第4课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

6.若y=(a-4)x-a4-2+a是二次函数. 精彩一题 (1)求a的值： (2)求函数的关系式： 已知抛物线y=子+1（如图2-3-5）. (3)请画出函数的图象，结合图象说一说图象 (1)抛物线的顶点坐标是( 有哪些性质. 对称轴是 (2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线 上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B.若 △PAB是等边三角形，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，点M在直线AP上.在 平面内是否存在点N,使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件 的点N的坐标：若不存在，请说明理由. 图22-3-5 第4课时》二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 基础巩固 1.把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛 2.抛物线y=（x一3)产的顶点坐标为( 物线的函数解析式为( ) B.y=(x十1) A.(0,0) B.(3,0) A.y=x2+1 C.y=x2-1 D.y=(x-1)2 C.(-3,0) D.(-3,2) 3.函数y=2(x十2)的图象大致是() 7.已知函数y=2+2x+号 4以平 (1)把它配方成y=a(x-h)2的形式； (2)x取何值时，y随x的增大而增大？x取 何值时，y随x的增大而减小？ 4.对于任意实数h,抛物线y=(x一h)2与抛物 线y=x2( A.开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点相同 D.都有最高点 5.若抛物线y=一4(x+h)2沿x轴向右平移5 个单位后经过点(2，一4)，则h= 6.将抛物线y=一3(x一1)2先向左平移5个单 位，再向右平移8个单位，得到的抛物线的解 析式为 能力提升 1.二次函数y=-(一2)2与y轴( 元已知抛物线y=-2(r-2 A.没有交点 B.有两个交点 (1)写出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点 C.只有一个交点 D.交点坐标是(0,3) 坐标； 2.抛物线y=2(x一2)与x轴交点A的坐标为 (2)在坐标系中画出抛物线的草图； ,与y轴交点B的坐标为 (3)求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标： S△A0B= (4)在(3)中，设抛物线与y轴交于点A,与x 3已知二次函数y=-6(r-1)严的图象上有 轴交于点B,若以A为顶点的抛物线经过 点B,请你求出这条抛物线的函数关系 三个点(x,y1)、(x2,y2)、(x3,y),且x1> 式，指出其开口方向和最大或最小值. x2>x>1,则y、y、y的大小关系是 4.如何平移抛物线y=号（x十2)2可以得到抛 物线y=32? 6.如图22-4-1，在Rt△OAB中，∠OAB= 少陆彩一题 90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA AB=1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正 如图2-4-2，直线y=+6经过点 方向平移1个单位长度后得到△AAB. B(一√3,2)，且与x轴交于点A,将抛物线 (1)求以A为顶点，且经过点B,的抛物线的 解析式： 3”沿x轴作左右平移，记平移后的抛 (2)若(1)中的抛物线与OB交于点C,与y轴 物线为C,其顶点为P. 交于点D,求点DC的坐标 (1)求∠BAO的度数： (2)抛物线C与y轴交于点E,与直线AB交 于两点，其中一个交点为F,当线段EF∥ x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数 关系式： 图22-4-1 (3)在抛物线y=名r平移过程中，将△PAB 沿直线AB翻折得到△DAB,点D能否 落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线 C顶点P的坐标：如不能，说明理由 图22-4一2 第5课时二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 基础巩固 1.