第4课时 因式分解法-2024-2025学年九年级上册数学同步辅导（人教版）

第4课时因式分解法 基础巩固 1.一元二次方程(x-3)(.x一5)=0的两个根分 B.,(2-5.x)+(5.x-2)2=0,∴.(5.x-2)(5.x- 别为() 3)=0, A.x1=3,x:=-5 B.x1=-3,x2=-5 C.x1=-3,x2=5 D.x1=3,.x2=5 西=号= 2.解下列方程：①(x-2)2=5;②x2-3.x-2= C.(x十2)2+4x=0,.x1=2,x2=-2 0:③x2+x-6=0:④x2+4x-6=0.其中用 D.x2=x两边同除以x,得x=1 5.方程(x一2)(x一3)=6的解是 因式分解法较简便的是() A.① B.② C.③ D.④ 6.设x1,x2是方程x(.x-1)十3(x一1)=0的两 3.下列说法正确的是() 个根，则x一x2|= 7.用因式分解法解下列方程： A.解方程3.x(x+2)=5(x+2)时，可以在方 (1)(3.x+2)(x-4)=0: 程两边同时除以x十2，得3x=5,故x= 5 3 B.解方程(x十2)(x十3)=3×4时，对比方程 两边知x十2=3，x十3=4，故x=1 C.解方程(3y+2)2=4(y一3)2时，只要将两 (2)(2x+1)2-4=0: 边开平方，方程就变形为3y十2=2(y一 3),从而解得y=一8 D.若一元二次方程的常数项为0，则0必为 它的一个根 (3)2(2x-3)2-3(2x-3)=0. 4.下面一元二次方程的解法中，正确的是 () A.(x-3)(x-5)=10×2,.x-3=10, x-5=2, ∴.x1=13,x2=7 能力提升 1.已知x=1是方程x2+b.x-2=0的一个根，2.方程5.x(x+3)=3(x+3)的解为( ) 则方程的另一个根是() A= 5x2=3 B.:-3 A.x=1 B.x-=2 C.x=-2 D.x=-1 C=-号=-3D.=w=-3 3 3.已知y=x2十x-6,当x= 时，y的 7已知90-折=0，求代数式号-名-“ ab 值是24. 4.若方程(m-2).x-3m+4十2.x-1=0是关于x 的值. 的一元二次方程，则m的值为 5.若(2.x+3y)2+3(2x+3y)-4=0,则2.x+3y 的值为 6.用因式分解法解下列方程： (1)3.x(x-1)十2x=2: 8.求证：如果一个一元二次方程的一次项系数 等于二次项系数与常数项之和，那么此方程 必有一根是一1. (2)(2x-1)2=6.x2-3.x; (3)25(x-7)2=16(x+4)2: 结影一题 解方程.x一6.x2+5=0,这是一个一元四次方 (4)5.x2=4.x: 程，根据该方程的特点，它的解法是：设x2 y,那么x=y2,于是原方程可变为y2一6y十 5=0①，解这个方程得y1=1,y2=5.当y 1时，x=士1：当y=5时，x=士√5，所以原方程 有四个根x=1,x2=一1，x=√5，x4=一√5. (5).x-2=x(x-2): (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了 的数学思想方法； (2)解方程：(x2-x)2一4(x2-x)一12=0. (6)(x-2)=2x-4.2+6 2-6 精彩一题 T1= ## 2 解:对于方程mx^-4x$+5-0,62-4ac (4)因为a=4,b=-3,c=1,所以^*-$ 16-20m. 4$ac=(-3)^*-4$41=-7<0,所以方 对于方程x2-4mx+4n}-3m-3-0 程无实数根. 2-4ac-12m+12 6.证明:△=4^-4(-2)=2^{+8,因$$ (16-20n0. 由题意,可得 解得一1< 12m+12>0, 为2^{}→0,所以2k^{}+8→0,即△>0.所以 不论为何值,方程总有两个不相等的实 数根。 存在整数,使得两方程的根都是整数 点拨:此类题应从△出发,当确定A的取值 若n为整数,m应取-1,0. 范围时,即可证明方程根的情况 当m=-1时,方程mx-4x+5-0变 7.解:(1)·方程有两个不相等的实数根 为x+4x-5-0. (-3)-4(-)0. 