32.(2020·浙江,1,4分,难度★)已知集合P={x|1<x<4},Q={x|2<x<3},则P∩Q= (　B　) A.{x|1<x≤2} B.{x|2<x<3} C.{x|3≤x<4} D.{x|1<x<4} 解析　根据交集的定义直接得到运算结果P∩Q={x|2<x<3}. 33.(2020·天津,1,5分,难度★)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(∁UB)= (　C　) A.{-3,3} B.{0,2} C.{-1,1} D.{-3,-2,-1,1,3} 解析　∵U={-3,-2,-1,0,1,2,3},B={-3,0,2,3},A={-1,0,1,2},∴∁UB={-2,-1,1},A∩(∁UB)={-1,1}.故选C. 34.(2020·北京,1,4分,难度★)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|0<x<3},则A∩B=(　D　) A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1,2} D.{1,2} 解析　A∩B={-1,0,1,2}∩(0,3)={1,2},故选D. 35.(2020·海南,1,5分,难度★)设集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},则A∩B= (　C　) A.{1,3,5,7} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{1,2,3,5,7,8} 解析　因为A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8}, 所以A∩B={2,3,5},故选C. 36.(2019·全国1,理1,5分,难度★)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N= (　C　) A.{x|-4<x<3} B.{x|-4<x<-2} C.{x|-2<x<2} D.{x|2<x<3} 解析　由x2-x-6<0得(x-3)(x+2)<0, 所以N={x|-2<x<3},借助数轴,可知 M∩N={x|-2<x<2}.故选C. 37.(2019·全国1,文2,5分,难度★)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(∁UA)= (　C　) A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 解析　由已知得∁UA={1,6,7},又B={2,3,6,7}, ∴B∩(∁UA)={6,7}.故选C. 38.(2019·全国2,理1,5分,难度★)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B= (　A　) A.(-∞,1) B.(-2,1) C.(-3,-1) D.(3,+∞) 解析　由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1}, 所以A∩B={x|x<1},故选A. 39.(2019·全国2,文1,5分,难度★)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B= (　C　) A.(-1,+∞) B.(-∞,2) C.(-1,2) D.⌀ 解析　由题意,得A∩B=(-1,2),故选C. 40.(2019·全国3,理1文1,5分,难度★)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=(　A　) A.{-1,0,1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{0,1,2} 解析　A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1}, 则A∩B={-1,0,1}.故选A. 41.(2019·北京,文1,5分,难度★)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=(　C　) A.(-1,1) B.(1,2) C.(-1,+∞) D.(1,+∞) 解析　∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1}, ∴A∪B=(-1,+∞),故选C. 42.(2019·天津,理1文1,5分,难度★)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B= (　D　) A.{2} B.{2,3} C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4} 解析　A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D. 43.(2019·浙江,1,4分,难度★)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁UA)∩B=(　A　) A.{-1} B.{0,1} C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3} 解析　∁UA={-1,3},(∁UA)∩B={-1}. 44.(2018·全国1,理2,5分,难度★)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA= (　B　) A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 解析　A={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2}. 45.(2018·全国1,文1,5分,难度★)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B= (　A　) A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{-2,-1,0,1,2} 解析　由交集定义知A∩B={0,2}. 46.(2018·全国2,文2,5分,难度★)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B= (　C　) A.