第9课时 实际问题与二次函数(二)-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第9课时卜实际问题与二次函数（二） 基础巩固 1.如果用长8m的铝合金条制成如图22一9一1 面积之和最小？最小面积是多少？ 所示形状的矩形窗框，且使窗户的透光面积 最大，那么这个窗户最大的透光面积是 () Amm D.4 m2 图22-9-3 一8m 图22-9-1 图22-9-2 5.如图22-9-4，在△ABC中，∠B=90°，AB= 2.某大学的校门是如图22一9一2所示的一抛 22cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB 物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m, 边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B 两侧距地面4m高处各有一个挂校名横匾用 开始沿BC边向点C以1cm/s的速度移动， 的铁环，两铁环的水平距离为6m,则校门的 P、Q分别从A、B同时出发. 高为（精确到0.1m,水泥建筑物厚度忽略不 (1)求四边形APQC的面积y(单位：cm)与 计)() P、Q的运动时间x(单位：s)的函数关系 式及这个函数自变量x的取值范围： A.9.2m B.9.1m (2)求四边形APQC面积的最小值，并求此 C.9 m D.5.1m 时x的值 3.某中学准备用一面墙，另三边用竹篱笆围成 一个面积为y(m)的长方形花坛，竹篱笆的 长为36m,墙长为20m,则当花坛的长和宽 分别为 m和 m时，才能使 竹篱笆围成的花坛面积最大，此时花坛的最 图22-9-4 大面积为 m2. 4.如图22-9一3，在△ABC中，AB=AC=1, ∠CAB=90°，D是AB上的一点，过D作 DE⊥BC于E,延长ED交CA的延长线于 F,当D在什么位置时，△DBE和△DAF的 能力提升 1.有一个底角为60°，周长为40的等腰梯形，最 5.某建筑物的窗户如图22一9一8，它的上半部 大面积为() 分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料 A.20 B.503C.100 D.8√3 总长为15m,当x等于多少时，窗户通过的 2.如图22-9一5，在矩形ABCD中，AB= 光线最多（精确到0.01m)？此时窗户的面 6cm,BC=12cm,点P从点A出发，沿AB 积是多少（精确到0.1m)? 边向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q 从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速 度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两 点后就停止运动，设运动t秒时，五边形 APQCD的面积为Scm,在运动过程中，S 最小为( ) 图22-9-8 A.9 B.63 C.72 D.54 6.如图22一9一9，要建一个长方形养鸡场，养鸡 图22-9-5 图22-9-6 3.如图22-9一6，P是菱形ABCD的对角线 场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中 AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形 间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设养鸡场的长 ABCD的边于M、N两点，设AC=2,BD= 为xm. 1,AP=x,△AMN的面积为y,则y关于x (1)要使养鸡场面积最大，养鸡场的长应为 的函数图象的大致形状是( 多少？ 个个 (2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆 隔墙，要使养鸡场面积最大，养鸡场的长 A B 应为多少？比较(1)(2)的结果，你能得到 4.如图22一9一7，抛物线的对称轴是直线x= 什么结论？ 1,它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，点A,C的坐标分别是(-1,00,2》 若点P是抛物线上位于x轴上方的一动点， 图22-9-9 则△ABP面积的最大值是 图22-9-7 7.