专题06 二次函数与一元二次方程（六大题型，55题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题06 二次函数与一元二次方程（六大题型，55题） 目录 题型一：求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二：求抛物线与y轴的交点坐标 2 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 4 题型四：抛物线与x轴的交点问题 6 题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 9 题型六：图象法确定一元二次方程的近似根 11 一、题型一：求抛物线与x轴的交点坐标 1．（2022九年级·浙江·专题练习）关于x的二次函数与x轴有两个交点，关于x的方程有两个非零实数根，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，若关于的一元二次方程有整数根，则的值有 个． 3．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知抛物线的 “特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)若此抛物线与轴交于，两点，求的长． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求： (1)、B、C三点的坐标； (2)设抛物线的顶点为D，求的面积． 7．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线， (1)当时，求抛物线与x轴交点坐标； (2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值； (3)若点，点在抛物线上，且．求n的取值范围． 10．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）已知抛物线的部分图象如图所示． (1)结合函数图象，写出当时，x的取值范围． (2)求该函数图象与x轴的交点和顶点所围成的三角形的面积． 二、题型二：求抛物线与y轴的交点坐标 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·浙江·二模）二次函数(，是常数，)的图象过点，下列选项正确的是(    ) A．若对称轴为直线，则 B．若对称轴为直线，则 C．若对称轴为直线，则 D．若对称轴为直线，则 13．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）抛物线与坐标轴的交点个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 14．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ． 15．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ． 16．（23-24九年级上·浙江·期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 17．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    18．（22-23九年级上·浙江杭州·开学考试）二次函数，其中，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有个交点；②当时，都有随的增大而增大；③若当时，都有随的增大而减小，则；④该函数图象与直线的交点不随的取值变化而变化，其中正确的结论序号是 ． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？ 20．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点． (1)求该函数的表达式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 三、题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 21．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（    ）    A． B． C． D．或 22．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若抛物线经过原点和点及点，点C是x轴上一点，当的重心G落在抛物线上时，则点G的坐标是 ． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为 ．    24．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 25．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 26．（2023·浙江·模拟预测）已知函数． (1)若，求对应x值； (2)若，求对应x的取值范围． 27．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知抛物线，点P是第一象限内抛物线上一个动点，作轴于点A，点B是第一象限内抛物线上的另一个点（点B在的右侧），且，作轴于点C．    (1)若点P的横坐标为2，求点B的坐标； (2)若点B关于的对称点恰好落在y轴上时，求的长． 28．（2022·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该二次函数上． ①当时，求的值； ②当时，的最小值为，求的取值范围． 29．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点，点． (1)求函数表达式． (2)当时，求x的值． 30．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数（是实数）． (1)当时，若点在该函数图象上，求的值． (2)已知 ，从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点，判断此时是否在该二次函数的图象上， (3)已知图像经过点，若，求的值． 四、题型四：抛物线与x轴的交点问题 31．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 32．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数（）图像上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是（    ）． x … 0 30 80 … y … 2 2 … A．， B．， C． D． 34．（2024·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 35．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，且当和时函数值都为，则与的等量关系为 ． 