第7课时 二次函数与一元二次方程-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

22.2二次通数与一元二次方程 第7课时二次函数与一元二次方程 基础巩固 1.关于x的一元二次方程x2一x一n=0没有实 6.如图22-7一2，抛物线y=ax2十bx十c与x 数根，则抛物线y=x2一x一n的顶点 轴交于点A(-1,0),B(2,0). 在() (1)方程a.x2+br十c=0的解为 A.第一象限 B.第二象限 (2)不等式ax2+bx十c>0的解集为 C.第三象限 D.第四象限 (3)不等式ax2十hx十c≤0的解集为 2.抛物线y=x2十(2m一1)x十m2与x轴有两 7.若抛物线y=x2十bx十8的顶点在x轴的负 个交点，则m的取值范围是( 半轴上，则b的值是 A.n B.m>-1 8.可以用如下方法求方程x一2x一2=0的实 4 数根的范围：利用函数y=x2一2x一2的图象 C.m D.n<- 可知，当x=0时，y<0,当x=一1时，y>0, 3.二次函数y=x2+x一6的图象与x轴交点的 所以方程有一个根在一1和0之间， 横坐标是( (1)参考上面的方法，求方程x2一2.x一2=0 A.2和-3 B.-2和3 的另一个根在哪两个连续整数之间： C.2和3 D.一2和-3 (2)若方程x2一2x十c=0有一个根在0和1 4.抛物线y=一3.x2一x+4与坐标轴的交点个 之间，求c的取值范围. 数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 5.小颖用计算器探索方程ax2+bx十c=0的 根，作出如图22一7一1所示的图象，并求得 一个近似根x=一3.4，则方程的另一个近似 根（精确到0.1）为( A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4 」 图22-7-1 图22-7-2 9.已知关于x的一元二次方程x2十x一m=0. 10.画出函数y=x2一4x一3的图象，根据图象 (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的 回答下列问题： 取值范围； (1)图象与x轴的交点坐标是什么？ (2)二次函数y=x2+x一m的部分图象如图 (2)方程x2一4x-3=0的解是什么？ 22一7一3所示，求一元二次方程x2十x一 (3)不等式x2-4.x-3>0,x2-4.x-3<0的 m=0的解. 解集分别是什么？ 图22-7-3 能力提升 1.若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0的 两个根为1=一2，x2=4,则二次函数y= ax2+bx十c的图象的对称轴为( A.直线x=一3 B.直线x=3 C.直线x=1 图22-7-4 图22-7-5 D.直线x=-1 3.已知m>n>0,若关于x的方程x2十2.x 2.如图22一7一4，以(1，一4)为顶点的二次函数 3一m=0的解为x1,x2(x1<x2),关于x的方 y=a.r2+hx十c的图象与x轴负半轴交于A 程x2十2x一3一n=0的解为x8,x1(x<x). 则下列结论正确的是( 点，则一元二次方程a.x2十b.x十c=0的正数 A.I<rI<x<t B.I<n<I<I 解的范围是( C.I<<<D.<x<< A.2<x<3 B.3<x<4 4.已知二次函数y=ax2十bx+c(a≠0)的部分 C.4<x<5 D.5<x<6 图象如图22一7一5所示，图象经过点(0,2)， 其对称轴为直线x=一1.下列结论：①3a十 结影一题 c>0:②若点（一4，），(3，y2)均在二次函数 如图22一7一7，直线y,=k.x十2与x轴交于 图象上，则y1>y2③关于x的一元二次方程 点A(m,0)(m>4),与y轴交于点B,抛物线 ax2十bx十c=一1有两个相等的实数根；④满 2=ax2-4ax十c(a<0)经过A,B两点.P 足a.x2+bx+c>2的x的取值范围为一2 为线段AB上一点，过点P作PQ∥y轴交抛 x<0.其中正确结论的个数为() 物线于点Q. A.1 B.2 C.3 D.4 (1)当m=5时： 5.已知抛物线y=a.x十bx十c的部分图象如图 ①求抛物线的表达式： 22-7一6所示，对称轴为直线x=1,抛物线 ②设点P的横坐标为x,用含x的代数式 与x轴的交点P的坐标是(3.5,0)，则关于x 表示PQ的长，并求当x为何值时， 的一元二次方程ax2+bx十c=0的两个实数 根为 PQ-5 (2)若PQ长的最大值为16，试讨论关于x的 一元二次方程a.x2一4a,x一kx=h的解的 个数与h的取值范围的关系， 图22-7-6 6.已知二次函数y=kx2一7x一7的图象与x轴 有两个交点，则k的取值范围为 7.已知二次函数y=(m-1)x2+(m-2)x-1 (m为实数) 图22-7-7 (1)当m为何值时，函数图象与x轴有两个 交点？ (2)若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴 交于C点，且S△Ac=2,试确定m的值.22.2二次函数与一元二次方程 (2)x1≈4.65，x2≈-0.65. (3)不等式x2-4.x-3>0 第7课时二次函数与一元二次方程 的解集为x<一0.65或x≥ 【基础巩固】 4.65:不等式x2-4x-3<0 1.A 的解集为-0.65<x<4.65. 答图22-7-1 2.C点拨：根据？-4ac=(2m-1)2-4m2>0 【能力提升】 求得. 1.C2.C 3.A4.A5.D 3.B点拨：关于x的方 6.(1)x1=-1,x2=2(2)-1<x<2(3)x 程x2十2x-3-m=0 ≤-1或x≥2 的解为抛物线y= 7.42 x2十2x-3与直线y= 8.解：(1)利用函数y=x2一2x一2的图象可 m的交点的横坐标，关 答图22-7-2 知，当x=2时，y<0:当x=3时，y>0, 于x的方程x2十2x 所以方程的另一个根在2和3之间. 3-n=0的解为抛物线y=x2十2x一3与 (2)函数y=x一2.x十c图象的对称轴为直 直线y=n的交点的横坐标，如答图22 线x=1. 7-2,由图可知，x1<x<x4<x2,故选B c>0, 4.B点拨：抛物线的对称轴为直线x=一1， 由题意得 解得0<c<1 1-2+c<0, ÷-=-1,心b2a,当x=1时，y= 9.解：(1)，一元二次方程x2+x一m=0有两 a十b十c<0,.3a+c<0,故①错误；，抛物 个不相等的实数根， 线开口向下，.在对称轴的右侧，y随x的 .△>0，即1+4m>0,.m> 增大而减小，：”（一4，y)关于直线x=一1 (2)二次函数y=x2十x一m图象的对称轴 对称的点为(2，y1),2<3,·y>y2,故② 为直线x=一2 正确；关于x的方程ax2十bx十c=一1的 解可看作抛物线y=ax2十bx十c与直线 .抛物线与x轴的两个交点关于直线x y=一1的交点的横坐标，由图象可知抛物 一对称，由图可知抛物线与x轴的一个 线y=a.x2十b.x十c与直线y=一1有两个 交点为(1,0)， 交点，.关于x的一元二次方程a.x2十b.x十 另一个交点为(2,0)， c=一1有两个不相等的实数根，故③错误； .一元二次方程x2十x一m=0的解为 不等式ax2+bx十c>2的解集可看作抛物 x1=1,x2=-2. 线y=a.x2十b.x+c在直线y=2上方部分 10.解：图象如答图22一7一1： 的点的横坐标组成的集合，，抛物线经过 (1),x1≈4.65，x2≈-0.65， 点(0,2)，(0,2)关于直线x=一1对称的点 '.抛物线与x轴的交点坐标为(4.65,0)， 为（一2,2），.x的取值范围为一2<x<0, (-0.65,0). 故④正确.故选B. 5.x1=-1.5,x2=3.5 将A(5,0),B(0,2)代入y2=a.x2-4a.x+c, 6,k>-?且k≠0点拨：此函数为二次函 2 25a-20a+c=0, Q=- 得 解得 5 数，.k≠0.又，该二次函数的图象与x轴 c=2, c=2. 有两个交点，∴.b2一4ac=(一7)2一4×k× ∴抛物线的表达式为y=一 x2+ （一7)=49+28k>0,解得k>-号且≠0. 5x+2. @设点P的坐标为，一号x+2）.则 7.解：(1)，抛物线y=(m一1)x2+(m一2)x 一1与x轴有两个交点， r+8r+2. Q(x,-2 .△=(m-2)2-4(m-1)×(-1)>0且 m-1≠0， PQ=-+8+2-(-号x+2) 可知当m≠0时，△=m2>0,因此当m≠0 号x+2,当PQ- 且m≠1时， 抛物线与x轴有两个交点. 即-号+2x= 5 (2)设A、B两点的坐标分别为(x1,0), 解得x1=1,x2=4, (x2,0). :抛物线与y轴交于点C,∴.点C的坐标 当x=1或x=4时，PQ-g 为(0，-1)， (2)设P(x,k.x十2)，则Q(x,a.x2-4a.x+ .AB=x2-x1,OC=1. 2),PQ的长用1表示， 5M-AB.C-2, .l=a.x2-4a.x+2-(kx+2)=a.x2 (4a+k)x. ∴分一=2即有。-=4， PQ长的最大值为16， 由根与系数的关系，得 当h=16时，一元二次方程a.x2一4ax |x2-x2=(x2十x1)2-4x1,x2 k,x=h有两个相等的实数解： 当h>16时，一元二次方程a.x2一4a.x一 =(-4号 k.x=h没有实数解； m2 当0<h<16时，一元二次方程a.x2-4a.x (m-1)2' kx=h有两个实数解。 m2 六m”=16,解得m=m= 22.3实际问题与二次函数 精彩一题 第8课时实际问题与二次函数（一） 解：(1)①m=5,.点A的坐标为(5， 0),把A(5,0)代入y=kx+2得5k+ 【基础巩固】 2=0, 1.C点拨：设提高x元，获利y元，则y= 解得太一子， (50+x)(100-6×10)=-(x-25)2+ 5625.所以当x=25时，获利最大，但由题 直线表达式为=一号x十2. 意，每次提高的钱数都是整十数，所以x= 当x=0时，=2，.点B的坐标为(0,2). 20或30时获利最大，而x=30时租出的房