专题07 二次函数与不等式（三大题型，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题07 二次函数与不等式（三大题型，30题） 目录 题型一：图象法解一元二次不等式 1 题型二：利用不等式求自变量或函数值的范围 3 题型三：根据交点确定不等式的解集 5 一、题型一：图象法解一元二次不等式 1．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的不等式的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论： ①图象关于轴对称； ②不等式的解集是或； ③方程有两个实数解时．正确的是（    ） A．①②． B．②③． C．①③． D．①②③． 3．（2024·浙江舟山·三模）已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 4．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数图像如图所示，当时，的取值范围是 ． 5．（22-23九年级下·浙江嘉兴·开学考试）小苏同学在探究函数图象时发现：将函数的图象进行平移得到函数的图象，当时，恒成立，则m的取值范围是 ． 6．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）． （1）求该抛物线的表达式和顶点坐标； （2）直接写出当y＜0时，x的取值范围． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知二次函数的图象过，和三点． (1)求这个二次函数及直线的函数关系式； (2)直接写出不等式的解； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 8．（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示． (1)求b，c的值； (2)直接写出该二次函数当时，x的取值范围． 9．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数(，是常数，且)的图象经过点． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若该函数图象还经过点 ①求该函数的解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 10．（21-22九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数． （1）求二次函数的图象的顶点坐标，与x轴的交点坐标． （2）直接写出当自变量x在什么范围时，． 二、题型二：利用不等式求自变量或函数值的范围 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的函数 是常数，设分别取，，时，所对应的函数为，以下结论：①满足的取值范围是；②不论取何实数，的图象都经过点和点；③当时，满足，则以上结论正确的是(　　) A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 12．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）二次函数图象经过点，，且，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 13．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为 ． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知点和点都在抛物线上． （1）若，则 ； （2）若，则k的取值范围是 ． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知一次函数，二次函数． （1）当时，则的最小值为 ． （2）若，若点都在函数y的图象上，且，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示） 17．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 18．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若，，当时，，当时，，求的值； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 20．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值及这个图象的顶点坐标． (2)若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于，求的取值范围． 三、题型三：根据交点确定不等式的解集 21．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 22．（2022·浙江杭州·一模）函数经点．时，x的取值范围为或．m可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数图象对称轴为直线，且经过原点，当时，自变量的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 24．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数的解析式为． (1)求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点； (2)若，点，都在该二次函数的图像上，且，求n的取值范围； (3)当时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值． 25．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知a，b，c为正整数，二次函数． (1)若，，且直线 与二次函数的图象及二次函数的图象均相切，求b，c的值； (2)当x取遍到1的所有实数时，y也恰好取遍到7的所有实数值，求二次函数的解析式． 26．（23-24九年级上·浙江·期中）新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示）　　，顶点坐标为 　　． (2)对于和，当时，求的取值范围． (3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 27．