36．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（b，c是常数）的图像与轴交于两点． (1)若两点的坐标分别为，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最大值． (3)设一次函数（是常数），若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 37．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 38．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数． (1)若，求二次函数的对称轴和顶点坐标． (2)若二次函数图象向下平移个单位后，恰好与轴只有一个交点，求的值． (3)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 39．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线与动直线有公共点，，且． (1)求实数t的取值范围； (2)当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值． 40．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点．点C为抛物线与轴交点．点为抛物线上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．    (1)求，的值； (2)当点在抛物线上时，求的值； (3)当线段与抛物线有两个公共点时，直接写出的取值范围． 五、题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 41．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）规定：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标互为相反数，则称点为这个函数的“互反点”．若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“互反点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，曲线由抛物线与组成，其中两条抛物线交点的横坐标为3，过点作直线轴，当时，直线与曲线至少存在两个交点，则的最小值（    ） A．9 B．6 C． D． 43．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数（是常数且）自变量与函数值的部分对应值如表：且当时，对应的函数值，有以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③关于的方程有两个异号的实根，而且负实数根在和之间．其中正确的结论是（    ） 0 1 2 2 2 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 44．（23-24九年级上·浙江·期中）对于代数式，下列说法正确的是　　 ①存在实数、，使得； ②若存在实数、有，则； ③若，则存在实数、，且，使； ④若，则一定存在实数、有，则． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③ 45．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）关于x的方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．一个根 B．两个根 C．三个根 D．两个或三个根 46．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）设是实数，若抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是 ． 49．（22-23九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数，图象上部分点的坐标的对应值如下表所示，则方程的根是 ． x … 0 6 … y … 0.52 0.52 … 50．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ． 六、题型六：图象法确定一元二次方程的近似根 51．（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 52．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A． B． C． D． 53．（2022·河北廊坊·模拟预测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 54．（22-23九年级上·广西崇左·期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）． 55．（23-24九年级下·湖南岳阳·阶段练习）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 ． 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数与一元二次方程（六大题型，55题） 目录 题型一：求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二：求抛物线与y轴的交点坐标 10 题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 19 题型四：抛物线与x轴的交点问题 29 题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 40 题型六：图象法确定一元二次方程的近似根 50 一、题型一：求抛物线与x轴的交点坐标 1．（2022九年级·浙江·专题练习）关于x的二次函数与x轴有两个交点，关于x的方程有两个非零实数根，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，则图象是由向上平移1个单位所得，作出图象，通过抛物线与x轴的交点位置求解． 【详解】解：由可得， ∴为抛物线与x轴的交点横坐标， ∵图象是由向上平移1个单位所得， 如图， ∴，选项A正确， 由抛物线的对称性可得，选项D正确， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，选项C正确． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，将方程问题转化为图象交点的问题． 2．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，若关于的一元二次方程有整数根，则的值有 个． 【答案】3 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，掌握知识点是解题关键．