专题08 实际问题与二次函数（七大题型，70题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题08 实际问题与二次函数（七大题型，70题） 目录 题型一：图形问题 1 题型二：图形运动问题 5 题型三：拱桥问题 9 题型四：销售问题 15 题型五：投球问题 18 题型六：喷水问题 23 题型七：其他问题 31 一、题型一：图形问题 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 3．（2024·浙江·模拟预测）图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线为对称轴的轴对称图形，其中曲线，，，均是抛物线的一部分． 素材1：某综合实践小组测量得到点，到地面距离分别为5米和4米．曲线的最低点到地面的距离是4米，与点的水平距离是3米；曲线的最低点到地面的距离是米，与点的水平距离是4米． 素材2：按图3的方式布置装饰灯带，，，，，布置好后成轴对称分布，其中，，，垂直于地面，与之间的距离比与之间的距离多2米． (1)任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线的函数解析式； (2)任务二：（2）若灯带长度为米，求的长度．（用含的代数式表示）； (3)任务三：（3）求灯带总长度的最小值． 4．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（   ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 5．（2024·浙江杭州·二模）如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． (1)当时， ①求曲线的函数解析式． ②当米时，求三段塑料管的长度之和． (2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 6．（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 7．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛 (1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证: (2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？ 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）浙教版九上数学课本第24页例1：如图1窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料总长度为，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大约为． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为一个等边三角形（如图2），材料总长度仍为，利用图2，解答下列问题： (1)当时，求此时窗户的透光面积； (2)与课本中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值是否变大？通过计算说明．（取） 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 10．（2024·浙江·一模）如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)． (1)如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长； (2)如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？ 二、题型二：图形运动问题 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：    (1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，则面积最小值为（　　　） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始，沿着向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，设，同时出发，问：    (1)经过几秒后，的距离最短？ (2)经过几秒后的面积最大？最大面积是多少？ 14．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（     ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，动点D从点A出发，沿的方向运动，当点D到达点C时停止运动，将线段绕点A逆时针旋转到达点E，连接，，设点D的运动路程为x．的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点D在的运动过程中，y有最大值．则当点D停止运动时，函数图象中a的值为 ． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，．点P在边上，从点A向点C移动；点Q在边上，从点C向点B移动，连结．点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为，线段的长为．当 时，L的最小值为 cm． 17．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（    ）    A．54 B．52 C．50 D．48 18．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（    ） A．3 B． C．4 D．5 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 20．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 三、题型三：拱桥问题 21．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 22．（2023·浙江温州·三模）如图，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度米，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点为抛物线最高点，立柱，，都与轴垂直，，，，若，，和，，均三点共线．则立柱比 ，以及 ． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某数学兴趣小组在学习二次函数知识后进行研究活动，调查到有一座三孔桥，横截面的三个孔呈抛物线形，中间大孔，两边小孔，小孔形状大小完全相同，当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为米，孔顶离水面1米；当水位下降，大孔水面宽度为米时，单个小孔的水面宽度为米．为方便研究，小组同学以大孔顶点为坐标原点，水平方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求大孔对应抛物线的解析式． (2)当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面多少米? (3)当大孔水面宽度为米时，单个小孔水面宽度多少米? 24．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．    处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 25．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 26．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某公园里的座彩虹桥由三条形状相同的抛物线型桥拱组成，中间的桥拱跨度，此桥拱顶点到的距离为． (1)如图1，建立平面直角坐标系，求中间的桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，一艘宽为的游船沿桥拱正下方驶来，有一名身高的演员站立在甲板上表演，他的头顶是否有触碰到桥拱的危险？请说明理由．（假设船甲板与齐平） (3)如图2，右侧桥拱跨度，且点在同一水平线上，建立如图所示的平面直角坐标系，若中间的桥拱所在抛物线与右侧桥拱所在抛物线交于轴上的某一点，则的值为多少？ 27．（23-24九年级上·浙江台州·期末）根据以下素材，探索完成任务： 探究步骤 素材 任务 确定拱桥形状 如图1是某市一抛物线型拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽8m，拱顶离水面4m； 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式 应用知识解答 由于受暴雨天气影响，水位正以0.2米/时的速度持续上涨，一货船载货后高于水面部分的截面为长方形，宽为6m，顶部离水面1.5m，从距离拱桥120千米的码头出发，以 40千米/时的速度行驶经过拱桥； 请通过计算说明该货船不能通过该抛物线型拱桥； 拟定设计方案 为了能让货船通过拱桥，船长决定先在码头调整货物摆放(保持高于水面部分的截面面积不变)，但在码头调整物资需42分钟． 直接写出一种调整后能通过拱桥的截面宽＿m与高＿m． 28．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线．平时水面的宽度为，在离水面高处，有一条航运船舶限高杠杆，杠杆长．以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系． (1)求此抛物线的表达式． (2)因为上游水库泄洪，水面上涨了，则此时水面的宽度是多少？（，结果精确到） 29．（2023·浙江金华·一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若时，求第一象限内水柱的函数表达式． ②用含t的代数式表示a． (2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度． ①求改造后水柱达到的最大高度． ②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围． 30．（2024·浙江宁波·一模）根据下列素材，探索完成任务． 如何设计跳绳的方案 素材1 参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，绳子最高点距离地面2米．    素材2 某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人为米高，两人都为米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少米． 问题解决 任务1 确定长绳在最高点时的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究站队的方式 若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？ 任务3 设计位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围． 四、题型四：销售问题 31．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 32．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是（    ） A．6元 B．7元 C．8元 D．9元 33．（23-24九年级上·浙江台州·期中）某水果超市经销一种水果，售价每千克元．每千克盈利元，每天可售出千克，调查发现，进货价不变的情况下，每千克涨价元，日销售量将减少千克．规定每千克涨价不能超过元． (1)该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ (2)超市决定每卖出千克捐赠元（）给贫困山区学生，若每天盈利随着售价的增加而增大，求的取值范围． 34．（2024·浙江宁波·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润元 （销售利润销售收入成本） 良好方案 44000元月总利润元 合格方案 40000元月总利润元 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．） 35．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）小区一水果店购进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每千克40元．水果店老板发现：销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系可近似地看作一次函数，且当时，；当时，，且． (1)求y关于x的函数解析式： (2)如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每千克多少元． (3)当蟠桃售价每千克多少元时，利润最大，最大利润是多少元． 36．（2024·浙江嘉兴·三模）如何确定销售价格? 素材1 某商家在端午前以每盒60元的价格购进一批粽子，根据调查，发现每周销售量y（盒）与销售价格x（元）满足如图的函数关系． 素材2 端午节后，销售量大幅下降，当每盒价格定为75元时，每周才售出100盒．商家决定降价销售，发现每降价1元，每周多卖20盒． 素材3 节后商家还有1000盒的粽子待售，降价a元连续销售2周后，因临近保质期将剩余的粽子直接由厨余公司以55元/盒的价格回收． 问题解决 任务1 求出素材1中每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式． 任务2 结合上述素材帮助商家计算利润情况． 计算端午节前商家每周的最大利润． 任务3 直接写出端午节后利润最大时a的值（a取整数值）． 37．（2024·浙江宁波·一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ (2)在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围． 38．（2024·浙江宁波·一模）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围． 39．（23-24九年级上·浙江金华·期末）“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 40．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价为100元，每天都客满．十一国庆期间，为增大营业额，宾馆老板决定进行适当的提价．根据市场调查，单间标准房房价在100～150元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．设标准房价为x元，标准房日入住量为y间，宾馆标准房日营业额为w元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当标准房价定为多少时，标准房日营业额最大，最大日营业额是多少． 五、题型五：投球问题 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（    ）    A． B． C． D． 42．（2024·浙江杭州·二模）问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 43．（2024·浙江杭州·二模）小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 44．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 45．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）【综合与实践】 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为．过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，得到如下部分数据： 0 0.5 1 1.5 2 … 0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 …    (1)当__________m时，乒乓球达到最大高度；求出y与x之间的函数关系式； (2)桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数） (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出： ①__________． ②球拍到桌边的距离的取值范围__________． 