精品解析：湖南省怀化市铁路第一中学2024-2025学年高一上学期入学分班考试数学模拟卷

2024年秋季高一入学分班考试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知是任意有理数，在下面各说法中： （1）方程的解是；（2）方程的解是； （3）方程的解是；（4）方程的解是． 结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元一次方程的求解，结合对分类讨论即可求解. 【详解】当时，方程的解是；故（1）错误， 由方程可得，故时，解是；当时，方程的解为一切实数，故（2）错误， 当时，方程无解，故（3）错误， 当时，方程为，故解为， 当时，方程为，故解为，当时，方程的解为一切实数，故（4）错误， 故选：A 2. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的求解可得，进而根据分式方程可得，即可根据非负整数解求解. 【详解】， 解不等式①得：，解不等式②得：， 不等式组的解集为，，， ，， 解得：， 分式方程有非负整数解， 且， 且， 综上所述：且， 符合条件的所有整数的值为：，， 符合条件的所有整数的值的和为：， 故选：D． 3. 设三角形的三边、、满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式可得，即可求解. 【详解】由可得， 进而可得， 故三角形为直角三角形， 故选：A 4. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点在轴上，点、、、、、、在轴上．若正方形的边长为1，，，则点到轴的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，然后利用特殊角的三角函数依次求出各正方形边长，如图，过延长正方形的边交轴于，过作轴于，求出即可. 【详解】因为，， 所以， 因为正方形的边长为1， 所以， ， ， ， 所以， 如图，过延长正方形的边交轴于，过作轴于， 则， 所以 故选：D 5. 如图，是函数图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，作轴于点，交于点，作轴于点，交于点．则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点坐标可得，坐标，进而可得，，，即可求解. 【详解】的坐标为，且，， 的坐标为，点的坐标为， ， 在直角三角形中，，三角形是等腰直角三角形）， ， 点的坐标为，， 同理可得出点的坐标为， ，， ，即． 故选：C 6. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点,是抛物线上任意一点，有下列结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④若方程有两个实数根和，且，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质以及图象可得，即可代入求解①,根据图象以及对称性即可求解②③④ 。 【详解】由题意可知：，故， 对于①，；故①正确， 对于②,由于对称轴为，对应的函数值均为，因此若，则或；故②错误， 对于③,若，则；因此③错误， 对于④,设，则其图象关于对称，且和是函数与轴交点的横坐标，故当时，则，④正确 故选：B 7. 已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据根与系数的关系；二次函数的图象；抛物线与轴的交点，即可结合函数图象求解. 【详解】将方程和转化成函数和， 如图所示，两条抛物线都交于点， ， ， 两条抛物线的对称直线的值为和， ， ，， 将点代入得：． 故选：D． 8. 如图，正方形边长为4，点，分别在边，上，且满足，，交于点，，分别是，的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正方形的性质判定，从而得出P的轨迹为圆，取中点O，连接，在线段上取，结合相似三角形的判定得出，根据三角形三边关系及勾股定理计算即可. 【详解】 如图所示，易证，则， 所以，则， 即P点在以为直径的半圆上运动， 取中点O，连接，在线段上取，作于L点， 易知，， 则有，所以，即， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生有40人 B. 9月体育测试中学生及格率为 C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 【答案】CD 【解析】 【分析】通过统计图一一分析选项即可. 【详解】由图易知全体学生有人， 而10月测试成绩为“优秀”的学生占，即有50人，故A错误； 9月体育测试中学生的及格及以上人数为人，占比为，即及格率为，故B错误； 由第二个图可知优秀率递增，且12月比11月增长，11月比10月增长，显然C、D正确. 故选：CD 10. 下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用一次函数、反比例函数的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，函数中，，函数值随的增大而减小，A不是； 对于B，函数中，，函数值随的增大而增大，B是； 对于C，函数图象由函数的图象左移1个单位而得， 而当时，函数的函数值随的增大而增大， 因此当时，函数的函数值随的增大而增大，C是； 对于D，当时，反比例函数的函数值随的增大而减小，D不是. 故选：BC 11. 如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（ ） A. 当点是的中点时，四边形是平行四边形 B. 的值为常数 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定即可求解A,根据三角形全等，即可求解B，根据三角形的边角关系，角平分线以及内角和关系即可求解CD. 【详解】对于A．当点是的中点时，，， ， ， 四边形是平行四边形，故A正确； 对于B．连接，， ，，， ， 同理可证：， ，， ， 为等腰直角三角形， ，故B正确； 对于C．当时， ， ， ， ， ， ， ，故C正确； 对于D．当时， ， ，， ， ， ，故D错误， 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，，，这四个数中最小的数是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂的运算性质将这4个数化为同指数幂，然后比较底的大小即可. 【详解】因为，， ，， 又因为， 所以最小，即最小. 故答案为： 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点．若的顶点均是格点，则的值是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据等面积法可得，即可由勾股定理求解，进而根据锐角三角函数即可求解. 【详解】过作，如图，连接, ,, 由等面积法可得, 解得, 故 故答案为： 14. 如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据勾股定理可得，，即可根据为的直径时，最大，的值最大求解. 【详解】连接，，， 设， ，是的直径， ， ，，，， ，， ， ， 当为的直径时，最大，的值最大， ， 的最大值， 故答案为：6． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据因式分解即可求解， （2）根据分式的运算性质即可化简求解. 【详解】（1）∵， ∴， 则或， 解得． （2） ， ，， 当，时，原式． 16. 如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间． （1）浮出水面2.5秒后，盛水筒距离水面约多高？ （2）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，已知，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点恰好在直线上）？ （参考数据，， 【答案】（1） （2）6.5秒 【解析】 【分析】（1）根据锐角三角函数即可求解， （2）根据三角形的边角关系，结合锐角三角函数即可求解. 【小问1详解】 连接，，过点作，垂足为，如图： 由题意得，筒车每秒转， 盛水简浮出水面2.5秒后，此时， ，， ， ， 在中，， ， 答：此时盛水简距离水面的高度． 【小问2详解】 如图，因为点在上，且与相切，所以当在直线上时，此时是切点， 连接，所以， 在中，， ． 在中，， ， ， 需要的时间为（秒， 答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒恰好在直线上． 