抛物线的对称轴为，得到，解得．抛物线与x轴的一个交点为．得到．则，对称轴，最大值，得到顶点坐标为，解方程得或，则当时，抛物线始终与x轴交于与，有整数根，以及常函数直线，，结合图象进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴，解得． 又∵抛物线与x轴的一个交点为． 把代入得， 解得，． ∴， 对称轴，最大值 如图所示，    顶点坐标为 令 即 解得或 ∴当时，抛物线始终与x轴交于与 ∵有整数根，以及常函数直线，由 ∴ 由图象得当时，， 其中x为整数时，，，，，， ∴一元二次方程的整数解有5个． 又∵与，与关于直线轴对称 当时，直线恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有3个． 故答案为：3． 3．（22-23九年级上·浙江衢州·阶段练习）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知抛物线的 “特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题、等腰直角三角形的性质、坐标与图形，根据等腰直角三角形的性质可得该抛物线的顶点的横纵坐标相等或互为相反数，进而得到关于b的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：由得顶点坐标为， 令，由得，， ∴该抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∵抛物线的“特征三角形”是等腰直角三角形， ∴或，且， 解得或， 即的值为2或， 故答案为：2或． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 【答案】0和4 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程．解决问题的关键是画出图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 先确定二次函数与x轴和直线的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与的交点位置，判断两个根的大小范围即可求解． 【详解】解：由题意可知二次函数与x轴的交点分别为和， 与的交点分别为和， 设与的交点分别为和， ∵， ∴直线在x轴和直线之间， 如图所示： 由图可知，， 又，q都为整数， ∴，， 故答案为：0和4． 5．（23-24九年级上·浙江金华·期末）已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)若此抛物线与轴交于，两点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． （1）把二次函数的一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标； （2）解方程得点、的坐标为，，从而可得的长． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为； （2）当时，， 解得，， 点、的坐标为，， ． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求： (1)、B、C三点的坐标； (2)设抛物线的顶点为D，求的面积． 【答案】(1)，， (2)6 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与面积综合，一次函数解析式．熟练掌握抛物线与x轴的交点，二次函数与面积综合，一次函数解析式是解题的关键． （1）令，则，计算求解可得、B点的坐标；令，则，可得C点的坐标； ∴； （2）由，可得，记对称轴与相交于点M，如图，待定系数法求直线的解析式为，当，，即，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：∵， ∴， 记对称轴与相交于点M，如图，    设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当，， ∴， ∴， ∴ 的面积为6． 7．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）已知抛物线的对称轴为直线． (1)求的值； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（）由对称轴即可求解； （）令，解一元二次方程即可求解， 本题考查了二次函数的性质，二次函数与轴的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线为， 令， ∴， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数的图像经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)与轴的交点为， 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图像与轴的交点坐标、解一元二次方程等知识． （1）根据题意，利用待定系数法，将点代入表达式即可确定函数关系式； （2）由（1）中所求的表达式为，令，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：二次函数的图像经过点， ，解得， 二次函数的表达式为； （2）解：由（1）知二次函数的表达式为， 令，则，即，解得或， 二次函数图像与轴的交点坐标为，． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线， (1)当时，求抛物线与x轴交点坐标； (2)求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值； (3)若点，点在抛物线上，且．求n的取值范围． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点纵坐标的最大值为 (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，二次函数的最值问题，二次函数的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先求出抛物线解析式，再求出当时x的值即可得到答案； （2）先求出抛物线的解析式为，由此求出对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的性质求出顶点纵坐标的最大值即可； （3）由抛物线解析式为，则抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，由此可得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 当时，则，解得， ∴此时抛物线与x轴的交点坐标为； （2）解： ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 设， ∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴顶点纵坐标的最大值为； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点，点在抛物线上，且， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）已知抛物线的部分图象如图所示． (1)结合函数图象，写出当时，x的取值范围． (2)求该函数图象与x轴的交点和顶点所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的性质以及与不等式的关系，准确理解二次函数的性质以及会看图象是解决本题的关键． （1）结合二次函数的性质和图象解决即可． （2）结合二次函数的性质和图象解决即可． 