第5课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第5课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 基础巩固 1.二次函数y-号(x-12十2的开口方向、对 5.将二次函数y=x2+6x+10配方化成y= a(x一h)2十k的形式为 称轴、顶点坐标分别是( 开口方向 ,对称轴是 ,顶点 A.向上、直线x=1、(1,2) 坐标是 B.向上、直线x=一1、(-1,2) C.向上、直线x=1、(1,-2) 6.已知y=a(红一)炉+k是由抛物线y=一2女 D.向下、直线x=一1、（一1,2） 向上平移2个单位，再向右平移1个单位得 2.若抛物线y=(x十1)2一2与x轴的正半轴相 到的抛物线， 交于点A,则点A的坐标为( (1)求a、h、k的值： A.(-1-√2,0) B.(√2,0) (2)在同一直角坐标系中，画出y=a(x一h)十k C.(-1,-2) D.(-1+√2,0) 和一的图象： 3.二次函数y=一2(x-1)2的图象大致是 (3)在二次函数y=a(x一h)2十k中，当x取 何值时，y随x的增大而增大？ Ψ杯身是 (4)观察y=a(x一h)2十k的图象，你能说出 对于一切x的值，函数y的取值范围吗？ 4.在二次函数y=5(x十3)2一2中，当x 时，y随x的增大而增大：当x 时，y随x的增大而减小：当x= 时，函数y有 值（填“最大” 或“最小”)，这个值是 能力提升 1.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不 A.a>b B.a<b 动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单 C.a=b D.不能确定 位，那么在新坐标系下抛物线的表达式 3.如图22-5一1，把抛物线y=x 是() 沿直线y=x平移√2个单位后， A.y=2(x-2)2+2B.y=2(x+2)2-2 其顶点在直线上的A处，则平移 C.y=2(x-2)2-2 D.y=2(x+2)2+2 后的抛物线解析式是( 图22-5-1 2.已知二次函数y=a(x+1)2一b(a≠0)有最 A.y=(x+1)2-1 B.y=(x+1)2+1 小值1，则a、b的大小关系为() C.y=(x-1)2+1 D.y=(x-1)2-1 4.如图22-5一2，在平面直角坐标系中，有两条8.如图22-5一4，抛物线y=a(x一1)°+c与 位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，表达 x轴交于点A(1一√3,0)和点B,将抛物线沿 式中的h,,m,n都是常数，则下列关系不正 x轴向上翻折，顶点P落在点P'(1,3)处.求 确的是( 原抛物线的解析式。 A.h<0,k>0 B.m<0,n>0 C.h=m D.k=n 5.若AB∥x轴，且与抛物线y=3(x十2)2十k 交于A(一3，n),B两点，则点B的横坐标为 图22-5-4 -h+ 精彩一题 图22-5-2 图22-5-3 如图22一5-5，已知抛物线y=-(x-m)2十1 6.如图22一5-3，抛物线y1=一x2十2向右平 与x轴的交点为A,B(B在A的右边)，与y 移1个单位得到抛物线2，回答下列问题： 轴的交点为C (1)抛物线y2的顶点坐标为 (1)写出m=1时，与抛物线有关的三个正确 (2)阴影部分的面积S= 结论： (3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到 (2)当点B在原点的右边，点C在原点的下 抛物线y,则抛物线y的开口方向 方时，是否存在△BOC为等腰三角形的 ,顶点坐标为 情形？若存在，求出m的值：若不存在， 7.已知函数y=一2(x-3)2十6. 请说明理由； (1)写出函数图象的开口方向、顶点坐标、对 (3)请你提出一个对任意的m值都能成立的 称轴； 正确命题， (2)求出函数图象与x轴的交点坐标： (3)当x为何值时，y随x的增大而增大？ (4)当x为何值时，函数y有最大值或最小 值？并求出函数的最值。 图22-5-5意,舍去.'点P的坐标为(3③,0). b(a关0)有最小值,'.抛物线开口方向向 '.当点D落在抛物线C上时,顶点P的 上,即a>0;又最小值为1,即一b-1, 坐标为(3/③,0). '.b--1,.a>b. 3.C 点拨:·点A在直线y三x上,.设 第5课时 二次函数y=a(x-h)^{}+ $$ A(m,m).OA=②,.m+m=(②)} 的图象和性质 解得m=士1(m=-1舍去), .m=1, 【基础巩固】 '.A(1,1),..