第5课时 一元二次方程的根与系数的关系-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

*第5课时 元二次方程的根与系数的关系 基础巩固 1.若x1、x是一元二次方程x十4x十3=0的 6.一元二次方程x*-a.x-3a=0的两根之和为 ) 两个根,则xx。的值是( 2a一1,则两根之积为 A.4 B.3 C.-4 D.-3 7.已知一元二次方程十3y十1-0的两个实 2.已知a、B是关于x的一元二次方程x十(2m 数根分别为y、y,则(y-1)(y-1)的值 士3)x十n{}一0的两个不相等的实数根,且满 为 足l+--1.,则n的值是( ~ 8.设方程3x^*}+2x-3-0的两根为x,x,求下 列代数式的值: A.3或-1 B.3 C.1 D.-3或1 (2)+. 3.若x、x是一元二次方程x^*}-4x-5-0的$ 两根,则x.x。的值为( ) C.-4 A.-5 B.5 D.4 4.方程2x2+6x-1=0的两根为x、x,则 r.十r。等于( ) C.-3 A.-6 B.6 D.3 5.在下列方程中,以3,一4为根的一元二次方 程是( ) A.-x-12-0 B+x-12-0 C.-x+12-0 D.x+x+12-0 能力提升 1.已知a,b是关于:的一元二次方程x^2}十 4.如果关于x的方程x-2(1-)x十^-0有 实数根a、B,那么a十8的取值范围是( ) A.a十B1 B.a+31 是( ) D.# A.+2 B-r+2C.-2 D--2 2.-元二次方程-3x-1=0与r-r+3-0$ 5.若a、8是方程x^}-3x-5-0的两根,则代数 ) 的所有实数根的和等于( 式。十2g{-33的值是( B.24 C.27 B.一4 C.4 A.21 A.2 D.3 D.29 3.已知^}+a-1-0,B+-1-0,且a-3,则$ 6.已知一元二次方程x^*-2x-1-0的两个根 a十a十③的值为( 是x、x,则x十x。= ,x C.-1 A.2 D.0 B-2 ,^{+){}一 7.设x,x。是一元二次方程x-x-1-0的两 12.已知x,x:是关于x的一元二次方程-- 根,则x+x。十x1x。= 6x+b=0的两个实数根,且r^{x{}一x- 8.设x,x。是一元二次方程一mx-6-0的两 r。=115.求: 个根,且x十x=1,则x= .2- (1)的值; (2)士x十8的值 9.已知x和x为一元二次方程2x-2r+ 3m-1一0的两个实数根,并且x和x。满足 不等式 <1.则实数m的取值范围 x十x。-4 为 10.已知方程x^{-6x+7-0的两个根是一个直 角三角形的两条直角边的长,求这个直角三 角形的面积和斜边的长 精影一题 阅读下面的材料; 老师出了一道题:已知关于x的方程x^十 (8-4m)x+4n}=0的两根为x,x,且x十 -136,求正数n的值 小玉的解法如下; 解:.x+x=4m-8,=4m,又:+ }-(x.+x)?-2xx..(4m-8)-2$ 11.设x,x。是关于x的一元二次方程x十 4n^{}=136,解得n=-1,n。-9. 2ax+a②}+4a-2-0的两个实数根,当a为 问题: 何值时,r^{}十^{}有最小值?最小值是多少? 小玉的解法对吗?如果不对,她错在哪里? 应如何改正?第5课时 一元二次方程的根与系 ∴.a+3=2(1-k)≥1. 数的关系 5.B点拨：a2+23-33=(a+3)2+(B 【基础巩固】 33-5)-2a8+5=3+0-2×(-5)+5=24. 1.B 6.2一16点拨：由根与系数的关系知 2.B点拨：由题意，得△=(2m+3)2-4m2> x1十x2=2,x1x2=-1,x+x2=(x1十x2) -2x1x2=6. 0,解得m>- 且君+日-$- 7.0点拨：x1、x2是方程x2一x一1=0的 -(2m十3)=-1，解得m=3. 两根，.x1十x2=1,x1x2=一1，.x1十 x2十x1x2=1-1=0. 3.A4.C5.B 8.一23（两空顺序可颠倒） 6.-3 7.5点拨：(y-1)(y-1)=y1y-（y十 9一号<m<号点拔：因为方程有两个实数 y2)+1=1-(-3)+1=5. 根，所以△=(-2)2一4×2×(3m一1)≥0， 8.