（2023·浙江杭州·一模）已知函数（a是常数，且）． (1)若点在二次函数y的图象上， ①求该函数的表达式和顶点坐标； ②若点和在函数的图象上，且，求的取值范围； (2)若函数y的图象过和两点，且当时，始终都有，求a的取值范围． 28．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，． (1)若二次函数的图象经过A，C两点，求二次函数的解析式． (2)若二次函数图象与y轴正半轴有交点，试判断二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由． (3)若二次函数图象经过点C，设P为二次函数图象上的一个动点，当时，点P关于x轴的对称点都在直线的下方，求m的取值范围． 29．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为D． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图像直接写出时x的取值范围； (3)将绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式． 30．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数与不等式（三大题型，30题） 目录 题型一：图象法解一元二次不等式 1 题型二：利用不等式求自变量或函数值的范围 10 题型三：根据交点确定不等式的解集 23 一、题型一：图象法解一元二次不等式 1．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的不等式的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称轴，先求出该抛物线的表达式，再求出抛物线上函数值等于的点，利用函数图像即可进行解答． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴，解得：， ∴该抛物线的表达式为：， 当时，，解得：，， 画出该函数的图像，如图： 由图可知，当时，函数值小于， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的相关知识，会根据图像求解不等式的解集是解题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论： ①图象关于轴对称； ②不等式的解集是或； ③方程有两个实数解时．正确的是（    ） A．①②． B．②③． C．①③． D．①②③． 【答案】A 【分析】根据函数图象直接判断A，根据二次函数与坐标轴的交点分析，根据对称性可得轴与轴左边的交点为，即可判断B，根据图象可知当或时，原方程有两个实数根，据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可知，此图像关于轴对称，故①正确； ②对称性可得轴与轴左边的交点为，则不等式即的解集是或，故②正确； ③∵，当时，，顶点坐标为和，且与轴交于点， ∴当或时，方程有两个实数解， 故③不正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2024·浙江舟山·三模）已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 4．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数图像如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用抛物线与x轴的两个交点坐标，然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（，0），与x轴的另一个交点坐标为（3，0）， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点和图像法解一元二次不等式，解题的关键是通过数形结合的方法求解一元二次不等式． 5．（22-23九年级下·浙江嘉兴·开学考试）小苏同学在探究函数图象时发现：将函数的图象进行平移得到函数的图象，当时，恒成立，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意，求出时的最大值， 【详解】∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时，有最大值为， 当抛物线经过时， ， 解得：或；    ∵当时，恒成立，如图： ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移和性质．解题的关键是利用数形结合的思想进行求解． 6．（21-22九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中A（﹣2，0），B（4，0）． （1）求该抛物线的表达式和顶点坐标； （2）直接写出当y＜0时，x的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8，(1，9)；（2）x＜﹣2或x＞4． 【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入y=-x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，化为顶点式求出顶点坐标； （2）根据函数图象结合点A、B横坐标直接得到答案； 【详解】解：（1）把A(﹣2，0)，B(4，0)代入y＝﹣x2+bx+c，得 ， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+8， ∵y＝﹣x2+2x+8=-(x-1)2+9， ∴顶点坐标为：(1，9)； （2）由图象结合点A、B横坐标知，当x＜﹣2或x＞4时，y＜0． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，利用函数图象解了不等式，待定系数法确定函数关系式等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用． 7．