专题02 空间向量的数量积运算-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

02空间向量的数量积运算 一、知识填空： 1.空间向量的夹角及其表示 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 .特别地，若，则称与 ，记作. 2.向量的数量积：两个非零向量，的数量积定义为 ． 3.数量积的性质 ① ⇔ ；②·= =；③|·|≤||||； ④(λ)·=λ(·)； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 4.投影向量 （1）在空间，向量向向量投影：如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，称向量为向量在向量上的投影向量． （2）向量在直线l上的投影如图②． （3）向量向平面投影：如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量 称为向量在平面上的投影向量． 自检自纠： 1．，，，垂直 2. 3.·=0 ，，· ，·+· 4.， 二、分层小练： A.基础训练 1．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】是相互垂直的单位向量，故，故.故选：A 2．如图，四面体的所有棱长都是2，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】四面体的所有棱长都是2，故，.故选：C. 3．如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）   A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【详解】由题意可知：，所以. 故选：A. 4．如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【详解】.故选：C 5．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【详解】， ．故选：C． 6．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以.故选：D B.提升强化 7．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【详解】设，注意到， 所以，所以.故选：D. 8．（多选）已知空间单位向量两两之间的夹角均为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由单位向量两两夹角均为，故，故A错误； ，故B正确； 由，得．由，得，所以，则，故C正确； ，所以，故，故D错误． 故选：BC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02空间向量的数量积运算 一、知识填空： 1.空间向量的夹角及其表示 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 .特别地，若，则称与 ，记作. 2.向量的数量积：两个非零向量，的数量积定义为 ． 3.数量积的性质 ① ⇔ ；②·= =；③|·|≤||||； ④(λ)·=λ(·)； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 4.投影向量 （1）在空间，向量向向量投影：如图①，先将它们平移到同一平面内，利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量， ，称向量为向量在向量上的投影向量． （2）向量在直线l上的投影如图②． （3）向量向平面投影：如图③，分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量 称为向量在平面上的投影向量． 自检自纠： 1．，，，垂直 2. 3.·=0 ，，· ，·+· 4.， 二、分层小练： A.基础训练 1．已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，四面体的所有棱长都是2，则（    ） A． B． C．2 D．1 3．如图，正方体的棱长为1，设，，，则（    ）   A．1 B． C．0 D．2 4．如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 5．如图，正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱AD，BC的中点，则的值为（    ） A．4 B． C． D．2 6．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． B.提升强化 7．在棱长均为1的平行六面体中，，，则（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．（多选）已知空间单位向量两两之间的夹角均为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$