二次函数y-号(x-12十2的开口方向、对 5.将二次函数y=x2+6x+10配方化成y= a(x一h)2十k的形式为 称轴、顶点坐标分别是( 开口方向 ,对称轴是 ,顶点 A.向上、直线x=1、(1,2) 坐标是 B.向上、直线x=一1、(-1,2) C.向上、直线x=1、(1,-2) 6.已知y=a(红一)炉+k是由抛物线y=一2女 D.向下、直线x=一1、（一1,2） 向上平移2个单位，再向右平移1个单位得 2.若抛物线y=(x十1)2一2与x轴的正半轴相 到的抛物线， 交于点A,则点A的坐标为( (1)求a、h、k的值： A.(-1-√2,0) B.(√2,0) (2)在同一直角坐标系中，画出y=a(x一h)十k C.(-1,-2) D.(-1+√2,0) 和一的图象： 3.二次函数y=一2(x-1)2的图象大致是 (3)在二次函数y=a(x一h)2十k中，当x取 何值时，y随x的增大而增大？ Ψ杯身是 (4)观察y=a(x一h)2十k的图象，你能说出 对于一切x的值，函数y的取值范围吗？ 4.在二次函数y=5(x十3)2一2中，当x 时，y随x的增大而增大：当x 时，y随x的增大而减小：当x= 时，函数y有 值（填“最大” 或“最小”)，这个值是 能力提升 1.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不 A.a>b B.a<b 动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单 C.a=b D.不能确定 位，那么在新坐标系下抛物线的表达式 3.如图22-5一1，把抛物线y=x 是() 沿直线y=x平移√2个单位后， A.y=2(x-2)2+2B.y=2(x+2)2-2 其顶点在直线上的A处，则平移 C.y=2(x-2)2-2 D.y=2(x+2)2+2 后的抛物线解析式是( 图22-5-1 2.已知二次函数y=a(x+1)2一b(a≠0)有最 A.y=(x+1)2-1 B.y=(x+1)2+1 小值1，则a、b的大小关系为() C.y=(x-1)2+1 D.y=(x-1)2-1.设线段AP所在直线的解析式为y= -4(x十h-5),由于图象过点(2，-4)，把 kx+b. x=2,y=-4代入y=-4(x十h-5)2,解 b=2, 得h=2或h=4. 解得 6.y=-3(x-4)2 23k+b=4, b=2. y= 7解：1Dy=2+2x十2r=2x+红+40 3x+2. 设存在点N使得四边形OAMN是 =7x+2. 菱形。 (2)当x>一2时，y随x的增大而增大；当 ,点M在直线AP上， x<一2时，y随x的增大而减小. 点拨：解答此题时，要与y=ax2的性质进 六设点M的坐标为m,号m+2。 行对比，从而巩固二次函数y=a(x一h) 如答图22一3一2②，作MQ⊥y轴于点 的性质 Q,则MQ=, 【能力提升】 AQ=0Q-0A= 3m+2-2= 1.C 3m. 2.(2,0)(0,8)8 .四边形OAMN为菱形，.AM=AO= 3.M<h<为 2. 点拔：二次函数y=一名(x ,'在直角三角形AMQ中，AQ+MQ= 1)2的图象开口向下，对称轴是直线x=1, AM, 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 即（停）+m=,解得m=士后. .y1<y2<ya… 4.解：将抛物线y=号(x十2)向右平移2个 代入直线AP的解析式可得M点坐标为 (3,3)或(-√3,1)， 单位可以得到抛物线y=子. 同理可得当点P坐标为（一23,4）时， 点拨：二次函数y=ax2的图象与二次函数 M点的坐标为(-√3,3)或(3,1). y=a(x一h)2的图象形状、开口大小完全 .存在N(3,1),N2(-3,-1), 相同，只是位置不同，它们之间可通过平移 N3(-√3,1)，N,(3,一1)使得四边形 相互转化， OAMN是菱形 5.(1)开口向下，对称轴是直线x=2,顶点坐 标为(2,0). 第4课时 二次函数y=a(x一h)2 (2)略 的图象和性质 (3)与x轴交点（即顶点）坐标为(2,0)，与y 【基础巩固】 轴交点坐标为(0，一2). 1.D2.B3.C4.A 5.2或4点拨：抛物线y=一4(x十h)2沿x (4)y=2x2-2,开口向上y水=一2. 