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，已知二次函数的图象过，和三点． (1)求这个二次函数及直线的函数关系式； (2)直接写出不等式的解； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点的坐标为 【分析】（1）将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入抛物线中，即可得，设直线BC的函数解析式为：，将B（3，0），C（0，3）代入中，即可得； （2）根据图象可直接得出不等式的解； （3）由题意得PA=PB，当C、B、P三点共线时，PA+PC最小时，根据A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），即可得点P的横坐标为1，将1代入中，得，即可得点P的坐标为（1，2）． 【详解】（1）解：将A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入抛物线中，得 解得：， ∴二次函数的解析式为：； 设直线BC的函数解析式为：，将B（3，0），C（0，3）代入中，得 解得：， ∴直线BC的函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为： 点B的坐标为，点C的坐标为 由图象可直接得出不等式的解集为：或 （3）解：如图所示， ∵直线l是抛物线的对称轴，且A，B是抛物线与x轴的交点， ∴点A，B关于直线l对称， ∴PA=PB， ∴当C、B、P三点共线时，PA+PC最小时， 即点P就是直线BC与l的交点， ∵A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0）， ∴点P的横坐标为1， 将1代入中，得， ∴点P的坐标为（1，2）． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，解不等式， 解题的关键是掌握这些知识点． 8．（22-23九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示． (1)求b，c的值； (2)直接写出该二次函数当时，x的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由函数的图象可知，抛物线过点和，然后利用待定系数法求出b，c的值即可； （2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴以及它与x轴的另一交点坐标，然后根据抛物线开口向下，时，函数的图象位于x轴的上方得出答案． 【详解】（1）解：由函数的图象可知，抛物线过点和， 将，代入得：， 解得：，； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为， ∴对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∵抛物线开口向下，时，函数的图象位于x轴的上方， ∴当时，x的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 9．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数(，是常数，且)的图象经过点． (1)求该函数图象的对称轴； (2)若该函数图象还经过点 ①求该函数的解析式； ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据解析式可知抛物线与轴交于点，而与关于抛物线的对称轴对称，即可求得对称轴为直线； （1）①根据（1）的结论得出，则抛物线解析式为，将点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； ②令，求得抛物线与轴的交点坐标，进而根据以及，即可求得不等式的解集． 【详解】（1）解：由，令，解得： ∴抛物线与轴交于点， 而与关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线； ∴，即， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线还经过点： ∴ 解得：， ∴抛物线解析式为， 令，即， 解得： ∵，抛物线开口向上， ∴当时，． 【点睛】本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，图象法求不等式的解集，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 10．（21-22九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数． （1）求二次函数的图象的顶点坐标，与x轴的交点坐标． （2）直接写出当自变量x在什么范围时，． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据顶点式即可求得顶点坐标，令y=0，解关于x的一元二次方程，即可求得与x轴交点坐标； （2）令，解关于x的一元二次方程，求得x的值，再结合函数的开口方向即可求得x的取值范围． 【详解】（1）∵， ∴， 以函数的顶点坐标是， 由，得，解得． 所以图象与x轴的交点是．             （2）由，得，解得． 又∵, ∴函数开口向下， ∴当时，． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与x轴交点，二次函数与不等式．（1）中掌握顶点式是解题关键；（2）中能根据函数开口方向，确定不等式的解集是解题关键． 二、题型二：利用不等式求自变量或函数值的范围 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知关于的函数 是常数，设分别取，，时，所对应的函数为，以下结论：①满足的取值范围是；②不论取何实数，的图象都经过点和点；③当时，满足，则以上结论正确的是(　　) A．②③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，利用不等式求二次函数的取值范围．将，，代入，解不等式可判定①③，经过定点，可知的系数为，则可判定②． 【详解】解：当分别取，，时，所对应的函数解析式分别为： ，，， 若，则， ， 即． 则①正确； 关于的函数， 当时，函数值与无关， 即当，， 当，， 过定点，， 则②正确； 若， 或； 若， 或， 当时，， 则③正确． 故选：D． 12．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）二次函数图象经过点，，且，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由二次函数图象经过点，，代入，，根据，列出不等式即可，准确理解二次函数的性质，正确求解不等式组是解题的关键． 