46．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，一小球从点A处以4米/秒的速度水平匀速抛出，下落过程中水平方向速度不变，忽略空气阻力，点M是下落路线的某位置，点A，点M的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且秒时，米． (1)求h关于t的函数表达式． (2)已知A点的离地高度为米，求小球的落地位置P点与A点的水平距离． 47．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线：的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线：的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 48．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动．    (1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． (2)若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中长为，宽为，若要使小球落入筐中，求的取值范围． 49．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 50．（2023·浙江台州·二模）某次三人垫球训练要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少．甲在处将球垫偏之后，乙跑到在处按球传给丙，丙在处传回给处的甲．球沿抛物线运动假设抛物线，在同一平面内，处离地面的距离为米．如图所示，以为坐标原点米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)甲垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由； (3)丙垫球后，若球在运动中离地面的最大高度达到要求，丙垫球处离地面的高度至少为多少米？ 六、题型六：喷水问题 51．（2024·浙江杭州·二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．    52．（2024·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ (3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 53．（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 54．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 55．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 56．（2023·浙江台州·一模）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； (2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围． 57．（23-24九年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，完成探索任务： 设计喷水器的高度 素材1 为了灌溉某花田，需要安装一台可旋转灌溉的喷水器（即喷头可顺、逆时针往返喷洒）．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计） 素材2 为了方便计算该喷水器的灌溉范围，如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米． 素材3 为了美观，现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知米． 素材4 为了适应多种灌溉环境，这款喷水器除原装喷头外，还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同． 任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式． 任务2 计算喷水口高度 若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？ 任务3 设计方案 园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，请你利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案． 58．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 59．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷泉安全通道？在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）． 素材1 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧． 素材2 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度． 素材3 安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域． 问题解决 任务1 确定喷泉形状． 在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐 标系，求出抛物线的函数表达式． 任务2 确定喷泉跨度的最小值． 若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值． 任务3 设计通道位置及儿童的身高上限． 现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道 上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人 的最大身高为多少？（精确到） 60．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．    素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 任务3 调整喷头的高度 如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘处． 七、题型七：其他问题 61．（2024·浙江·模拟预测）在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 25 23.5 20 14.5 7 25 20 15 10 5 (1)根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，并分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？ 62．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点B的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线。在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误。运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由 (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），求a的取值范围． 63．（2024·浙江杭州·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图． 素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高 人数 素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． 任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 64．（2024·浙江湖州·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务. 运用二次函数研究电缆架设问题 素材1 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（米），按如图建立坐标系（x轴在水平方向上）.点A、O、E在同一水平线上，经测量，米，斜坡BD的坡比为1：10（即）．. 素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． （说明：直线轴分别交直线和抛物线于点H、G.点G距离坡面的铅直高度为的长） 任务1 明确山坡位置 求点D的坐标． 任务2 确定电缆形状 求出下垂电缆的抛物线表达式． 任务3 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 65．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯． 安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全． 实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于时间t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知． 解决问题： (1)求图3中m的值． (2)当时，求s关于t的函数表达式． (3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明． 66．（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示. 当车流密度时，则速度v的值为理论最高值 ； ②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过. (1)若 辆时，求对应v的值. (2)点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值. 67．（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 68．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 69．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 70．（2024·浙江金华·二模）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．已知某型号汽车刹车时速度为米秒，设刹车后行驶的时间为秒，刹车后速度为米秒，刹车后行驶的距离为米．已测得刹车后的运动速度与运动时间之间满足关系式：．刹车后行驶的距离与的函数图像如下图所示，该图像是抛物线，为常数，的一部分． (1)当该汽车刹车后速度为米秒时，求刹车后行驶的时间． (2)求、的值，以及该汽车刹车后行驶的最大距离． (3)一司机驾驶该型号汽车，在以米秒的速度行驶中，突然发现导航提示前面米处路面变窄，于是立即刹车．为确保安全通过窄路，需要将车速降低到米秒以下．请通过计算说明该司机能否在到达窄路时将车速降低到米秒以下？ 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 实际问题与二次函数（七大题型，70题） 目录 题型一：图形问题 1 题型二：图形运动问题 14 题型三：拱桥问题 29 题型四：销售问题 47 题型五：投球问题 58 题型六：喷水问题 74 题型七：其他问题 95 一、题型一：图形问题 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【答案】任务1 ，剪掉的正方形的边长为；任务2，当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的定义，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据各数量之间的关系得出关于函数关系式，是解此题的关键． 任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形，根据“折一个底面积为无盖纸盒”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； 任务2：设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，根据题意得出关于函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 剪掉的正方形的边长为； 任务2：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值， 设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为， 由题意得：，即， ， 当时，取得最大值，最大值为， 当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 2．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）一个农民想要沿着围墙的一侧围出一块矩形的土地，而栅栏构成另外三边．农民将把75段4米长的直栅栏拼在一起来建造，每段栅栏不可分割，且所有栅栏全部用完．设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)考虑到围出矩形的每段栅栏不可分割，当取何值时，所围矩形土地的面积最大． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意求出米，利用矩形面积公式即可得到答案； （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质和每段栅栏不可分割即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个矩形地块的长为米，矩形面积为平方米．则米，根据题意可得， ， ∵且 ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）， ∵，每段栅栏不可分割， ∴当或时，y有最大值，最大值为， 答：当或时，所围矩形土地的面积最大． 3．（2024·浙江·模拟预测）图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线为对称轴的轴对称图形，其中曲线，，，均是抛物线的一部分． 素材1：某综合实践小组测量得到点，到地面距离分别为5米和4米．曲线的最低点到地面的距离是4米，与点的水平距离是3米；曲线的最低点到地面的距离是米，与点的水平距离是4米． 素材2：按图3的方式布置装饰灯带，，，，，布置好后成轴对称分布，其中，，，垂直于地面，与之间的距离比与之间的距离多2米． (1)任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线的函数解析式； (2)任务二：（2）若灯带长度为米，求的长度．（用含的代数式表示）； (3)任务三：（3）求灯带总长度的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，主要考查了二次函数的图象性质，函数的最值，熟悉掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）以地面所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，根据题意运用待定系数法求解即可； （2）根据图象关于轴对称，可求出点的横坐标，再根据与之间的距离多米，可求出点的横坐标，再根据点在曲线上，求出的纵坐标，从而得出的长度； （3）运用待定系数法求出曲线的解析式，再设设灯带总长度为，，再根据，运算求解即可． 【详解】（1）如图，以地面所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系： 设，代入得：， 解得：， ∴； （2）∵的长度为 ∴， ∵与之间的距离比与之间的距离多米， ∴， ∴； （3）设曲线的函数解析式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 设灯带总长度为，， ∴ ， ∴当时，． 