第3课时 弧、弦、圆心角-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第3课时弧、弦、圆心角 基础巩固 1,下列命题：①相等的圆心角所对的弦不一定 6.如图24-3一4，AB是⊙O的直径，BC= 相等：②圆心角不等，所对的弦就不相等： CD=DE,∠BOC=40°，则∠AOE等于 ③相等的弦所对的圆心角相等；①两条弧不 相等，它们所对的圆心角有可能相等：⑤两条 弧不相等，它们所对的弦就不等.其中真命题 有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 图24-3-4 2.如图24-3-1，AB是⊙O的直径，BC、CD、 7.如图24一3一5，在☐ABCD中，以A为圆心， DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA,则 AB长为半径的圆分别交AD、BC于点F、G, ∠BCD的度数为( 交BA的延长线于点E.求证：EF=FC A.100° B.110 C.120° D.135 图24-3-5 图24一3-1 图24-3-2 图24一3一3 3.下列说法中，正确的是( A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等，所对的圆心角相等 4.如图24一3一2，圆上有A、B、C、D四点，圆内 有E、F两点，且E、F在BC上，若四边形 AEFD为正方形，则下列关系中正确的 是( A.AB<AD B.AB=AD C.AB<BC D.AB-BC 5.如图24一3-3所示，⊙O中，AB、AC为两条 弦，且∠BAC=120°，AB=AC=3cm,则⊙O 的直径为 能力提升 1.观察下列选项中的各图及相应推理，其中正 6.如图24一3一9，A点是半圆上一个三等分点， 确的是( B点是AN的中点，P是直径MN上一动点， ⊙O的半径为1，则AP+BP的最小值为 多少？ /A0B= A'OB -ADBC ABh⊙O的。M睡H平分AD AB-Ai AB=CD .∠A0B=20 ,=M在 A B D 2.如图24-3-6，已知AB、CD是⊙O的两条 直径，且∠AOC=50°，过点A作AE∥CD交 图24-3-9 ⊙O于点E,则AE的度数为() A.65° B.70 C.75 D.80 3.在⊙O中，弦AB与半径OC互相垂直平分， 则弦AB所对的圆心角为 精影一题 如图24一3一10①，在△ABC中，∠A=60°， 以BC为直径的⊙O分别交AB,AC于D,E. 图24-3-6 图24-3-7 (1)若AB=AC,求证：△DOE是等边三 4.如图24-3-7，在△ABC中，∠A=80°，且 角形： ⊙O在三边上截得的弦长相等，则∠BOC的 (2)如图24一3一10②所示，AB≠AC,则(1) 度数为 中的结论是否成立？如果成立，请给出证 5.如图24-3-8，射线AM交⊙O于点B、C, 明：如果不成立，请说明理由. 射线AN交⊙O于点D、E,且BC=DE.求 证：AC=AE. 0 ② 图24-3-10 图24一3一8ABLCD.AE--AB-号X10=5. 又.AB=AG,∴.∠B=∠2. ∴∠3=∠1，.EF-FG 在Rt△AOE中，OA2=AE+OE, 即R2=52+(R-1)2, 解得R=13,.CD=2R=2×13=26. 精彩一题 答图24-3-1 解：(1)结论：OD∥BC.证明如下： 【能力提升】 连接OC,OA=OC=OB, 1.B ∴.∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB. 2.D点拨：连接OE.,AE∥CD,∴.AC= 又.'∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC= DE.又：∠AOC=50°，∴∠E0D=50°， 180°， .∠AOE=80°. ∴.