专题09 二次函数综合（压轴题，四大题型40题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题09 二次函数综合（压轴题，四大题型40题） 目录 题型一：线段周长问题 1 题型二：面积问题 5 题型三：角度问题 10 题型四：特殊四边形问题 14 一、题型一：线段周长问题 1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标； (3)以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． 3．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线交x轴于，交y轴于C，点M是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求a，b的值； (2)若点在该抛物线上，且，，求的值． 4．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）设函数和的图象相交于点，函数的图象的顶点分别为和． (1)画出当时，函数在直角坐标系中图象； (2)观察（1）中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的表达式，并说明理由； (3)设，求证：是与无关的常数，并求的最小值； (4)设直线的图象分别与函数的图象交于和，．若，写出所有实数．（直接写出的值即可，不要求写理由） 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图,已知二次函数的图像与轴交于A,B两点,且,抛物线的对称轴为直线,点是直线上的点,连结． (1)求,的值; (2)过点作交于点,若． ①求的长; ②点是抛物线上的点,连,若时,求点的坐标; (3)点在直线上且是点的上方的点,,则的最小值为______（直接写出答案）． 8．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求点E的坐标； (2)如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标． 9．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于，两点点在点右侧，，与轴交于点．直线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点为上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求周长的最大值； (3)在(2)的条件下，若点是轴上的动点，点为平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 二、题型二：面积问题 11．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 12．（2024·浙江杭州·一模）某校开展劳动实践活动，九（1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长方形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形，设长为x米，长为y米． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求矩形面积的最大值； (3)九（1）班的亮亮同学说：“矩形面积一定不小于矩形的面积”，请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 13．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连结，，． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)如图1，当点F的坐标为，求出此时面积的最大值： (3)如图2，是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在；求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标； (3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接．点P是线段下方抛物线上的一个动点(不与点B、C重合)，过点P作y轴的平行线，交于点M，交x轴于点N，设点P的横坐标为t． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)用含t的代数式表示线段的长，求的最大值及此时点M的坐标； (3)过点C作于点H，． ①求点P的坐标； ②连接，在y轴上是否存在点Q，使得是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标 (2)点是抛物线上的动点，若，求点的坐标 (3)点是轴上一动点，当最大时，求点的坐标． 17．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设点为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标； (2)在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若，且，求a的取值范围． 19．（22-23九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求、的坐标； (2)若抛物线与轴交于两点，且抛物线的顶点落在直线上，求的面积； (3)若线段与抛物线有且只有一个公共点，求的取值范围． 20．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点．    (1)求这个抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求的面积； (3)是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标． 三、题型三：角度问题 21．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与轴的交点为（点在点的右边），与轴的交点为，顶点为． (1)当时，判断的形状，并说明理由． (2)当点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上时，是否存在某个值，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当点在轴的正半轴上时，连结，若射线中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，求出此时的值． 23．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 24．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）定义：若函数（c≠0）与轴的交点A，B的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足＝（或＝），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点A的横坐标为−3，与y轴交点C的纵坐标为−3，满足＝，称为友好函数． (1)判断是否为友好函数，并说明理由； (2)请探究友好函数表达式中的b与c之间的关系； (3)若是友好函数，为锐角，求c的取值范围． 25．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 26．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，，交y轴于点C，对称轴是直线．点D是抛物线的顶点，点E是对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)连接，P是第一象限抛物线上的点，若，求点P的坐标； (3)如图2，点在对称轴上，过点K的直线（直线除外）与抛物线分别交于点G，H，直线，分别交x轴于点M，N．试探究的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由． 28．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，交y轴于点 C，点D在抛物线上，且点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为第一象限点D右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接、，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作轴于E，连接，并延长交于点F，若，求点P的坐标． 29．（2024·湖北武汉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式为：__________； (2)如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； (3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 30．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点点在点的左侧，与轴交于点，且  (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 四、题型四：特殊四边形问题 31．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知拋物线的对称轴为直线，且经过点，，连接，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，连接，，设运动时间为秒． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，求点的坐标； ②点为抛物线对称轴上一点，若以、、、为顶点的四边形（为边）是平行四边形，求的值； (3)以为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，若点落在的内部，请直接写出的取值范围_____________． 