4．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为．你认为他们俩的说法是（   ） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积关于的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，然后分别令和，解方程求出，取在取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，则隔离区的另一边为， ； 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小亮说法正确． 故选：B． 5．（2024·浙江杭州·二模）如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． (1)当时， ①求曲线的函数解析式． ②当米时，求三段塑料管的长度之和． (2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 【答案】(1)①；100 (2)当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线的解析式； 求出点F的横坐标，代入抛物线得解析式求出点E和F的纵坐标，从而得解； （2）设，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意可知：点C的坐标是， 点C关于y轴的对称点是：， 又∵曲线与曲线关于y轴对称， ∴点A是曲线的顶点，曲线的解析式是， 当时，C坐标为，点A坐标为， 曲线的解析式为：； ∵米，由题意可知关于y轴对称， ∴点F的横坐标是， 将代入得：， ∴，即米， ∴三段塑料管的长度之和为：(米)， 答：三段塑料管的长度之和为100米； （2）解：设，三段塑料管总长度为L， 根据题意可得：， ， 化简得：， 当时，L有最大值110，                        当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为． 6．（2024·浙江杭州·三模）“幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的体积计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”． （1）如图1，夹在直线与之间的矩形与曲边形满足：，．一平行于的直线交矩形于M，N，交曲边形的曲边于，，且无论在何位置都有，则曲边形的面积为 ． （2）如图2，记函数的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为Ω，则Ω的面积为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了祖暅原理，正确理解祖暅原理，利用祖暅原理将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键． （1）根据祖暅原理，得出曲变形的面积等于矩形的面积； （2）根据祖暅原理，将阴影部分面积转化为三角形面积进行求解． 【详解】解：（1）∵祖暅原理， ∴曲变形的面积＝矩形的面积， ∴曲变形的面积， 故答案为：4； （2）如图， 联立方程组， 解得，， ∴, 同理可得，， ∴, 由祖暅原理得，如图，将二次函数的图象向上平移2个单位， ，，,， ， ∵平行于，平行于的直线在平移前后图象上截得的线段长是2， ∴平移前后抛物线与线段、所围成的图形的面积等于矩形的面积，阴影部分面积， 故答案为：3． 7．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛 (1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证: (2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)为时，风筝的面积最大，面积最大值为 【分析】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）先证，推出，根据等腰三角形三线合一即可证明； （2）设，则，列出风筝的面积S关于x的二次函数关系式，变形为顶点式，求出最值即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， 即平分， 又， ； （2）解：设，则， 垂直平分， ，， 风筝的面积， ， ， 当时，取最大值1800， 即为时，风筝的面积最大，面积最大值为． 8．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）浙教版九上数学课本第24页例1：如图1窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形．如果制作一个窗户边框的材料总长度为，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？这道例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大约为． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为一个等边三角形（如图2），材料总长度仍为，利用图2，解答下列问题： (1)当时，求此时窗户的透光面积； (2)与课本中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值是否变大？通过计算说明．（取） 【答案】(1) (2)最大值变大了，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、二次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先求出，再过点作于点，根据等边三角形的性质和勾股定理可得，然后根据窗户的透光面积等于即可得； （2）设，改变窗户形状后，窗户的透光面积为，则，再参照（1）的方法求出关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵材料总长度为，， ， 如图，过点作于点， 是等边三角形， ，， 则此时窗户的透光面积为， 答：此时窗户的透光面积为． （2）解：设，改变窗户形状后，窗户的透光面积为，则， ， ， 如图，过点作于点， 是等边三角形， ，， 则窗户的透光面积为， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为， ∵， ∴与课本中例1比较，改变窗户形状后，窗户的透光面积的最大值变大了． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形．已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．设，则，，设矩形养殖场的总面积是，根据题意得：，由二次函数性质求最值即可． 【详解】如图， 设， ∵分成两个面积为的矩形， ∴，， 设矩形养殖场的总面积是， 墙的长度为， ， 根据题意得：， ， 当时，取最大值，最大值为． 故答案为：． 10．（2024·浙江·一模）如图，某市计划利用现有的一段“”字形的古城墙粗线表示古城墙，已知，米，米和总长为米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆 (细线表示仿古城墙，展览馆中间也是用仿古城墙隔开)． (1)如图，若点可能在线段上，所围成的展览馆的面积为平方米，求的长； (2)如图，当点在线段延长线上，为多少时，展览馆的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键． (1) 设的长为米，根据矩形性质得米，根据题意，可得，根据矩形的面积公式列方程求解即可． (2) 展览馆的面积为，的长为米，当点在线段延长线上，，根据矩形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设的长为米， 点在线段上， 米， ， ，即， ， 故根据题意得展览馆的面积为， 解得： ， (，故舍去)， 答：为米． （2）展览馆的面积为，的长为米， 当点在线段延长线上，， 由，得此时， 则， 上式可化为， 故当时，有最大值，即， 答：为时，展览馆的面积最大，最大面积为平方米． 二、题型二：图形运动问题 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P，Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：    (1)经过多少时间后，P，Q两点的距离最短，最短距离是多少？ (2)经过多少时间后，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 (2)当时，的面积最大，最大面积是 【分析】（1）设运动时间为t秒，分别表示出，利用勾股定理的逆定理证明，进而利用勾股定理得到，据此利用二次函数的性质求解即可； （2）设运动时间为t秒，利用三角形面积公式即可表示出的面积，然后配方，根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒， 由题意得，， ∴ ∵在中，，， ∴是直角三角形，即， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴经过秒后，P，Q两点的距离最短，最短距离是 （2）解：设运动时间为t秒，则， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解决本题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿向终点移动，设移动时间为连接，以为一边作正方形，连接、，则面积最小值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设的面积为，根据面积公式求出，根据勾股定理求出，结合得到，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设的面积为， 由题意得：，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 当为时，的面积最小，且最小值为． 故选：A． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正确理解题意列得函数关系式是解题的关键． 13．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在中，，，，点从点开始，沿着向点以的速度移动，点从点开始，沿边向点以的速度移动，设，同时出发，问：    (1)经过几秒后，的距离最短？ (2)经过几秒后的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)经过秒，P、Q的距离最短，最短为cm． (2)经过3秒，的面积最大，最大值是9． 【分析】（1）设运动时间为x秒，根据勾股定理求出的表达式，再利用二次函数的性质求出最小值即可； （2）根据，当时，即可取得最大值． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒， 则，， ∵， ∴， ∴ ； ∴当时，最短，最短为， ∴经过秒，P、Q的距离最短，最短为cm． （2）∵ ∴当时，取得最大值9， ∴经过3秒，的面积最大，最大值是9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． 14．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题． 【详解】解：①当在上时，作，如图所示： 由题知，， ， ， ，则，解得， 故， ②当在上时，即时，， ③当在上不与重合，且Q在上时，作，如图所示： ，， ， ， 则， ④当Q在延长线上时， ． 故选：B． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，动点D从点A出发，沿的方向运动，当点D到达点C时停止运动，将线段绕点A逆时针旋转到达点E，连接，，设点D的运动路程为x．的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点D在的运动过程中，y有最大值．则当点D停止运动时，函数图象中a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形性质、勾股定理及二次函数的性质，根据点D在的运动过程中，y有最大值结合二次函数最值求出，根据勾股定理求出，表示出函数解析式求最值即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵当点D在的运动过程中，y有最大值， ∵绕点A逆时针旋转到达点E， ∴， 设， ∴， ∴当时y最大，即点D运动到中点时y最大， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， 当点D在上运动时，由函数图像得，点D到点C时最大如图， ， ∵绕点A逆时针旋转到达点E， ∴，，三点共线，，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，．点P在边上，从点A向点C移动；点Q在边上，从点C向点B移动，连结．点P，Q均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为，线段的长为．当 时，L的最小值为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及二次函数的应用，当运动时间为时，， 则．利用勾股定理可得出，利用二次函数的性质可求出的最小值，再结合L为正值，即可得出：当时，L取得最小值，最小值为． 【详解】解：当运动时间为时，， ． ， ，即， ，且， 随t的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值， 又为正值， ∴当时，L取得最小值，最小值为． 故答案为：2；． 17．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（    ）    A．54 B．52 C．50 D．48 【答案】B 【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值． 【详解】解：当时，由题意可知， ， 在中，由勾股定理得， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ， ， 当时，由题意可知，， 设， ， 在中，由勾股定理得， 在中由勾股定理得， 中，由勾股定理得， 即，   解得， ， ， ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题． 18．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】由题意可得：，，当点在上运动时，由图可得，当点与点重合时，，求出，即，当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为，求出抛物线解析式为，从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1，则从图象上看关于对称，关于对称，，，结合，求出的值即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 当点在上运动时，， 由图可得，当点与点重合时，， ， 或（不符合题意，舍去）， ， 当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为， 则抛物线的表达式为， 将代入得：， ， 抛物线的表达式为：， 从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1， 若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看关于对称，关于对称， ，， ， 由①③③解得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到动点问题、面积的计算，读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 【答案】D 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像．理解拐点在图形中表示的意义是解题的关键． 第二个图形中点再结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在的中点，那么的面积为．