某景区要建一个游乐场（如图22一9一10所 少精彩一题 示)，其中AD,CD分别靠现有墙DM,DN 把一边长为40cm的正方形硬纸板进行适当 (墙DM长为27米，墙DN足够长)，其余用 的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽 篱笆围成.篱笆DE将游乐场隔成等腰直角 略不计)： 三角形CED和长方形ADEB两部分，并在 (1)如图22一9一11，若在正方形硬纸板的四 三处各留2米宽的大门.已知篱笆总长为54 角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余 米.设AB的长为x米 部分折成一个无盖的长方体盒子。 (1)BE的长为 米（用含x的代数式 表示)： (2)当AB为多长时，游乐场的面积为320平 方米？ 图22-9-11 (3)直接写出当AB为多少米时，游乐场的面 ①要使折成的长方体盒子的底面积为 积达到最大，最大值为多少平方米？ 484cm,那么剪掉的正方形的边长为 多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最 大值？如果有，求出这个最大值和此时 图22-9-10 剪掉的正方形的边长：如果没有，说明 理由： (2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形 (即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬 纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖 的长方体盒子，若折成的长方体盒子的表 面积为550cm,求此时长方体盒子的长、 宽、高（只需求出符合要求的一种情况）又，大棚的长为16m, 所以PB=(22-2.x)cm. ∴.需要搭建支架部分的土地的面积为 所以S△PQ= 号PB·BQ=(2-2x) 16×号-8(m), x=-x2+11x. 故共需要88×4=352（根）竹竿 所以S四边形APOC=S△ABC一S△PmQ 第9课时实际问题与二次函数（二） =2AB,BC-(-r+11) 【基础巩固】 =号×2×20+x-11 1.C2.B =220+x2-11x. 3.189162 即y=x2-11x+220. 4.解：设AD=x,则DB=1一x,△DBE和 因为0<2x<22,所以0<x<11. △DAF的面积之和为S. 因为AB=AC=1,∠BAC=90°， (2)因为y=2-11x+220=(-号)+ 所以∠B=∠C=45° 759 又因为DE⊥BC,所以BE=DE, 4, 因为BD=1一x, 所以当x 号时=7 4 所以BE=DE-号1-. 【能力提升】 1.B2.B 所以s=竖1-+女 2L2 3.C点拨：由图可知，当0长≤1时y=, 是- 1 -2x+4 当1<≤2时，y=- x+x,所以正确答 1 =广+ 案应为C. 4.4 因为点D在线段AB上，所以0≤x≤1. 5.解：设半圆的半径为xm,矩形的长为ym, 所以当x=时，S最小，最小值为行 则宽为2xm. 由制造窗框的材料总长为15m, 所以当D点在AB上距点A为3时 得4y+7x+π.x=15. △DBE和△DAF的面积之和最小，最小 y=15=7-元.再由x>0y>0, 4 面积是行 15≈1.48. 点拔：本题考查了二次函数的应用问题及 得0<x<7 其最值的求法，关键是建立起两个三角形 设窗户的面积为S, 的面积之和与某条线段的函数关系，那么 则s15-7延.2+， 这条线段应该是与△DBE和△DAF都有 即S=-3.5x2+7.5.x. 联系的线段AD,然后通过配方求出S的最 b 7.5 小值. 2a 2X(-3.5)≈1.07， 5.解：(1)由题意知，AP=2xcm,BQ=xcm, 此时x在其取值范围内， ∴S能大=4ac二≈4.0. 7.解：(1)(60-3.x) 4a .当x大约为1.07m时，窗户通过的光线 (2)由题意得x(60-3x)+ 2x2=320. 最多，此时窗户的面积大约为4.0m. 解得x1=8,x2=16. 6.解：(1)依题意，得 x>2, 养鸡场面积y=x.50,一1= 1 60-3x≤27，解得11≤x<, 3 3x250 . 60-3.x>2, 配方，得y=一 x2-50)=-3 3 .x=16 当AB为16米时，游乐场的面积是320平 25)+625 方米。 