微专题01 勾股定理最短路径通关专练-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

微专题01 勾股定理最短路径通关专练 一、单选题 1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（　　） A．10 B．14 C． D． 2．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ） A．10cm B．20cm C．cm D．100cm 4．有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为(   )    A．3 B． C．8 D．5 5．如图，圆柱形容器的高，底面周长是，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处点处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（    ） A．20cm B． C． D．24cm 6．如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（    ） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 7．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是（    ）尺 A．15 B．20 C．25 D．30 8．如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　）cm A．8 B．4 C．2 D．12 9．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离（杯壁厚度不计）为（　　）    A． B． C． D． 11．如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　）    A． B． C． D． 12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 13．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A． B．25 C． D．35 14．有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长，高，宽，在顶点处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（  ）． A． B． C． D． 15．已知x为实数，则的最小值为（　　） A．5 B． C． D．6 二、填空题 16．包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 17．某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式的最小值 ． 18．一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食物，则最短路线长为 ．    19．如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 cm． 20．如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走 米，踏之何忍”． 21．如图，一圆柱高为8cm，底面周长为12cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm． 22．如图，圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高线的长为6cm，点P是高线上一点且，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ．    23．如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，则所用细线最短要 ． 24．如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是 米. 25．如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是 ． 三、解答题 26．有一根底面周长为30cm，高2米的圆柱形枯木，一条长藤自根部缠绕向上，缠了五周刚好到达顶部，这条长藤最短有多长？ 27．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值． 28．如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是多少？(结果精确到，参考数据，)    29．如图，河的同侧有、两个村，且，、两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向、两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用（元）．    30．课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 31．如图是一个长、宽、高的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少？ 32．如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 33．如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点．    (1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径； (2)分别求出这几种路径的距离； (3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 34．某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 35．勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理，这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：    (1)请你用文字叙述一下勾股定理； (2)选择下边图1或图2中任一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯外离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 勾股定理最短路径通关专练 一、单选题 1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（　　） A．10 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线AG，根据勾股定理，即可求出AG长度； 【详解】把长方体展开有三种情况： 当蜘蛛从A 出发到EF上再到G时，如下图所示 ， ， ， 在中，； 当蜘蛛从A 出发到BF上再到G时，如下图所示 ，， ， ， ， 在中，， 当蜘蛛从A 出发到EH上再到G时，如下图所示 ， ， ∴AF=9cm， 在中，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握两点之间线段最短是解题的关键． 2．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．应该是前面和上面展开，利用勾股定理可求得． 【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面上面，由勾股定理得； （2）展开前面右面，由勾股定理得； （3）展开前面和左面，由勾股定理得． 所以最短路径的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 3．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（    ） A．10cm B．20cm C．cm D．100cm 【答案】B 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为12 cm，圆柱高为8cm， ∴AB=8dm，BC=BC′=6cm， ∴AC2=62+82=100， ∴AC=10， ∴这圈金属丝的周长最小为2AC=20（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 4．有一圆柱体如图，高，底面周长，处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到处，求蚂蚁爬行的最短距离为(   )    A．3 B． C．8 D．5 【答案】D 【分析】圆柱展开就是一个长方形，根据两点之间线段最短可求出结果． 【详解】解：的长就是蚂蚁爬行的最短距离．，分别是，的中点．    ，． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开图最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解答． 5．如图，圆柱形容器的高，底面周长是，在外侧底面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处点处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（    ） A．20cm B． C． D．24cm 【答案】A 【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示， ． 故选：． 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 6．如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（    ） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 【答案】B 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线的长． 圆柱的底面周长是，高是， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 7．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是（    ）尺 A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】将圆柱体展开，利用两点之间线段最短和勾股定理进行计算即可． 【详解】解：把圆柱的侧面展开五次，如图： 表示葛藤的最短长度， (尺)，尺， ， 即葛藤的最短长度是25尺； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．将立体图形展开成平面图形，确定最短距离，是解题的关键． 8．如图，正四棱柱的底面边长为10cm，侧棱长为16cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱侧面到点C′处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（　　）cm A．8 B．4 C．2 D．12 【答案】B 【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答． 【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形： 如图1中，， 如图2中，， ∵ ， ∴爬行的最短路径是cm． 