第10课时 正多边形和圆-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

24.3 正多边形和圆 第10课时卜正多边形和圆 基础巩固 1.如图24一10-1，⊙O是等边三角形ABC的 4.如图24一10一3，已知正六边形的边心距为 外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC 5,则它的周长是( 的边长为() 图24-10-3 图24-10-1 A.6 B.12 C.63 D.125 A.3 B.5 5.如图24一10-4，在⊙O中，OA=AB,OC⊥ C.23 D.25 AB,则下列结论错误的是( 2.如图24一10一2，△PQR是⊙O的内接正三 角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， BC∥QR,则∠AOQ的度数为( 图24-10-4 A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长 图24-10-2 C.AC=BC A.60 B.65 C.72 D.75° D.∠BAC=30 3.下列说法正确的有( 6.圆的内接正三角形的边长为3cm,则圆的半 ①各边相等的多边形是正多边形； 径为 ②圆内接菱形是正方形： 7.如图24一10一5，以正六边形的 ③各角相等的圆内接多边形是正多边形： 顶点为圆心、4cm为半径的六 ④正多边形都是中心对称图形 个圆中，相邻两圆外切，则该正 A.0个B.1个 C.2个 D.3个 六边形的边长是 cm. 图24-10-5 8.如图24一10一6，五边形ABCDE内接于 ⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.求证：五 边形ABCDE是正五边形. 图24-10-6 能力提升 1.如图24一10一7，若正△A1BC内接于正 4.如图24一10一10，正三角形的边长为2a. △AC的内切圆，则合的值为( (1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的 面积； A.2 C. D③ (2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测 3 量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”“正 六边形”，你能得出怎样的结论？ (4)已知正n边形的边长为2a,请写出它的内 切圆与外接圆组成的圆环的面积. 图24-10-7图24-10-8图24-10-9 2.如图24一10一8，有一圆内接正八边形ABC DEFGH,若△ADE的面积为10，则正八边 形ABCDEFGH的面积为( 图24-10-10 A.40 B.50 C.60 D.80 3.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O,图24一 10一9中阴影部分的面积为123，则⊙O的 半径为 5.如图24一10一11，有一个⊙0和两个正六边 错彩一题 形T1,T.T的6个顶点都在圆周上，T:的 某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多 6条边都和⊙O相切（我们称T1,T2分别为 边形是否为正多边形”时，进行了如下讨论： ⊙O的内接正六边形和外切正六边形). 甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆 (1)设T1,T2的边长分别为a,b,⊙O的半径 内接矩形. 为r,求r:a及rib的值； 乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正 (2)求正六边形T1,T2的面积比S::S 多边形，如图24-10一12①所示，△ABC是 的值. 正三角形，AD=BE=C下，可以证明六边形 ADBECF各内角相等，但它不是正六边形. 丙同学：我能证明边数是5时，它是正多边 形，我想边数是7时它可能也是正多边形. 图24-10-11 (1)请你证明乙同学构造的六边形各内角相等： (2)请你证明各内角相等的圆内接七边形 ABCDEFG(如图24-10-12②)是正七 边形：（不必写已知、求证） (3)根据以上探索过程，提出你的猜想.（不必 证明) 图24-10-123.A点拨：相交时，4-1<OO2<4十1，即 .其最高点到地面的距离为2十√3=2十 3<O,O2<5.因为取值中不包含3和5两 3 点，所以用空心圆圈表示，所以表示正确的 精彩一题 为A. 11-2t(0≤t≤5.5)， 4.A 解：(1)d= 2t-11(t>5.5). 