所以横轴表示的长，故A错误；当P为的中点时，作于点D，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，那么，H为的四等分点，那么B错误；根据P在和上，分别计算出的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同；把代入点P在上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确． 【详解】解：∵在两段函数中， ∴点P点C重合． ∵等边的边长为1，， ∴． ∴， ∴． ∵符合所给点． ∴横轴表示的长，故A错误； 如图：作于点D． 又∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵P为中点， ∴． ∴． ∴． ∴点H为的四等分点，故B错误； 当P在上时，为x，则， ∴． 当P在上时，为x，则， ∴， ∴． ∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等， ∴形状相同，故C错误； 当时，点P在上， ∴，故D正确． 故选D． 20．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【答案】(1)图像见解析；；； (2)①；②能相遇，相遇点到点． 【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式； （2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离． 【详解】（1） 由图像猜测是的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； 由图像猜测是的二次函数，且过原点， 设，表中取点，代入得： 解得：，， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； （2）①由（1）可知，， ，即， 又的对称轴为，且开口向下， 当时，取最大值为：， 黑球在水平木板上滚动的最大距离为； ②由题意可知，时，白球从处出发， 当时，设表示白球在木板上滑行的距离， 则， ， 令，即， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 将代入， 相遇点到点的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，待定系数法求二次函数表达式，二次函数最值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、题型三：拱桥问题 21．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线)的薄壳屋顶．已知它的拱宽为4米，拱高为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形，设解析式为，根据，，构建方程组求解即得． 本题主要考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法确定二次函数解析式，结合抛物线在坐标系的位置，将二次函数解析式设为适当的形式，是解题的关键． 【详解】∵抛物线关于y轴对称， ∴设解析式为， 由题知，， 得， 解得， ∴． 故选：A． 22．（2023·浙江温州·三模）如图，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度米，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点为抛物线最高点，立柱，，都与轴垂直，，，，若，，和，，均三点共线．则立柱比 ，以及 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了二次函数的性质以及正比例函数在实际生活中的综合应用，关键是求出、、、、、、、点的坐标，表示出、、、的长度，均用含的代数式表示，进而求比即可．根据已知条件抛物线过原点及，利用交点式写出抛物线的解析式，易得顶点，，由于轴且、、、皆在上，故他们纵坐标相同；根据，，且为对称轴，轴，得横坐标为，进而推出、、点横坐标分别为、、，因为且在抛物线上，可得，、，，再根据直线过原点，求得解析式为，由于在上，可求得纵坐标，则、、纵坐标均为，表示出、、、的长度，进而求比值即可． 【详解】解：根据题意，可知二次函数图象过，，故设抛物线为， ∵为抛物线顶点； ∴，， ∵轴， ∴点横坐标为， ∵轴， ∴、、、纵坐标相同， ∵轴，， ∴，，,，,； ∵轴， ∴，， 同理可得，， 设直线：， 则， 解得： ， ∵，，三点共线， ∴，即， ∴，，，， ∴， ， ； ∵，，， ∴， ∴， ， 故答案为：． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）某数学兴趣小组在学习二次函数知识后进行研究活动，调查到有一座三孔桥，横截面的三个孔呈抛物线形，中间大孔，两边小孔，小孔形状大小完全相同，当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为米，孔顶离水面1米；当水位下降，大孔水面宽度为米时，单个小孔的水面宽度为米．为方便研究，小组同学以大孔顶点为坐标原点，水平方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求大孔对应抛物线的解析式． (2)当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面多少米? (3)当大孔水面宽度为米时，单个小孔水面宽度多少米? 【答案】(1) (2)4米 (3)米 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数解析式．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）如图1，由题意知，顶点坐标为，，，设大孔对应抛物线的解析式为，待定系数法求解析式即可； （2）如图1，，将代入，计算求解，进而可得点坐标，然后作答即可； （3）将代入，计算求解可得，当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面的距离；如图1，由题意知，，设，则，，设右侧小孔对应抛物线的解析式为，待定系数法求得右侧小孔对应抛物线的解析式为，将代入，求得，，根据当大孔水面宽度为米时，单个小孔水面宽度为，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1， 由题意知，顶点坐标为，，， 设大孔对应抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴大孔对应抛物线的解析式为； （2）解：如图1，， 将代入得，， ∴， ∴当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面4米； （3）解：将代入，解得，； ∴当大孔水面宽度为米时，大孔孔顶离水面米； 如图1，由题意知，， 设，则，， 设右侧小孔对应抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴右侧小孔对应抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，，， ∵， ∴当大孔水面宽度为米时，单个小孔水面宽度为米． 24．（2024·广东深圳·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．    处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键． 任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案； 任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值； 任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间． 【详解】解：任务 如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 则点为原点， 由题意得，，， 则点的坐标为， 令抛物线的解析式为， 将点代入中得， ， 解得：， 则抛物线的解析式为．      任务（米）， 将代入得， ，（舍）， （米， （米），（米）， 琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米． 任务3：将代入得， ，（舍）， ， 该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间． 25．（2024·浙江绍兴·二模）为了美化教室，打造富有特色的班级文化墙．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边装饰班级公告栏标题． 【建立模型，制作花边】社团小组的同学们首先在平面直角坐标系中设计了一个如图1的“抛物线型”花边，该花边的高度为． 【摆放花边，制定方案】同学们剪下该花边若干个，尝试在长为，宽为的公告栏标题处摆放该花边，经过讨论交流形成了以下两个方案： 方案一：如图2，将该花边完全放入公告栏标题中，发现恰好能摆出一幅有个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将花边的一部分放入公告栏标题中，摆出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为． 【实施方案，展示作品】请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： (1)求出图1的平面直角坐标系中抛物线花边的函数表达式； (2)若采用研究步骤中的方案二进行设计，当时，请你通过计算求出一排中最多可摆放的花边个数． 【答案】(1)抛物线花边的函数表达式为： (2)一排中最多可摆放的花边个数为个 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，二次函数与轴的交点的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，将抛物线向上平移个单位，计算次数抛物线与轴的交点，两交点之间的距离，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， 设“抛物线型”花边的解析式为， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线花边的函数表达式为：； （2）解：如图所示， 已知， ∴， ∴点的纵坐标为，即将物线花边的函数向上平移了个单位， ∴， 令时，， 解得，， ∴， ∴， ∴一排中最多可摆放的花边个数为个． 26．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）某公园里的座彩虹桥由三条形状相同的抛物线型桥拱组成，中间的桥拱跨度，此桥拱顶点到的距离为． (1)如图1，建立平面直角坐标系，求中间的桥拱部分抛物线的函数表达式； (2)在（1）的条件下，一艘宽为的游船沿桥拱正下方驶来，有一名身高的演员站立在甲板上表演，他的头顶是否有触碰到桥拱的危险？请说明理由．（假设船甲板与齐平） (3)如图2，右侧桥拱跨度，且点在同一水平线上，建立如图所示的平面直角坐标系，若中间的桥拱所在抛物线与右侧桥拱所在抛物线交于轴上的某一点，则的值为多少？ 【答案】(1) (2)没有触碰危险 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得：顶点，，设抛物线的表达式为，将代入抛物线得：，求出的值即可； （2）计算出，在中，当时，，由此即可得出答案； （3）设，则，设，，将代入得 ，当时，，得出，从而得出，，最后进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：顶点，， 设抛物线的表达式为， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：， 在中，当时，， 没有触碰危险； （3）解：设，则， ， 设，， 将代入得：， 解得：， ， 当时，， ， 解得：， ，， ． 27．（23-24九年级上·浙江台州·期末）根据以下素材，探索完成任务： 探究步骤 素材 任务 确定拱桥形状 如图1是某市一抛物线型拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽8m，拱顶离水面4m； 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式 应用知识解答 由于受暴雨天气影响，水位正以0.2米/时的速度持续上涨，一货船载货后高于水面部分的截面为长方形，宽为6m，顶部离水面1.5m，从距离拱桥120千米的码头出发，以 40千米/时的速度行驶经过拱桥； 请通过计算说明该货船不能通过该抛物线型拱桥； 拟定设计方案 为了能让货船通过拱桥，船长决定先在码头调整货物摆放(保持高于水面部分的截面面积不变)，但在码头调整物资需42分钟． 直接写出一种调整后能通过拱桥的截面宽＿m与高＿m． 【答案】确定拱桥形状：；应用知识解答：见解析；拟定设计方案：调整后能通过拱桥的截面宽m与高m 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，用待定系数法求二次函数解析式即可，利用二次函数图象和性质即可求解. 【详解】（确定拱桥形状：） 解：如图所示，建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为：， 由题图可知，抛物线经过， 则，解得， 抛物线的函数表达式为：. （应用知识解答：） 解：根据题意如图， 由题意可知，货船从码头出发到拱桥时间为：（小时）， 则由题意可知，水位上涨：（米）， 即货船顶点离水面为：（米）， 由货船宽米，由图可知：当时，，即 ， 该货船不能通过该抛物线型拱桥. （拟定设计方案：） 解：根据题意如图， 由题意可知，货船在码头调整货物和从码头到拱桥时间为：（小时）， 则由题意可知，水位上涨：（米）， 货船保持高于水面部分的截面面积不变，原来横截面面积（平方米） 调整后货船横截面的宽为4米，货船顶部离水面2.25米，横截面面积保持不变； 则货船从码头到达桥拱时，货船顶点离水面为：（米）， 由货船宽米，由图可知：当时，，即 ， 该货船能通过该抛物线型拱桥.则调整后能通过拱桥的截面宽m与高m． 28．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的形状是抛物线．平时水面的宽度为，在离水面高处，有一条航运船舶限高杠杆，杠杆长．以为原点，所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系． (1)求此抛物线的表达式． (2)因为上游水库泄洪，水面上涨了，则此时水面的宽度是多少？（，结果精确到） 【答案】(1) (2)此时水面的宽度是 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由题意，可得抛物线上各点的坐标：，设抛物线的解析式为：，采用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，可得抛物线上各点的坐标：， 设抛物线的解析式为：， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数， 当时，， 解得：， ， 即此时水面的宽度是． 29．（2023·浙江金华·一模）如图1，某公园有一个圆形喷水池，喷水池中心有一个垂直于地面自动升降的喷头，喷出的水柱形状呈抛物线．如图2，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为．设抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若时，求第一象限内水柱的函数表达式． ②用含t的代数式表示a． (2)为了美化公园，对公园及喷水设备进行升级改造，a与t之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度． ①求改造后水柱达到的最大高度． ②若水池的直径为25米，要使水柱不能落在水池外，求t的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①水柱达到的最大高度8米；② 【分析】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解，②把代入即可得解； （2）①设第一象限内水柱的函数表达式为，利用得出a与t的关系，将代入，即可得解②把代入，得，要使水柱不能落在水池外，即可确定a的取值范围，再利用等量代即可得出t的取值范围．． 【详解】（1）①设第一象限内水柱的函数表达式为． 当时，把代入函数表达式，得． 第一象限内水柱的函数表达式为． ②把代入，得得 （2）①设第一象限内水柱的函数表达式为． ． 把代入，得， ． 