【详解】（1） ∴对称轴是直线，顶点坐标是． 令 解得或， ∴与轴的交点坐标， ，开口向下， ∴时的取值范围为． （2）该函数图象与x轴的交点和顶点所围成的三角形的面积． 二、题型二：求抛物线与y轴的交点坐标 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向，与轴的交点个数，与轴的交点位置，特殊点，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下， ∴， 对称轴为直线， ∴， ∴， 抛物线与轴交于点，在正半轴上， ∴， ∴；故A选项错误； ∵图象与轴有两个交点，一个交点为， ∴；故B选项错误； ∴图象与轴的另一个交点坐标为：， ∴， ∴， ∴，故C选项错误； ∵，， ∴， ∴，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．从函数图象中有效的获取信息，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 12．（2023·浙江·二模）二次函数(，是常数，)的图象过点，下列选项正确的是(    ) A．若对称轴为直线，则 B．若对称轴为直线，则 C．若对称轴为直线，则 D．若对称轴为直线，则 【答案】C 【分析】先求得抛物线与轴交于，然后根据抛物线的对称轴求得对称点，根据抛物线对称轴的右侧的增减性即可求解． 【详解】解：由，当时，，即抛物线与轴交于 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，故A错误 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，故B错误 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即，故C正确 若对称轴为直线，则关于对称的点为， 又二次函数(，是常数，)的图象过点， 在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∴抛物线开口向下，即，故D错误 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）抛物线与坐标轴的交点个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】先求出时，的值，再求出时，的值，由此即可得出交点个数． 【详解】解：对于抛物线， 当时，，即与轴的交点为，有1个， 当时，，解得，即与轴的交点为，有1个， 综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论和两种情况即可求解． 【详解】解：①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意； ②当时，为二次函数， 若图象经过原点，则，解得：， 此时，，图象与轴还有一个交点，满足题意； 或函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得： ， 综上所述：或或； 故答案为： 或或 15．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴交点，待定系数法求函数解析式，注意分类讨论思想的应用． 先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线的解析式为，把点C坐标分别代入求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴点纵坐标为， 当时，， 解得：，， ∴， ∴， ∵， 当点C在线段上时， ∴，， ∴， 当点C在线段延长线上时， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， 解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 综上，的值为或． 故答案为：或． 16．（23-24九年级上·浙江·期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据轴上点的坐标特征，求自变量为0时的函数值即可． 【详解】把代入得， 所以抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 17．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．    【答案】或 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 18．（22-23九年级上·浙江杭州·开学考试）二次函数，其中，下列结论：①该函数图象与坐标轴必有个交点；②当时，都有随的增大而增大；③若当时，都有随的增大而减小，则；④该函数图象与直线的交点不随的取值变化而变化，其中正确的结论序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴，令，则，求得，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】解：， 对称轴为， 令，则， ∴， ①、该函数图象与坐标轴必有两个交点，此选项错误； ②、当时，随的增大而增大，此选项错误； ③、当时，即，随的增大而减小，此选项正确； ④、由，得出或，得出或， ∴或， ∴交点坐标为或， 说明该函数图象与直线的交点不随的取值变化而变化，故④正确． 故答案为：③④． 【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握对称轴的求法，抛物线与x轴的交点坐标判定，二次函数的增减性是解决问题的关键． 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质和分类讨论思想， （1）函数的图象与x轴有交点，即时，可求得与x轴的交点为和，当，方程有两个相等的实数根；当，方程有两个不相等的实数根，即可证明结论； （2）函数的图象与y轴的交点，即时，求得与y轴交点的纵坐标为，当，即可满足条件． 【详解】（1）证明：当时，， 解得：，． 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当时，， ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为， ∴当， 即时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方． 