第3课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

8.已知函数y=a.x+“. 结影-题 (1)a取何值时，此函数为二次函数？并求出 如图22-2-3，直线AB过x轴上的点A(2,0), 解析式 且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，B点 (2)a取何值时，函数图象是开口向上的抛 坐标为(1,1). 物线？ (1)求直线AB和抛物线所表示的函数关 (3)a取何值时，函数有最大值？并求出最 系式： 大值 (2)在抛物线上是否存在一点D,使得S△aD= S?若不存在，请说明理由：若存在， 请求出点D的坐标. 图22-2-3 第3课时二次函数y=4x2+k的图象和性质 基础巩固 1.抛物线y=4x2一3的顶点坐标是( 3.抛物线y=x2一4的对称轴是() A.(3,0)B.(-3,0)C.(0,3) D.(0,-3) A.直线x=1 B.直线x=一1 2.二次函数y=a.x2+c的图象如图22一3-1所 C.直线x=0 D.直线x=-2 示，下列判断错误的是( 4.抛物线y=2x2一3的开口向 ,对称轴 A.a>0 是 ,顶点坐标是 .当x=2 B.c<0 时，y= :当y=5时，x= C.函数有最小值 5.把函数y=x2一1的图象沿y轴向上平移1 D.y随x的增大而减小 图22-3-1 个单位可以得到函数 的图象 6.已知y=-2.x2-1,当x= 时，y有 大宽度是多少米？ 最 值是 7.如图22一3一2，河上有一座抛物线形桥洞，已 知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB 32101 为6m,当水位上升0.5m时： 图22-3-2 (1)水面的宽度CD为多少米？ (2)有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一 个长方体形状的遮阳篷，此船正对着桥洞 在上述河流中航行. ①若游船宽（指船的最大宽度）为2m,从 水面到篷顶的高度为1.8m,问这艘游 船能否从桥洞下通过？ ②若从水面到篷顶的高度为子m的游船 刚好能从桥洞下通过，则这艘游船的最 能力提升 1.已知点(x1,y),(2,2)均在抛物线y=x21 F10,35) 上，下列说法中正确的是( A.若y1=y2,则x1=2 25m0 B.若x1=一x2,则y=一y2 图22-3-3 图22-3-4 C.若0<x1<x2,则y>y为 4.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 D.若x1<x2<0,则y>y y=- 2.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的 台+35的一部分，如图2-3-4 图象向上平移2个单位，所得图象的解析式 若命中篮圈中心，则他与篮底的距离！是 为( ) m. A.y=2x2-2 B.y=2.x2+2 5.已知抛物线y=2.x”,能否通过上、下平移抛 物线，使之过点(2,4)？如果能，说出平移的 C.y=2(x-2)8 D.y=2(x+2)8 方向和距离：如果不能，试说明理由. 3如图2-3-3，两条抛物线y=一十1， y2=一 -1与分别经过点(-2,0.(2.0) 且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分 的面积为() A.8 B.6 C.10 D.4 6.若y=(a-4)x-a4-2+a是二次函数. 精彩一题 (1)求a的值： (2)求函数的关系式： 已知抛物线y=子+1（如图2-3-5）. (3)请画出函数的图象，结合图象说一说图象 (1)抛物线的顶点坐标是( 有哪些性质. 对称轴是 (2)已知y轴上一点A(0,2),点P在抛物线 上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B.若 △PAB是等边三角形，求点P的坐标： (3)在(2)的条件下，点M在直线AP上.在 平面内是否存在点N,使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件 的点N的坐标：若不存在，请说明理由. 图22-3-5 第4课时》二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 基础巩固 1.把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛 2.抛物线y=（x一3)产的顶点坐标为( 物线的函数解析式为( ) B.y=(x十1) A.(0,0) B.(3,0) A.y=x2+1 C.y=x2-1 D.y=(x-1)2 C.(-3,0) D.(-3,2)7.解：函数y=(k十2)x+-‘是二次函数，则 则Saan=号10A·ln=7×2· k2+k-4=2, k1=-3,k2=2, 解得 所以 k+2≠0. k≠一2. x2=x2 k1=一3，k2=2.又因为当x>0时，y随x y=-x+2, x1=1, 由题意，得 解得 的增大而减小，所以飞十2<0，即k<一2， y=x2, y=1, 所以k=一3. x2=-2, 或 点拔：解答此类问题的关键是明确二次函 =4. 数的概念和性质， C(-2,4). 8.解：(1)使函数y=a.x+a为二次函数，需满 SAe=SAx-S2HB=号 ×2X4 a2十a=2, 足 a≠0. ×2×1=3. 2 解得a1=一2，a2=1.