17. 已知关于的一元二次方程. （1）判断方程根的情况； （2）若方程的两根、满足，求值； （3）若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5， ①则为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②为何值时，是等腰三角形，并求出的周长. 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2）或 （3）①；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据判别式即可求解， （2）根据韦达定理即可代入求解， （3）根据因式分解可得，，即可结合勾股定理以及等腰关系求解. 【小问1详解】 方程中，, 方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 由题知：，. 变形为： ．得：或. 【小问3详解】 ． ，，则． ①不妨设，， 斜边时，有，即：， 解得：，、为负，舍去）. 当时，是直角三角形； ②，，，由（1）知 故有两种情况： 当时，，则，， 、5、5满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为； 当时，，，， 、5、5满足任意两边之和大于第三边，此时的周长为. 综上可知：当时，是等腰三角形，此时的周长为14； 当时，是等腰三角形，此时的周长为16. 18. 如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，， ①求的面积； ②点为上一点，连接交半径于点，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据三角形的边角关系可证明，即可求证， （2）根据三角形相似，可得线段成比例，即可求解. 【小问1详解】 连接，如图， 为的直径，， ． ， ， ， ， ， ， ． 为的半径， 是的切线； 小问2详解】 ①，， ,，故， ． ，， 设，则． ，， ，． ，． 为的直径，， 的面积； ②， ， ，， ， ， ． ，， ,， ． 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． （1）函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； （3）已知函数，若函数是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 【答案】（1）① （2）①或；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“美好函数”的定义逐个分析判断即可； （2）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （3）由二次函数的性质可知当时，随的增大而增大，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 对于①， 当时，，当时，， ∴，符合题意； 对于②， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 对于③， 当时，，当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：①； 【小问2详解】 ①二次函数对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，则当时，随的增大而增大， ， ， 当时，则当时，随的增大而减小， ， ， 综上所述，或； ②二次函数为，对称轴为直线， 当，， 当时，， 当时，． 若，则，解得（舍去）； 若，则，解得（舍去），； 若，则，解得，（舍去）； 若，则，解得（舍去）． 综上所述，或； 【小问3详解】 由（2）可知，二次函数对称轴为直线， 又， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时取得最大值，时取得最小值， ∴ ，为整数，且， ，即的值为5， 又∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季高一入学分班考试模拟卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知任意有理数，在下面各说法中： （1）方程的解是；（2）方程的解是； （3）方程的解是；（4）方程的解是． 结论正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. D. 3. 设三角形的三边、、满足，则这个三角形的形状是（ ） A 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定 4. 已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点在轴上，点、、、、、、在轴上．若正方形的边长为1，，，则点到轴的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是函数图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，作轴于点，交于点，作轴于点，交于点．则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，点是该抛物线上一点，若点,是抛物线上任意一点，有下列结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④若方程有两个实数根和，且，则． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中．若，则的值为（ ） A 8 B. 9 C. 12 D. 18 8. 如图，正方形边长为4，点，分别在边，上，且满足，，交于点，，分别是，的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生有40人 B. 9月体育测试中学生的及格率为 C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 10. 下列函数中，当时，函数值随的增大而增大依次是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点是正方形对角线上一点（不与点，点重合），点是正方形的外角的角平分线上一点，且，连接，．下列说法正确的是（ ） A. 当点是的中点时，四边形是平行四边形 B. 的值为常数 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，，，这四个数中最小的数是______. 13. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点．若的顶点均是格点，则的值是__． 14. 如图，点、、均在坐标轴上，，过、、作，是上任意一点，连结，，则的最大值是____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程 （2）先化简，再求值：，其中、满足． 16. 如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间． （1）浮出水面2.5秒后，盛水筒距离水面约多高？ （2）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，已知，求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点恰好在直线上）？ （参考数据，， 17. 已知关于的一元二次方程. （1）判断方程根的情况； （2）若方程的两根、满足，求值； （3）若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5， ①则为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②为何值时，是等腰三角形，并求出的周长. 18. 如图，为直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，， ①求的面积； ②点为上一点，连接交半径于点，若，求的长． 19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”． （1）函数①；②；③，其中函数　　是在上的“美好函数”；（填序号） （2）已知函数． ①函数是在上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值； （3）已知函数，若函数是在（为整数）上“美好函数”，且存在整数，使得，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$