水柱达到的最大高度8米． ②把代入，得． 要使水柱不能落在水池外，则a的取值范围为． ， ，解得． ． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键． 30．（2024·浙江宁波·一模）根据下列素材，探索完成任务． 如何设计跳绳的方案 素材1 参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，绳子最高点距离地面2米．    素材2 某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人为米高，两人都为米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少米． 问题解决 任务1 确定长绳在最高点时的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究站队的方式 若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？ 任务3 设计位置方案 为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；任务三： 【分析】 本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的建立坐标系求解函数解析式是解本题的关键； 任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，，建立直角坐标系，如图：再利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； 任务二：如图，名同学，以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边，再求解对应的函数值与身高比较即可； 任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧对称排列，再计算当或时， 当或时， 当或时，得到站队方式符合要求，再求解左边第一个的横坐标是取值范围即可． 【详解】解：任务一： 以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为轴，建立直角坐标系，如图： 由已知可得，，在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 任务二： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，名同学，以直线为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学站中间，女同学站两边， 对称轴两侧的2位男同学所在位置横坐标分布是，， ∴有1个米的女生的横坐标为或， 当时或时，， 当或时， 当或时，， ∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，绳子不能顺利的甩过女队员的头顶； ∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶； 任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧排列， 当或时，， 当或时，， 当或时，， ∴站队方式符合要求， 当时，则， ∴，， ∴左边第一个队员的横坐标的范围为：． 四、题型四：销售问题 31．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为元时，日销售量为盒，当每盒售价每下降元时，日销售量会增加盒．已知每盒印花糕的成本为元，设每盒降价元，商家每天的利润为元，则与之间的函数表达式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可查了根据实际问题列二次函数关系式，由“利润销售额成本”则可列出（元）与实际销售价（件）的函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式． 【详解】解：由题意得：， 故选：． 32．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是（    ） A．6元 B．7元 C．8元 D．9元 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意得出对应的函数关系式是解题的关键．设每瓶的售价为元，日均利润为元，根据列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每瓶的售价为元，日均利润为元，由题意得； ； ； ∵； ∴当时，y有最大值； 故选：C． 33．（23-24九年级上·浙江台州·期中）某水果超市经销一种水果，售价每千克元．每千克盈利元，每天可售出千克，调查发现，进货价不变的情况下，每千克涨价元，日销售量将减少千克．规定每千克涨价不能超过元． (1)该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ (2)超市决定每卖出千克捐赠元（）给贫困山区学生，若每天盈利随着售价的增加而增大，求的取值范围． 【答案】(1)每千克应涨价元； (2)． 【分析】（）根据题意设每千克应涨价元（），根据总盈余每千克盈余数量列方程，即可求解； （）由题意设每千克涨价元，扣除捐赠后每天销售该种水果获得的利润为元，进而根据结合函数开口向下，对称轴在的右侧即可得出的取值范围； 本题考查一元二次方程和二次函数的应用，根据题意找到题目中的等量关系并列出方程求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设每千克应涨价元， 由题意得：， 解得：，， ∵， ∴， 答：每千克应涨价元； （2）解：设每千克涨价元，扣除捐赠后每天销售该种水果获得的利润为元，则每千克盈利元，每天可售出千克， 依题意得：， ∵当时，随的增大而增大，且， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：． 34．（2024·浙江宁波·模拟预测）请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润元 （销售利润销售收入成本） 良好方案 44000元月总利润元 合格方案 40000元月总利润元 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．） 【答案】任务一：①；；②；任务二：①；②线上160件，线下640件为优秀方案．线下不在优秀方案区间内，但在508（含）-772（含）为良好方案；线下不在优秀和良好方案区间内，但在222（含）-800（含）为合格方案 【分析】本题考查二次函数的应用，得到超过400件的线下销售的销售利润是解决本题的难点； 任务一：①，这件产品的销售利润（定价成本礼品价格）； ，这件产品的销售利润为（定价成本礼品价格）（定价成本）超过400的件数； ②件产品的销售利润（销售价格成本）销售量； 任务二：①800件产品的销售总利润线下销售400件的利润线上销售400件的利润； ②设线上销售件，则线下销售件，根据线下销售的件数不超过400和超过400两种情况得到相应的二次函数，求得最大的值可设计出相应的方案． 【详解】解：任务一：①，这件产品的销售利润为：元， ，这件产品的销售利润为：元． 故答案为：，； ②线上旗舰店的月销售量为件，则这件产品的销售利润为：； 故答案为：； 任务二：①设销售总利润为元． 元． 答：这800件产品的销售总利润为44000元； ②设线上销售件，则线下销售件． Ⅰ、． ． 时，利润最大，为44000元，不符合题意． Ⅱ、． ． 当时，利润最大，为46200． 设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案． 线上在120件（含）-200件（含），线下在600（含）-680（含）为优秀方案； 线下不在优秀方案区间内，但在508（含）-772（含）为良好方案； 线下不在优秀和良好方案区间内，但在222（含）-800（含）为合格方案． 35．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）小区一水果店购进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每千克40元．水果店老板发现：销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系可近似地看作一次函数，且当时，；当时，，且． (1)求y关于x的函数解析式： (2)如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每千克多少元． (3)当蟠桃售价每千克多少元时，利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1) (2)销售单价应定为每千克60元或70元 (3)当蟠桃售价每千克65元时，利润最大，最大利润是2500元 【分析】本题考查一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用． （1）设y关于x的函数解析式为，根据当时，；当时，，利用待定系数法求解即可； （2）根据利润销售量（售价进价）建立方程求解即可； （3）设利润为，根据利润销售量（售价进价）建立函数关系式，利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 根据题意得：， 解得：， y关于x的函数解析式为； （2）解：根据题意得：，即， 解得：， 答：销售单价应定为每千克60元或70元； （3）解：设利润为，根据题意得： ，即， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：当蟠桃售价每千克65元时，利润最大，最大利润是2500元． 36．（2024·浙江嘉兴·三模）如何确定销售价格? 素材1 某商家在端午前以每盒60元的价格购进一批粽子，根据调查，发现每周销售量y（盒）与销售价格x（元）满足如图的函数关系． 素材2 端午节后，销售量大幅下降，当每盒价格定为75元时，每周才售出100盒．商家决定降价销售，发现每降价1元，每周多卖20盒． 素材3 节后商家还有1000盒的粽子待售，降价a元连续销售2周后，因临近保质期将剩余的粽子直接由厨余公司以55元/盒的价格回收． 问题解决 任务1 求出素材1中每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式． 任务2 结合上述素材帮助商家计算利润情况． 计算端午节前商家每周的最大利润． 任务3 直接写出端午节后利润最大时a的值（a取整数值）． 【答案】任务1：；任务2：8000元；任务3：7或8 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用： （1）根据图中数据利用待定系数法求解； （2）设端午节前商家每周的利润为W元，结合（1）中结论可知端午节前每周销量为盒，每盒利润为元，由此列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式可求最值； （3）设端午节后利润为元，列出W关于a的二次函数关系式，化为顶点式可得答案． 【详解】解：任务1：设每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式为． 由图可知点和在函数图象上， 将和代入，得：， 解得， 每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式为； 任务2：设端午节前商家每周的利润为W元， 由题意知， ， 当时，W取最大值，最大值为8000， 即端午节前商家每周的最大利润为8000元． 任务3：设端午节后利润为元， 由题意知 ， ， 时，取最大值， 又a取整数值， 或8． 37．（2024·浙江宁波·一模）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深．“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台1000元，乙型自行车进货价格为每台1200元．该公司销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元． (1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ (2)在销售中发现，甲型自行车按（1）中获利定价时，每天可售出20台．在原有基础上，每降价5元，可多售出1台，要使甲型自行车每天销售利润不低于3360元，求优惠幅度的范围． 【答案】(1)该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元 (2)优惠幅度的范围是15元至85元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程组和函数关系是解题的关键． （1）根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1100元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利700元”建立方程组求解即可； （2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为、元，根据题意得， ， 解得：， 答：该公司销售一台甲型的利润为200元，一台乙型自行车的利润为250元； （2）设甲型自行车降价元，则可多售出台，甲型自行车每天销售利润为元，根据题意得， ， ∵，二次函数的图象的开口向下， 当时，有， 解得：， ∵为整数， ∴，， 当时，， ∴ 答：优惠幅度的范围是15元至85元． 38．（2024·浙江宁波·一模）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围． 【答案】(1)； (2)纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； (3)． 【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键． （1）销售量原来的销售量提升的价格，把相关数值代入化简即可； （2）利润每件纪念品的利润销售量，把相关数值代入后可得二次函数，根据二次函数二次项系数的符号可得抛物线的开口方向，判断出二次函数的对称轴后，与自变量的取值范围结合，可得相关定价和最大利润； （3）让（2）中的利润得到新的利润，根据捐款后每天剩余利润不低于2200元，利用函数的性质、函数的开口方向及自变量的取值范围可得销售单价的取值范围． 【详解】（1）解：． 关于的函数关系式为：； （2）解： ． 抛物线的对称轴为：． ，， 当时，有最大值，最大值为：； 答：纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； （3）解：捐款后每天剩余利润不低于2200元， ． ． 当时， ． ， ． ，． ，， 为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，． 答：为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围为：． 39．（23-24九年级上·浙江金华·期末）“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确列出函数关系式． （1）结合已知的图象，用待定系数法可得与之间的函数关系式为； （2）由每天“中国结”的销售量不低于240件，可得，设每天获取的利润为元，可得：，由二次函数性质即得当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得， ； （2）每天“中国结”的销售量不低于240件， ， 解得， 设每天获取的利润为元， 根据题意得：， ，抛物线对称轴是直线， 时，取最大值，最大值是（元， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 40．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价为100元，每天都客满．十一国庆期间，为增大营业额，宾馆老板决定进行适当的提价．根据市场调查，单间标准房房价在100～150元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．设标准房价为x元，标准房日入住量为y间，宾馆标准房日营业额为w元． (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)当标准房价定为多少时，标准房日营业额最大，最大日营业额是多少． 