【详解】∵二次函数图象经过点， ∴，， 则， ∵， ∴，整理得：， 解得：或， 故选：． 13．（2023·浙江衢州·中考真题）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 点，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键． 14．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 15．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知点和点都在抛物线上． （1）若，则 ； （2）若，则k的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的性质．（1）先求得抛物线的对称轴为直线，由，得到，据此求解即可；（2）由，求得；由，得到，求得或，据此求解即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴， 解得， 故答案为：； （2）当时， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 整理得，即， ∴或， 解得或， 综上或． 故答案为：或． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知一次函数，二次函数． （1）当时，则的最小值为 ． （2）若，若点都在函数y的图象上，且，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示） 【答案】 或 【分析】（1）本题主要考查二次函数求最值问题，根据二次函数在对称轴处取得最小值，将对称轴处的自变量代入函数解析式即可． （2）本题考查二次函数性质与不等式的问题，点、都在函数图象上将点带入解析式，根据解不等式求解即可，解答本题的关键在于结合二次函数性质解不等式． 【详解】解：（1）∵， ∴二次函数解析式为 函数对称轴：， 将，代入函数解析式得到 ． 故答案为：． （2）∵ ∴ 又∵点都在函数图象上， ∴ ， 又∵ 即 又∵当时， 解得，或， ∴或． 故答案为：或． 17．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． (1)若， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，直接写出的取值范围； (2)若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①直线；②或 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①当时，代入解析式，得出，进而得出解析式，化为顶点式，即可求解； ②令，得出，则抛物线与轴的交点问和，根据题意可得点在轴的上方，根据抛物线开口向上，进而即可求解； （2）将代入，根据，得出，进而得出抛物线的对称轴且，根据可得到对称轴的距离大于到对称轴的距离，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线； ②令，， 解得：， ∴抛物线与轴的交点问和， ∵，，且，， ∴点在轴的上方， ∴或； （2）解：，理由如下， 将代入， ∴， 解得： ， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴． 18．（2024·浙江杭州·二模）在平面直角坐标系，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若，，当时，，当时，，求的值； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象与性质综合，涉及待定系数法求解、与不等式的关系等，数形结合是解题的关键． （1）将，代入，再结合对称轴为直线即可求解； （2）利用数形结合，由当时，确定对称轴的值，再根据若，和当时，列式求解； （3）确定点的大致位置，画出草图，利用并结合图象确定点位置范围，列式求解． 【详解】（1）解：∵若，， ∴， ∴， ∴； （2）∵若，， 即抛物线过点， 再根据，即抛物线开口向上， 可得抛物线有三种大致图象，如图： ①当对称轴时， 此时当时，一定存在， 与矛盾， 故不成立； ②当对称轴时， 此时当时，一定存在， 与矛盾， 故不成立； ③当对称轴时， 此时当时，一定存在， 故成立； 综上，， ∴，即， ∵当时，时， ∴结合图象可得时，， ∴①， ∵若，， ∴②， ①-②，得， 代入， 解得：； （3）∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线，， ∴点在对称轴右侧， 根据题意画出草图，如图， ∵对于，，都有， 即点在点的水平上方， 由图可知点只能在对应的图象上， ∵， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)x的取值范围是 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质： （1）将A，B两点坐标代入函数解析式求解即可； （2）将代入函数解析式求得函数与轴的交点，结合图象，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题知， 将A，B两点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的表达式为． 因为， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：将代入函数解析式得，， 解得，． 如图所示， 当时，抛物线在直线的下方，即， 所以x的取值范围是． 20．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值及这个图象的顶点坐标． (2)若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于，求的取值范围． 【答案】(1)的值为，的值为，顶点坐标为 (2) 【分析】（1）把，代入二次函数解析式，求解方程组，得出，的值，根据二次函数顶点公式，计算即可得出顶点坐标； （2）分别把把和代入解析式计算函数值，结合顶点坐标，根据点到轴的距离小于，写出的取值范围即可． 