此时解为x=-5,x。-1; 4 方程x2-4mx+4m-3m-3=0变%$ r*+4x十4-0. (2)若是负整数,只能为一1或-2. 它的解为x一x一一2. 如果b--1,原方程为x-3x+1-0 当m=0时,方程mx^}-4x+5-0不是 解得x3+5 2 一元二次方程, 2 如果b=-2,原方程为x^2-3x+2-0. '.m=0应舍去,..m=-1. 解得x-1,x-2. 第4课时 因式分解法 8.解:因为关于x的一元二次方程(a一2)x 一2ax十a十1=0没有实数根,所以(-2a) 【基础巩固】 1.D 2.C 3.D -4(a-2)(a+1)-4a-4a{}+4a+8<0 4.B 点拨:在A中,由(x-3)(x-5)-10x 解得a<-2,因为ax十3>0,即ax>-3 2不能得出x-3=10,x-5=2;在C中,解 。 不出x=2,x=-2两个解;在D中,方程 两边不能同除以x,因为x可以等于0,故 B是正确的. 点拨:此题是一元二次方程根的情况与解 5.r-0,x。-5 不等式的综合题,要求ax十3>0的解集, 6.4 点拨:解得方程的根为一3和1,则 就是求ax>一3的解集,那么就转化为判 x-x= -3-1-4. 定a的值的情况问题.因为一元二次方程 (a-2)x②}-2ax十a十1=0没有实数根,即 3.:=4. 根据(-2a){-4(a-2)(a+1)<0就可求 (2)分解因式,得(2x十1+2)(2x+1-2) 出a的取值范围 -0. 即(2x+3)(2x-1)-0,'.x.=- (4)原方程可变形为5x②-4x-0,x(5x 2 4$) -0,x-0或5x-4-0,所以x=0,t- 2一 2. (3)分解因式,得(2x-3)[2(2x-3)-3 -0. (5)原方程可变形为x-2-x(x-2)=0. 3 #{ (-2)(1-x)-0,x-2=0或1-=0. (2x-3)(4x-9)-0..x1= 所以x-2,x=1. 【能力提升】 (6)移项,得(x-2)②-2x+4-0,即(x-2)* 1.C 点拨:将x=1代入方程^}十bx-2= -2(x-2)=0.因式分解,得(x-2)(x-2 0,求得6-1,则原方程为x^②十x-2-0,解 2)=0.整理,得(x-2)(x-4)一0.于是得 得x-1,x--2. x-2-0或x-4-0,所以x-2,x=4. 2.D 7.解:原式^{}-6-^-6^} 2b 3.5或一6 点拨:此题把y的值代人得到关 a 于x的一元二次方程,解之即可,如:根据 ·9-4-0.'(3a+2b)(3a-2b)-0 题意,得x^{②}十x-6=24,整理得x^{}十- . .a-- 30=0,解得x.-5,x=-6. 4.1 点拨:m^{}-3m+4=2,则m^}-3m+2=$$ 2b $. n=1或n=2又n-20,.m=1. 5.1或-4 点拨:(2x+3y)*+3(2x+3y)- 4-0,(2x+3v-1)·(2x+3v+4)=0 当a- 2x+3y=1或2x+3y=-4. 8.证明:设这个一元二次方程为ar十(a十c)x 6.解:(1)原方程可变形为3x(x-1)+2x- c-0(a字0). 2=0.分解因式,得(x-1)(3x+2)=0.所 则(ax十c)(x十1)-0,所以ax十c=0或 以x-1-0或3x+2-0,所以x-1,x= x十1-0. 0. (2)原方程可化为(2x-1)}=3x(2x-1). 移项,得(2x-1)-3x(2x-1)-0.分解因 点拨:按所给出的条件设出一元二次方程 式,得(2x-1)[(2x-1)-3x]=0,即 再利用因式分解法进行证明 精彩一题 解:(1)换元 转化 (3)移项,得25(-7)-16(x+4)=0.分 (2)令x②一x=t,则原方程转化为r*- 解因式,得[5(x-7)-4(x+4)][5(x-7) 4-12-0,解这个方程得=-2,1。-6.当 +4(x+4)]=0.即(x-51)(9x-19)=0. t=-2时,r②一x十2-0,此方程无实数根;当 所以x-51-0或9x-19-0,所以x= -6时,x2--6=0,解得x=-2,x-3, 所以原方程有两个根为x三一2,x。-3.