此时函数解析式为 y=-2x2或y=x2. SAx=SaaD,.x2=3,解得x (2)当a=1时，抛物线y=x2的开口向上. ±√3. (3)当抛物线开口向下时，有最大值，此时 ∴.点D坐标为(-3,3)或(3,3). a=一2，当x=0时，y最大=0. 第3课时 二次函数y=a.x2十k 点拨：通过二次函数的定义求出二次函数 的图象和性质 的解析式，然后根据y=ax2(a≠0)的性质 【基础巩固】 作出函数图象，通过图象直观地观察何时 1.D 取得最值： 2.D 点拨：由图象开口向上，可知a>0,函 精彩一题 数有最小值：又顶点在y轴的负半轴上， 解：(1)设直线关系式为y=kx+b. ∴.c<0;当x>0时，y随x的增大而增 ,A(2,0),B(1,1)都在直线y=kx十b 的图象上， 大，当x<0时，y随x的增大而减小，.D 错误 k=-1, ·解得b一2. 3.C ∴.直线AB的关系式为y=一x十2. 4.上y轴(0，-3)1±25.y=x2 点B(1,1)在y=ax2的图象上，.a= 6.0大-1 1,其关系式为y=x2 7.解：(1)设该抛物线的函数关系式为y= (2)如答图22-2-2，存在点D,设D(x,zx2). ax+c. 点A(3,0)和E(0,3)在函数图象上， 9a+c=0, /a=-1 'y= c=3, 3x+3. c=3. 由题意可知，点C和点D的纵坐标为0.5， 答图22-2-2 -r2+3=0.5. =30 V30 a=4或a=-1, 2= 2, 解得 a≠4. ∴CD=30 /30 =30(m). ∴.a=-1. 2 (2)把a=一1代入得函数关系式为y= (2)①当x=1时，y= -0.5>1.8, -5.x2-1. (3)列表： ∴.这艘游船能从桥洞下通过。 @当y-子+0.5= 时，即-2+3= 2 0 4 9 解得=3， 3 2 如答图22一3一1，它的开口向下，对称轴是 ∴.这艘游船的最大宽度是3m. y轴， 【能力提升】 顶点坐标为(0，一1)，有最大值一1， 1.D2.B 当x<0时，y随x的增大而增大， 3.A点拨：两条抛物线的形状相同，利用图 当x>0时，y随x的增大而减小. 形的平移，便可知阴影部分的面积为8. 4.4 5.解：方法一：能.理由如下： 设平移后的抛物线的关系式为y=2.x2十k. 1y=-5x-1 将点(2,4)代入关系式，得2×22十k=4,解 答图22-3-1 得k=一4. 精彩一题 所以平移后的抛物线的关系式为y=2.x2一4. (1)(0,1)y轴（或x=0) 故应将抛物线y=2x向下平移4个单位 解：(2)如答图22-3一2①， 可过点(2,4). ,△PAB是等边三角形， 方法二：能.理由如下： ∴.∠AB0=90°-60°=30. 当x=2时，y=2×22=8,所以抛物线过点 .AB=2OA=4...PB=4. (2,8) 把y=4代人y=+1,得x=士2瓦 将点(2,8)向下平移4个单位可得点(2,4). 所以将抛物线y=2x向下平移4个单位 .P1(25,4),P2(-23,4) 可过点(2,4). 点拨：本题考查了抛物线的平移，我们可用 抛物线上的点的平移代表抛物线的平移，当 抛物线y=ax上(k>0)、下(k<0)平移k 答图22-3一2 个单位时，平移后的关系式为y=ax2十k. (3),点A的坐标为(0,2)，点P的坐标 1a2-3a-2=2, 6.解：(1)由题意，得 为(23,4)， a-4≠0， .设线段AP所在直线的解析式为y= -4(x十h-5),由于图象过点(2，-4)，把 kx+b. x=2,y=-4代入y=-4(x十h-5)2,解 b=2, 得h=2或h=4. 解得 6.y=-3(x-4)2 23k+b=4, b=2. y= 7解：1Dy=2+2x十2r=2x+红+40 3x+2. 设存在点N使得四边形OAMN是 =7x+2. 菱形。 (2)当x>一2时，y随x的增大而增大；当 ,点M在直线AP上， x<一2时，y随x的增大而减小. 点拨：解答此题时，要与y=ax2的性质进 六设点M的坐标为m,号m+2。 行对比，从而巩固二次函数y=a(x一h) 如答图22一3一2②，作MQ⊥y轴于点 的性质 Q,则MQ=, 【能力提升】 AQ=0Q-0A= 3m+2-2= 1.C 3m. 2.(2,0)(0,8)8 .四边形OAMN为菱形，.AM=AO= 3.M<h<为 2. 点拔：二次函数y=一名(x ,'在直角三角形AMQ中，AQ+MQ= 1)2的图象开口向下，对称轴是直线x=1, AM, 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， 即（停）+m=,解得m=士后. .y1<y2<ya… 4.解：将抛物线y=号(x十2)向右平移2个 代入直线AP的解析式可得M点坐标为 (3,3)或(-√3,1)， 单位可以得到抛物线y=子. 同理可得当点P坐标为（一23,4）时， 点拨：二次函数y=ax2的图象与二次函数 M点的坐标为(-√3,3)或(3,1). y=a(x一h)2的图象形状、开口大小完全 .存在N(3,1),N2(-3,-1), 相同，只是位置不同，它们之间可通过平移 N3(-√3,1)，N,(3,一1)使得四边形 相互转化， OAMN是菱形 5.(1)开口向下，对称轴是直线x=2,顶点坐 标为(2,0). 第4课时 二次函数y=a(x一h)2 (2)略 的图象和性质 (3)与x轴交点（即顶点）坐标为(2,0)，与y 【基础巩固】 轴交点坐标为(0，一2). 1.D2.B3.C4.A 5.2或4点拨：抛物线y=一4(x十h)2沿x (4)y=2x2-2,开口向上y水=一2. 轴向右平移5个单位后的解析式应为y=6.解：(1)由题意可知，A(1,0),A,(2,0),