第2课时 垂直于弦的直径-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第2课时 垂直于弦的直径 基础巩固 1.如图24一2-1,在。0中,AB是直径,CD是 5.如图24一2一4,将半径为2cm的圆形纸片折 弦,AB CD于M,则下列四个结论;①CM= 叠后,圆孤恰好经过圆心O,则折痕AB的长 DM;②AC-AD;③BC=BD;④ C= D. 为( ) A.2cm ) 其中成立的有( B.③cm A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C.23cm D.25cm 6.过⊙O内一点M的最长的弦长10cm,最短的 弦长8cm:那么⊙O的半径是 cm. 7.如图24-2-5,AB为⊙0的 直径,CD是O的弦,AB、 CD交于点E,OF1CD,垂足 图24-2-1 图24-2-2 为 F,OF=3 cm,EOF= 2.已知O的半径为5cm,A为⊙O内一点; 图24-2-5 45* ,FD-4cm,则DC cm,OE= AO=3cm,那么过点A最短的弦的长 cm,EB= cm,AE= 为( _~ cm. A.4cm B.34cm 8.如图24-2-6,CD为O的直径,AB1CD C.8cm D.5/2cm 于E,DE=8cm,CE=2cm.求AB的长. 3.如图24一2一2,在以0为圆心的两个同心 圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点,弦 AB-10cm,CD=6cm,则AC的长为 _ A. 0.5cm B. 1cm 图24-2-6 C. 1.5cm D.2cm 4.如图24-2-3,矩形ABCD与⊙O相交于 M N、F、E,若AM=2,DE=1,EF=8,则$ MN的长为( ) A.2 C.6 B.4 D.8 图24-2-3 图24-2-4 能力提升 1.如图24-2-7,O过点B,C,圆心0在等 5.如图24-2-11,CD为⊙O的直径,弦ABl 腰Rt△ABC的内部, BAC=90{,OA-1; CD,垂足为E,CE=1,AB-10,求直径CD BC-6,则。O的半径为( ) 的长. A.6 B.13 C./13 D.2/13 图24-2-11 图24-2-7 图24-2-8 图24-2-9 2.如图24-2-8,AB,AC都是⊙O的弦; OM AB,ONIAC,垂足分别是点M,N,如 果MN-3,那么BC= 3.如图24一2-9是一条水平铺设的直径为2 米的管道横截面,其水面宽1.6米,则这条管 精彩一题 道中此时水最深为 米. 如图24-2-12,AB是⊙0的直径,C是C 4.如图24-2-10,0的直径AB=15cm,有 上一点,过圆心O作OD1AC,D为垂足,E 一定长为9cm的动弦CD在AnB上滑动(点 是BC上一点,G是DE的中点,OG的延长 C与点A,点D与点B不重合),且CE CD 线交BC于F. 交AB于E,DF CD交AB于F (1)图中线段OD,BC所在的直线有怎样的位 (1)求证:AE=BF; 置关系?写出你的结论,并给出证明过程 (2)在动弦CD滑动过程中,四边形CDFE的 (2)猜想线段BE,EF,FC三者之间有怎样的数 面积是否发生变化?若变化,请说明理 量关系,写出你的结论,并给出证明过程. 由:若不变,请予以证明并求出这个定值 图24-2-10 图24-2-12“梯形ABCD的面积=号X(2+4)× √32+2=√13，故选C. √3=33. 答图24-2一1 答图24-1-2 2.6点拨：ON⊥AC,OM⊥AB,∴.AN 第2课时垂直于弦的直径 CN,AM=BM,∴.BC=2MN=2×3=6. 3.0.4点拨：如答图24-2一2所示，连接 【基础巩固】 AO,过点O作OC⊥AB于点C,交⊙O于 1.D 点D,因为AB=1.6米，所以AC=0.8米， 2.C点拨：过A点最短的弦即为与OA垂直 管道横截面直径为2米，所以半径OA 的弦. 1米.