抛物线解析式为y-(x-1) 1.A 十1. 2.D 点拨:令y=(x十1)*-2=0,解得x= 4.D 点拨:根据二次函数解析式确定两抛物 ②-1,x=-2-1,点A在x轴的正半 线的顶点坐标分别为(h,),(n,n),对称 轴上..A(/②-1,0). 轴都是直线x=m(或x=h),即m-h,由 3.B 点拨:二次函数y=-2(x-1)*的图象 题图知h<0,>0,n<0,n>0,因为点(h 开口向下,对称轴是x一1,顶点坐标为(1 )在点(m,”)的下方,所以一n不正确,故 0),故选B. 选D. 4.-3 <-3 -3 最小 -2 5.-1 点拨:AB/x轴..'点A和点B关于 5.y=(x+3)②+1 向上 直线x=一3 抛物线的对称轴对称,设点B的横坐标 (-3,1) 为n. #{①}向上平移2个单 6.解:(1)将抛物线y一一 ·.二次函数一3(x十2)十k的图象的对 称轴为直线x--2. '.m-(-2)=-2-(-3),m=-1. 6.(1)(1,2)(2)2(3)向上 (-1,-2) #,h=1,k-2. 点拨:(1).y=一x+2的顶点是(0,2). (2)两个函数的图象如答图22-5-1. '抛物线向右平移1个单位后顶点坐 标为(1,2).(2)阴影部分的面积通过用割 补法可知正好是一个长为2,宽为1的矩形 面积.(3).将抛物线v。绕原点O旋转 180{*}得到抛物线y,..抛物线y与抛物线 答图22-5-1 y:关于原点对称...抛物线y的开口向 (3)观察y一 上,顶点坐标为(一1,一2). 当x1时,y随x的增大而增大 7.解;(1)开口向下,对称轴为x一3,顶点坐标 为(3,6). (4)由图象知,函数的最大值是2. 所以对于一切x的值,总有函数值2 (2)令y-0,即-2(x-3)②*}+6=0,解得$ 【能力提升】 x-士/3十3. 1.B .函数图象与x轴的交点坐标为(3十3 2.A 点拨:·二次函数y=a(x十1)*- 0)和(-3+3,0). (3)当x3时,v随x的增大而增大 当m-1=m+1时,m-m-2-0, (4)当x一3时,函数有最大值,最大值为6. ..n=2,m。=-1(不符合题意,舍去). 点拨:本题综合考查了y=a(x-h){十 的 '存在△BOC为等腰三角形的情形,此 图象与性质,特别注意图象与文轴的交点 时m-2. 坐标,即要求出y一0时x的值,需解一元 (3)可写出的命题有 二次方程. ①对任意的n,抛物线y=-(x-m)②十 8.解;·.点P与点P(1,3)关于x轴对称 1的顶点都在直线y-1上; .P点坐标为(1,一3). ②对任意的n,抛物线y=-(x-n)十 ·.抛物线y=a(x-1)+c过点A(1-3 1与:轴的两个交点间的距离是一个 0),顶点是P(1,一3). 定值: a-1. ③对任意的n,抛物线y三-(x-m)}+ 解得 --3, a(1-1)*+c--3. 1与x轴两个交点的横坐标之差的绝对 则抛物线的解析式为y一(x-1)*-3 值是2. 即y=x?-2x-2. 点拨:在解答探究开放型问题时,首先应 精彩一题 理解问题中的条件和图形中的信息,往 解:(1)当n=1时,抛物线的解析式为 往在几个问题的探究过程中都是由浅人 y=-(x-1)+1=-x*+2x,正确的结 深、循序渐进,同时需要从已给资料或已 论有很多,如; 经解答的问题(及其过程)中寻求解答后 ①抛物线的解析式为y--x②十2x; 面问题的思想和方法,对开放型问题的 ②抛物线的开口向下; 探究要注意探究所深入的层次和结论的 ③顶点坐标为(1,1); 普遍性意义以及结论的一般性 ④抛物线经过原点 第6课时 二次函数y=ax②}十bx十c 与x轴的另一个交点的坐标是(2,0); 的图象和性质 对称轴为直线x一1; 【基础巩固】 当x-1时,函数取得最大值-1;等等 1.B (2)存在. 2.C 点拨:抛物线y=2x*}+4x十m-m经 当y-0时,-(x-n)+1-0 过坐标原点,则n^{}-m-0,即n-0或1. 即(x-m)②-1. 3.C 4.B '.x.-n-1,x-m+1. .#}-}小# .点B在点A的右边, '点A坐标为(n-1,0), 6.解;(1)抛物线v-0.0225x*+0.9x+10可 点B坐标为(n十1,0). 化为-0.0225(x+20)+1. .OB-n十1. '.对称轴为x=-20,顶点坐标为(-20,1) .当x-0时,y=-m十1,点C在原点 ·.两条钢缆的抛物线关于y轴对称, 下方,..0C-n②-1. ..另一条钢缆的抛物线的顶点坐标为(20