第8课时 圆的切线长性质-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第8课时圆的切线长性质 基础巩固 1.如图24一8一1所示，⊙O的半径为2，直线 6.如图24一8一5，PA,PB是⊙O的切线，A,B PA,PB为⊙O的切线，A,B为切点，若PA 为切点，∠OAB=38°，则∠P= PB,则OP的长为( 7.如图24一8一6，PA,PB是⊙O的两条切线， A.4√2 B.4 C.22 D.2 A,B为切点，如果OP=4,PA=2√3，求 ∠AOB的度数， 图24一8-1 图24-8-2 2.如图24一8一2，点O是△ABC的内切圆的圆 图24-8-6 心，若∠BAC=80°，则∠BOC等于() A.130° B.100° C.50 D.65 3.下列说法正确的有() ①任意一个三角形都有且只有一个内切圆： ②三角形的内心都在三角形的内部： 8.如图24一8一7，AB为⊙O的直径，C为⊙O ③三角形的内心到三角形各顶点的距离 上一点，D为BC的中点，过点D作直线AC 相等； 的垂线，垂足为E,连接OD. ④三角形的内心与三角形各顶点的连线分别 (1)求证：∠A=∠DOB: 平分这个三角形的三个内角。 (2)DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 理由. 4.如图24一8一3所示，⊙O是边长为2的等边 三角形ABC的内切圆，则⊙O的半径为 图24-8-7 图24-8-3图24-8-4 图24-8-5 5.一根钢管放在V形架内，如图24一8一4是其 截面图，O为钢管的圆心.如果钢管的半径为 25cm,∠MPN=60°，则OP= 能力提升 1.如图24一8一8，△ABC的内切圆⊙O与各边 而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且 相切于点D、E、F,且∠FOD=∠EOD= 测得PA=5cm,求铁环的半径. 135°，则△ABC一定不是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 图24-8-12 图24-8-8 图24-8-9 2.如图24一8一9，正三角形内切圆的半径为1， 则正三角形的边长为() A.2 B.2√3 C.3 D.3 3.如图24一8-10，以正方形ABCD的BC边 为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点 6.如图24-8一13，P是⊙O外一点，PA,PB F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EB 分别和⊙O切于A,B,PA=PB=4cm, CD的周长之比为() ∠APB=40°，C是AB上任意一点，过C作 A.3:4 B.4:5 C.5:6 D.6:7 ⊙O的切线，分别交PA,PB于D,E.求： (1)△PDE的周长； (2)∠DOE的度数. 图24-8-10 图24-8-11 4.如图24-8-11，AC是⊙O的直径，∠ACB= 60°，连接AB,过A,B两点分别作⊙O的切 图24-8-13 线，两切线交于点P.若已知⊙O的半径为1， 则△PAB的周长为 5.为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用 了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用有 一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如 图24一8一12所示的方法得到相关数据，进 精彩-题 (1)理解与应用：利用阅读材料中的结论，计 算三边长分别为5,12,13的三角形内切 阅读材料：如图24一8一14①，△ABC的周长 圆半径： 为l,内切⊙O的半径为r,连接OA,OB,OC, (2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆 △ABC被划分为三个小三角形，用S表示 (与各边都相切的圆，如图24一8一14②) △ABC的面积. 且四边形面积为S,各边长分别为a,b,c, 因为S=S△a4B十S△e十S△xA,又因为 d,试推导四边形的内切圆半径公式： Som-AB .S-BCr,- (3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3 AC. 的整数)存在内切圆，且n边形面积为S, 各边长分别为a1,a2,ag,…,an,合理猜想 所以S=号AB·r+BC·r+AC·r= 其内切圆半径公式（不需说明理由）. 所以r=2S 图24-8-14 第9课时实验与探究 圆和圆的位置关系 基础巩固 1.两圆没有公共点时，两圆一定( 位后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是() A.相交 A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 B.外离 C.内含 D.外离或内含 2.如图24一9一1所示，7×4的方格（每个方格的 图24-9-】 边长为1个单位)中，⊙A的半径为1，⊙B的 3.