专题03 空间向量基本定理-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

03空间向量基本定理 一、知识填空： 1．空间向量基本定理 （1）定理:如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . （2）基底：如果三个向量 ，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个 ，都叫作 . 2．单位正交基底与正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做 ，常用 表示． （2）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 ． 自检自纠： 1．,不共面,基底,基向量 2．两两互相垂直,1,单位正交基底,,正交分解 二、分层小练： A.基础训练 1．设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项，由于与任意两个向量共面，不能作为基底； B选项，，故三个向量共面，不能作为基底； C选项，设， 向量，，不共面，上式显然不成立，即与不共面，符合题意； D选项，，故三个向量共面，不能作为基底； 故选：C. 2．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】依题意，共面，则存在实数，使得， 于是， 因此，解得.故选：B 3．在直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直三棱柱中，若，所以，故选：B． 4．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连结，因，点为的中点，则， 于是，.故选：B. 5．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，分别是，的中点，所以，，所以.故选：C B.提升强化 6．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可知，延长与交于，连接，因为平面，平面，平面平面，所以∥，令，，则有 ，，得，解得， ∥，，，．故选：D． 7．已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 【答案】 2． 【详解】， 设，由共面，有，解得，故. 又，有，则.故答案为：；2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03空间向量基本定理 一、知识填空： 1．空间向量基本定理 （1）定理:如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 . （2）基底：如果三个向量 ，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个 ，都叫作 . 2．单位正交基底与正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做 ，常用 表示． （2）正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 ． 自检自纠： 1．,不共面,基底,基向量 2．两两互相垂直,1,单位正交基底,,正交分解 二、分层小练： A.基础训练 1．设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 2．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（    ） A． B．5 C． D． 3．在直三棱柱中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． B.提升强化 6．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 7．已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使，且当P，A，B共线时，有．同样，在空间中若三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数组，使得，且当P，A，B，C共面时，有．如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点、PC与平面ABE交于F点，设，则 ； ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$