{3} B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7} 解析　集合A,B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}. 47.(2018·全国3,理1文1,5分,难度★)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=(　C　) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 解析　由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2}, ∴A∩B={1,2}. 48.(2018·北京,理1文1,5分,难度★)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=(　A　) A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{-2,0,1,2} D.{-1,0,1,2} 解析　∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2}, ∴A∩B={0,1}. 49.(2018·天津,理1,5分,难度★)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)= (　B　) A.{x|0<x≤1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2} 解析　∁RB={x|x<1},A∩(∁RB)={x|0<x<1}.故选B. 50.(2018·天津,文1,5分,难度★)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=(　C　) A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4} 解析　A∪B={-1,0,1,2,3,4}. 又C={x∈R|-1≤x<2}, ∴(A∪B)∩C={-1,0,1}. 51.(2018·浙江,1,4分,难度★)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA= (　C　) A.⌀ B.{1,3} C.{2,4,5} D.{1,2,3,4,5} 解析　∵A={1,3},U={1,2,3,4,5}, ∴∁UA={2,4,5},故选C. 52.(2017·全国1,理1,5分,难度★)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则 (　A　) A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀ 解析　∵3x<1=30,∴x<0,∴B={x|x<0}, ∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A. 53.(2017·全国2,理2,5分,难度★)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B= (　C　) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 解析　由A∩B={1},可知1∈B, 所以m=3,即B={1,3}. 54.(2017·全国1,文1,5分,难度★)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则 (　A　) A.A∩B= B.A∩B=⌀ C.A∪B= D.A∪B=R 解析　∵A={x|x<2},B=, ∴A∪B={x|x<2},A∩B=,故选A. 55.(2017·全国2,文1,5分,难度★)设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B= (　A　) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 解析　因为A={1,2,3},B={2,3,4}, 所以A∪B={1,2,3,4},故选A. 56.(2017·全国3,文1,5分,难度★)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为 (　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由题意可得A∩B={2,4},则A∩B中有2个元素.故选B. 57.(2017·天津,理1,5分,难度★)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C= (　B　) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5} 解析　∵A={1,2,6},B={2,4}, ∴A∪B={1,2,4,6}. ∵C={x∈R|-1≤x≤5}, ∴(A∪B)∩C={1,2,4}. 58.(2017·北京,理1,5分,难度★)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B= (　A　) A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3} C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3} 解析　A∩B={x|-2<x<-1},故选A. 59.(2017·北京,文1,5分,难度★)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁UA=(　C　) A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 解析　因为A={x|x<-2或x>2},U=R, 所以∁UA={x|-2≤x≤2}. 60.(2016·全国1,理1,5分,难度★)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B= (　D　) A.-3,- B.-3, C.1, D.,3 解析　A=(1,3),B=,+∞, 所以A∩B=,3,故选D. 61.(2016·全国2,理2,5分,难度★)已知集合A={1,2,3},B={x∈Z|(x+1)(x-2)<0},则A∪B= (　C　) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 解析　由题意可知,B={x∈Z|-1<x<2}={0,1},而A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3},故选C. 62.