第7课时 圆的切线的性质和判定-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第7课时 圆的切线的性质和判定 基础巩固 。 1.下列直线是圆的切线的是( 4.如图24-7-2所示,AB是⊙O的直径 A.与圆有公共点的直线 点D在AB的延长线上,DC切⊙O于点C,若 B.圆心到该直线的距离等于圆的半径 乙A-25*,则 D等于( _~ A.20。 B.30{ C.40{ C.垂直于圆的半径的直线 D.50* D.过圆的半径外端的直线 5.如图24-7-3,已知PA是 2.圆的切线( ) O的切线,A是切点,PC A.垂直于半径 是过圆心的一条割线,点 图24-7-3 B.平行于半径 B,C是它与⊙O的交点,且 C.垂直于经过切点的半径 PA-8.PB-4,则⊙O的半径为 D.以上都不对 6.如图24-7-4所示,在△ABC中,B= 3.如图24-7-1所示,AB是⊙O的直径,BC 60{*},O是△ABC的外接圆,过点A作⊙0 交O于点D,DE1AC于点E,要使DE是 的切线,交CO的延长线于点P,CP交C O的切线,还需补充一个条件,则补充的条 于点D. 件不正确的是( ) (1)求证:AP一AC: A.DE-DO B.AB-AC (2)若AC=3,求PC的长. C.CD-DB D. AC/OD 图24-7-4 图24-7-1 图24-7-2 能力提升 1.如图24-7-5,若⊙0的直 2.如图24-7一6,在平面直角坐 径AB与弦AC的夹角为 标系中,点A在第一象限,A 与:轴相切于点B,与y轴交 30*,切线CD与AB的延长 图24-7-5 于C(0,1),D(0,4)两点,则点 线交于点D,且O的半径 A的坐标是( ) 图24-7-6 为2,则CD的长为 ) A.(.) B.(,2)#C.(2,) D.(,3) A.2/3 B.4③ C.2 D.4 3.如图24-7-7, MAB-30{*},P为AB上的$ 8.如图24-7-12,AB是⊙0的切线,A为切 点,P与AM相切于点M,且AM-9,则 点,AC是O的弦,过O作OH1AC于H. P的半径为 若OH-2,AB-12,B0-13.求: (1)0的半径; ##7## (2)AC的值 图24-7-7 图24-7-8 图24-7-9 4.如图24-7一8,已知三角形ABC内接于 图24-7-12 O.AB为直径,过点A作直线EF,要使 EF是O的切线,可添加的条件是; ① .③ 5.如图24-7-9所示,AB是⊙Q的直径:AC 是O的切线,A为切点,连接BC交O于 点D,若 C=50*,则 AOD= 度. 6.如图24-7-10,已知AB是。0的直径,直 线CD与O相切于点C,AC平分DAB 精彩一题 (1)求证:ADCD; (2)若AD-2,AC-5,求AB的长 如图24-7-13,在RtABC中, B=90^*$$ A的平分线交BC于点D,E为AB上的一 点,DE一DC,以D为圆心,DB长为半径作 D.求证: (1)AC是⊙D的切线; (2)AB+EB-AC 图24-7-10 7.如图24-7-11,在△ABC中,AB=BC,以 AB为直径的O与AC交于D,过D作 图24-7-13 DF BC,交AB的延长线于E,垂足为F,求 证:直线DE是O的切线 图24-7-11(3)当r=5 ②cm时,d<r,直线0A与 答图24-6-3①所示, M相交. 连接OF,则OF-2. 【能力提升】 又在Rt△OAF中,A-30}, 1.A 2.C *OA-2OF-2×2-4. 3.4 点拨:圆心到x轴的距离是4,所以,-4 :.-AD=OA-OD-4-2-2, 4.相交或相离 点拨:此题是直线与圆的位 即x一2时,O与AM相切. 置关系和解一元二次方程的综合题,通过 (2)如答图24-6-3②所示. 解方程得出d与,的值,再进行判定,要注 过O作OF ]BC,垂足为F. 意此题存在两种情况:d>:或d<r. “:OB-OC,且 BOC-90*. 5.4或8 点拨:对于动点问题我们应结合图形 '△BOC为等腰直角三角形, 进行分析、判断,本题应考虑两种可能情况 6.解:如答图24-6一2,过O作OE AD,垂 BC-B^+QC-/②^+2-2② 足为E.在菱形ABCD中,AC=6,BD 2、3,BD与AC垂直且平分,所以AO=3, DO=3.所以AD-3+(3)*-23.由 又在Rt△AOF中,OAF=30*, 三角形的面积,得OE·AD一OA·OD,所以 ..AO-2OF. OA·OD3×③ 3-1.5.所以EO- .x+2-2/2.x-2/2-2. OE AD 23 ·当x-2②-2时,O与AM相交于 r=1.5.所以O与AD相切 B,C两点,日 BOC-90*。 点拨:判断一个圆与直线相切,我们可以从 圆心到直线的距离是否等于圆的半径入手 进行分析、判断 ① ② 答图24-6-3 答图24-6-2 第7课时 圆的切线的性质和判定 7.解:连接OA,延长CO交O于D. 【基础巩固】 .7 OC,..OC平分AB,.'.AH-8cm 1.B 2.C 在 Rt△AHO中,OH=AO-AH*= 3.A 点拨:由于D是圆上一点,所以要说明 V10{-8-6(cm). DE是切线,只需证明OD DE即可,又因 .'.CH-4 cm,DH-16cm. 为DE AC,所以当AC//OD时,可得ODl ·直线AB向左平移4cm或向右平移 DE.