∠OCA+∠OCB=90°. 3.120 .∠ACB=90°，即BC⊥AC. 4.130°点拨：过O作OM⊥AB,ON⊥AC, 又，OD⊥AC,.OD∥BC. OP⊥BC,垂足分别为M,N,P.,∠A= (2)结论：EF=BE+FC.证明如下： 80°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A= .OD⊥AC,∴.AD=DC. 100°.又.OM=ON=OP,.O是∠ABC和 又O为AB的中点， ∠ACB平分线的交点.∴.∠BOC=180° .OD是△ABC的中位线，.BC=2OD. 2(∠ABC+∠ACB)=180°-2×100°= 在△ODG和△FEG中， 130 ,DG=EG,∠GOD=∠GFE,∠ODG= 5.证明：如答图24-3-2，连接AO, ∠FEG .△ODG≌△FEG. ..OD=EF,BE+EF+FC=BC=20D= 2EF, 答图24-3-2 ∴.EF=BE+FC. 过圆心O作AM、AN的垂线段OF,OG. 第3课时弧、弦、圆心角 在⊙O中，，BC=DE ∴.BC=DE,∴.OF=OG 【基础巩固】 .Rt△AFO≌Rt△AGO,∴.AF=AG 1.C2.C3.B4.C ,OF⊥BC,OG⊥DE, 5.6cm6.60 7.证明：如答图24一3一1. FC-7 BC,GE-2DE, 连接AG ∴.FC=GE,∴.AC=AE. AD∥BC,∴.∠3=∠B,∠1=∠2. 6.解：作点A关于MN的对称点A', 根据圆的对称性，则A'必在⊙O上. 第4课时 圆周角 连接BA'交MN于点P,连接PA, 则PA十PB最小， 【基础巩固】 此时PA+PB=PA'+PB=A'B. 1.B 连接OA、OA'、OB. 2.C点拨：在同圆中，弦所对的圆周角有两 :AN=号MN, 种情况：(1)在弦的同旁，(2)在弦的两旁. 易错点，容易忽略第(2)种情况，即两角 .∠A'ON=∠AON=60° 互补. :AB=BN,∠BON=号∠A0N=30. 3.B点拨：弦所对的圆周角有两个. .∠A'OB=90°， 4.C点拨：别忘了对顶角相等. ∴.A'B=√OA+OB=√12+1严=√2. 5,D点拨：，OB=OC,OB=BC,∴.△OBC是 等边三角形，.∠BOC=60°，∴.∠BAC= 即AP+BP的最小值是√2. 精彩一题 7∠B0C=2×60=30. (1)证明：，∠A=60°，AB=AC, 6.A .△ABC是等边三角形， 7.76°点拨：如答图24一4一1， .∠DBO=60° 连接OC..OA=OC=OB, 又，OB=OD,.△BOD是等边三角形， ∴.∠A=∠OCA=20°，∠B .∠BOD=60. ∠OCB=58°，∴.∠ACB= 答图24一4一1 同理∠COE=60°， ∠OCB-∠OCA=58°-20°=38°， ∴.∠DOE=180°-∠BOD-∠COE= .∠AOB=2∠ACB=76. 180°-60°-60°=60°， 8.相等 且OD=OE,.△DOE是等边三角形. 9.证明：(1)连接AC,'AB是⊙O的直径， (2)解：△DOE仍然是等边三角形.理由 .∠ACB=90°.又.BC=PC, 如下： ∴.AB=AP .BO=DO,∴.∠B=∠BDO, (2)连接BD,CD,AB是⊙O的直径， .∠BOD=180°-2∠B, .∠ADB=90°.又，BC=PC, 同理∠EOC=180°-2∠C, .∠DOE=180°-（∠BOD+∠EOC)= .CD-PB-CB.-CD. 180°-[(180°-2∠B)+(180°-2∠C)]= 【能力提升】 180°-[360°-2（∠B+∠C)]=2(∠B+ 1.D ∠C)-180°=2(180°-∠A)-180°=2× 2.B点拨：如答图24一4一2，因为四边形 (180°-60)-180°=60°，且OD=OE, ADBC内接于⊙O,所以∠2+∠D=180. .△DOE是等边三角形. 同理可得∠1十∠E=180°.所以∠1十