【详解】（1）解：把，代入中， 得：， 解得：， ∴的值为，的值为， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴顶点坐标为； （2）解：∵由（1）得二次函数解析式为， ∴把代入解析式，得：， 把代入解析式，得：， ∵若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于时， ∴， 又∵二次函数图象顶点坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、解二元一次方程组等，熟练掌握二次函数的图象与性质、计算求解是解题的关键． 三、题型三：根据交点确定不等式的解集 21．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，若抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A．或 B．或或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的综合应用，通过函数解析式求出抛物线顶点坐标，可得抛物线运动轨迹，然后通过数形结合求解，解题的关键是掌握二次函数的性质，掌握求二次函数顶点运动轨迹的方法，通过数形结合方法求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线顶点所在图象解析式为， 当抛物线经过点时，如图， ∴，整理得 解得：； 当抛物线经过点时， ∴， 解得：或， ∴当或时，与线段只有一个公共点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当直线的解析式与抛物线只有一个交点时， 即， 整理得：， 即有，解得：， 综上可知：的取值范围是或或， 故选：． 22．（2022·浙江杭州·一模）函数经点．时，x的取值范围为或．m可能为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由，x的取值范围为或，可以得出或是方程的两个根，则，再由，可得，即，将点代入函数解析式可得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∵当，x的取值范围为或， ∴或是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， ∴是函数的对称轴， 又∵，x的取值范围为或， ∴， ∴， ∵函数经点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴m可能取值为1， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 23．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的二次函数图象对称轴为直线，且经过原点，当时，自变量的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，根据交点确定不等式的解集．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，根据交点确定不等式的解集是解题的关键． 由题意知，当，，二次函数的对称轴为直线，即，则，当时，可得，，根据交点可确定自变量的取值范围． 【详解】解：由题意知，当，， 二次函数的对称轴为直线，即， ∴， 当时，， 解得，， ∵， ∴二次函数图象开口向上， ∴当时，自变量的取值范围是， 故选；C． 24．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数的解析式为． (1)求证：该二次函数图象与x轴一定有2个交点； (2)若，点，都在该二次函数的图像上，且，求n的取值范围； (3)当时，函数最大值与最小值的差为8，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． （1）利用一元二次方程判别式判断抛物线与x轴一定有2个交点即可证明结论； （2）先求出抛物线图像与x轴的交点为和，根据条件列出关于n的两个不等式组，最后解出n的范围即可； （3）根据条件得到抛物线的对称轴为直线，分三种情况讨论函数最大值与最小值的差为8，求出m值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的函数图像与x轴一定有2个交点． （2）解：∵， ∴． 令，则，即，， ∴函数图像与x轴交点为和两点． ∵点，都在该二次函数的图像上，且， ①，即， ②，即． 综上所述，或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ①若，即， 则当时，，当时，， ∴， ∴（舍去），（不符题意舍去）． ②若， 则当时，，当时，， ∵，不符合题意，舍去． ③若时， 则当时，，当时，， ∴，∴，（舍去）． 综上所述， ． 25．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）已知a，b，c为正整数，二次函数． (1)若，，且直线 与二次函数的图象及二次函数的图象均相切，求b，c的值； (2)当x取遍到1的所有实数时，y也恰好取遍到7的所有实数值，求二次函数的解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质的综合应用，解题的关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，本题难度极大． （1）根据直线与二次函数的图象及二次函数的图象均相切将直线解析式分别与两个二次函数解析式联立，利用△即可求出，的值； （2）对、的取值进行分类讨论，根据取遍到1的所有实数时，也恰好取遍到7的所有实数值即可求出二次函数的解析式． 【详解】（1），， ， 直线与二次函数和的图象均相切， 由得， ， ， 由得， ， ， ， 解得或， 又且、、为正整数， ， 的值为1，的值为3； （2），， 该二次函数开口向上， ①若，即时， ， ， （此时、不能同为整数，无解）； ②若，即， 将代入得， ， ， ， ， ， 只可取1，2，3， 当，不为整数，舍去， 当，，，可取， 当，不为整数，舍去， ③若，即， 此时， 将代入得， 又， ， ， 可取1，2，3， 当，不为整数，舍去， 当，时无解， 综上所述，只有当，，可取， 二次函数的解析式为． 26．