第6课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第6课时二次函数y=ax2+b.x十c的图象和性质 基础巩固 1.已知二次函数y=ax2十b.x十c(a≠0)的图象 5.抛物线y=4x2-4x十5，当x 时，y随 过A(1,0)、B(0,一3)两点，且对称轴为直线 x的增大而增大；当 时，y随x的增 x=2,则抛物线的顶点坐标为( 大而减小：当x 时，y最 A.(2,3) B.(2,1) 6.如图22一6一1所示的是桥梁的两条钢缆，它 C.(-2,1) D.(2,-1) 们具有相同的抛物线形状图.按照图中的直 2.抛物线y=2x2十4x十m一m经过坐标原点， 角坐标系，左面的一条抛物线可以用y= 则m的值为( 0.0225.x2+0.9.x十10表示，而且左右两条抛 A.0 B.1 物线关于y轴对称。 C.0或1 D.任何实数 (1)另一条钢缆的顶点坐标是多少？ 3把二次函数y=-子女-x十3用配方法化成 (2)最低点到桥面的距离是多少？ (3)两条钢缆最低点之间的距离是多少？你 y=a(x-h)十k的形式是( 是怎样计算的？ A.y=- x-2)2+2 1 By=(x-2)+4 桥面 C.y=-x+2+4 图22-6-1 Dy=+3 4.抛物线y=x2十bx十c的图象向右平移2个 单位，再向下平移3个单位，所得图象的关系 式为y=x一2.x-3,则b、c的值为( A.b=2,c=2 B.b=2,c=0 C.b=-2,c=-1 D.b=-3,c=2 能力提升 1.抛物线y=a.x2十b.x十c与x轴的两个交点的 C.y=-2.x2+4x+8D.y=-2x2+4x+6 坐标分别为（一1,0），(3,0)，其形状及开口方 2.抛物线y=2x2一4x+3关于x轴对称的抛物 向与抛物线y=一2x2相同，则y=a.x2十b.x 线为() 十c的函数关系式为() A.y=-2x2+4.x-3B.y=2.x2+4.x+3 A.y=-2x2-x+3B.y=-2.x2+4x+5 C.y=2x2-4x-3D.y=-2x2-4.x+3 3.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2一 了结彩-题 4x十3先向右平移3个单位，再向上平移2 已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA= 个单位，则经过这两次平移后所得抛物线的 30°，AB=2,若以O为坐标原点，OA所在直 顶点坐标是( 线为x轴，建立如图22一6一3所示的平面直 A.(-2,3) B.(-1,4) 角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB C.(1,4) D.(4.3) 沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点 4.一跳水运动员从10米高跳台上跳下，他的高 C处 度h(米)与所用时间t(秒)的关系为h= (1)求点C的坐标： -5(t-2)(t+1),则他跳起 秒达到最 (2)若抛物线y=a.x2十bx(a≠0)经过C、A两 大高度，最大高度是 米 点，求此抛物线的解析式： 5.如图22-6-2，已知二次函数y=- 2x2+ (3)若抛物线的对称轴与OB交于点D,点P bx十c的图象经过A(2,0),B(0,一6)两点. 为线段DB上一点，过点P作y轴的平行 (1)求这个二次函数的表达式： 线，交抛物线于点M.问是否存在这样的 (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C, 点P,使四边形CDPM为等腰梯形？若 连接BA、BC,求△ABC的面积. 存在，请求出此时点P的坐标：若不存在， 请说明理由. 图22-6-2 图22-6-3(3)当x<3时，y随x的增大而增大 当m2-1=m十1时，m2-m-2=0, (4)当x=3时，函数有最大值，最大值为6. ∴.m1=2,m2=一1（不符合题意，舍去）， 点拨：本题综合考查了y=a(x一h)2十k的 ∴.存在△BOC为等腰三角形的情形，此 图象与性质.特别注意图象与x轴的交点 时m=2. 坐标，即要求出y=0时x的值，需解一元 (3)可写出的命题有： 二次方程 ①对任意的m,抛物线y=一(x一m)2十 8.