第4课时 圆周角-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第4课时圆周角 基础巩固 1.如图24一4一1所示，下列各图形中的角是圆 周角的有( 图24一4一4 A.60° B.30 C.40 D.70 7.如图24一4-5，AC为⊙0的弦，点B在AC 图24-4-1 上，若∠CB0O=58°，∠CAO=20°，则∠AOB A.①② B.③ C.③④ D.③④⑤ 的度数为 2.在同圆中，同弦所对的圆周角( A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.互余 3.AB是⊙O的弦，∠AOB=88°，则弦AB所对 图24-4-5 图24-4-6 的圆周角是( 8.如图24一4一6，∠ABC,∠ADC与∠AEC的 A.44° B.44°或136 关系是 C.136 D.60 9.如图24一4一7，AB为⊙O的直径，弦DA, 4.如图24一4一2，四边形ABCD内接于⊙O,它 BC的延长线相交于点P,且BC=PC,求证： 的对角线把四个内角分成八个角，图中相等 (1)AB=AP; 的角有( (2)BC-CD. A.2对 B.4对 C.6对 D.8对 图24-4-7 图24-4-2 图24-4-3 5.如图24-4-3，点B、C在⊙O上，且BO BC,则圆周角∠BAC等于( A.60° B.50 C.40 D.30° 6.如图24一4一4，在⊙O中，弦BC平行于半径 OA,AC交OB于M,∠C=20°，则∠AMB等 于() 能力提升 1.如图24-4-8，A、B、C是⊙O上的三点，且 5.如图24一4一12，△ABC是⊙O的内接三角 A是优弧BAC上与点B、C不同的一点，若 形，点C是优弧AB上一点（点C不与A,B △BOC是直角三角形，则△BAC必是( 重合)，设∠OAB=a,∠C=B. A.等腰三角形 (1)当a=35时，求3的度数： B.锐角三角形 (2)猜想α与3之间的关系，并给予证明. C.有一个角是30的三角形 D.有一个角是45的三角形 图24-4-12 图24-4-8 图24-4-9 图24-4-10 2.如图24-4一9，△ABC内接于⊙O,D是AB 上的一点，E是AC上的一点，若∠BAC 50°，则∠D+∠E的度数为( 结影-题 A.220°B.230° C.240 D.250° 如图24一4一13，已知AB为半圆O的直径，C, 3.如图24一4-10，AB是⊙O的直径，C是圆上 D是半圆O上的两点，E是AB上除O外的一 一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D, 点，AC与DE相交于点F,现有三个关系： ∠ABC=26°，则∠ABD= ①AD=CD,②DE⊥AB,③AF=DF 4.如图24一4-11，AB是⊙O的直径，以OA为 (1)写出以①②③中的任意两个为条件，推出 直径作⊙C,AD为⊙O的弦，交⊙C于E,试 第三个（结论）的一个正确命题，并加以 问，当D点在⊙O上运动时（不与点A重 证明： 合)，AE与ED的长度有何关系？证明你的 (2)以①②③中的任意两个为条件，推出第三 结论 个（结论），可以组成多少个正确的命题？ (不必说明理由) 图24-4-11 图24-4-13根据圆的对称性，则A'必在⊙O上. 第4课时 圆周角 连接BA'交MN于点P,连接PA, 则PA十PB最小， 【基础巩固】 此时PA+PB=PA'+PB=A'B. 1.B 连接OA、OA'、OB. 2.C点拨：在同圆中，弦所对的圆周角有两 :AN=号MN, 种情况：(1)在弦的同旁，(2)在弦的两旁. 易错点，容易忽略第(2)种情况，即两角 .∠A'ON=∠AON=60° 互补. :AB=BN,∠BON=号∠A0N=30. 3.B点拨：弦所对的圆周角有两个. .∠A'OB=90°， 4.C点拨：别忘了对顶角相等. ∴.A'B=√OA+OB=√12+1严=√2. 5,D点拨：，OB=OC,OB=BC,∴.△OBC是 等边三角形，.