已知⊙O和⊙O2的半径分别为1和4，如果 半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单 两圆的位置关系为相交，那么圆心距OO,的∴.BD=DF,.AC是⊙O的切线 ∴.∠AP0=30°.∴.∠AOP=60°， (2)在Rt△ABD与Rt△AFD中，AD= ∴.∠AOB=2∠AOP=120. AD.BD=DF, 8.(1)证明：如答图24一8一1. ∴.Rt△ABD≌Rt△AFD.∴.AB=AF. 连接OC, 在Rt△BDE与Rt△FDC中，BD=DF, ,D为BC的中点， DE=DC, ∴CD=D ∴.Rt△BDE≌Rt△FDC. .∠BOD= 2∠BOC. ∴.BE=CF, 答图24-8-1 ..AB+BE=AF+CF=AC. ·∠BAC= 2∠BOC, 第8课时圆的切线长性质 ∴.∠A=∠DOB. (2)解：DE与⊙O相切.理由： 【基础巩固】 :∠A=∠DOB, 1.C点拨：连接OA,OB,所以可得四边形 ∴.AE∥OD. OBPA是正方形，所以OA=PA=2,由勾 DE⊥AE,∴.OD⊥DE, 股定理可知OP的长为2√2. .DE与⊙O相切. 2.A点拨：三角形内切圆的圆心是三角形三 【能力提升】 条角平分线的交点。 1.B 3.C 2.B点拨：利用圆外一点和圆心的连线平分 49 过这点引的圆的两条切线的夹角，得出一 个锐角是30°的直角三角形，利用勾股定理 5.50cm点拨：连接ON,则ON⊥PNV.利用 再进一步求解.。 切线长定理，得出∠OPN=30°，再利用直 3.D点拨：设正方形的边长为a,BE=x.由 角三角形中30°角所对的直角边与斜边的 切线长定理知BE=EF=x,CD=DF=a 关系得出OP的长 在Rt△AED中，AE=a-x,AD=a,DE 6.76点拨：，PA,PB是⊙O的切线，∴.PA= a十x.由勾股定理可知DE=AE+AD, PB,PA⊥OA,∴.∠PAB=∠PBA,∠OAP 90°，∴.∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB 所以u十x)2=(a-)r+a,解得x=a 90°-38°=52°，∴.∠P=180°-52°-52°=76°. 所以△DAE的周长为AD+AE+DE= 7.解：PA,PB是⊙O的切线，切点为A,B, 3a.直角梯形EBCD的周长为BE十DE+ ∴.OA⊥PA,OB⊥PB,∠APO=∠BPO, CD叶C-名a所以它们的比值为a:子a ∴.∠AOP=∠BOP 6:7. 在Rt△PAO中，由勾股定理，得 4.3√3点拨：在Rt△ABC中求出AB的长， OA2=OP-PA2=42-(2√3)2=4. 再证明△PAB是等边三角形，由此求出 .OA=2. △PAB的周长，此题虽是填空题，但涉及 又：0P=4,∴0A=20P 的知识点较多. 5.解：设铁环的圆心为O,三角板与⊙O相切 ∴.∠PAO=∠PBO=90. 于点B,连接OP,OA(如答图24一8一2). 在四边形APB)中，∠AOB=180°一∠P= 140°. ,DA,DC为⊙O的切线， .DA=DC,∠ADO=∠CDO. 答图24-8-2 又DO=DO,.△ADO≌△CDO, 因为AP,AB是⊙O的切线， ∴.∠1=∠2.同理∠3=∠4. 所以OP⊥PA, ·∠DOE=∠2+∠3=号∠AOB=号× ∠PA0=2∠PAB=60, 140°=70°. 所以∠POA=30°， 精彩一题 所以OA=2PA=10cm, 解：(1)由勾股定理的逆定理可知，三边 所以OP=√VOA-PA=100-25=5√3(cm). 长分别为5,12,13的三角形是直角三角形， 2×30 所以铁环的半径为53cm. 其面积为30，这时r一5十12十13一2，. 点拨：本题以生活问题为背景，考查了我们 (2)设四边形ABCD的内切圆的圆心为 对切线长定理的理解和运用.此类题关键 O,连接OA,OB,OC,OD,并设内切圆的半径 是将实际问题转化为数学问题，体现了数 为r,依照阅读材料提供的思路，可得：S 学的转化思想， 6.解：(1)如答图24一8一3， S△aB+S△ae+S△xD+S△DA= 1 2a·r+ +dn所以r。 26·r+1 2S +b+c+d' (3)猜想：r= 2S a1十a2十…十an 答图24-8-3 点拨：通过阅读理解，我们学到了推导三 连接OA,OB,OC 角形内切圆半径公式的方法，并把这种方法 PA,PB,DE分别是⊙O的切线，A,B,C 运用到四边形的内切圆半径公式的推导上， 为切点， 进而推广到存在内切圆的任意多边形中去， .OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE, 体现了从特殊到一般的研究数学问题的方 ∴.DA=DC,EB=EC 法.本题让我们的观察、分析、类比、猜想、探 ∴.DE=DC+CE=DA+EB. 究等方面能力得到了很好的提高， ∴.△PDE的周长为PD十PE十DE 第9课时实验与探究 圆和圆的 =PD+PE+DA+EB 位置关系 =PA+PB 【基础巩固】 =4十4 1.D点拨：两圆没有公共点，则两圆可能是 =8(cm). 外离，也可能是内含 (2),PA,PB为⊙O的切线， 2.D