【答案】(1)y与x的函数关系式为 (2)当标准房价定为150时，标准房日营业额最大，最大日营业额是13500 【分析】本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，得出日营业收入是解题的关键． （1）根据题意列方程即可． （2）根据日营业额，利用配方法求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 答：y与x的函数关系式为． （2）解：， ， ， 当时，w随x的增大而增大． ∴当时，w最大，最大值为13500． 答：当标准房价为150元时，标准房日营业额最大，最大日营业额是13500． 五、题型五：投球问题 41．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意，设抛物线的解析式为，将点代入求出函数解析式，令，即可求解． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， 由图可知， ， ， ， 故选：B． 42．（2024·浙江杭州·二模）问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 【答案】(1)扣球：，吊球： (2)① ② (3) 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，再利用待定系数法可得吊球时的函数解析式； （2）①把代入可得的高度；②把代入，再进一步求解即可； （3）依题意，即接球点的临界坐标为 和 ，结合表格高远球最大高度与a值大小关系设出对应临界值的顶点式，代入接球点的临界坐标解之即可得出范围． 【详解】（1）解：∵扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． ∴，解得， ∴一次函数解析式为； 当时，， 则点P的坐标为， ∵当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 设抛物线为：， ∴， 解得； ∴； （2）解：①当时，． ∴球网的高度为； ②当时，， ，（舍） 落地点到球网的距离：； （3）解：由题意可得：接球点的临界坐标为 和 ； 接球点为时，若最大高度为，a为最小， 设， ∴， ∴ 接球点为时，若最大高度为，a为最大 设， ∴ 解得：， 则a的范围是 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的解法，二次函数的性质，理解题意是解本题的关键． 43．（2024·浙江杭州·二模）小静和小林玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，小林在距离地而的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，运动轨迹抛物线的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 【答案】(1) (2)， (3)4或5 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）依据题意，由抛物线可得最高点坐标，进而可以得解； （2）依据题意，可得，将代入抛物线，从而得解析式，再令，可得的值； （3）依据题意，根据点的取值范围代入解析式可求解． 【详解】（1）由题意，抛物线， 抛物线 的最高点坐标为的． 故答案为：． （2）由题得，． 将代入抛物线， ． 抛物线． 当时，． （3）小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， 此时，点的坐标范围是，，， 当经过时，， 解得：． 当经过时，， 解得：， ， 为整数， 符合条件的的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 44．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 45．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）【综合与实践】 某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为．过点作，垂足为，，以点为原点，以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分，设乒乓球与出球口的水平距离为，到桌面的高度为，在桌面上的落点为，经测试，得到如下部分数据： 0 0.5 1 1.5 2 … 0.25 0.4 0.45 0.4 0.25 …    (1)当__________m时，乒乓球达到最大高度；求出y与x之间的函数关系式； (2)桌面正中间位置安装的球网的高度为，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？（结果保留两位小数） (3)乒乓球落在点后随即弹起，沿抛物线的路线运动，小明拿球拍与桌面夹角为接球，球拍击球面的中心线长为，下沿在轴上，假设拋物线，与在同一平面内，且乒乓球落在上（含端点，点E在点C右侧），直接写出： ①__________． ②球拍到桌边的距离的取值范围__________． 【答案】(1)1，（或） (2) (3)①；② 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的关系式，再根据顶点坐标公式进行计算即可； （2）根据与的函数关系式，与的函数关系式进而得到与的函数关系式，再进行判断即可； （3）①根据与的函数关系式可求出点的坐标，再代入乒乓球反弹后抛物线的关系式可求出的值； ②根据乒乓球反弹后抛物线的关系式以及解直角三角形可求出的最大值和最小值即可． 【详解】（1）由题意得，， 设抛物线的关系式为，将，，代入得， ， ． 抛物线的关系式为． ， 当时，． 故答案为：1． （2）由题意得，， ， 当时， ． 乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为． 答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端的距离约为． （3）①当时，即， 解得，， ，， 即， 乒乓球反弹后沿抛物线的路线运动，而， ， 解得． 故答案为：2.5． ②由①，乒乓球反弹后沿抛物线的关系式为：， 当乒乓球反弹后沿抛物线过点时（即此时抛物线与x轴的右交点为点E）， 当时，即， ，． ． ， 如图，当乒乓球反弹后沿抛物线过点时，过点作轴于，      在中，，， ，， 当时，即， 解得在上舍去），， 即， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数关系式，掌握二次函数的图象上点的坐标特征以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 46．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，一小球从点A处以4米/秒的速度水平匀速抛出，下落过程中水平方向速度不变，忽略空气阻力，点M是下落路线的某位置，点A，点M的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且秒时，米． (1)求h关于t的函数表达式． (2)已知A点的离地高度为米，求小球的落地位置P点与A点的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义，二次函数的实际应用． （1）根据题意设，把代入求出k的值，即可得出h关于t的函数表达式； （2）求出时t的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵点M的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴h关于t的函数表达式为； （2）解：把代入得：， 解得：（舍去）， ∴米． 47．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得距离为，若以点O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的B处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线：的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线：的一部分． (1)抛物线的最高点坐标为______； (2)求a，c的值； (3)小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，则n的整数值可为______． 【答案】(1) (2)， (3)4或5 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）依据题意，由抛物线：可得最高点坐标，进而可以得解； （2）依据题意，可得，将代入抛物线：，从而得解析式，再令，可得c的值； （3）依据题意，根据点B的取值范围代入解析式可求解． 【详解】（1）解：由题意，∵抛物线：， ∴抛物线 的最高点坐标为的． 故答案为：． （2）解：由题可得点，将代入抛物线：， 得， ∴抛物线：． ∴当时，； （3）解：∵小林在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点B的坐标范围是， 当经过时，， 解得：． 当经过时，， 解得：， ， ∵n为整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 故答案为：4或5． 48．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）将小球（看作一点）从距离地面高的点处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线运动．    (1)若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度． ①求小球达到的最大高度； ②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离． (2)若小球的正前方（）处有一个截面为长方形的球筐，其中长为，宽为，若要使小球落入筐中，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度可求b，然后把代入解析式可求C，最后把解析式化为顶点式即可求解；②令，得出，然后解方程即可求解； （2）先根据求出c，然后求出E、F的坐标，再分别E、F的坐标代入函数解析式求出b的值，最后数形结合观察图形即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度可求b， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 解得， ∴， 由题意知抛物线经过， ∴， ∴ ∴， ∴当时，y有最大值， ∴小球达到的最大高度； ②令，则， 解得，， ∴球落地时的水平距离； （2）解：由题意知抛物线经过， ∴， ∴， 根据题意知，， 当抛物线经过时， 则， 解得， 当抛物线经过时， 则， 解得， ∴要使小球落入筐中，则． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． 49．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 50．（2023·浙江台州·二模）某次三人垫球训练要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少．甲在处将球垫偏之后，乙跑到在处按球传给丙，丙在处传回给处的甲．球沿抛物线运动假设抛物线，在同一平面内，处离地面的距离为米．如图所示，以为坐标原点米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．        (1)求抛物线的函数表达式； (2)甲垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由； (3)丙垫球后，若球在运动中离地面的最大高度达到要求，丙垫球处离地面的高度至少为多少米？ 【答案】(1) (2)没有达到要求，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式； （2）将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案； （3）由（1）可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点B的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线表达式为，且经过点，， ∴， 解得：, ∴抛物线表达式为： （2）最大高度未达到要求，理由如下： 由（1）得，抛物线的函数表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵处离地面的距离为米， ∴球在运动中离地面的最大高度为， ∴最大高度未达到要求； （3）由（1）可知，， ∵抛物线表达式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵球在运动中离地面的最大高度达到要求， ∴, ∴或， ∵对称轴在轴负半轴， ∴， ∴， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为, ∴点离地面的高度至少为（米） 六、题型六：喷水问题 51．（2024·浙江杭州·二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．    【答案】2.2 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得，令，则，求出，从而得出，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 令，则， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴水池宽至少是米， 故答案为：． 52．（2024·浙江杭州·二模）“水门礼”是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘，C919国产大飞机首航抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”．如图1，两辆车向飞机喷射水柱，形成的两条水柱形状相同，均可以看作是抛物线的一部分，当两辆车喷水口的水平距离为60米，两条水柱在抛物线的顶点处相遇．建立直角坐标系，如图2，此时顶点距离地面22米，喷水口，点距地面均为4米．（喷射水柱的动力和角度均保持不变） (1)请写出经过，，三点的抛物线的函数表达式． (2)若两辆车同时向后退10米，两条水柱形状及喷水口到地面的距离均保持不变，两条水柱的相遇点距离地面多少米？ (3)若水柱相遇点距离地面14米，两辆车应该在（2）的条件下再分别后退多少米？ 【答案】(1) (2)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米 (3)消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）根据题干的平面直角坐标系，给出点、的坐标，设经过点A，B，H的抛物线的解析式为，将点、的坐标代入解析式求出解析式； （2）根据题意利用平移的规律给出经过点，的抛物线解析式，得出的纵坐标即可解题； （3）根据题意设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为，将代入解析式，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设经过点，，的抛物线的解析式为， 根据题意得，，将其代入得：，解得， ， （2）经过点，的抛物线是由抛物线向右平移得到的， 经过点，的抛物线的顶点为， 经过点，的抛物线的解析式为， 将代入，得，， 消防车后退10米后两条水柱相遇点距地面米． （3）解：设两辆车应该在（2）的条件下再分别后退米，则经过点，的抛物线的解析式为， 将代入， 即， 解得：（舍去）或 消防车再分别后退10米后两条水柱相遇点距地面米． 53．（2024·浙江杭州·一模）某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O为原点，水平方向为x轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A的坐标为，抛物线的函数表达式中二次项系数为a． (1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c的代数式表示a． (2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a与c之间满足，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度． 