∠BOC=60°，∴.∠BAC= 即AP+BP的最小值是√2. 精彩一题 7∠B0C=2×60=30. (1)证明：，∠A=60°，AB=AC, 6.A .△ABC是等边三角形， 7.76°点拨：如答图24一4一1， .∠DBO=60° 连接OC..OA=OC=OB, 又，OB=OD,.△BOD是等边三角形， ∴.∠A=∠OCA=20°，∠B .∠BOD=60. ∠OCB=58°，∴.∠ACB= 答图24一4一1 同理∠COE=60°， ∠OCB-∠OCA=58°-20°=38°， ∴.∠DOE=180°-∠BOD-∠COE= .∠AOB=2∠ACB=76. 180°-60°-60°=60°， 8.相等 且OD=OE,.△DOE是等边三角形. 9.证明：(1)连接AC,'AB是⊙O的直径， (2)解：△DOE仍然是等边三角形.理由 .∠ACB=90°.又.BC=PC, 如下： ∴.AB=AP .BO=DO,∴.∠B=∠BDO, (2)连接BD,CD,AB是⊙O的直径， .∠BOD=180°-2∠B, .∠ADB=90°.又，BC=PC, 同理∠EOC=180°-2∠C, .∠DOE=180°-（∠BOD+∠EOC)= .CD-PB-CB.-CD. 180°-[(180°-2∠B)+(180°-2∠C)]= 【能力提升】 180°-[360°-2（∠B+∠C)]=2(∠B+ 1.D ∠C)-180°=2(180°-∠A)-180°=2× 2.B点拨：如答图24一4一2，因为四边形 (180°-60)-180°=60°，且OD=OE, ADBC内接于⊙O,所以∠2+∠D=180. .△DOE是等边三角形. 同理可得∠1十∠E=180°.所以∠1十 ∠2+∠D+∠E=360°.又因为∠1+∠2= (2)可以得到三个正确的命题： 180°-∠BAC=130°，所以∠D+∠E=230°. ①如果AD=CD,DE⊥AB, 那么AF=DF; ②如果AD=CD,AF=DF, 那么DE⊥AB: ③如果DE⊥AB,AF=DF, 答图24一4一2 那么AD=CD. 3.58 4.解：AE=ED.证明如下：连接OE,因为OA 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 为⊙C的直径，所以OE⊥AE,所以AE= 第5课时点和圆的位置关系 ED. 5.解：(1)连接OB,.OA=OB, 【基础巩固】 .∠OBA=∠OAB=35°， 1.C2.B3.B4.D ∴.∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB=110°. 5.56.(-2,-1) B=2∠A0B=55, 7.2√2点拨：如答图24-5一1，作圆的直径 CH,连接BH.由圆周角定理的推论得 (2)a与3的关系为3=90°-a.证明如下： ∠H=∠A=45°，∠HBC=90°，.CH= OA=OB,.∠OBA=∠OAB=a, 2BC=2√2cm. .∠AOB=180°-∠OBA-∠OAB= 180°-2a. ÷g=2∠A0B=90°-a 精彩一题 答图24-5-1 解：(1)命题：如果AF=DF,DE⊥AB, 8.解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D 那么AD=CD. 在⊙A上 证明：如答图24一4一3，连接BD,AD. (2)3 cm<r<5 cm 【能力提升】 1.C点拨：易得PB=6,PC=9,⊙P的半径 为7，则点B在⊙P内，点C在⊙P外 答图24一4-3 2.D点拨：∠BAC为△ABC外接圆的圆周 因为AB为半圆O的直径，所以∠ADE十 角，又，∠BOC=70°，.∠BAC=35 ∠BDE=90. 或145°. 又因为DE⊥AB,所以∠B十∠BDE= 3.A点拨：连接OP,则OP为△ACD的中 90°， 所以∠B=∠ADE.因为AF=DF, 位线，OP=?AD=AB=.由已知易得 所以∠CAD=∠ADE. ⊙O的半径为3，故点P在⊙O内. 所以∠B=∠CAD,所以AD=CD】 4.38