32．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线，，点，为抛物线上第一象限内的两点，且满足，以为边向右作矩形，若P点纵坐标为5． (1)求的值； (2)求的值； (3)求矩形的面积． 33．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 34．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线另一点于点，以，为边构造，延长交抛物线于点．    (1)若，如图． ①求该抛物线的表达式． ②求点的坐标． (2)如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 35．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，抛物线交，交轴于点，轴于点.      (1)求抛物线的解析式； (2)点与点关于对称轴对称，点为直线上方的抛物线上的一点，连接,以、为边做平行四边形，是否存在这样的点,使得平行四边形的面积为15？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，若对称轴交抛物线于点,点是抛物线段上的一点，点在对称轴上，连接、、,当恰好是等腰直角三角形时，请直接写出对应的点的横坐标. 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 37．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．    (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？ 38．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（22-23九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点，且对任意实数x，都有．二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图像上的动点．在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有满足条件的点N的坐标． 40．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过，两点，直线交轴于点，交抛物线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在直线上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若，，三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数综合（压轴题，四大题型40题） 目录 题型一：线段周长问题 1 题型二：面积问题 24 题型三：角度问题 52 题型四：特殊四边形问题 84 一、题型一：线段周长问题 1．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标； (3)以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)点M的坐标为 (3)的最小值为 【分析】（1）由，解得，然后代入解析式求解； （2）当线段时，则点C在的中垂线上，即时，即可求解； （3）先证明，然后利用当B、P、G三点共线时，最小，最小值为即可求解． 【详解】（1）∵对称轴是直线， 故，解得， 故抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点为； （2）对于，令， 解得或，令，则， 故点A、B、C的坐标分别为， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式， 设点M的坐标为，则点D的坐标为， 当线段时，则点C在的中垂线上，即， 即， 解得（舍去）或2， 故点M的坐标为； （3）在上取点G，使，即，则，则点， ∵，， ∴， ∴，故， 则， 故当B、P、G三点共线时，最小，最小值为， 则的最小值． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来以及利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．. 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析． 【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． 3．（22-23九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线交x轴于，交y轴于C，点M是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求a，b的值； (2)若点在该抛物线上，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法等知识，求出是解题的关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）利用二次函数的图象和性质得到，解得，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于， ∴， 解得 ∴． ∴ （2）∵若点在该抛物线上，点M是第四象限内抛物线上的一个动点， ∴轴，，m，n是方程的两根， ∴． ∵， ∴． ∴，解得， ∴ ． 4．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，． (1)填空：该二次函数的解析式为______． (2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由． (3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)以，，，为顶点的四边形的面积为8 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式，二次函数 图象的性质： （1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，根据，即可得到； （3）先求出点B的坐标，再求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，解方程求出m的值从而确定点的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵且， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴； （3）解：当时，解得或 ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，（舍去）或，（舍去）， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，以O，C，P，M为顶点的四边形的面积为8． 5．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点M的坐标是 (2)①1；②存在，或 【分析】（1）把代入抛物线的解析式即可求出c，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）①先判断当时，，的坐标分别是，，再求出，时点Q的纵坐标与点P的纵坐标，进而求解； ②先求出，易得P，Q的坐标分别是，，然后分点G在点Q的上方与点G在点Q的下方两种情况，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∴，                                         ∴， ∴顶点M的坐标是． （2）①∵A在x轴上，B的坐标为， ∴点A的坐标是． 当时，，的坐标分别是，． 当时，，即点Q的纵坐标是2， 当时，，即点P的纵坐标是1． ∵， ∴点G的纵坐标是1，                         ∴．                             ②存在．理由如下： ∵的面积为1，， ∴． 根据题意，得P，Q的坐标分别是，． 如图1，当点G在点Q的上方时，， 此时（在的范围内），              如图2，当点G在点Q的下方时，， 此时（在的范围内）．             ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）设函数和的图象相交于点，函数的图象的顶点分别为和． (1)画出当时，函数在直角坐标系中图象； (2)观察（1）中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的表达式，并说明理由； (3)设，求证：是与无关的常数，并求的最小值； (4)设直线的图象分别与函数的图象交于和，．若，写出所有实数．（直接写出的值即可，不要求写理由） 【答案】(1)见解析 (2)（1）中所画函数图象的顶点均在直线上，理由见解析 (3)证明见解析，y的最小值为 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，画二次函数图象，一元二次方程与二次函数之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先分别求出当时，当时，对应的函数解析式，再描点，连线，画出对应的函数图象即可； （2）分别求出两个函数的顶点坐标为，，由点和点都在直线图象上可得结论； （3）联立两函数解析式得到，进而推出，要想恒成立，则，即是与无关的常数，再由，，可得； （4）联立得，设，则，，利用勾股定理得到 ，同理可得，再由，推出，由此可得． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，，， 函数图象如下所示： （2）解：（1）中所画函数图象的顶点均在直线上，理由如下： ∵， ∴函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为， ∵点和点都在直线图象上， ∴（1）中所画函数图象的顶点均在直线上； （3）证明：联立得， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 符合题意； 当，则，即， ∴要想恒成立，则， ∴是与无关的常数， ∵，， ∴， ∴y的最小值为； （4）解：联立得， 整理得， 设，则，， ∴ ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当时，，，此时线段重合，不符合题意， ∴， ∴． 