(2016·全国3,理1,5分,难度★)设集合S={x|(x-2)·(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=(　D　) A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞) 解析　S={x|x≤2或x≥3}. 因为T={x|x>0},所以S∩T={x|0<x≤2或x≥3},故选D. 63.(2016·全国1,文1,5分,难度★)设集合A={1,3,5,7},B={x|2≤x≤5},则A∩B= (　B　) A.{1,3} B.{3,5} C.{5,7} D.{1,7} 解析　A∩B={3,5},故选B. 64.(2016·全国2,文1,5分,难度★)已知集合A={1,2,3},B={x|x2<9},则A∩B= (　D　) A.{-2,-1,0,1,2,3} B.{-2,-1,0,1,2} C.{1,2,3} D.{1,2} 解析　B={x|-3<x<3},A∩B={1,2}.故选D. 65.(2016·全国3,文1,5分,难度★)设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8},则∁AB= (　C　) A.{4,8} B.{0,2,6} C.{0,2,6,10} D.{0,2,4,6,8,10} 解析　根据补集的定义,知从集合A={0,2,4,6,8,10}中去掉集合B中的元素4,8后,剩下的4个元素0,2,6,10构成的集合即为∁AB,即∁AB={0,2,6,10},故选C. 集合补集的两条运算规律 ①∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB); ②∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 66.(2016·天津,理1,5分,难度★)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B= (　D　) A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4} 解析　由题意知集合B={1,4,7,10},则A∩B={1,4}.故选D. 67.(2016·山东,理2,5分,难度★★)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B= (　C　) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(0,+∞) 解析　A={y|y>0},B={x|-1<x<1}, 则A∪B={x|x>-1},选C. 68.(2016·浙江,理1,5分,难度★)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)= (　B　) A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 解析　∵Q={x∈R|x≤-2,或x≥2}, ∴∁RQ={x∈R|-2<x<2}.又P={x∈R|1≤x≤3}, ∴P∪(∁RQ)={x∈R|-2<x≤3}=(-2,3].故选B. 69.(2024·上海,1,4分,难度★)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,4},则=　　　　　.  答案　{1,3,5} 解析　根据题意,作出维恩图如下: 由图可知={1,3,5}. 70.(2020·江苏,1,5分,难度★)已知集合A={-1,0,1,2},B={0,2,3},则A∩B=　　　　.  答案　{0,2} 解析　由题意,得A∩B={0,2}. 71.(2020·上海,1,4分,难度★)已知集合A={1,2,4},B={2,4,5},则A∩B=　　　　.  答案　{2,4} 解析　由交集定义可知A∩B={2,4}.故答案为{2,4}. 72.(2018·江苏,1,5分,难度★)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=　　　　　.  答案　{1,8} 解析　由题设和交集的定义可知,A∩B={1,8}. 73.(2017·江苏,1,5分,难度★)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为　　　　　.  答案　1 解析　由已知得1∈B,2∉B,显然a2+3≥3,所以a=1,此时a2+3=4,满足题意,故答案为1. 考点4与集合相关的新概念问题　 1.(2020·浙江,10,4分,难度★★★)设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足: ①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T; ②对于任意的x,y∈T,若x<y,则∈S.下列命题正确的是 (　A　) A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素 B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素 C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素 D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素 解析　当集合S中有3个元素时,若S={1,2,4},则T={2,4,8},S∪T中有4个元素;若S={2,4,8},则T={8,16,32},S∪T中有5个元素,故排除C,D; 当集合S中有4个元素时,若S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},S∪T={2,4,8,16,32,64,128},包含7个元素,排除选项B. 下面来说明选项A的正确性: 设集合S={a1,a2,a3,a4},且a1<a2<a3<a4,a1,a2,a3,a4∈N*,则a1a2<a2a4,且a1a2,a2a4∈T,则=∈S, 同理∈S,∈S,∈S,∈S,∈S,且>>. 若a1=1,则a2≥2,=a2,则<a3,故=a2, 即a3=,=a2,则a4=a3a2=. 故S={1,a2,,},此时{a2,,,,}⊆T,可得=∈S,这与∉S矛盾,故舍去. 若 a1≥2,则<<a3,故=a2,=a1, 即a3=,a2=. 又a4>>>>1,故==a1, 所以a4=, 故S={a1,,,},此时{,,,,}⊆T. 