故选B 【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解． 9．如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将容器侧面展开，建立关于上边沿的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度为最短路径，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2即为所求． 【详解】解：如下图， 将容器侧面展开，作关于EF的对称点，连接，则即为最短距离， 根据题意，可知，， ∴． 所以底面圆的周长为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平面展开——最短路径问题以及勾股定理等知识，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 10．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离（杯壁厚度不计）为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图（见解析），将杯子侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，作，交延长线于点，    则， 由两点之间线段最短可知，当点、F、B在同一条直线上时，取得最小值，最小值为的长度， 由题意可知，，， 则， 即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将立体图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 11．如图，圆柱的高12厘米，底面周长10厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对勾股定理，平面展开-最短路径问题等知识点的理解和掌握，根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：可把圆柱侧面展开如图所示， 由题意可得：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， ，， 由勾股定理得：， 故选：C． 12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x=25． 故选：A． 【点睛】本题的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题 13．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（　　） A． B．25 C． D．35 【答案】B 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：将长方体展开，连接AB， 根据两点之间线段最短， 如图， ， 由勾股定理得：． （2）如图， ， 由勾股定理得，． （3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴； ∵， 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用——两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 14．有一个如图所示的上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长，高，宽，在顶点处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸侧面吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把长方体玻璃鱼缸侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段的长，求出线段的长即可． 【详解】解：把长方体玻璃鱼缸侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段的长， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查最短路径问题，关键是掌握两点之间线段最短，从而可找到最短路径． 15．已知x为实数，则的最小值为（　　） A．5 B． C． D．6 【答案】A 【分析】 ，令，，，则表示，点到点和点的距离的和，如图，可得当三点共线时，的值最小，值为，计算求解即可． 【详解】解：∵ ， 令，，， ∴表示，点到点和点的距离的和，如图，    ∴当三点共线时，的值最小，值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 二、填空题 16．包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点出发，沿书架内壁爬行到顶点处，则它爬行的最短距离为 ． 【答案】50 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开一最短路径问题，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长，再根据勾股定理求出的长即可，将立体图形展开在平面图形中求解是解题的关键． 【详解】解：如图，把书架侧面展开，A，B点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为的长， 由图可知：， ， 在中， ， 则它爬行的最短距离为， 故答案为：． 17．某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图，等腰直角三角形的直角边长为，是斜边的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ； （2）几何拓展：如图，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式的最小值 ． 【答案】 5 【分析】（1）作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接，根据轴对称的性质可得AB==，PB=，∠ABC=∠=45°，最后根据=+PE=即可求解； （2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O，根据BM=可知=+MN=，根据轴对称的性质和含30°角的直角三角想30°角所对的边等于斜边的一半，分别求出和BN的长度即可； （3）根据题意，构造两个直角三角形，斜边分别等于和，用勾股定理进行即可进行证明． 【详解】（1）解：如图，作点B关于AC的对称点，连接，交AC于点P，连接 ∵点B和点关于AC对称， ∴AB==，PB=，∠ABC=∠=45°， ∴在△中，∠=90°， ∵点E为AB中点， ∴AE=， ∴， ∵PB=， ∴=+PE=， 故答案为：． （2）作点B关于AC的对称点，过点作⊥AB于点N，交AC于点M，连接交AC于点O， 根据轴对称的性质可知，⊥AC， ∵，，∠AOB=90°， ∴BO=，∠=60°， ∴=2 BO=2， 在Rt△中，∠=60°， ∴∠=30°， ∴NB=， ∴， ∵BM=， ∴=+MN=， 故答案为：． （3）如图，构造图形，点P是AB边上一点，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， 作点C关于AB的对称点，连接交AB于点P，延长DB，过点作⊥BD，垂足为O， 根据轴对称的性质可知，AC==1，CP=， ∵AB=4，=1， ∴=4，BO==1， ∴DO=3， 在Rt△中，， ∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2， ∴，， ∵CP+DP =+DP==5， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径问题，熟练掌握勾股定理的内容，利用轴对称的性质构造直角三角形是解题的关键． 18．一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食物，则最短路线长为 ．    【答案】15 【分析】将圆柱的侧面展开，连接，则线段的长就是最短路线的长，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：将圆柱的侧面展开，如图所示：    连接，则线段的长就是最短路线的长， ∵，， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的应用，解题的关键是将圆柱的侧面展开，找出最短路线． 19．如图，一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是12 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 cm． 【答案】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图 如图 如图 它所行的最短路线的长为： 故答案为：． 【点睛】本题考查平面展开图—最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键． 20．如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝12米，CD＝5米．为了避免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走 米，踏之何忍”． 【答案】4 【分析】根据勾股定理求得的长，用即可求解 【详解】解：在中， 则 （米） 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，求得的长是解题的关键． 21．如图，一圆柱高为8cm，底面周长为12cm，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【详解】解：如图所示： 沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， ，，， 由勾股定理得：． 故答案为：10． 22．如图，圆柱的底面周长为6cm，是底面圆的直径，高线的长为6cm，点P是高线上一点且，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 ．    【答案】5cm/5厘米 【分析】 首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，求出，在中，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：侧面展开图如图所示，    ∵圆柱的底面周长为6cm， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：5cm． 【点睛】本题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 23．如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，则所用细线最短要 ． 【答案】 【分析】如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是和，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的最短细线长， ，， ， ， ， 所用细线最短长度是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想． 24．