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图,已知二次函数的图像与轴交于A,B两点,且,抛物线的对称轴为直线,点是直线上的点,连结． (1)求,的值; (2)过点作交于点,若． ①求的长; ②点是抛物线上的点,连,若时,求点的坐标; (3)点在直线上且是点的上方的点,,则的最小值为______（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)①;②点的坐标为, (3) 【分析】（1）利用二次函数对称轴求出,再将代入函数解析式即可求得值; （2）设动点坐标并利用勾股定理即可求出本题结果,利用已知条件及中结论可知,利用等腰三角形性质及一次函数二次函数交点坐标可求出的两个坐标; （3）做,设,根据条件,利用勾股定理表示出,再根据条件用勾股定理表示出,再利用二次函数最值公式,继而本题答案． 【详解】（1）解:∵二次函数的图像与轴交于A、B两点,且,对称轴为直线, ∴,即, ∴二次函数为, ∴将代入中得:, 故答案为:; （2）解:连接,并规定对称轴与轴交点为F, ∵二次函数解析式为, ∴, ∵过点作交于点, ∴, ∵点是直线上的点, ∴设, ∴,, ∴, ∵, ∴, ∵,, ∴, 在中,, ∴,即, ∴, 故答案为:; 解:∵由知, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴是等腰三角形, ∴动点在抛物线顶点处或在直线与抛物线交点处, ∴抛物线顶点为,即, 设直线解析式为, 将,代入中,得: ,解得, ∴, ∴,解得, 故答案为:,． （3）解:作交直线于点,连接, 设:, ∵, ∴, ∵,, ∴,, ∴, ∵,, ∴, ∴, ∴的最小值为, 故答案为:． 【点睛】本题考查二次函数与几何最值,勾股定理,待定系数法求一次函数解析式．分析出动点问题给坐标设未知数是解出本题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求点E的坐标； (2)如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3)或 【分析】（1）将，代入，即可得解析式，配成顶点式得坐标； （2）连接，，设，的垂直平分线恰好经过点，可得，据此列出方程即可求解； （3）设交抛物线的对称轴于点，设，则，设直线的解析式为，则，解得 求出，，由面积公式可求出的值，则可得出答案． 【详解】（1）将，代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标； （2）如图1.1，图1.2，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得． 设， ，由勾股定理可得： ， 解得， 满足条件的点的坐标为 或； （3）如图2，设交抛物线的对称轴于点， 设，则，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ， 当时，， ，， ， ， 解得或， 当 时，，当 时，． 综合以上可得，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 9．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在平面直角坐标系中．抛物线与轴交于，两点点在点右侧，，与轴交于点．直线经过点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点为上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求周长的最大值； (3)在(2)的条件下，若点是轴上的动点，点为平面内一点，是否存在点，，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，周长的最大值为 (3)存在，点的坐标为，或，或，或，或， 【分析】（1）求出点，的坐标，由可得点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）设点，，可得、的坐标，利用勾股定理求出，，，根据二次函数的最值即可求解； （3）分三种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：直线，令得， 令得，解得． ，，，， ， ，， 将，， ，，，代入得， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）设点， 轴， ， ， ， 轴， ，， ， ， ， 点为上方抛物线上一点， ， ， 的周长 ， 当时，周长的最大值为； （3）存在， 由（2）知时，， ， 设，， ①线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，    ， ， ， ，或，， 四边形为菱形，点的坐标可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， 点可由点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到， ，或，； ②线段为菱形的边，四边形为菱形时，如图，    ， ， ， ，或，， 四边形为菱形，点的坐标可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， 点可由点向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到， ，或，； ③线段为菱形的对角线，四边形为菱形时，如图，    ， ， ， 设，， ，解得， ，解得， ，． 综上所述，存在，点的坐标为，或，或，或，或，． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线、坐标与图形性质、勾股定理、菱形的性质、两点间的距离、二次函数的性质、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法和菱形的性质，分类讨论是解题的关键． 10．（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得； ②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把，，代入中得： 解得， 所以解析式为：； （2）①点的横坐标是， 的纵坐标是 由，求得直线解析式为 的纵坐标是， 所以当时， ②存在，理由如下： 点在直线上， 点的横坐标是 ，当时，最大 点坐标为． 二、题型二：面积问题 11．（2024·浙江台州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接，过点A作的垂线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P；②在x轴上多次改变M点的位置，用①的方法得到相应的点P． (1)小明按要求已完成了①的作图，并确定了，，…的位置，请你根据小明步骤，描出对应的，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪一种曲线； (2)对于曲线L上的任意一点P，设点P的坐标是，试求出x，y满足的函数关系式； (3)连，若的面积不超过面积的一半，设P点的横坐标为a，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)图见解析，抛物线 (2) (3)或 【分析】（1）按要求画出点，，…并把这些点用平滑的曲线连接起来，观察画出的曲线L，即可判定曲线的类型； （2）由勾股定理建立方程，整理后即可得x，y满足的函数关系式； （3）由的横坐标可求得的坐标，由待定系数法求出直线的解析式，求出与y轴的交点坐标，则可求出的面积；设直线与直线交于点B，则可求得；而由点P的横坐标得，进而求出线段，则可求出的面积，由的面积不超过的面积的一半，得到关于a的不等式，解不等式即可求得a的范围． 【详解】（1）解：如图所示， 则L是抛物线； （2）解：由题意轴，则， ， 而，， 由于，由勾股定理得：， 即， 整理得：； （3）解：由题意知，当时，；当时，； 即； 设过的直线解析式为，则有，解得：， 即直线的解析式为； 上式中，令，则，即直线与y轴交点为， ； 设直线与直线交于点B，则；而， ， 故， 由题意得， 即， ∴， 解不等式得：或； 即a的取值范围为：或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求二次函数的解析式，二次函数与面积问题，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与不等式，勾股定理等知识，综合性强，运算量大，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．（2024·浙江杭州·一模）某校开展劳动实践活动，九（1）班分配得到一块如图所示的边长为8米的正方形菜地，由于场地调整，现将菜地改成周长不变的长方形菜地，两块菜地的重叠部分为矩形，不重叠两块是矩形和矩形，设长为x米，长为y米． (1)求y关于x的函数表达式； (2)求矩形面积的最大值； (3)九（1）班的亮亮同学说：“矩形面积一定不小于矩形的面积”，请你判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大，最大值为16平方米 (3)他的说法正确，详见解析 【分析】本题考查函数的应用、矩形和正方形的性质，掌握矩形和正方形的性质及其周长和面积公式、二次函数求最值的方法是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式解答即可； （2）用含x的代数式分别表示出矩形的长和宽，根据长方形的面积公式写出其面积表达式，利用二次函数求最值的方法求解即可； （3）利用作差法判断两个面积的大小即可． 【详解】（1）根据长方形的周长公式，得， 即， ∴y关于x的函数表达式为． （2）∵， ∴， ∴， ∴当时，矩形面积最大，最大值为16平方米． （3）他的说法正确．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为抛物线第一象限上的动点，点F为y轴上的动点，连结，，． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)如图1，当点F的坐标为，求出此时面积的最大值： (3)如图2，是否存在点F，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在；求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当，的面积取得最大值，且最大值为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2）过点P作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则表示出，利用二次函数的最值解答即可． （3）根据等腰直角三角形的定义，利用三角形全等的判定和性质，分类解方程解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：过点P作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则，则， ∴， ∴当，的面积取得最大值，且最大值为． （3）解；设， ①当，时， 过点P作于点D， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且点P在第一象限， ∴，，， ∴， 解得（舍去）； ∴， ∵点在y轴的负半轴上， ∴． ②当，时， 过点P作于点M，过点P作于点E， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，且点P在第一象限， ∴，，，， ∴， 整理，得 解得（舍去）； ∴， ∴， ∴， ∵点在y轴的正半轴上， ∴． 故存在点F，使是以为腰的等腰直角三角形，且或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，构造二次函数求面积最值，解方程，等腰三角形分类计算，熟练掌握待定系数法，正确构造二次函数，活用分类思想是解题的关键． 14．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使的面积最大，求出点P的坐标； (3)在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝－x2－2x＋3 (2) (3)或或 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，进而得到的长，由此求出A、B、C的坐标，再把解析式设为交点式利用待定系数法求解即可； （2）如图1，过点作轴交于点，利用待定系数法求出设直线解析式，设，则，求出，即可利用二次函数的性质求解即可； （3）如图2，分两种情况：点在轴上方或点在轴下方．①当点在轴上方时，根据与纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点在轴下方时，根据与纵坐标互为相反数，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴，，， 设抛物线解析式为，将代入，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点， 设直线解析式为，将，代入， 得：， 解得：， 直线解析式为， 设，则， ， ， ， ， 当时，的面积最大，此时点的坐标为； （3）解：存在．分两种情况：点在轴上方或点在轴下方． ①当点在轴上方时，∵， ∴与纵坐标相等， ， 解得：，（舍去）， ， ②当点在轴下方时，∵为对角线， ∴的中点坐标相同，即它们的中点的纵坐标为0， ∴与纵坐标互为相反数， ， 解得：，， 或， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题是有关二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积和四边形面积，平行四边形性质，解一元二次方程等知识，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握待定系数法及平行四边形性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想思考解决问题是解题关键． 15．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接．点P是线段下方抛物线上的一个动点(不与点B、C重合)，过点P作y轴的平行线，交于点M，交x轴于点N，设点P的横坐标为t． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)用含t的代数式表示线段的长，求的最大值及此时点M的坐标； (3)过点C作于点H，． ①求点P的坐标； ②连接，在y轴上是否存在点Q，使得是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2， (3)；存在．点Q的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合题，重点考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理，应用二次函数的最值等，此题综合性较强，属于考试压轴题． （1）利用待定系数法即可求得答案； （2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数最值即可求得答案； （3）根据题意建立方程求解即可得出答案；设，根据，分两种情况：当时，当时，分别求得点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点、， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，得， ， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，取得最大值2，此时点M的坐标为； （3）解：如图1， ，，，，，， ，，，， ， ， 解得：，， 点P是线段下方抛物线上的一个动点， ， ， ； 存在点Q使得为直角三角形，设， ，， ，，，， 当时，如图2，轴， ； 当时，如图3， 在中，， ， 解得：， ； 综上所述，点Q的坐标为或． 16．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标 (2)点是抛物线上的动点，若，求点的坐标 (3)点是轴上一动点，当最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】 （1）利用待定系数法求解即可，再根据解析式求出对称轴，即可求出点D的坐标； （2）过点E作轴交于点F，求出直线的解析式，设点，则，由，再根据，建立方程求解出符合的解即可； （3）连接，作的内接圆，设，在中，所对的边为，当为的内接圆的直径时，最大，且为直角，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点， ， 解得， 抛物线的解析式为：； ， ， 抛物线的图象关于对称， 点与点关于抛物线的对称轴对称， 设点D的坐标为， ， ， ； （2）解：设直线的解析式为， 将，，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 设点， ， ， ， 如图，过点E作轴交于点F， ， ， ， ，即， 或， 当时， 解得：或， 或； （3）解：如图，连接，作的内接圆，    设，在中，所对的边为， 当为的内接圆的直径时， 最大，且为直角， ， ， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 17．（22-23九年级上·广西南宁·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设点为抛物线的对称轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标； (3)在第二象限的抛物线上，是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点坐标为 (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）易得抛物线的对称轴为，又可求出．连接与对称轴的交点即为所求点．利用待定系数法即可求出直线的解析式，令，则，即点坐标为； （3）设是第二象限的抛物线上一点，过点作轴交直线于点，则点的坐标为，从而可求出，再根据，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为， 令， 解得：，， ∴． ∵点与点关于直线对称， ∴连接与对称轴的交点即为所求点．    设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 当时，， ∴点坐标为； （3）存在． 设是第二象限的抛物线上一点， 过点作轴交直线于点，    ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，此时， ∴． 综上，在第二象限的抛物线上，存在一点，使得的面积最大，且点的坐标为． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 18．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)若点M是抛物线的顶点，求抛物线解析式及A、B、C坐标； (2)在（1）的条件下，若点P是A、C之间抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)面积最大值为， (3)或 【分析】（1）设抛物线的顶点式为，将N点代入即可求a的值，从而确定函数的解析式； （2）设，先求出直线的解析式，过P点作轴交于点G，则，，从而得到，当时，的面积有最大值，此时，求出直线与x轴的交点为，再求，即可求四边形面积的最大值； （3）先求出抛物线的解析式，分别求出当时以及当时，a的取值，即可． 【详解】（1）解：∵点M是抛物线的顶点， ∴可设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴ 解得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或1， ∴， 当时，， ∴； （2）解：设， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 过P点作轴交于点G， ∴， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，此时， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与x轴的交点为， ∴， ∴四边形面积的最大值为； （3）解：将和两点代入， ∴，解得， ∴， 当时，，解得：， 当时，，解得， ∴或．    