【答案】(1)①；② (2)8米 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能利用数形结合思想是关键． （1）①依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，当时，把代入函数表达式即可得解； ②依据题意，把代入即可得解； （2）依据题意，设第一象限内水柱的函数表达式为，利用，得出与的关系，将代入，即可得解． 【详解】（1）解：①设第一象限内水柱的函数表达式为． 当时，把代入函数表达式，得 ． ． 第一象限内水柱的函数表达式为． ②把代入， 得， 得； （2）解：由题意，设第一象限内水柱的函数表达式为． ， ． 把代入，得， ． ． 水柱达到的最大高度8米． 54．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． 任务一：由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解； 任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； 任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， ∴水流抛物线的函数表达式为：； 任务二、不能， 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三、 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 55．（2024·浙江杭州·模拟预测） 设计喷水方案 素材1 图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其底面直径为，高为米       素材2 如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建一能伸缩高度的喷水装置，要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 (如图4)．    问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点G、M之间的距离满足时，不能再升高，求此时的最高高度． 任务3 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求喷出的水柱高度不低于，求喷水装置高度的变化范围． 【答案】任务1： 任务2：的高度为米 任务3： 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用， 任务1：以点为原点建立如图所示直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将代入即可得到结论； 任务2：令（1）抛物线，得，求出，再依据即可得出点的坐标为，设图3中抛物线解析式为，代入即可求解． 任务3；设，根据题意得从点喷射的抛物线水柱顶点坐标为，由于抛物线形状相同，可得抛物线表达式为，把代入可得，可得函数关系式，再把点代入即可得出结论． 【详解】解：任务1：以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，如图1所示． ∵， ∴． ∵水柱距水池中心处到达最高，高度为， ∴左侧抛物线顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入得， ∴即． 任务2：如图所示，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系 ∵两种喷水头均能喷射与图2中形状相同的抛物线． 设的最高高度为． ∴设图3中抛物线解析式为 由（1）可得图2中的抛物线解析式为: 令，得， 解得（舍去），， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点G的坐标为． 将代入 解得： ∴的最高高度为米 任务3：如图． 设，∵乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度差为 ∴从点P喷射的抛物线水柱顶点坐标为， 又∵抛物线形状相同， ∴抛物线表达式为， 把代入得， 解得或（舍去）， ∴， ∵喷出的水柱高度不低于， ∴ ∴ 又∵要求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄水池外面． 由（2）可得 代入 即 解得： ∴ ∴喷水装置高度的变化范围为． 56．（2023·浙江台州·一模）随着自动化设备的普及，公园中引入了自动喷灌系统．图1是某公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线，图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如下图所示，求出抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； (2)现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱落在花坛的上方边上，求h的取值范围． 【答案】(1)①图见解析，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，结合实际理清题中的数量关系是解题的关键． （1）①建立平面直角坐标系，用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； ②令，求得方程的解，舍去不符合实际情况的值即可； （2）由题意可得，，分别代入，求出的最小值和最大值，再令，求得的最小值和最大值，即可得出答案． 【详解】（1）①以点O为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 设抛物线解析式为 把代入得 解得： 抛物线的表达式为； ②令，得， 解得：，（舍去） 喷灌器底端O到点B的距离； （2）如图所示： ， ， 设 把代入得 解得： 当时， 设， 把代入得 解得： 当时， 使水柱落在花坛的上方边上，的取值范围为． 57．（23-24九年级上·浙江金华·期末）根据以下素材，完成探索任务： 设计喷水器的高度 素材1 为了灌溉某花田，需要安装一台可旋转灌溉的喷水器（即喷头可顺、逆时针往返喷洒）．如图1，其中点P为原装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆进行调整（点P到地面的距离最大可达2米），已知点P、N、M在同一直线上．喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同．（接头处的间隙忽略不计） 素材2 为了方便计算该喷水器的灌溉范围，如图2，在初始高度下，测得喷水口点P到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷出的水柱外端恰好碰到距离连杆所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地面2米． 素材3 为了美观，现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3），已知米． 素材4 为了适应多种灌溉环境，这款喷水器除原装喷头外，还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4），并且．已知的边，，其中与地面平行，与地面垂直．更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同． 任务1 确定水柱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式． 任务2 计算喷水口高度 若使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高多少米？ 任务3 设计方案 园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树．通过计算，判断种植后是否会影响任务2中的灌溉要求．若有影响，请你利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案． 【答案】任务1：；任务2：喷水口P至少需要升高米；任务3：会影响，设计见解析． 【分析】任务1：以所在直线为轴，以地平面所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到抛物线所过点的坐标m设抛物线解析式为，将点代入解析式求解，即可解题． 任务2：连接，，交于点，为正六边形的中心，根据题意证明为等边三角形，四边形为菱形，利用勾股定理求得米，推出米，使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，则喷水器应在处，且喷洒水平距离为米，设喷水口P至少需要升高米，再结合抛物线解析式，即可解题． 任务3：本题将米，即代入，满足任务2中的解析式，可得其会影响任务2灌溉要求，根据“S”型号的喷头条件，设更换喷头后的抛物线解析式为，且，根据灌溉要求可知当时，，据此求解，即可解题． 【详解】任务1：解：以所在直线为轴，以地平面所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 根据题意可知抛物线过点，，， 有，解得， 抛物线解析式为； 任务2：解：连接，，交于点，正六边形的中心，如图所示： ，为等边三角形， 为等边三角形，米， 米，， 四边形为菱形， ，， ， ， 米， 米， 米， 同理可得，米， 使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田， 喷水器应在处，且喷洒水平距离为米， 设喷水口P至少需要升高米， 即抛物线解析式变为，过点， 有， 解得， 使用原装喷头的喷水器，要求通过旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口P至少需要升高米． 任务3：解：园艺师计划分别在，，，，，的中点处种植一棵高为米的树， 满足任务2的抛物线解析式为，且米， （米）， ， 种植后会影响任务2中的灌溉要求， 更换喷头后，喷出的水柱形状仍与原来相同， 更换喷头后的抛物线可看作原抛物线向右平移，向上平移， 的边，， 设更换喷头后的抛物线解析式为，， 点P到地面的距离最大可达2米，即， 有当时，， 即，解得， 即当时，使用“S”型号的喷头可达到多边形花田灌溉要求． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用、二次函数的平移规律、二次函数与不等式、正多边形性质、30度所对直角边等于斜边一半、菱形的性质与判定、勾股定理、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 58．（22-23九年级上·浙江台州·期末）大自然中有一种神奇的鱼一射水鱼，它能以极快的速度从口中射出拋物线形水柱击落昆虫来捕食，如图1，已知水柱的解析式为，水柱的最大高度为． (1)当射水鱼在原点处时，求水柱的解析式； (2)如图2，昆虫在处停留，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点出发． ①射水鱼需要水平向右游动多少距离才能击中昆虫？ ②昆虫发现原点处的射水鱼后立即以的速度水平向右逃离，同时射水鱼以的速度水平向右追赶，经过多少时间，射水鱼恰好能击中昆虫？ 【答案】(1) (2)①射水鱼需要向右游动才能击中昆虫；②经过射水鱼恰好能击中昆虫 【分析】本题考查了二次函数的应用喷水问题： （1）运用待定系数法求解即可； （2）①令，求出x的值，再进行判断即可；②根据“时间=路程÷速度”求解即可 【详解】（1）解：水柱的最大高度为， ， 射水鱼在原点处， 将代入8，得， 解得或（舍去）， 水柱的解析式为 （2）解：①令，得， 解得或， ， ， 射水鱼需要向右游动才能击中昆虫． ②由题意得，， 经过射水鱼恰好能击中昆虫． 59．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷泉安全通道？在抛物线形的喷泉水柱下设置一条安全的通道，可以让儿童在任意时间穿过安全通道时不被水柱喷到（穿梭过程中人的高度变化忽略不计）． 素材1 图1为音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向上随着音乐变化而上下移动．不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，但形状相同，最高高度也相同，水落地点都在喷水管的右侧． 素材2 图2是当喷水头在地面上时（喷水头最低），其抛物线形水柱的示意图，水落地点离喷水口的距离为，水柱最高点离地面． 图3是某一时刻时，水柱形状的示意图．为喷水管，为水的落地点，记长度为喷泉跨度． 素材3 安全通道在线段上，若无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域． 问题解决 任务1 确定喷泉形状． 在图2中，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐 标系，求出抛物线的函数表达式． 任务2 确定喷泉跨度的最小值． 若喷水管最高可伸长到，求出喷泉跨度的最小值． 任务3 设计通道位置及儿童的身高上限． 现在需要一条宽为的安全通道，为了确保进入安全通道 上的任何人都能在安全区域内，则能够进入该安全通道的人 的最大身高为多少？（精确到） 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）OB最小值为；（3）能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米 【分析】本题考查了二次函数的知识，以及二次函数解析式的求法，运用二次函数的性质是解题的关键． 由任务1设抛物线解析式为：，代入，即可求抛物线解析式；由任务2设抛物线解析式为：，代入即可求抛物线解析式，从而求的值；在任务3中，设，则，代入对应的抛物线解析式即可． 【详解】任务 点坐标为，点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的最高点为3，顶点坐标为 设抛物线的函数表达式为过点， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为． 任务 当喷水管最高可伸长到时， 设此时的抛物线的函数表达式为， 当时，，解得：， 由，得，解得：或（舍）， ． 任务 由题意得：当点落在上， 当点落在上时，最大． 延长交抛物线与点， ，， ，关于直线对称，点的横坐标为0.5， 当时，， ∴则能够进入该安全通道的人的最大身高为1.3米． 60．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为．    素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 任务3 调整喷头的高度 如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘处． 【答案】（1）；（2）4.55米；（3）抛物线往下移动1米时，水流喷灌时恰好落在边缘处 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点，以及二次函数的平移规律，根据以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系．得到顶点和点的坐标，设，将点代入解析式，即可求出求出顶棚部分抛物线的表达式．根据题意求出抛物线的解析式，再利用对称轴，求得最高点的横坐标，将横坐标代入解析式求解即可．最后根据二次函数的平移规律，即可解题． 【详解】任务1：解：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系． 由题意可知，顶点是，设，把点代入得：， 解得：， ． 任务2：解：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系． 抛物线的形状与相同，， ， 设 把代入得：，解得：， ， 处喷出的水流在距离点水平距离米时达到最高． 任务3：解：调整喷水口的高度时，抛物线的形状不变，且， 抛物线往下移动1米时，水流喷灌时恰好落在边缘处． 七、题型七：其他问题 61．（2024·浙江·模拟预测）在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 25 23.5 20 14.5 7 25 20 15 10 5 (1)根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象． (2)在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映与的变化规律，说明你选择的理由，并分别求出的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， (3)当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，读懂题意是解答本题的关键． （1）依据题意，根据表格数据描点，连线即可作图得解； （2）根据函数图象确定点的坐标，利用待定系数法解答即可； （3）依据题意，表示出的二次函数，利用二次函数的性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：函数的图象如图所示． （2）解：由图可知、函数的图象是抛物线的一部分．