20．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点． (1)求该函数的表达式； (2)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标 【分析】（1）运用二次函数顶点式设二次函数解析式，将已知点坐标代入求解待定参数，从而确定解析式； （2）分别令，确定交点坐标． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为，抛物线过点，于是 ，解得， ∴． 即函数关系式为． （2）解：， 令，则，解得， ∴抛物线与x轴交点为． 令，则， ∴抛物线与y轴交点为． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，待定系数法，函数与方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键． 三、题型三：已知二次函数的函数值求自变量的值 21．（22-23九年级上·浙江宁波·期末）如图，抛物线（，为常数）经过点，点，点在该抛物线上，其横坐标为，若该抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为．则的值为（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】首先通过待定系数法求该抛物线的解析式及顶点坐标，再分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值即可． 【详解】解：将，分别代入得， 解得 ， ， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，抛物线顶点为最低点， ， 解得， 当时，点P为最低点， 将代入得， 解得(舍)，， 或， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的性质，二次函数与方程的关系，通过数形结合求解． 22．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若抛物线经过原点和点及点，点C是x轴上一点，当的重心G落在抛物线上时，则点G的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，三角形重心的性质，解题的关键是熟练掌握三角形重心的性质．先根据待定系数法求出抛物线的解析式为，然后根据重心的性质得出，最后代入抛物线解析式求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴的中点坐标， ∵为的重心， ∴， ∵点C在x轴上， ∴点C的纵坐标为0， ∴点G的纵坐标为：， ∵点G在抛物线上， ∴把代入得：， 解得：， ∴点G的坐标是：． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为 ．    【答案】3 【分析】根据题意可知当图象顶点在点M时，点A的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在N点时，点B的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】当图象顶点在时，点A的横坐标的最小值为， 则可设此时抛物线的解析式为：， 将点A的坐标代入得：，解得． 当图像顶点在时，点B的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：， 令，则，解得， 即点B横坐标的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点M时，点A的横坐标最大；当图象顶点在点N时，点B的横坐标最大． 24．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再化成顶点式即可求解； （）把代入得，，解方程得到，，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点式，二次函数的性质，利用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线为， ∴此抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入得，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，． 25．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，杭州亚运会上某运动员站在点O处练习发排球，将球从O点正上的A点处发出，把球看成点，其运行的路线近似看作是抛物线的一部分．已知球与O点的水平距离为时，达到最高，球场的边界距O点的水平距离为． (1)请确定排球运行的高度与运行的水平距离满足的函数关系式； (2)请判断排球第一次落地是否出界？请通过计算说明理由． 【答案】(1)函数关系式为 (2)排球第一次落地没出界，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先根据图象得出该抛物线顶点为，设，代入即可作答； （2）设第一次落地点为B，令，则，解方程即可求解． 【详解】（1）由题意可知：该抛物线顶点为， ∴， 把的坐标代入解析式，得， 解得， ∴函数关系式为； （2）没有出界，理由如下： 设第一次落地点为B，令，则， 解之得：（舍），， ∵， ∴排球第一次落地没出界． 26．（2023·浙江·模拟预测）已知函数． (1)若，求对应x值； (2)若，求对应x的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】（1）将带入及，解二元一次方程即可求解． （2）将时，带入和，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：将带入得：， 解得：， 将带入得：， 解得：，（舍去）， x值为：或． （2）当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：或， 综上所述：x的取值范围为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 27．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知抛物线，点P是第一象限内抛物线上一个动点，作轴于点A，点B是第一象限内抛物线上的另一个点（点B在的右侧），且，作轴于点C．    (1)若点P的横坐标为2，求点B的坐标； (2)若点B关于的对称点恰好落在y轴上时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作于点M，由解析式，可求，由等腰三角形三线合一，得，于是，解得 ，故B的坐标为； （2）由解析式，设，由轴对称知，于是，得，，B在的右侧，故，得． 【详解】（1）解：作于点M 当时， ∵轴，P的横坐标为2 ∴ ∵ ∴．    把代入得： 解得： ∵点B在AP的右侧 ∴点B的坐标为． （2）解：设，由题意得： ∵点P在抛物线上 ∴ 化简得：解得：， ∵点B在的右侧 ∴ ∵轴 ∴． 