【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键． 19．（22-23九年级上·浙江金华·期中）已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求、的坐标； (2)若抛物线与轴交于两点，且抛物线的顶点落在直线上，求的面积； (3)若线段与抛物线有且只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)的面积为1 (3)或或 【分析】（1）对于，令，得到，令，则，即可得出答案； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，从而得到的坐标为，将点代入求出，从而得到抛物线解析式为，点，令，解得：或，则，最后由进行计算即可； （3）由（1）可得点、的坐标，再分两种情况进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：对于， 令， 解得：， 令，则， ∴，； （2）解：， 抛物线的顶点的坐标为， 抛物线的顶点落在直线上， 将点的坐标为代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为：，点， 令， 解得：或， ， ； （3）解：①由（1）可得：，， 线段为， 联立， 得， 当时，即时，抛物线与线段只有1个公共点， ②， 抛物线的对称轴为直线， 在中，当，， 根据抛物线的轴对称的性质可得： 当时，此时抛物线对称轴的左边与线段有一个交点， 解得：或， 此时抛物线与线段只有1个公共点， 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的解析式，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 20．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）已知：，是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点．    (1)求这个抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求的面积； (3)是线段上的一点，过点作轴，与抛物线交于点，若直线把分成面积之比为的两部分，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，从而得到点的坐标，再代入抛物线解析式即可解答； （2）令抛物线解析式中，可求得点坐标，利用公式法求出顶点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为点，分别求出、梯形、的面积，利用=解答即可； （3）先利用待定系数法求得直线的解析式，再设直线与相交于点，点，则点，从而求得，最后分两种情况讨论①当时或②当时，分别计算解答即可． 【详解】（1）解： ，是方程的两个实数根，且， 把点代入抛物线解析式得 ，解得， ； （2）解： 令 如图，过点作轴的垂线，垂足为点，    = ； （3）解：如图，    设直线的解析式为，代入点得， 设直线与相交于点，点 则点 直线把分成面积之比为的两部分，分两种情况讨论： ①当时 （舍去） ②当时 综上所述，点或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、配方法求二次函数顶点坐标、解析法求线段的长等知识，利用等高三角形面积比等于底边比，掌握相关知识是解题关键． 三、题型三：角度问题 21．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数与坐标轴的交点坐标分别求出、、的长度；然后通过勾股定理逆定理判断出，得出；由得出；作点关于轴的对称点，连接；即可构造出，从而得出；根据平行线的斜率相同以及点的坐标求出直线的表达式；最后联立方程组求解即可； 【详解】解：令，则 解得：， ∴， ∴，， 当时， ∴ ∴ 在中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，作点关于轴的对称点，连接； 则， ∴ ∴ ∴ 设直线的表达式为： 将代入得： ∴直线的表达式为： 解方程组得：或 ∵点在第三象限 ∴点的坐标为 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质、一次函数的性质、勾股定理逆定理、直角三角形两锐角互余等知识点；综合运用上述知识求出直线的函数表达式是解题的关键． 22．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与轴的交点为（点在点的右边），与轴的交点为，顶点为． (1)当时，判断的形状，并说明理由． (2)当点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上时，是否存在某个值，使得是等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当点在轴的正半轴上时，连结，若射线中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，求出此时的值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见详解． (2)故存在一个m值使是等腰三角形，此时 (3) 【分析】（1）将将代入中，得，求出A、B、D三点的坐标，易得是等腰直角三角形； （2）先求出A、B、C三点的坐标分别为，，．根据题意得，，由此得，．当是等腰三角形 时，，则可得，求出m的值即可． （3）分两种情况讨论：①当A、B都在x轴正半轴上时，平分，过D点作轴于E点，由，可得，由此得，因此，进而可得，则，求出m的值即可．②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，若平分，则，此种情况不存在． 【详解】（1）   将代入中，得， 由得， ，， ，， 当时，， ， ， ，， ，， ∴是等腰直角三角形． （2）   由得， 解得，， ∵点在点的右边， ，， ∵点在轴的负半轴上， ， ， 当时，， ， ∵点在轴正半轴上， ， ， 当是等腰三角形时，， ， 整理得， 解得，， 由得， ， 故存在一个m值使是等腰三角形，此时． （3）①当A、B都在x轴正半轴上时，平分，    由（2）知，，，， 过D点作轴于E点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 解得，， 因为A、B都在x轴正半轴， ， ， ． ②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上， 由①知， 若平分， 则， 此种情况不存在， 综上，． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式，二次函数与坐标轴交点坐标的求法，等腰直角三角形的判定与性质，难度中等．熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 23．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标； (3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点P的坐标为 (3)存在，点P的横坐标为或7． 【分析】（1）根据一次函数求出A、C两点坐标，代入解析式求解即可得到答案； （2）根据A、B、C点坐标即可得到，求出的面积，分点P在下方或上方两类列方程即可得到答案； （3）由（2）得，作的垂直平分线交于一点F，求得，即，过点作，过点作交于点，得到，即点在直线上，求得直线的解析式，根据一次函数与二次函数交点问题联立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，，故， 当时，，，故， 将，代入解析式得， ，解得：， ∴； （2）解：①点P在下方时，如图所示，连接，设， ∴ ， 当，解得：，， 故， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，即， ∵，无解， ②当点P在上方时，如图所示，连接，设， ∴ ， ∵的面积与的面积相等， ∴ ∴（与B重合，舍去），， 当时，， ∴； （3）解：∵,，， ∴ ∴， ∴是直角三角形， ∴， 如图所示，作的垂直平分线交于一点F，连接，则， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则， ∵， 在中，， 即， 解得：，则 ∴ ∴ 如图所示，过点作，过点作交于点， 则 即，即点在直线上， ∵ ∴， 在中，, ∴ 过点作轴， 则 ∴， ∴,， ∴ 设直线的解析式为 即 ∴ 即， 联立 解得：（舍去）， 同理可得 设直线的解析式为 则 解得： ∴ 联立 解得：（舍去）， 综上，点P的横坐标为或7． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．（22-23九年级上·浙江舟山·期中）定义：若函数（c≠0）与轴的交点A，B的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足＝（或＝），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点A的横坐标为−3，与y轴交点C的纵坐标为−3，满足＝，称为友好函数． (1)判断是否为友好函数，并说明理由； (2)请探究友好函数表达式中的b与c之间的关系； (3)若是友好函数，为锐角，求c的取值范围． 【答案】(1)是友好函数，理由见解析； (2)； (3)或，且． 【分析】（1）求出函数与坐标轴的交点，可直接根据友好函数的定义进行判断； （2）当时，，即与y轴交点的纵坐标为c，将代入，即可求出b与c之间的关系； （3）分情况讨论：①当C在y轴负半轴上时，画出草图，求出函数与x轴的一个交点为，则，所以只需满足，即可判断c的取值范围；②当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，画出草图，显然都满足为锐角，即可写出c的取值范围；③当C与原点重合时，不符合题意． 