六当x=25时，y大=625 (3)设游乐场的面积为y平方米，由题意得 即养鸡场的长为25m时，其面积最大，为 y=x(60-3x)+2r2=-32+60x 要成 5 (x-12)2+360. (2)如中间有n道隔墙，则养鸡场宽为 11<x<:当x=12时y有最大值。 50-x n十2m. 最大值为360. y=50-x ∴.当AB为12米时，游乐场的面积达到最 n+2 大，最大值为360平方米. +22*2+50 n+20 精彩一题 解：(1)①设剪掉的正方形的边长为 n+2r2-50x) 1 xcm,则 +2(x-25)2+625 (40-2x)2=484,即40-2.x=±22， n+2' 解得x1=31(不合题意，舍去)，x2=9. 625 ∴.当x=25时，y最大= .剪掉的正方形的边长为9cm. n+2' ②侧面积有最大值， 即养鸡场的长为25m时，养鸡场面积最 设剪掉的正方形的边长为xcm,盒子的 大，为配。 侧面积为ycm, 结论：无论养鸡场中间有多少道篱笆隔墙， 则y与x的函数关系式为y=4(40一 要使养鸡场面积最大，其长都是25m. 2.x)x, 点拨：近年的中考试题中，出现了很多分析 即y=-8(x-10)2+800, 和表示不同背景下实际问题中变量之间的 .x=10时，y最大=800， 二次函数关系的题型，并要求运用二次函 即当剪掉的正方形的边长为10cm时， 数的知识解决实际问题中的最大（小）值问 长方体盒子的侧面积最大，为800cm. 题，使同学们进一步获得利用数学方法解 (2)如答图阴影部分为剪掉部分， 决实际问题的经验，并进一步感受数学模 设剪掉的正方形的边长为xcm, 型思想和数学的应用价值. 则剪掉的矩形长为(20一x)cm. 答图 则2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+ .AB=4,抛物线y=一x2一2.x十3与y轴 2x(40-2.x)=550, 交于点C,且x=0时，y=3,∴.C点的坐标 解得=-35（不合题意，舍去），x2=15. 为030C=3.∴Sw=2AB.0C ∴.剪掉的正方形的边长为15cm. 此时长方体盒子的长为15cm,宽为10cm, 2×4X3=6,&S%m=25ac=3. 高为5cm. 作PE∥x轴交直线BC于点E,如答图 复习课 22一1.设直线BC的表达式为y=kx十 k十m=0, 【综合复习】 m,将B,C的坐标代入得 3=m, 解得 1.D2.D3.B4.B 5.D点拨：，抛物线的开口向下，与y轴交 k=一3， ∴.直线BC的表达式为y=一3.x十 于正半轴，对称轴在y轴右侧，.a<0,b m=3, 0,c>0,ab<0,故①错误：：抛物线y= 3.设点P的坐标为(t,一 21+3),令-3.x+3=-2 ax2+b.x+c经过点（一2,0），(3,0)，∴.对称 21+3,解得x=+21 轴为直线x-之即-一名-？a=一6把 3 (--2+3 答图22-1 (-2,0)的坐标代人y=a.x2+bx+c得 4a-2b+c=-4b-2b+c=0,.c=6b,故 ②错误：抛物线开口向下，-3-> ×号×8=8，解得1=-2或3， 号--名-引%<m<%:故 .点P的坐标为(-2,3)或(3，一12). ③正确：.a=一b,c=6b,.方程cx2十 11.(1)400点拨：由题意可得， bx十a=0可变成6bx2十bx一b=0,即 p=500-10(x-50)=-10.x+1000, 6x+x-1=0,解得五=号 即日销售量p(盒)与每盒售价x(元)之间 的函数关系式是p=一10x+1000. ④错误.故选D, 当x=60时，p=-10×60+1000=400(x≥ 6.x1=-1,x2=3 50). 7.y=一(x一2)（答案不唯一）8.39.三 解：(2)由题意可得， 10.解：(1)由抛物线与x轴交于A(一3,0)， W=(x-40)(-10.x+1000)=-10.x2+ (1,0)两点， 1400x-40000=-10(x-70)2+9000. (-3)2·a-3b+3=0, a=一1， 得 解得 ,每盒售价不得少于50元，日销售量不 a+b+3=0, b=-2. 低于350盒， ∴.抛物线的表达式为y=一x2一2x十3. x≥50， x≥50， (2)存在，点P的坐标为（一2,3）或(3， 即 p≥350， -10.x+1000≥350， 一12).理由如下：，A(-3,0),B(1,0), 解得50≤x≤65.