第8课时 实际问题与二次函数(一)-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

22.3实际问题与二次通数 第8课时 实际问题与二次函数（一 基础巩固 1.某旅社有100个床位，当每床每晚收费50元 6.某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果 时，客床可以全部租出，已知收费每增加 以30元/千克销售，那么每天可售出400千 10元，就会少租出10个床位，为了减少投资 克.由销售经验知，每天销售量y(千克)与销 而使利润增加，每床每晚应提高( 售单价x(元)(x≥30)存在如图22一8一1所 A.20元或30元 B.20元 示的一次函数关系. C.30元 D.40元 y 2.将进货单价为50元的某种商品按零售价每 400 个80元出售时，每天能卖出20个，若这种商 200 品的零售价在一定范围内每降1元，其日销 0 3040 售量就增加1个，为了获得最大利润，应降 图22-8-1 价( (1)试求出y与x的函数关系式： A.5元 B.10元 (2)设某超市销售该绿色食品每天获得利润 C.15元 D.20元 p元，当销售单价为何值时，每天可获得 3.若一种服装销售盈利y(万元)与销售数量 最大利润？最大利润是多少？ x(万件)满足函数表达式y=一2.x2+4x+5, (3)根据市场调查，该绿色食品每天可获利润 则盈利最值为() 不超过4480元，现该超市经理要求每天利 A.最大值5万元 B.最大值7万元 润不得低于4180元，请你帮助该超市确定 C.最小值5万元 D.最大值6万元 绿色食品销售单价x的取值范围（直接写 4.出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可 出结果). 售出(28一x)个，则当x= 时，一天 出售该种手工艺品的总利润y最大， 5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生 产384件产品，现准备增加一批同类机器以提 高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产 条件不变，因此每增加一台机器，每台机器平 均每天将少生产4件产品，则增加 台机器可以使每天的生产总量最大，最大为 件. 能力提升 1.某产品每件成本为10元，试销阶段的售价 结彩一题 x(元)与销售利润y(元)满足y=(x一10)· 我国的大棚（如图22一8一2①）种植技术已十 (40一x),那么获利最多时的售价为( 分成熟.小明家的菜地上有一个长为16m的 A.10元 B.25元 蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线形状，大棚 C.40元 D.55元 的一端固定在离地面高1m的墙体A处，另 2.某商店购进一批单价为25元的日用品，如果 一端固定在离地面高2m的墙体B处，现对 以单价35元销售，那么半月内可销售出300 其横截面建立如图22一8一2②所示的平面直 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售 角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度 量减少.销售单价每提高1元，销售量相应减 y(m)与其离墙体A的水平距离x(m)之间的 少10件，当销售单价提高 元时，半月 可获得最大利润，最大利润为 元 关系满足y=一名+bx十c,现测得A,B两 3.某商店经营一种水产品，成本为每千克40元， 墙体之间的水平距离为6m. 据市场分析，若按每千克50元销售，一个月 (1)直接写出b,c的值： 能售出500千克：销售价每涨1元，月销售量 (2)求大棚的最高处到地面的距离； 就减少10千克，针对这种水产品的销售情 (3)小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建 况，销售单价定为 元时，获得的利润 最多 高为引m的竹竿支架若干，已知大棚内 4.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制 可以搭建支架的土地平均每平方米需要 造成本为18元，试销过程中发现，每月销售 4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可 以近似地看作一次函数y=一2x十100（利润 =售价一制造成本)。 (1)写出每月的利润z(万元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式； 图22-8-2 (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得 350万元的利润？当销售单价为多少元 时，厂商每月能获得最大利润？最大利润 是多少？ (3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售 单价不能高于32元，如果厂商要获得每月 不低于350万元的利润，那么制造出这种 产品每月的最低制造成本需要多少万元？5.x1=-1.5,x2=3.5 将A(5,0),B(0,2)代入y2=a.x2-4a.x+c, 6,k>-?且k≠0点拨：此函数为二次函 2 25a-20a+c=0, Q=- 得 解得 5 数，.k≠0.又，该二次函数的图象与x轴 c=2, c=2. 有两个交点，∴.b2一4ac=(一7)2一4×k× ∴抛物线的表达式为y=一 x2+ （一7)=49+28k>0,解得k>-号且≠0. 5x+2. @设点P的坐标为，一号x+2）.则 7.解：(1)，抛物线y=(m一1)x2+(m一2)x 一1与x轴有两个交点， r+8r+2. Q(x,-2 .△=(m-2)2-4(m-1)×(-1)>0且 m-1≠0， PQ=-+8+2-(-号x+2) 可知当m≠0时，△=m2>0,因此当m≠0 号x+2,当PQ- 且m≠1时， 抛物线与x轴有两个交点. 