解：a=3,b=2,c=一3， 解得m≤2，又因为是方程2x2 .b-4ac=22-4×3×(-3)=40>0, 2x十3m一1=0的两个实数根，由一元二次 西十=- 31g=-1. 方程根与系数的关系知，x1十x2=1,x1x2= (1)1+1=十=2 1 2,而、2 3m-1 元<1.即23m-1) 1-4<1, (2)x+x号=(x1十x2)2-2x1x2 +2 解得m> 号，放m的取值范围是一号< 22 10.解：设方程的两个根分别为x1,x2,则 【能力提升】 x1十x2=6,x1x2=7. 1.D ,x1,x2是直角三角形的两条直角边 2.D点拨：因为方程x2一x十3=0的判别式 的长， △=(-1)2一4×1×3=-11<0，故此方程 无解，而方程x2一3x一1=0的两根x1、x2 ∴直角三角形的面积5==子 的和为x1十x=3,从而两个方程所有实数 设斜边长为c,由勾股定理，得 根的和等于3. c2=x7十x号=(x1十x2)2-2x1x2=62 3.B点拨：因为a≠B,所以a、3可看作一元 2×7=22, 二次方程x2十x一1=0的两个根，于是a十 .c=√22（负值舍去）. 3=-1,a3=-1,从而a3+a十3=-2. 11.解：，△=(2a)2-4(a2十4a-2)≥0， 4.A点拨：由△=[-2(1-k)]-4×1× a≤ k=4-8≥0，得k<2,即1-k≥ ,x1+x2=-2a,x01x2=a2+4a-2, ∴.x+z号=(m+2)2-212=2(a-2)2-4. 7.22 a≤2当a=2时+的值最小， 8.解：设成本价平均每月降低的百分数为 x,则 此时+=号，即最小值为 625×(1一20%)×(1+6%)-500(1-x) 12.解：(1)x1,x2是方程x2一6.x十k=0的 =625-500, 两个根， 解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去). ∴x1+x2=6,x1r2=k, 答：该产品的成本价平均每月应降低10%. ∴.k2-6=115,解得k1=11,k2=-11. 【能力提升】 当k1=11时，b-4ac=36-44<0, 1.D点拨：把2021年的生产总值看作“单位 ∴.k=11不符合题意，舍去： 1”. 当k2=-11时，b-4ac=36+44>0, 2.B点拨：设每双运动鞋应降价x元，则每 .k=一11符合题意， 双盈利(40一x)元，每天可以销售(20十2x) .k的值为11. 双，依题意，得(40一x)(20+2.x)=1200,整 (2)x1十x2=6,x1x2=-11, 理得x2-30.x十200=0，解得x1=10,x2 ∴.x十x2+8=(x1+x2)2-2x1x2+8 20.又要尽可能让利于顾客，.x=20. 36+2×11+8=66. 3.2 精彩一题 4.1点拨：设AB=xm,BC=(6-2x)m,且 解：小玉的解法不正确， AB≠BC,则x(6一2x)=4,解得x1=1, 因为解出的m的值中，m=9时，b一 x2=2.当x=2时，AB=BC=2m,舍去 4ac<0,应舍去，又题中要求正数m的值，因 故AB=1m. 此m=一1也应舍去，综上，m的值不存在. 5.26点拔：设个位上的数字为x,十位上的 21.3实际问题与一元二次方程 数字为x一4，由题意得(x一4)十x2= 5(x十x-4),解得01=3，x2=6.,x-4> 第6课时实际问题与一元二次方程 0,.x=6,∴.所求两位数是26. 【基础巩固】 6.解：设共有x(x为正整数)名选手参赛， 1.C2.B3.B 所以共有2x(x一1)局比赛。 4.B点拨：此题易出现选D项的错误，其原 因为每局比赛共记2分，所以全部选手的 因是审题不清.“互赠”说明甲同学赠送给 得分总和为x(x一1)分， 乙同学，乙同学也赠送给甲同学，因此，每 由于相邻两个自然数之积是偶数，且其个 人需赠送(x一1)件. 位数字只能是0,2,6， 5.350(1-x)2=224 故总得分不能为2005分，2004分，2008分， 6.2或4点拨：P、Q经过xs,则BP=(6 所以可得方程x(x-1)=2070. x)cm,BQ=2xcm,由题意可得2(6-x)· 解得=46,2=一45（不符合题意，舍去）. 2x=8,解得x=2,x2=4. 答：这次比赛共有46名选手参赛.