【详解】（1）解：是友好函数，理由如下： 当时，；当时，或3， ∴与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3， ∴是友好函数； （2）当时，，即与y轴交点的纵坐标为c, ∵是友好函数， ∴时，，即在上， 代入得：， ∴， 而， ∴； （3）①如图1，当C在y轴负半轴上时， 由（2）可得：，即， 显然当时，， 即与x轴的一个交点为， 则， ∴只需满足，即 ∴； ②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时， ∴显然都满足为锐角， ∴，且； ③当C与原点重合时，不符合题意， 综上所述，或，且． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数与坐标轴的交点等，解题关键是要有较强的理解能力及在第三问中注意分类讨论思想的运用等． 25．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①根据题意得出，得出直线的解析式为，联立得出，在直线上；②设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：对于，令， 解得： ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 ∴， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ （3）①点与点重合，则， ∵点为中点，， ∴, 设直线的解析式为，代入, ∴ 解得： ∴ 联立 解得：或 ∴，在直线上 即，，三点共线； ②设， ∵，，三点共线； ∴设的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， 设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴的面积为是定值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)面积的最大值为，； (3)或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）可得，求出直线的解析式为，又可得，进而得为等腰直角三角形，得到，设，则，可得，得到当时，即，取最大值，此时的面积最大，据此即可求解； （）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由可得，， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 当时，即，取最大值，此时的面积最大， ； （3）解：存在． 当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ∴， ∴， 由， 解得或， ∴； 当点在下方时， 作点，直线与抛物线交于点， ∵，， 同理可得直线解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 解得或， ∴； 综上，点的坐标为或． 27．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，，交y轴于点C，对称轴是直线．点D是抛物线的顶点，点E是对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)连接，P是第一象限抛物线上的点，若，求点P的坐标； (3)如图2，点在对称轴上，过点K的直线（直线除外）与抛物线分别交于点G，H，直线，分别交x轴于点M，N．试探究的值是否是定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，是定值 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中 得到点， 即可求解； （3）求出同理可得，即可求解. 【详解】（1）解：∵对称轴是直线 ∴点的坐标分别为： ∴ ； （2）解：由抛物线的表达式知，当时，，即点， 由点的坐标得，， ∴ 延长交轴于点，过点作交的延长线于点， 在中， ， ， ∵ ∴， 设，则 ， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线的表达式为：， 则，解得 ∴直线的表达式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：(舍去)或 ， 即点； （3）解：是定值，理由： 由抛物线的表达式知，当时，，即点， ∵直线过点， ∴设直线的表达式为： ， 设点的坐标分别为： 点 联立 和 并整理得： 则 由点的坐标得，直线的表达式为：， 令 ，则 ， 即点， 则， 同理可得，， 则． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 28．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，交y轴于点 C，点D在抛物线上，且点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为第一象限点D右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接、，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作轴于E，连接，并延长交于点F，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将将代入即可求解； （2）利用即可求解； （3）连接并延长交、于、,利用，证，得出，过点作，交轴于点，先证，再证，得，求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）由点的横坐标为m， 则点坐标为， 当时， 解得：，， 即，， 则， 则， 即； （3）连接并延长交、于、， ∵，， ∴轴， ∵轴， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，交轴于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍）， 代入，得：， 故． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法，二次函数与三角形面积，三角形全等的判定与性质，一元二次方程，矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 29．（2024·湖北武汉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式为：__________； (2)如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； (3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）直接由待定系数法求解析式即可； （2）设，分类讨论，当时，由，建立关于m的方程并求解即可；当时，由，建立关于m的方程并求解即可； （3）延长交x轴于E，过M作轴于F，设直线的直线解析式为：，求出P点坐标，联立并求出点坐标，由等腰三角形的性质和中点坐标公式求出E点坐标，利用待定系数法求出的解析式，并求出Q点坐标，进而求出，联立求出N点坐标，利用待定系数法求出的解析式，求出R坐标，进而求出，再根据，建立关于k的方程，解方程求解即可； 【详解】（1）把和代入得， ，解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）设， 当时，， ， ， 当时，如图， ， ， 解得，（舍）， ， ， 当时，如图， ， ， 解得（舍），， ， ， 综上所述，或； （3）延长交x轴于E，过M作轴于F， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 设直线的直线解析式为：， 把代入得，， 直线的直线解析式为：， 当时，， ， 联立， 得 ，即， 解得， 当时，， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把，，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 联立，得，即， 解得， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， 解得：或， M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点， ， ， 直线的解析式为：； 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，面积问题，角度问题，等腰三角形的性质和判定，中点坐标公式等知识点；解题的关键是分割法求面积，根据，建立关于k的方程； 30．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点点在点的左侧，与轴交于点，且  (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1)； (2)； (3)线段的长度不会改变，长度为12． 【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值； （2）当点在第一象限抛物线上时，时，过点作，，，设，，，在中，，可得，则，求出直线解析式为，则，由在抛物线上，可得，求出的值，即可求解； （3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度． 【详解】（1）解：由图象，可知， 将代入中，得， 点， ， 令，即， 解得，， 点A在点B的左侧， 点，， ， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，当点在第一象限抛物线上时，，过点A作于，   ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 在中，， ， 解得或（负值不合题意，舍去）， ∴， 直线解析式为， 在抛物线上， ，解得（不合题意，舍去）或4， ； （3）解：设， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， 线段的长度不会改变，线段的长度为12． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 四、题型四：特殊四边形问题 31．