即-号+2x= 5 (2)设A、B两点的坐标分别为(x1,0), 解得x1=1,x2=4, (x2,0). :抛物线与y轴交于点C,∴.点C的坐标 当x=1或x=4时，PQ-g 为(0，-1)， (2)设P(x,k.x十2)，则Q(x,a.x2-4a.x+ .AB=x2-x1,OC=1. 2),PQ的长用1表示， 5M-AB.C-2, .l=a.x2-4a.x+2-(kx+2)=a.x2 (4a+k)x. ∴分一=2即有。-=4， PQ长的最大值为16， 由根与系数的关系，得 当h=16时，一元二次方程a.x2一4ax |x2-x2=(x2十x1)2-4x1,x2 k,x=h有两个相等的实数解： 当h>16时，一元二次方程a.x2一4a.x一 =(-4号 k.x=h没有实数解； m2 当0<h<16时，一元二次方程a.x2-4a.x (m-1)2' kx=h有两个实数解。 m2 六m”=16,解得m=m= 22.3实际问题与二次函数 精彩一题 第8课时实际问题与二次函数（一） 解：(1)①m=5,.点A的坐标为(5， 0),把A(5,0)代入y=kx+2得5k+ 【基础巩固】 2=0, 1.C点拨：设提高x元，获利y元，则y= 解得太一子， (50+x)(100-6×10)=-(x-25)2+ 5625.所以当x=25时，获利最大，但由题 直线表达式为=一号x十2. 意，每次提高的钱数都是整十数，所以x= 当x=0时，=2，.点B的坐标为(0,2). 20或30时获利最大，而x=30时租出的房 间较少，投资少，故选C 获利350万元. 2.A点拨：设降价x元，利润为W元，则 .'g=-2x2+136.x-1800=-2(x-34) W=(80-x-50)(20十x)=-x2+10x+ +512. 600=一(x一5)2十625，所以要想获得最大 .当销售单价为34元时，每月能获得最大 利润，应降价5元. 利润，最大利润是512万元. 3.B (3)结合(2)及函数x=-2.x2+136.x-1800 4.14 的图象（如答图）可知， 5.830976点拨：设增加x台，此时生产总 万元 512 量为y件，则y=(80十x)(384-4.x)= 35 -4x2+64x十30720，利用公式或配方法 求得 25344x元 6.解：(1)设y=k.x十b,由图象可知， 答图 30k十b=400, k=-20. 解得 40k+b=200. 当25≤x≤43时≥350， b=1000. 又由限价32元，得25≤x≤32， ∴.y=-20x+1000. (2)p=(.x-20)y=(x-20)·(-20.x+ 根据一次函数的性质，得 1000)=-20.x2+1400.x-20000. y=一2x+100中y随x的增大而减小， ,a=一20<0，∴p有最大值 .当x=32时，每月制造成本最低 1400 最低制造成本是18×（一2×32十100）= 当x=一 2×(-20) =35时，p最大=4500. 648(万元)， (3)31元≤x≤34元或36元≤x≤39元 因此，每月最低制造成本为648万元. 点拨：y与x之间是一次函数关系，且过点 精彩一题 (30,400)和(40,200)，故y与x之间的关 解：(1)b=6c=1. 系易求：每天获得的利润应为销售单价减 去进价，再乘销售数量，即p=（x一20)y. (2)由y=- 【能力提升】 1.B点拨：由函数解析式可知，抛物线与x 24 轴的两个交点为(10,0)、(40,0).根据二次 函数图象的性质可知，当x=25时，y取得 可知当=时y有最大值为受 最大值， 2.1040003.70 故大棚的最高处到地面的距离为受： 4.解：(1)x=(x-18)y (3)令y一引则有-君 6x+1=37 4 =(x-18)(-2.x+100) 13 =-2x2+136.x-1800. 解得x三2x= (2)由x=350,得350=-2.x2+136.x 又0≤x≤6， 1800, ∴.大棚内可以搭建支架的土地的宽为 解得x1=25,x2=43, ∴.销售单价定为25元或43元，厂商每月 6--2m>. 又，大棚的长为16m, 所以PB=(22-2.x)cm. ∴.需要搭建支架部分的土地的面积为 所以S△PQ= 号PB·BQ=(2-2x) 16×号-8(m), x=-x2+11x. 故共需要88×4=352（根）竹竿 所以S四边形APOC=S△ABC一S△PmQ 第9课时实际问题与二次函数（二） =2AB,BC-(-r+11) 【基础巩固】 =号×2×20+x-11 1.C2.B =220+x2-11x. 3.189162 即y=x2-11x+220. 4.解：设AD=x,则DB=1一x,△DBE和 因为0<2x<22,所以0<x<11. △DAF的面积之和为S. 因为AB=AC=1,∠BAC=90°， (2)因为y=2-11x+220=(-号)+ 所以∠B=∠C=45° 759 又因为DE⊥BC,所以BE=DE, 4, 因为BD=1一x, 所以当x 号时=7 4 所以BE=DE-号1-. 【能力提升】 1.B2.B 所以s=竖1-+女 2L2 3.C点拨：由图可知，当0长≤1时y=, 是- 1 -2x+4 当1<≤2时，y=- x+x,所以正确答 1 =广+ 案应为C. 4.4 因为点D在线段AB上，所以0≤x≤1. 5.解：设半圆的半径为xm,矩形的长为ym, 所以当x=时，S最小，最小值为行 则宽为2xm. 由制造窗框的材料总长为15m, 所以当D点在AB上距点A为3时 得4y+7x+π.x=15. △DBE和△DAF的面积之和最小，最小 y=15=7-元.再由x>0y>0, 4 面积是行 15≈1.48. 点拔：本题考查了二次函数的应用问题及 得0<x<7 其最值的求法，关键是建立起两个三角形 设窗户的面积为S, 的面积之和与某条线段的函数关系，那么 则s15-7延.2+， 这条线段应该是与△DBE和△DAF都有 即S=-3.5x2+7.5.x. 联系的线段AD,然后通过配方求出S的最 b 7.5 小值. 2a 2X(-3.5)≈1.07， 5.解：(1)由题意知，AP=2xcm,BQ=xcm, 此时x在其取值范围内，