在Rt△OAC中，根据勾股定理得 3.D OC=√O0A-AC=√1-0.8=0.6（米）. 4.C点拨：连接OE、OF、OM、ON,过O作 所以水深CD=OD一OC=1-0.6=0.4(米). OH1AB于H,交CD于G.“BG=EF= 4,四边形AHGD为矩形，AH=DG=5, ∴.MH=3,∴.MN=2MH=6. 5.C点拔：根据垂径定理，2AB=√2-下 答图24-2-2 4.(1)证明：过O作OG⊥CD于G,由垂径定 3,所以AB=23cm. 理得G为CD中点， 6.57.83√2(5-32)(5+3√2) 又，EC⊥CD,DF⊥CD,.EC∥OG∥DF, 8.解：连接OA,在Rt△OAE中，OE=(8+2) ∴.EO=OF.又AO=OB. ÷2-2=3(cm),OA=5cm,根据勾股定理 ∴.AO-OE=OB-OF,即AE=BF. 可得AE=4cm,因为AB⊥CD,所以AB= (2)解：四边形CDFE的面积不发生变化. 2AE=8 cm. 理由如下： 【能力提升】 1.C点拨：如答图24-2-1，连接OB、OC, 连接OC.由(1D知cG=CD=-号cm, 作AD⊥BC于D,'△ABC是等腰直角三 在Rt△OCG中，OG=√OC-CG= 角形，∴.AD是底边BC的垂直平分线， √-( =6(cm). ∠ABC=45°..OB=OC,∴.点O在AD 上.BD=AD=号BC=号X6=3 .S倒边形cmfE=OG·CD=6X9=54(cm2), 即CD在AmB上滑动时，四边形CDFE的 ∴.OD=AD-OA=3-1=2.在Rt△OBD 面积始终为54cm. 中，由勾股定理得OB=√BD+OD=5.解：连接OA,设⊙O的半径为R. ABLCD.AE--AB-号X10=5. 又.AB=AG,∴.∠B=∠2. ∴∠3=∠1，.EF-FG 在Rt△AOE中，OA2=AE+OE, 即R2=52+(R-1)2, 解得R=13,.CD=2R=2×13=26. 精彩一题 答图24-3-1 解：(1)结论：OD∥BC.证明如下： 【能力提升】 连接OC,OA=OC=OB, 1.B ∴.∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB. 2.D点拨：连接OE.,AE∥CD,∴.AC= 又.'∠OAC+∠OCA+∠OCB+∠OBC= DE.又：∠AOC=50°，∴∠E0D=50°， 180°， .∠AOE=80°. ∴.∠OCA+∠OCB=90°. 3.120 .∠ACB=90°，即BC⊥AC. 4.130°点拨：过O作OM⊥AB,ON⊥AC, 又，OD⊥AC,.OD∥BC. OP⊥BC,垂足分别为M,N,P.,∠A= (2)结论：EF=BE+FC.证明如下： 80°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A= .OD⊥AC,∴.AD=DC. 100°.又.OM=ON=OP,.O是∠ABC和 又O为AB的中点， ∠ACB平分线的交点.∴.∠BOC=180° .OD是△ABC的中位线，.BC=2OD. 2(∠ABC+∠ACB)=180°-2×100°= 在△ODG和△FEG中， 130 ,DG=EG,∠GOD=∠GFE,∠ODG= 5.证明：如答图24-3-2，连接AO, ∠FEG .△ODG≌△FEG. ..OD=EF,BE+EF+FC=BC=20D= 2EF, 答图24-3-2 ∴.EF=BE+FC. 过圆心O作AM、AN的垂线段OF,OG. 第3课时弧、弦、圆心角 在⊙O中，，BC=DE ∴.BC=DE,∴.OF=OG 【基础巩固】 .Rt△AFO≌Rt△AGO,∴.AF=AG 1.C2.C3.B4.C ,OF⊥BC,OG⊥DE, 5.6cm6.60 7.证明：如答图24一3一1. FC-7 BC,GE-2DE, 连接AG ∴.FC=GE,∴.AC=AE. AD∥BC,∴.∠3=∠B,∠1=∠2. 6.解：作点A关于MN的对称点A',