（23-24九年级上·浙江·期中）新定义：我们把抛物线与抛物线其中称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为． (1)写出抛物线的函数表达式（用含的式子表示）　　，顶点坐标为 　　． (2)对于和，当时，求的取值范围． (3)若，当时，的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)； (2)当时，或；当时， (3)的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式；即可得顶点坐标为； （2）由，得，即，当时，，可得或；当时，，得； （3）求出当时，．当 时，；当 时，；分三种情况讨论：Ⅰ．当，即时，若，，若，，Ⅱ．当时，，Ⅲ．当时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式； ， 顶点坐标为； 故答案为：；； （2）， ， ， 当时，， 或； 当时，， ； 综上所述，当时，或；当时，； （3）， 当时，． 当 时，； 当 时，； 根据题意可知，需要分三种情况讨论： Ⅰ．当，即时， 若，即，则；， ， 解得或（舍或（舍； 若，即时，；， ， 解得或（舍或（舍； Ⅱ．当，即时，；． ， 解得（舍或（舍； Ⅲ．当，即时，，， ， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述，的值为或． 27．（2023·浙江杭州·一模）已知函数（a是常数，且）． (1)若点在二次函数y的图象上， ①求该函数的表达式和顶点坐标； ②若点和在函数的图象上，且，求的取值范围； (2)若函数y的图象过和两点，且当时，始终都有，求a的取值范围． 【答案】(1)①二次函数的表达式为，顶点坐标；②或 (2) 【分析】（1）①把代入解析式计算即可； ②先求出，再求出的解，即可根据得到的取值范围； （2）根据二次函数的增减性计算即可，注意分类讨论． 【详解】（1）①∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为 ∵ ∴顶点坐标； ②∵在函数的图象上， ∴， 当时，， ∵开口向下，且点和在函数的图象上，且， ∴或 （2）二次函数对称轴为直线， ∵当时，始终都有， ∴当时，随的增大而减小， 当时，在对称轴左边随的增大而减小，即 此时，解得； 当时，在对称轴右边随的增大而减小，即 此时，此不等式组无解； 综上所述，当时，始终都有，a的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 28．（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，． (1)若二次函数的图象经过A，C两点，求二次函数的解析式． (2)若二次函数图象与y轴正半轴有交点，试判断二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由． (3)若二次函数图象经过点C，设P为二次函数图象上的一个动点，当时，点P关于x轴的对称点都在直线的下方，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)二次函数的图象与x轴必有两个交点，理由见解析 (3) 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可； （2）根据二次函数图象与y轴正半轴有交点，得到，求出判别式的符号，即可得出结论； （3）根据题意，画出图形，利用数形结合的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过两点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为：． （2）二次函数的图象与x轴必有两个交点，理由如下： 令， 则， ∵二次函数图象与y轴正半轴相交， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点． （3）由二次函数图象经过点可得：， ∴． ∵为二次函数图象上的一个动点， ∴． ∵点关于轴的对称点的坐标为． ∴点在二次函数的图象上 ∴对于，当时，；当时，． ∵， ∴直线的解析式为， ∴当时，． ∵当时，点关于轴的对称点都在直线的下方， 结合图象可知：，即， 解得：． ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．解（3）要画出图象利用数形结合的思想解答． 29．（22-23九年级上·浙江丽水·期中）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为D． (1)分别求抛物线和直线的解析式； (2)请根据图像直接写出时x的取值范围； (3)将绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）把点、的坐标分别代入抛物线解析式、直线解析式，求得系数即可； （2）结合函数图像可以直接得到答案； （3）根据旋转的知识可得：，，由，，可得旋转后点的坐标为，可知抛物线过点，故可知将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点．于是得到平移后的抛物线解析式． 【详解】（1）解：把，代入，得，解得， 该抛物线解析式是：， 把，代入，得，解得， 该直线的解析式是； （2）解：由图像得到：当或时，二次函数的值大于一次函数的值； （3）解：如图所示： 设抛物线沿轴平移后的抛物线为，由（1）知，原抛物线解析式是， ，， ，， 旋转后点的坐标为，将其代入，即，解得， 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点， 平移后的抛物线解析式为：． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的图像的变换的知识点，熟练掌握图像变换等知识是解答本题的关键． 30．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为， (2)的取值范围为1 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的性质． （1）根据二次函数的对称性即可求得点坐标，再把点坐标代入解析式可求出的值； （2）根据二次函数的性质结合函数图象可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线，点坐标为， 点的坐标为， 把点坐标代入得，， 解得； （2）∵，二次函数的图象与轴交点为和， 当时，的取值范围为． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$