如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是 米. 【答案】5 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故答案为：5． 25．如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是 ． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围． 【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加， 原图长度增加，则， 连接， 四边形是长方形，，宽， ， 蚂蚱从点爬到点，它要走的路程． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 三、解答题 26．有一根底面周长为30cm，高2米的圆柱形枯木，一条长藤自根部缠绕向上，缠了五周刚好到达顶部，这条长藤最短有多长？ 【答案】2.5m 【分析】要求长藤的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为五个长方形并排后的长方形的对角线长， 圆柱高2米，底面周长0.3米， 解得， 长藤长至少是2.5m． 答：长藤长至少是2.5m． 【点睛】本题考查的是平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 27．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3)13 【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得； （2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小； （3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值． 【详解】（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD 在中， ∴AC＝＝， CE＝＝， ∴AC+CE＝； （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， 过A作AF⊥DE交ED的延长线于F， ∴DF＝AB＝2， ∴AE＝＝5， ∴AC+CE的最小值是5； （3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C， 设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值． 过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF， 则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5， 所以AE＝＝＝13， 即的的最小值为13． 【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键． 28．如图，圆柱的底面周长为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点爬到点的最短路程是多少？(结果精确到，参考数据，)    【答案】 【分析】沿过点和过点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从 点爬到点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【详解】解：沿过点和过点的母线剪开，展成平面，如图所示，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从 点爬到点的最短路程，    ，，， 在中，， 从点爬到点的最短路程是多少 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从点爬到点的最短路程． 29．如图，河的同侧有、两个村，且，、两村到河的距离分别为，．现要在河边上建一水厂分别向、两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用（元）．    【答案】20000元 【分析】作点关于的对称点为，连接交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，分别利用勾股定理求出和的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，点即为水厂的位置． 分过点作交的延长线于点，过点作于点，    则，，． ∴． 在中，， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理得． ∴（元）． 故铺设水管的总费用为20000元． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键． 30．课本再现 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？     方法探究 （1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______． 方法应用 （2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度． （3）如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计） 【答案】（1）15；（2）（3） 【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图． （1）根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可． （2）根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，根据勾股定理求出即可． （3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长， 由题意得：. 在中，由勾股定理得：， 所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 故答案为：15． （2）如图所示， ∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B， ∴展开后 由勾股定理得：， 所以彩条的最短长度是． （3）展开玻璃杯的侧面，如图， 作点A关于的对称点，连接，作于点C，则 ，，，． 在中，， 所以蚂蚁爬行的最短路径长为． 31．如图是一个长、宽、高的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先将点A和点B所在的面展开，得到最符合条件的三种情况，连接，利用勾股定理分别求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：由题意可知，仓库的长为、宽为、高为，点A是长的四等分点，点B是宽的三等分点 如图1，此时，，， ， ； 如图2，此时，，， ， ； 如图3，此时，，， ， ， ， 壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少． 32．如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）. (1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度； (2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答） 【答案】(1)图见详解， (2)图见详解， 【分析】（1）从底面点开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是60和10，再根据勾股定理求出斜边长即可； （2）求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】（1）解：如图， 将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，， 则为所求的彩带长， ， ， ， 答：彩带的长度是； （2）解：当上面的面与前面的面展成一个平面时，如图， 此时； 当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图， 此时； 当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图， 此时； 由上可知小刚所需要的彩带最短是． 【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出平面图形是解此题的关键，利用了数形结合思想． 33．如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点．    (1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径； (2)分别求出这几种路径的距离； (3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)从正面和上面：5；从左面和上面：；从正面和右面： (3)5 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用， （1）按照从正面和上面；左面和上面；右面和上面，画出图形即可； （2）根据勾股定理即可解答； （3）将（2）中求得的距离进行比较，即可，本题的重点在于准确进行展开，将立体图形转化为平面图形进行计算，进行分类讨论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：从正面和上面：； 从左面和上面：； 从正面和右面：； （3）解：根据（2）中可得，最短路径为5．    34．某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）在中，根据，即可求解； （2）①根据垂线段最短，即可求解；②在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 即入口B到大摆锤C的距离为； （2）解：①由“垂线段最短”得：当时，最短， 即旋转木马E到过山车D的距离最近时，； 故答案为： ②在中，， ∴， 即过山车D到旋转木马E的距离为． 35．勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理，这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：    (1)请你用文字叙述一下勾股定理； (2)选择下边图1或图2中任一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯外离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？    【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键． （1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）利用等面积建立等式进行解答； （3）把圆柱形玻璃杯表面展开，转化为平面图形，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）解：若选图1，如图，    则由图形可知：， 整理得：； 选择图2，则由图形可知：， 整理得：． （3）解：如图，延点A所在直线将圆柱剪开，过点C作，垂足为P，    由题意得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$