因为当CD=DB时,即D为BC的中 16cm时与⊙O相切 点,而O为AB的中点,所以OD//AC.在 精彩一题 当AB一AC时,连接AD,因为AB是直 解:(1)假设⊙O与AM相切于点F,如 径,所以AD1BC,所以CD=DB,因此B C.D选项均可以说明DE是。O的切线. . DAC十ACD-90*, 4.C 点拨:连接OC,由OA=OC得 OCA :. ADC=90*...AD |CD A一25^{},再利用三角形外角的性质得 (2)解:过C作CE |AB...CD=CE. DOC= A十 OCA=50{*,由切线性质 在Rt△ADC与Rt△AEC中,AC=AC. 得 DCO-90*,'D-90*-50*-40*。 CD-CE, 5.6 点拨:连接OA,构造直角三角形,利用 ..Rt△ADCRt△AEC 勾股定理列方程,在几何图形中求线段的 'AD-AE..AD-2,AC=/5. 长,常采用代数方法解决几何问题. ..CD-VAC-AD-1. 6.(1)证明:连接AO,则AO|PA, ..AE-2,CE=1,设BE-x .B=60{*$'$AOC-2 $B=12 0*$$ 则BC=CE*+BE*=1+x*.$ ..AOP-60{,.P-30* Rt△ABC中,BC*-AB{-AC*=(2+x)2} 又:OA-OC,.'ACP-30*. -(/5)2. '.P=ACP,.AP=AC. .1+x^2=(2十x)2-(5)},解得x=0.5. (2)解:在Rt△PAO中,P=30{,PA=3 .AB-AE+BE-2.5. PO=2OA.PO-23,CO=OA-③. 7.证明:如答图,连接OD.BD *PC=PO+C-2/③+/③=3③ 因为AB是。O的直径, 【能力提升】 所以 ADB-90{*, 1.A 点拨:连接OC,利用三角形外角与内 所以BD|AC 角的关系得出COD=60{},再进一步在 因为AB-BC. 答图 Rt△OCD中求CD的长. 所以AD-DC. 2.C 3.3③ 因为OA=OB,所以OD/BC 4. CAE-B AB1FE BAC+ 因为DE BC,所以DE OD CAE一90* 点拨:答案不唯一.本题主 所以直线DE是⊙O的切线 要考查切线的判定,所加条件必须能使 8.解:(1)连接OA,因为AB是O的切线,A ABEF成立 为切点, 5.80 所以OA|AB.在Rt△AOB中. 6.(1)证明:连接BC,OC,则ACB-90{} A$-OB-AB{-13-12-5. 即 B十 CAB-90* 所以⊙O的半径为5. .直线CD是。O的切线. (2)因为OH1AC,所以在Rt△AOH中, .DCO-90. 即 DCA+ /ACO=90^{*}。 $AH=A-OH=5-2-/21$ :OA=OC...OAC=OCA. 又因为OH|AC,所以AC-2AH-2/②1 .B-ACD 精彩一题 .AC平分DAB.:DAC=BAC 证明:(1)过D作DF AC,.AD平分 . B+BAC-90{. BAC,DB |AB. ·.BD-DF.'.AC是O的切线 ' APO-30{$. AOP-60 (2)在Rt△ABD与Rt△AFD中,AD : AOB-2AOP=120* AD.BD-DF. 8.(1)证明:如答图24一8-1. ..Rt△ABD2Rt△AFD..'AB=AF. 连接OC. 在Rt△BDE与Rt△FDC中,BD=DF, ·D为BC的中点. DE-DC. .CD-BD. .R△BDERt△FDC. ..BE-CF. 答图24-8-1 .'.AB+BE-AF+CF=AC 第8课时 圆的切线长性质 .A= DOB. (2)解:DE与O相切,理由 【基础巩固】 “.A= DOB, 1.C 点拨:连接OA,OB,所以可得四边形 .'.AE/OD OBPA是正方形,所以OA=PA=2,由勾 “. DE AE...OD IDE 股定理可知OP的长为2/2 .DE与O相切 2.A 点拨:三角形内切圆的圆心是三角形三 【能力提升】 条角平分线的交点 1.B 3.C 2.B 点拨:利用圆外一点和圆心的连线平分 过这点引的圆的两条切线的夹角,得出一 个锐角是30{}的直角三角形,利用勾股定理 5.50cm 点拨:连接ON,则ONIPN.利用 再进一步求解. 切线长定理,得出OPN一30{,再利用直 3.D 点拨:设正方形的边长为a,BE三x.由 角三角形中30角所对的直角边与斜边的 切线长定理知 BE=EF=x,CD=DF=a 关系得出OP的长 在Rt△AED中,AE-a-x,AD=a,DE 6.76 点拨:.PA,PB是⊙O的切线,..PA a+x.由勾股定理可知DE^{}三AE^{}十AD}, PB,PAOA. PAB=PBA.OAP 所以(a十x){②}-(a-x){十a^{②,解得x= $$ ${} $PBA=$PAB=90$-$OAB=$$$ $0-38^-52*}:P-180*-52^-52^*-76^} 所以△DAE的周长为AD+AE+DE= 7.解;:PA,PB是O的切线,切点为A,B. 3a.直角梯形EBCD的周长为BE十DE+ '.OA |PA,OB |$PB. APO=BPO. CD+BC-。 ' AOP- BOP 6:7. 在Rt△PAO中,由勾股定理,得 4.3③ 点拨:在Rt△ABC中求出AB的长 $A=OP-PA-4-(2 ③)-4. 再证明入PAB是等边三角形,由此求出 .OA-2. △PAB的周长,此题虽是填空题,但涉及 的知识点较多