轴向右平移5个单位后的解析式应为y=6.解：(1)由题意可知，A(1,0),A,(2,0), B1(2,1). ,EF∥x轴，∴.点E、F关于抛物线C的 设以A为顶点的抛物线的解析式为 对称轴对称 y=a(x-1)2 :此抛物线过点B(2,1),∴.1=a(2-1)2, F2,3 ,点F在直线AB上， .a=1, .所求抛物线的解析式为y=(x一1) ·21+3, (2):当x=0时，y=(0-1)2=1, 解得t=一√3，t2=3√. ∴.D点坐标为(0,1) 由题意知OB在第一象限内两坐标轴夹角 ∴抛物线C为y=专(x十B)2或y 的平分线上， 故可设C(m,m),代入y=(x一1)2，得 x-33 m=(m-1)2, (3)假设点D能落在抛物线C上，不妨设 此时抛物线顶点为P(t,0),则抛物线的关 解得m,=3,5<1,m,=3+5>1(舍 2 2 系式为C-3x-0,AP=3v5+ 去). 连接DP,作DM⊥x轴，垂足为M. 故C点坐标为3≥，32。 由已知，得△PAB≌△DAB. 精彩一题 又∠BA0=30°， 解：(1)由点B在直线AB上，求得b=3, ∴.△PAD为等边三角形，PM=AM= 直线AB为y=+3 之85+0， A(-33,0),即OA=33. :DM=3AM∴DM=号(9+3， 如答图，作BH⊥x轴，垂足为H, 则BH=2,OH=√5，AH=2√5， OM=PM-0P=2(35+)-1 ∴.AB=√AH+BH严=4. 35-. 在Rt△ABH中，AB=2BH, M(-2(33-),0,D(-2(35- .∠BAO=30 0,29+5: ,点D落在抛物线C上， 答图 ∴9+30=[-23-0-. (2)设抛物线C的顶点为P(1,0),则抛 即2=27，t=±33. 物线的关系式为 当1=-3√3时，点P(-3√3,0)，点P与 Cy=}x-0Eo,g月 点A重合，不能构成三角形，不符合题 意，舍去.∴.点P的坐标为(3√3,0) b(a≠0)有最小值，∴.抛物线开口方向向 .当点D落在抛物线C上时，顶点P的 上，即a>0:又最小值为1，即一b=1, 坐标为(3√3,0) .b=-1,∴.a>b 3.C点拨：，点A在直线y=x上，.设 第5课时 二次函数y=a(x-h)2+k A(m,m)..OA=√2，∴.m2+m2=(√2)2， 的图象和性质 解得m=士1(m=一1舍去)，∴.m=1, 【基础巩固】 ∴.A(1,1),∴.抛物线解析式为y=(x一1) 1.A 十1. 2.D点拨：令y=(x十1)2一2=0，解得x1 4.D点拨：根据二次函数解析式确定两抛物 √2-1，x2=一√2-1，.点A在x轴的正半 线的顶点坐标分别为(h,k),(,n),对称 轴上，∴.A(2-1,0) 轴都是直线x=m(或x=h),即m=h,由 3.B点拨：二次函数y=一2(x-1)2的图象 题图知h<0,k>0,m<0,n>0,因为点(h, 开口向下，对称轴是x=1,顶点坐标为(1， k)在点(m,n)的下方，所以k=n不正确.故 0),故选B. 选D. 4.>-3<-3-3最小-2 5.一1点拨：AB∥x轴，.点A和点B关于 5.y=(x+3)2+1向上直线x=一3 抛物线的对称轴对称，设点B的横坐标 (-3,1) 为m, 6,解：1)将抛物线y=一2（向上平移2个单 :二次函数y=3(x十2)2十k的图象的对 称轴为直线x=一2， 位，再向右平移1个单位，得)=一x一12 .m-(-2)=-2-(-3),.m=-1. 2h=1,k=2. 6.(1)(1,2)(2)2(3)向上(-1，-2) 十2，所以a=一 点拨：(1)y=-x2+2的顶点是(0,2)， (2)两个函数的图象如答图22-5一1. .抛物线向右平移1个单位后顶点坐 -1)+2 标为(1,2).(2)阴影部分的面积通过用割 补法可知正好是一个长为2，宽为1的矩形 面积.(3)将抛物线y2绕原点O旋转 180得到抛物线y3,∴.抛物线y与抛物线 答图22-5-1 y2关于原点对称..抛物线y的开口向 (3)观察y=一 2（x1)+2的图象可知 上，顶点坐标为（一1，一2）. 当x<1时，y随x的增大而增大. 7.解：(1)开口向下，对称轴为x=3,顶点坐标 (4)由图象知，函数的最大值是2， 为(3,6). 所以对于一切x的值，总有函数值y≤2. (2)令y=0,即-2(x一3)2+6=0，解得 【能力提升】 x=土√3+3. 1.B ∴.函数图象与x轴的交点坐标为（√3十3， 2.A点拨：，二次函数y=a(x十1)2一 0)和(-√3+3,0).