解：点P与点P'(1,3)关于x轴对称， 1的顶点都在直线y=1上； .P点坐标为(1，一3). ②对任意的m,抛物线y=一(x一m)2十 抛物线y=a(x-1)2十c过点A(1-√3， 1与x轴的两个交点间的距离是一个 0),顶点是P(1,-3) 定值： a1-3-1)2+c=0, a=1, ③对任意的m,抛物线y=一(x一m)2十 解得 a(1-1)2+c=-3, c=-3, 1与x轴两个交点的横坐标之差的绝对 则抛物线的解析式为y=(x一1)2一3， 值是2. 即y=x2-2.x-2. 点拨：在解答探究开放型问题时，首先应 精彩一题 理解问题中的条件和图形中的信息，往 解：(1)当m=1时，抛物线的解析式为 往在几个问题的探究过程中都是由浅入 y=-(x一1)2十1=-x2+2x,正确的结 深、循序渐进，同时需要从已给资料或已 论有很多，如： 经解答的问题（及其过程）中寻求解答后 ①抛物线的解析式为y=一x2十2x; 面问题的思想和方法，对开放型问题的 ②抛物线的开口向下： 探究要注意探究所深入的层次和结论的 ③顶点坐标为(1,1)： 普遍性意义以及结论的一般性， ④抛物线经过原点； 第6课时二次函数y=ax2+b.x十c ⑤与x轴的另一个交点的坐标是(2,0)： 的图象和性质 ⑥对称轴为直线x=1; 【基础巩固】 ⑦当x=1时，函数取得最大值y=1:等等. 1.B (2)存在 2.C点拨：抛物线y=2x2十4.x十m2一m经 当y=0时，-(x-m)2十1=0， 过坐标原点，则m一m=0,即m=0或1. 即(x-m)2=1, 3.C4.B ∴.x1=m一1，x2=m+1. 小 点B在点A的右边， 5><号 .点A坐标为(m一1,0)， 6.解：(1)抛物线y=0.0225.x2+0.9.x+10可 点B坐标为(m十1,0). 化为y=0.0225(x+20)2+1, ∴.OB=m+1. .对称轴为x=一20，顶点坐标为（一20,1）. 当x=0时，y=一m2十1，点C在原点 ,两条钢缆的抛物线关于y轴对称， 下方，.OC=m2-1. ∴.另一条钢缆的抛物线的顶点坐标为(20， 1),对称轴为x=20. 由折叠知，∠COB=30°，OC=OA=2√3， (2)钢缆的最低点到桥面的距离是1m. ∴.∠COH=60°，OH=√3，CH=3. (3)两条钢缆最低点之间的距离是20×2一 .C点的坐标为(3,3). 40(m),是用配方法求顶点坐标得到的. (2),抛物线y=a.x2+bx(a≠0)经过 点拨：抛物线y=0.0225.x2+0.9x+10是 C(3,3)、A(2√3,0)两点， 用抛物线的一般形式来表示的，所以要求 3=(3)2a+√3b, a=-1, 钢缆的顶点坐标和最低点到桥面的距离应 解得 把抛物线的解析式化为顶点式y=a(x一 0=(23)2a+23b. b=23. h)2十k或直接代入顶点坐标公式求解. ∴.此抛物线的解析式为y=一x2十2√3x. 【能力提升】 (3)存在 1.D y=一x2+23x的顶点坐标为(5,3)， 2.A点拨：抛物线y=a.x2十bx十c关于x轴 即为点C. 对称的抛物线为y=一a.x2一bx一c,关于y 如答图，MP⊥x轴， 轴对称的抛物线为y=a.x2-bx十c. 设垂足为N,PN=t. 3.D ,∠BOA=30°.∴.ON=√3t. 4.0.511.25 ∴.P(3t,l). 5.解：1)把A2,0),B0,-6)代人y=-2 作PQLCD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E. +bx十c得 把x=√3t代入y=-x2十2√3.x得y= -2+2b+c=0, b=4, -3+6t. 解得 c=-6, c=-6. ∴.M(3t,-3+6t),E(5,-3t+6t). y=- 2x+4x-6. 同理：Q(√3，t),D(5,1) 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需 (2),该抛物线的对称轴为直线x CE=QD,即3-(-3t+6t)=t-1,解 4 =4, 2x引 得=号6=1（舍去）】 .点C的坐标为(4,0). ∴P点坐标为（得3，） ∴.AC=OC-OA=4-2=2. ∴·存在满足条件的点P,使得四边形 ∴Sac=号×ACXOB=号×2X6=6. CDPM为等腰梯形，此时P点的坐标 精彩一题 为(，)片 解：(1)如答图，过点C作CH⊥x轴，垂 足为H .在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA =30°，AB=2, ∴.OB=4,OA=2√3. 答图