若b∈T,不妨设b>,则∈S,故=,i=1,2,3,4,故b=,i=1,2,3,4, 即b∈{,,,},其他情况同理可证.故{,,,,}=T, 此时S∪T={a1,,,,,,},即S∪T中有7个元素.故A正确. 2.(2024·北京,21,15分,难度★★★★★)已知集合M={(i,j,k,w)|i∈{1,2},j∈{3,4},k∈{5,6},w∈{7,8},且i+j+k+w为偶数}.给定数列A:a1,a2,…,a8和序列Ω:T1,T2,…,Ts,其中Tt=(it,jt,kt,wt)∈M(t=1,2,…,s),对数列A进行如下变换:将A的第i1,j1,k1,w1项均加1,其余项不变,得到的数列记作T1(A);将T1(A)的第i2,j2,k2,w2项均加1,其余项不变,得到的数列记作T2T1(A);…;以此类推,得到数列Ts…T2T1(A),简记为Ω(A). (1)给定数列A:1,3,2,4,6,3,1,9和序列Ω:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出Ω(A); (2)是否存在序列Ω,使得Ω(A)为a1+2,a2+6,a3+4,a4+2,a5+8,a6+2,a7+4,a8+4?若存在,写出一个Ω,若不存在,说明理由; (3)若数列A的各项均为正整数,且a1+a3+a5+a7为偶数,求证:“存在序列Ω,使得Ω(A)的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”. (1)解　由题知T1=(1,3,5,7),T2=(2,4,6,8),T3=(1,3,5,7),则T1(A):2,3,3,4,7,3,2,9,则T2T1(A):2,4,3,5,7,4,2,10,故Ω(A)=T3T2T1(A):3,4,4,5,8,4,3,10. (2)解　由题知每次变换数列的前8项和增加4,由2+6+4+2+8+2+4+4=32,=8,可知经过了8次变换,则a1与a2,a3与a4,a5与a6,a7与a8每组的增量和均为8. 因为a3与a4,a5与a6的增量和不为8,故不存在符合题意的序列Ω. (3)证明　设数列A经C次变换,Ω(A)为a1+m,a2+n,a3+p,a4+q,a5+s,a6+t,a7+u,a8+v,则有m+n=p+q=s+t=u+v=C. 若a1+m=a2+n=a3+p=a4+q=a5+s=a6+t=a7+u=a8+v,则a1+m+a2+n=a3+p+a4+q=a5+s+a6+t=a7+u+a8+v,又m+n=p+q=s+t=u+v,所以a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8,必要性得证. 若a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8=y,y∈N*,则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=4y. 因为a1+a3+a5+a7为偶数, 所以a2+a4+a6+a8为偶数. 由i+j+k+w为偶数,可得m+p+s+u为偶数,n+q+t+v为偶数,故存在a1+a3+a5+a7+m+p+s+u=a2+a4+a6+a8+n+q+t+v的情形. 又a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8,m+n=p+q=s+t=u+v,故存在a1+m=a2+n=a3+p=a4+q=a5+s=a6+t=a7+u=a8+v的情形,充分性得证. 故“存在序列Ω,使得Ω(A)的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8”. 3.(2018·北京,理20,14分,难度★★★★)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),记M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)]. (1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值; (3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由. 解　(1)M(α,α)=×[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2; M(α,β)=×[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1. (2)当xm,ym同为1时,(xm+ym-|xm-ym|)=1; 当xm,ym中只有一个1或者两个都是0时,(xm+ym-|xm-ym|)=0; 当α,β相同时,∀α=(x1,x2,x3,x4)∈B,M(α,α)=x1+x2+x3+x4为奇数, 则xk(k=1,2,3,4)中有一个1或者三个1,即为以下8种: 形式1:(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1); 形式2:(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1); 当α,β不同时,M(α,β)是偶数,则α,β同为1的位置有4个或2个或0个; 形式1中的一个元素不能和形式2中的三个元素同时存在; 形式2中的一个元素不能和形式1中的三个元素同时存在; 如果B中元素全是形式1,当α,β不同时,M(α,β)=0满足条件; 如果B中元素全是形式2,当α,β不同时,M(α,β)=2满足条件. 所以B中元素至多为4个. (3)B中元素个数最多为n+1,构造如下: 对于γk=(zk1,zk2,…,zkn)∈B(k=1,2,3,…,n),zkk=1,其他位置全为0; γn+1=(0,0,0,…,0),可以验证M(γi,γj)=0(i,j=1,2,…,n+1)且i≠j, 下面证明:当B中元素个数大于或等于n+2时,总存在α,β∈B,M(α,β)≠0. 设γk=(zk1,zk2,zk3,…,zkn)∈B,k=1,2,3,…,n+1,…,m(m≥n+2); Sk=zk1+zk2+…+zkn(k=1,2,3,…,n),可以得到:S1+S2+…+Sm≥0+1×n+2=n+2; 设Ck=z1k+z2k+…+zmk(k=1,2,3,…,n),可以得到: C1+C2+…+Cn=S1+S2+…+Sm≥n+2, 所以存在Ct≥2,t∈{1,2,3,…,n}, 即存在α,β∈B(α≠β),使得α,β在同一个位置同为1, 即M(α,β)≥1≠0,矛盾. 所以,B中元素个数最多为n+1. 学科网（北京）股份有限公司 $$