5.B点拨：1<d<5,即3-2<d<3+2, (2)两圆第一次相切（外切，⊙A在⊙B 也就是说两圆的圆心距大于两圆半径之差 左侧)时， 的绝对值而小于两圆半径之和，因此两圆 AB=1+1+1=(1+2)cm,AB=d= 相交，故选B. (11-2t)cm,.t+2=11-2t,∴.3t=9,t=3. 6.相交7.2 两圆第二次相切（内切，切点在⊙B左 8.(1)两圆相交(2)两圆内含，且两圆为同心 侧)时， 圆(3)两圆内切(4)两圆外切(5)两圆 AB=1+-1=t(cm),AB=d=(11 外离(6)两圆内含 【能力提升】 2)cm,t=11-2t.1=3. 1.B点拔：方程的两根为m=2,2=3,设 两圆第三次相切（内切，切点在⊙B右 R=3,r=2,则R-r=1.又d=1,.d= 侧)时， R一r..两圆内切. AB=1+1-1=t(cm),AB=d=(2t- 2.8点拨：连接OA,OC,在Rt△OAC中， 11)cm,.t=2t-11,.t=11. AC=√OA-OC=√52-32=4(cm),所以 两圆第四次相切（外切，⊙A在⊙B右 AB=2AC=8 cm. 侧)时， 3.6点拨：过切点作大圆直径，设正方形边 AB=1+t+1=(1+2)cm,AB=d= 长为a,过O作OE⊥AD,则DE=OQ=2, (2t-11)cm,.t+2=2t-11,∴.t=13. DQ=号，AE=a-2.在Rt△AOE中， “⊙A出发3s两圆外切，号s两圆内 0A=AE+0E,即5=(a-2)+(号）)， 切，11s两圆内切，13s两圆外切. 解得a=6a:=一（会去)AB=6. 24.3正多边形和圆 4.证明：连接OO2,则P点在O1O2上， 第10课时正多边形和圆 OA=OP, 【基础巩固】 .∠A=∠O1PA. 1.C2.D3.B4.B5.D 同理可证，∠B=∠O2PB. 又∠O1PA=∠O2PB, 6.√/3cm7.8 .∠A=∠B,∴.OA∥O2B. 8.证明：因为∠A=∠B,所以BDE=CDA.所 5.解：由三个圆心构成边长为2的等边三角 以BDE-CE=CDA-CE,即BC=AE.所 以BC=AE.同理可证其余各边都相等.所 形△00,0，其高为号0,0=5×2=， 以五边形ABCDE是正五边形. 【能力提升】 边形ADBECF的各内角相等 1.A点拨：设⊙O的半径为r,则AB1= (2)证明：因为∠A所对的弧为BEG,∠B rB-2r 所对的弧为CEA,∠A=∠B,所以BEG CEA,所以BC=AG.同理可证AB=CD= 2.A点拨：设圆心为O,分别连接O与正八 EF=AG=BC=DE FG,AB=BC= 边形的顶点，则可得八个全等的三角形，即 CD=DE=EF=FG=GA,所以七边形ABC S正人边形ABCDEFGH=8S△DE=4S△ADE=40. DEFG是正七边形. 3.4 (3)猜想：当边数是奇数时（即当边数是 4解：1)正△ABC的内切圆半径为气。，外 3,5,7,9,…,时)，各角相等的圆内接多边形 是正多边形 接圆半径为。则圆环面积为心. 24.4弧长和扇形面积 (2)只需测量正△ABC的边长即可. 第11课时弧长和扇形面积 (3)若改为正方形，则正方形的内切圆半径 为a,外接圆半径为√2a,圆环面积为πa; 【基础巩固】 若改为正六边形，则正六边形的内切圆半 1.C 径为√3a,外接圆半径为2a,圆环面积为 2.D点拨：本题考查等腰三角形的性质、扇 πa2.由此得出结论：边长为2a的正三角 形面积公式，由图可知阴影部分的面积= 形、正方形、正六边形的内切圆与外接圆组 图中两个半圆的面积一等腰△ABC的面 成的圆环面积为πa, 积，所以S用影=16π一12√7，故选D. (4)正n边形的边长为2a时，它的内切圆 3.B点拨：连接OB,OC,根据圆周角定理可 与外接圆组成的圆环面积为π 知∠0C=72,所以劣弧BC的长=品x 5.解：(1)连接圆心O和T,的六个顶点可得 2 六个全等的正三角形， 5元 所以r:a=1:1:连接圆心O和T的相 4.A 邻两个顶点，可得以⊙O的半径为高的正 点拨：扇形弧长可用公式：1=求得， 三角形，所以r:b=√3：2. 由于本题n=90,r=2,因此这个扇形的弧 长为π. (2)T与T2的边长比是3：2，∴.S:S= 5.90° (a:b)2=3:4. 精彩一题 6.2x点拨：l=4=90rX2巨=2元 180 180 (1)证明：由题中图①知，∠AFC所对的 7.解：设五个扇形的圆心角依次为1°、2°、 弧为ABC,因为AD=CF,而∠DAF所对的 °、n,°、：，面积依次为SA、SB、Sc、Sp、 弧DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC,所 SE,则S阴=SA十SB十Se十SD十SE 以∠AFC=∠DAF,同理可证∠ADB= ∠DBE=∠BEC=∠ECF=∠AFC.所以六 +++”+ 360 360 360