所以是关于的二次函数， 函数的图象是直线的一部分，所以是关于的一次函数． 由题意可设．把点和点分别代入，得 ， 解得， ； 设．把点和点分别代入，得 ，解得， ； （3）解： ， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 答：当实验时间为分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为克． 62．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点B的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线。在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误。运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由 (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图象与性质、根据计算做决策及求参数范围等，读懂题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式，令得出点B的坐标为； （2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为，将代入解析式得，根据，确定该运动员此次跳水失误了； （3）根据题意得到点，当抛物线过点M和点N时，分情况求出a值，进而根据点D在之间得出． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， ∴抛物线的解析式为； 令，则， 解得：（舍去），， ∴入水处B点的坐标为； （2）解：当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为， 将代入解析式得， ∵， ∴该运动员此次跳水失误了； （3）解：∵，点E的坐标为， ∴点M，N的坐标分别为， ∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为， 且顶点C 距水面4米，经过点， ∴当抛物线过点M时，， ∴即 ∴， 把代入，得， 解得； 同理，当抛物线过点时，， 则， 解得，， 由点D在之间得a的取值范围为． 63．（2024·浙江杭州·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学人，摇绳同学人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图． 素材：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图； （2）9名跳绳同学身高如右表． 身高 人数 素材：观察跳绳同学的姿态如图，发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒适； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． 问题解决 任务：确定长绳形状请在图中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． 任务：确定排列方案该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 任务：方案优化改进据最边侧同学反映：由于跳起高度过高，导致不舒适，希望作出调整班长给出如下方案：摇绳同学在绳即将触地时，将出手高度降低至此时中段长绳将贴地形成一条线段线段，而剩余的长绳则保持形状不变，如图． 请你通过计算说明，该方案是否可解决同学反映的问题． 【答案】任务：；任务2：不会触碰到最边侧的同学；任务：方案能解决同学反映的问题 【分析】本题考查了二次函数的应用， 任务1：建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； 任务2，得出最右侧同学的横坐标为代入解析式，结合按照排列方式可知最右（左）侧同学屈膝后身高即可求解； 任务3，求得平移后的抛物线解析式，进而将代入，结合题意，即可求解． 【详解】解：任务：如图建立平面直角坐标系． 设长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：． 经过点． ． 解得：． 长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式为：； 任务2：最右侧同学所在的横坐标为：． 当时，． 长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的， 最右侧同学屈膝后的身高为：． ． 绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学； 任务当绳子摇至最低处时，抛物线解析式可表示为． 出手高度降低至． 抛物线下降． 下移后的抛物线解析式为：． 当时，． ， 方案能解决同学反映的问题． 64．（2024·浙江湖州·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务. 运用二次函数研究电缆架设问题 素材1 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似的看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡BD上按水平距离间隔90米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20米（米），按如图建立坐标系（x轴在水平方向上）.点A、O、E在同一水平线上，经测量，米，斜坡BD的坡比为1：10（即）．. 素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5米时，符合安全要求，否则存在安全隐患． （说明：直线轴分别交直线和抛物线于点H、G.点G距离坡面的铅直高度为的长） 任务1 明确山坡位置 求点D的坐标． 任务2 确定电缆形状 求出下垂电缆的抛物线表达式． 任务3 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：不符合安全要求，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用． 任务1．易得四边形是矩形，米，那么可得矩形各边的长，根据的长度可得的长度；根据斜坡的坡比为1：10可得的长，进而可得的长，即可求得点D的坐标； 任务2．易得的长度，即可求得点C的坐标，根据抛物线经过点O、A、C可得抛物线的解析式； 任务3．求得直线的解析式，设电缆与坡面的铅直高度为h，表示出h的函数关系式，求得h的最小值与13.5比较即可判断这种电缆的架设是否符合安全要求． 【详解】解：任务1． 由题意得：四边形是矩形，米， ∴米，米． ∵，米， ∴米，米． ∴米． ∴点D的坐标为． 任务2． ∵米， ∴点A的坐标为． ∵，米， ∴点C的坐标为． ∵抛物线经过点O、A、C， ∴设下垂电缆的抛物线表达式为：． ∴． 解得： ∴下垂电缆的抛物线表达式为： 任务3． 解：这种电缆的架设不符合安全要求． 理由如下： 由题意得：点B的坐标为． 设直线的解析式为：． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为： 设电缆与坡面的铅直高度为h， ∴ ∴电缆距离坡面铅直高度的最小值为13.25米． ∵， ∴这种电缆的架设不符合安全要求． 65．（2024·浙江·模拟预测）问题情境：如图1，两条宽为16米、互相垂直的马路组成十字路口，为中心对称图形，两交通白线AB，CD间的距离与EF，GH间的距离均为64米，双向安装红绿灯． 安全条件：当绿灯亮时的最后一秒（即绿灯读数为0），甲从交通白线AB骑出，能及时穿过路口，不与另一方向绿灯亮时从交通白线EF出来的汽车相撞，即可保证交通安全． 实验数据：测试时，甲沿BC骑行，汽车按公路中线行驶．当绿灯亮起，汽车起步后的速度v（米/秒）、行驶距离s（米）关于时间t（秒）的函数图象分别为图2、图3，已知． 解决问题： (1)求图3中m的值． (2)当时，求s关于t的函数表达式． (3)如图1，若甲骑车速度为5米/秒，汽车与摩托车长度忽略不计，设红绿灯时间差为T秒．当T要满足什么条件时，才能使汽车与甲不相撞？试通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)大于3.9秒才能使车人不相撞，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，理解摩托车与汽车不相撞的条件，列出不等式关系式即可求解． （1）将题干中已知坐标代入解析式求出的值，再令，即可求出的值． （2）观察图二可发现，当时，速度始终为15 m/s，理解题意，将速度代入关系式中，即可得出s关于t的函数表达式． （3）根据已知条件，需要求出另一侧绿灯亮时，摩托车通过路口的行驶时间， 再求出汽车到路口行驶时间，摩托车通过路口要比汽车通过线要早一些方可避免碰撞事故，所以满足摩托车通过路口的行驶时间大于汽车到路口行驶时间即可． 【详解】（1）解：（1）将代入， ， ， 即与的关系式为， ． （2）由题意得，当时，m/s ． （3）（米）， 当绿灯亮时骑车出发到另一侧绿灯亮时，摩托车可骑行路程， 此时摩托车到线的剩余路程为（），需要骑行时间（秒）． 又汽车到路口行驶路程米＞22.5米， 当时，，解得， 汽车到路口行驶时间秒． 要保证安全，摩托车需及时通过路口， ，解得， 大于3.9秒才能使车人不相撞． 66．（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度(通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆数目.已知车流速度 v(单位：)是车流密度K(单位：辆)的函数.某城市某条道路上，v关于K的函数图象如图所示. 当车流密度时，则速度v的值为理论最高值 ； ②当车流密度时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大值270时，则.已知v关于K 的函数图象经过. (1)若 辆时，求对应v的值. (2)点是图象上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时矩形所围成的面积为交通量Q(单位：辆/小时)，求交通量Q的最大值. 【答案】(1) (2)6075 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用： （1）将代入求出a，b，再将代入求解； （2）根据列出Q关于K的二次函数关系式，变形为顶点式即可求出最值． 【详解】（1）解：若车流密度K达到最大值270时，则， ， 将代入，得：， 解得， v关于K 的函数关系为， 将代入，得： 即辆时，对应v的值为； （2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为， ，， ， ， 当时，Q取最大值，最大值为6075． 67．（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示． (1)当时，求V关于x的函数表达式． (2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值． 【答案】(1) (2)时，P的最大值为4418 【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案； （2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可． 【详解】（1）解：当时，． 当时，设， 由图象可知，， 解得：， 当时，； （2）根据题意，得． 答：当车流密度为94辆千米时，车流量最大，为4418辆时． 68．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离 背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离． 素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时） 反应距离（米） 注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒． 素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时） 刹车距离y（米） 素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里． 任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式； 任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶； 任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离） 【答案】（1）；（2）图象见解析，函数表达式为 （3）该车已超速行驶；（4）车刹车前的最大速度不能超过千米/小时 【分析】（1）根据反应时间=列式，注意转换单位； （2）秒点连线，用待定系数法求解析式即可； （3）把带入解析式求解，与比较即可； （4）根据停车距离反应距离制动距离列不等式求解，舍去负值． 【详解】（1）反应时间 所以驾驶员正常的反应时间为秒 （2）解：图像如下： 由图像大致可知函数图象为二次函数， 因为图象经过原点，设二次函数解析式为：，把，代入： 函数表达式为． （3）把代入， 解得（舍）． 车速大于限速， 所以该车已超速行驶． （4）设汽车刹车前的速度为千米/小时． 则根据停车距离反应距离制动距离， 可列： 整理得：， 取最大距离，则 解得（舍） 汽车刹车前的最大速度不能超过千米/小时． 【点睛】本题考查实际问题与二次函数，描点作图、待定系数法求二次函数解析式、二次不等式，掌握相关知识点是解题的关键． 69．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式； （2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解； （3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为， 故可设该二次函数解析式为， 又过点， ． ． ． （2）解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、， 故可设该二次函数解析式为，代入得 ， ，，． ． 当时，． 答：这个不倒翁的总高度为． （3）解：由题意，令， 或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方． 当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线． 70．（2024·浙江金华·二模）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．已知某型号汽车刹车时速度为米秒，设刹车后行驶的时间为秒，刹车后速度为米秒，刹车后行驶的距离为米．已测得刹车后的运动速度与运动时间之间满足关系式：．刹车后行驶的距离与的函数图像如下图所示，该图像是抛物线，为常数，的一部分． (1)当该汽车刹车后速度为米秒时，求刹车后行驶的时间． (2)求、的值，以及该汽车刹车后行驶的最大距离． (3)一司机驾驶该型号汽车，在以米秒的速度行驶中，突然发现导航提示前面米处路面变窄，于是立即刹车．为确保安全通过窄路，需要将车速降低到米秒以下．请通过计算说明该司机能否在到达窄路时将车速降低到米秒以下？ 【答案】(1)秒 (2)，，米 (3)能 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用； （1）把代入，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）把代入得，，当时，求得，即可求解． 【详解】（1）把代入， 得，解得 （2）把，代入得 解得 因为 当时，最大，最大值为 即，，刹车后行驶的最大距离为米． （3）由题意：把代入得， 一，解得 当时， 所以，该司机到达窄路时可将车速降低到米秒以下． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$