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知拋物线的对称轴为直线，且经过点，，连接，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，连接，，设运动时间为秒． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，求点的坐标； ②点为抛物线对称轴上一点，若以、、、为顶点的四边形（为边）是平行四边形，求的值； (3)以为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，若点落在的内部，请直接写出的取值范围_____________． 【答案】(1) (2)①②或 (3) 【分析】（1）由拋物线的对称轴得，将点，代入，即可求解； （2）①过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ②同理可求：，，可得，，(ⅰ)当构成以为对角线的平行四边形，设，由平移得向右平移个单位，再向上平移个单位得到，向右平移个单位，再向上平移个单位得到，由平移得到与平移得到的方式相同，即可求解；(ⅱ)当构成以为对角线的平行四边形，同理可求； （3）过轴交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，(ⅰ)当在直线上时，代入可求的值；(ⅱ) 当在直线上时，同理可求． 【详解】（1）解：拋物线的对称轴为直线， ， ， ， 将点，代入， ， 解得：， ， 抛物线的解析式：； （2）解：①当时， ， ，， ，， ， 过作轴交于， 轴， ， ， ， 解得：， ， ， ， ； ②由题意得 ，， 由①同理可得： ， ， 解得：， ， ， ， ， ， (ⅰ)如图，当构成以为对角线的平行四边形， 设， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 四边形是平行四边形， ， ， 平移得到与平移得到的方式相同， ， 解得：； (ⅱ)如图，当构成以为对角线的平行四边形， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 同理可得：， 解得：； 综上所述：的值为或； （3）解：过作轴交于，过作交于， ， ， 由旋转得：， ， ， ， 在和中， ， ()， ， ， 由②得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， (ⅰ)当在直线上时， ， 解得：； (ⅱ) 当在直线上时， 同理可求直线的解析式为， ， 解得：，， 经检验：，是此方程的解， ， ， 点落在的内部， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质；掌握待定系数法，相关的判定方法及性质，能根据平行四边形的对角线不同和点的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 32．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线，，点，为抛物线上第一象限内的两点，且满足，以为边向右作矩形，若P点纵坐标为5． (1)求的值； (2)求的值； (3)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，完全平方公式的变形求值，矩形的性质，勾股定理： （1）根据矩形对角线中点坐标相同进行求解即可； （2）连接，在中，由勾股定理得，进而得到，解得； （3）先得到，，则，即，由勾股定理可得，设，进而可得，则，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴由矩形对角线中点坐标相等可得， ∴； （2）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点，为抛物线第一象限内的两点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴矩形的面积为． 33．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于A点，其顶点为D．直线分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线相交于E点． (1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）； (2)将沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值； (3)抛物线上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数、对称、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用配方法确定抛物线顶点坐标，学会分类讨论，知道可以利用方程组求两个函数图象交点坐标，属于中考压轴题． （1）利用配方法求出顶点D坐标，令，可以求出点A坐标； （2）求出直线解析式，利用方程组求出点E坐标，再求出点E关于y轴对称点坐标，利用待定系数法即可解决问题； （3）分为边，为对角线两种情形分别讨论即可解决问题． 【详解】（1）∵， ∴顶点， 令，则， ∴点， ∴； （2）设直线为，则，解得， ∴直线解析式为， 由，解得， ∴点E坐标为， ∴点关于y轴的对称点， ∵点在抛物线上， ∴， ∴或， ∵， ∴； （3）如图， ①当为边时，，， 令，则， ∴点C的坐标为， ∴ 根据平移可以得到点P坐标， ∴， ∴或(舍弃)， ②当为对角线时，为边， 根据平移可得点坐标， ∴， ∴或(舍弃) ∴抛物线解析式为或． 34．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数与坐标轴交于，两点，以为顶点的抛物线过点，过点作轴的垂线交该抛物线另一点于点，以，为边构造，延长交抛物线于点．    (1)若，如图． ①求该抛物线的表达式． ②求点的坐标． (2)如图2，请问是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；② (2)是， 【分析】（1）①将的值代入一次函数解析式，可求出点的坐标，利用待定系数法可得出结论；②由抛物线的对称性可得点的坐标，根据平行四边形的性质可求出点的坐标，进而求出直线的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论； （2）根据待定系数法可求出点的坐标，从而可得抛物线的解析式为：；由抛物线的对称性可得，由平行四边形的性质可知，进而求出直线的表达式，联立求出点的坐标，进而求出的长度，求出比值即可得出结论． 【详解】（1）解：①当时，一次函数为， 令，则；令，则， ，， 设抛物线的表达式为：， 将代入可得，， 解得； 抛物线的解析式为：； ②由抛物线的对称性可得，， 由平行四边形的性质可知，， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令， 解得舍或， ； （2）解：是定值，理由如下： 对于， 令，则；令，则， ，， 设抛物线的表达式为：，， 将代入可得，， 解得； 抛物线的解析式为：； 由抛物线的对称性可得，， 由平行四边形的性质可知，， 设直线的解析式为：， 将，代入解析式可得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令， 解得舍或， ； ， ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，抛物线的对称性，二次函数图象与一次函数图象交点问题等相关知识点，表达出点的坐标是解此题的关键． 35．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，抛物线交，交轴于点，轴于点.      (1)求抛物线的解析式； (2)点与点关于对称轴对称，点为直线上方的抛物线上的一点，连接,以、为边做平行四边形，是否存在这样的点,使得平行四边形的面积为15？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由. (3)如图2，若对称轴交抛物线于点,点是抛物线段上的一点，点在对称轴上，连接、、,当恰好是等腰直角三角形时，请直接写出对应的点的横坐标. 【答案】(1) (2)或 (3)点E的横坐标为1或或 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，与x轴的交点坐标，等腰三角形的分类计算，三角形确定的判定和性质中的一线三直角全等模型，解方程，熟练掌握待定系数法，分类思想是解题的关键． （1）把，点分别代入解析式，计算即可． (2) 过点作轴的平行线，交于，设，则，则，表示出，结合解答即可． (3) 当，且时，如图，设对称轴与轴的交点为M，且，则，过点E作于点H，利用三角形全等证明；当，且时，如图，设对称轴与轴的交点为M，过点E作于点Q，过点E作于点，利用三角形全等证明；当，且时，如图，设对称轴与轴的交点为M，过点E作于点H，于点M，利用三角形全等证明即可． 【详解】（1）把，点分别代入解析式， 得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）过点作轴的平行线，交于， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点与点关于对称轴对称，， ∴ ∴设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得： 解得， 直线的解析式为：， 设，则， 则， ∴， ∴ ∵ ∴, 解得，， ∴， 故， ∴， 故点P的坐标为或． （3）当，且时，如图，设对称轴与轴的交点为M， 且，则， 过点E作于点H， ∵，且， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴，点E的横坐标为点M向右平移m个单位即为， ∴， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得（舍去）； ∴， 此时点E的横坐标为1； 当，且时，如图，设对称轴与轴的交点为M， 过点E作于点Q，过点E作于点， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，且， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∴． 设，则，， ∴， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得（舍去）； ∴， 此时点E的横坐标为； 当，且时，如图，设对称轴与轴的交点为M， 过点E作于点H，于点M， ∵，且， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∵点E在抛物线上， ∴， 解得（舍去）； ∴， 此时点E的横坐标为； 综上所述，点E的横坐标为1或或． 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在，最大值为12 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键. （1）利用解方程求出函数与坐标轴的交点坐标； （2）由题意可知设P，点P在x轴上方，得到的取值范围，然后分，，三种情况表示矩形的周长，求出最值即可； （3）分和两种情况讨论函数图象的增减性即可解题． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴，     ∴； （2）∵P点横坐标为m， ∴P， ∵当点P在x轴上方， ∴，， ①当时，此时构造产生的图形为一条线段，不存在矩形，舍去 ②当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴不在范围内， 在内，L随m的增大而增大， ∴当时，； ③当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴在范围内， ∴当时，此时； ∵， ∴当时，此时； ∴当时，； 综上所述，矩形的周长 当m＝时，此时矩形的周长L有最大值为12； （3）∵抛物线的对称轴为直线， 当时，时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 当时，由（1）知抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 综上所述：或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大． 37．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．    (1)求抛物线和一次函数的解析式． (2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由． (3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)满足条件的E、F两点存在，，， (3)当时，的最大值为 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、，证明，得出，，则同理可得，；②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形，过点作轴于点，过点作于点，证明，得出，在中，，解得或4，进而即可求解； （3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，点在抛物线上，且横坐标为得出，进而可得，则，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把，，代入 得     解得     ∴     把代入得 ∴ （2）满足条件的、两点存在，，，     解：①当为正方形的边长时，分别过点点作，，使，，连接、.    过点作轴于. ∵， 又， ∴， ∴， ∴ 同理可得， ②以为正方形的对角线时，过的中点作，使与互相平分且相等，则四边形为正方形， 过点作轴于点，过点作于点    ∵， 又 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ 解得或4 当时，，此时点在点右侧故舍去； 当时，. 综上所述：，， （3）∵向右平移8个单位长度得到抛物线 当，即 解得： ∴， ∵过，，三点 ∴     在直线下方的抛物线上任取一点，作轴交于点，过点作轴于点    ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵， ∴ 又 ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵点在抛物线上，且横坐标为 ∴ ∴     ∵ ∴ ∴ ∴     ∴ ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，正方形的性质，二次函数的性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 38．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可； （2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，利用勾股定理可得，即有， 当取最大值时，三角形面积为最大值．证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的对角线时，③当为平行四边形的对角线时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）（1）∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， 即抛物线解析式为：， 当时，有， ∴点的坐标为； （2）过作于点，过点作轴交于点，垂足为F，如图： ∵， ∴，， ∴， 当取最大值时，三角形面积为最大值． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为， 将、代入， 得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴此时最大为， ∴ 面积的最大值：， 即面积最大值为：； （3）存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为 ②当为平行四边形的对角线时，如图， 方法同①可得，， ∴， ∴点M的坐标为； ③当AC为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴线段的中点H的坐标为，即H， ∴，解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 39．（22-23九年级上·浙江温州·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点，且对任意实数x，都有．二次函数与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是中二次函数图像上的动点．在x轴上存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】N点坐标为或或或． 【分析】令，解之可得交点为，则二次函数图象必过，又过，则把两点坐标代入解析式可得，又，整理可得，所以且，则可得，从而求得二次函数解析式；由题意可得A点坐标为，C坐标为，设点M坐标为，，根据对角线的不同可分三类情况建立方程组讨论求解即可：①AC为对角线则有，②AM为对角线则有，③AN为对角线则有． 【详解】解：令，解得：， 当时，， ∴必过， 又∵过， ， 解得：， ∴， 又∵， ∴， 整理得：， ∴且， ∴， ∴， ∴，，， ∴该二次函数解析式为， 令中，得，则A点坐标为， 令，得，则点C坐标为， 设点M坐标为，， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当为对角线时，， 即， 解得：（舍去），， ∴，即； ②当为对角线时，， 即， 解得：（舍去），， ∴，即； ③当为对角线时，， 即， 解得：，， ∴或， ∴，； 综上所述，N点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标，平行四边形的判定与性质，二次函数与一元二次方程的联系，根的判别式，对于平行四边形的存在性要注意分类讨论求解． 40．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，已知抛物线经过，两点，直线交轴于点，交抛物线于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，点在直线上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)若，，三点到同一条直线的距离分别是，，，问是否存在直线，使？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，，； (3)存在，，，． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）平行四边形可能有多种情形，如答图1所述，需要分类讨论：①以为一边的平行四边形，有2个；②以为对角线的平行四边形，有1个，此时点和点必关于点成中心对称． （3）画出图形，先证明为等腰直角三角形，求出，的长，再分两类共4种情况，结合，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得： ； （2）点在抛物线上，点在直线上， 设点的坐标为，点的坐标为． 如图1，点， ． ①当为一边时， ，且， ， 解得：，． ，； ②当为对角线时，则点和点必关于点成中心对称，故． ， 解得：， ． 当，，时，，，，为顶点的四边形是平行四边形． （3）存在． 如图2所示，连接，过点作于点． 由题意得，，， ，，， 为等腰直角三角形． ． ， ． ①， 过点且平行于的直线满足条件． 作直线于点，直线于点，设交直线于点． ，即：． 则，，即， ， ． ，即； ②如图2，在外作直线，延长交于点，使， ； ③如图3，过，作直线，作于点，于点，于点． 由①可知，，则，即：． ， ． 作轴于点， ， ， ． 的面积， ； ④如图3，根据等腰直角三角形的对称性，可作出直线，同理可得： ，． 综上所述，存在直线，使．的值为：，，． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图像与性质、待定系数法、平行四边形、相似三角形、勾股定理等知识点，难度较大．第（2）问考查平行四边形的判定及分类讨论的数学思想，第（3）问是存在型问题，存在4条符合条件的直线，需要分类讨论，避免漏解． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$