【点睛】本题考查函数解析式与方程的联系，一元二次方程求解，等腰三角形的性质，轴对称；理解函数与方程的联系是解题的关键． 28．（2022·浙江宁波·一模）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)点在该二次函数上． ①当时，求的值； ②当时，的最小值为，求的取值范围． 【答案】(1)该二次函数的解析式为. (2)①的值为或；② 【分析】（1）利用待定系数法求得即可； （2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即． 【详解】（1）设二次函数的解析式为， 把点代入得， 解得， ， 该二次函数的解析式为； （2）①时，则， 解得，； 故的值为或； ， 当时，函数有最小值， 当时，即时，有最小值， 故的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 29．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点，点． (1)求函数表达式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为1或3． 【分析】（1）把三个已知点的坐标代入中得到关于的方程组，然后解方程组得到抛物线解析式； （2）解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）当时，， 整理得：   解得 即x的值为1或3． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：已知函数值，求解函数自变量的值，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 30．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数（是实数）． (1)当时，若点在该函数图象上，求的值． (2)已知 ，从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点，判断此时是否在该二次函数的图象上， (3)已知图像经过点，若，求的值． 【答案】(1) (2)点在以C为顶点的二次函数图象上 (3) 【分析】（1）把代入得出函数解析式，再把的坐标代入函数解析式即可得出的值； （2）根据题意得出顶点坐标为，然后判断点C符合顶点坐标，最后验证点A是否在函数图象上即可； （3）根据两点关于坐标轴对称，令，即，解方程求得 【详解】（1）解：当时，， ∵点在该函数图象上， ∴； （2）解：由题意知，顶点坐标为， 当时，； 当时，； ∴三点中只有可以作为该二次函数图象的顶点， ∴二次函数为， 当x=2时，y=， ∴点在该二次函数图象上； （3）∵图像经过点，， 两点的纵坐标相等，则关于对称轴对称， 令，即， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 四、题型四：抛物线与x轴的交点问题 31．（22-23九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由题意得出一元二次方程有解，从而得出，，计算即可得出答案，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴一元二次方程有解， ∴，， 解得：，， 故选：D． 32．（22-23九年级上·浙江台州·期末）已知，则下列说法正确的个数是（   ） ①若的解集是，则； ②若，则二次函数的图象与轴始终有2个交点； ③若，则的解集是； ④若二次函数的图象上有两个点分别为，则方程的一个解为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． ①根据的解集，找到函数图象与轴的交点，将两个交点代入函数表达式，求得的值；②判断函数图象与轴的交点个数应判断的正负性，根据，计算，因为，所以图象与轴始终有两个交点；③将代入函数表达式，整理表达式可得，当时，并不能确定函数的正负性，所以并不符合题意；④将已知点代入函数表达式，求得函数表达式，将代入，可以发现此时，所以并不符合题意． 【详解】解：①若的解集是，则抛物线的开口应向下，且与轴的交点为， ∴函数可写作：， ∴即， ∴解得：；故①符合题意； ②若，则， ， ∴二次函数的图象与轴始终有2个交点，故②符合题意； ③若，则函数表达式为：， 整理可得：， 当时，不能确定正负号，故③不符合题意； ④将代入函数表达式，即 ，解得：， 即函数表达式为：， 将代入，解得：，故④不符合题意； 综上所述：符合题意的是：①②； 故选：B． 33．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数（）图像上部分点的坐标对应值列表如下：则关于x的方程的解是（    ）． x … 0 30 80 … y … 2 2 … A．， B．， C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和的值，从而可以得到和时对应的函数值都是，再将，代入函数解析式，整理可以得到方程，从而可以得到该方程的解． 【详解】解：由表格可知， 二次函数的对称轴是直线， 则和对应的函数值都是， 当时，，即， 当时，，即， 整理，得， 则方程的解是，， 故选：A． 34．（2024·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴可得，求出二次函数解析式为，令可得一元二次方程中两根的关系，可得两根之间的最大距离，根据，可得当或时，有最小值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，二次函数的对称轴为， ∴，且二次函数图象的开口向下， 把代入二次函数得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为：， ∴，即二次函数顶点坐标为， ∵， ∴当时，，即， ∴方程的两根的关系为：， ∴， ∴二次函数图象与直线的两个交点之间的距离为4，即的最大值为； 当时，是二次函数图象的顶点，即; ∵当时，总有， ∴或时，的最小值为； ∴的取值范围为：， 故选：C ． 35．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，且当和时函数值都为，则与的等量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．由“抛物线与轴只有一个交点“得出，即，其次，根据抛物线对称轴的定义知当和时函数值都为，得出最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】解：抛物线与轴只有一个交点， △， 即， 当和时函数值都为， ， ， 把，代入得， ， ， ， 故答案为：． 36．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（b，c是常数）的图像与轴交于两点． (1)若两点的坐标分别为，求函数的表达式及其图像的对称轴． (2)若函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最大值． (3)设一次函数（是常数），若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图像经过点时，求的值． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)0或1 【分析】（1）直接利用交点式写出抛物线解析式，然后利用对称轴方程求出抛物线的对称轴； （2）先把顶点式化为一般式得到，则，，所以，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先表示出，则，根据抛物线与轴的交点问题得到当时，或，即或，从而得到的值． 【详解】（1）二次函数的图象与轴的交点、的坐标分别为，， 抛物线解析式为， 即， 所以抛物线的对称轴为直线； （2）， ，， ， 当时，有最大值； （3），， ， 当时，或， 函数的图象经过点，， 时，， 即或， 或． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求抛物线解析式． 37．（2024·浙江·二模）已知二次函数． (1)证明该二次函数过一定点． (2)当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． (3)过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的范围为； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 （2）解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． （3）解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 38．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数． (1)若，求二次函数的对称轴和顶点坐标． (2)若二次函数图象向下平移个单位后，恰好与轴只有一个交点，求的值． (3)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】(1)函数的对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换； （1）将代入二次函数，再将二次函数化为顶点式即可得到答案； （2）根据二次函数平移的性质得到平移后的函数，再根据新函数与轴只有一个交点建立方程，解方程即可得到答案； （3）由题意可得为抛物线顶点，从而得到抛物线的对称轴为，从而计算出的值，再将，代入如抛物线的解析式得到，即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 二次函数为， ， 函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）二次函数图象向下平移1个单位后得， 与轴只有一个交点， ， 解方程得：； （3）抛物线过点，且对于抛物线上任意一点，都有， 为抛物线的顶点， 抛物线的对称轴为， ， ， 抛物线为：， ，在抛物线上， ，， ， ， ，是这条抛物线上不同的两点， ， ． 39．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线与动直线有公共点，，且． (1)求实数t的取值范围； (2)当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值． 【答案】(1) (2)时，c最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是： （1）两函数解析式联立方程组，可得出关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出，，利用完全平方公式变形可得出，代入方程①后，根据方程有解可求出t的取值范围，然后根据是非负数求出t的取值范围，即可求解； （2）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵与， ∴① 有实数根，，则，． ∴ 　 ② ②式代入①　　 ∴　 ∴ ∵t的取值应满足， ∴或， ∴t的取值范围为； （2）解：由②式知． 由于， 当时，c随着t的增大而增大， ∴当时，． 40．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点．点C为抛物线与轴交点．点为抛物线上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．    (1)求，的值； (2)当点在抛物线上时，求的值； (3)当线段与抛物线有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）把，代入，得到关于、的二元一次方程组，求得和，即可得到函数的解析式； （2）根据点与点的位置，由题意可知它们关于对称轴对称，从而求出的值； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标，线段与图象有两个交点，再结合图象，确定的取值即可； 【详解】（1）把，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴是： ， 轴，且点在抛物上， 点和点关于抛物线对称轴对称， ， 解得：； 的值为； （3）点的横坐标为， 点关于对称轴的对称点的横坐标为； ①当时， ， 解得：， ； ②当时， 此时，线段与抛物线有没有两个公共点； ③当时，只有一个交点，显然不符合题意； 当时， ， 解得：， ； 或； 五、题型五：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 41．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）规定：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标互为相反数，则称点为这个函数的“互反点”．若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“互反点”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式，根据恒有两个“互反点”，可得有两个不相等的实数根，推出，根据关于n的一元二次方程无解，即可求出的取值范围． 【详解】解：令得， 整理得， 由题意知，有两个不相等的实数根， ， 不等式成立， 关于n的一元二次方程无解， ， 整理得， 解得， 故选D． 42．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，曲线由抛物线与组成，其中两条抛物线交点的横坐标为3，过点作直线轴，当时，直线与曲线至少存在两个交点，则的最小值（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数得图象和性质，掌握待定系数法以及数形结合的思想方法是关键． 把代入两抛物线可求得a的值，即可得两个顶点式抛物线的解析式，再令抛物线的,可求出m的最大值。然后根据两个抛物线的顶点坐标确定直线与曲线至少存在两个交点应当，把代入即可求出． 【详解】解：两条抛物线交点的横坐标为3， 当时， ， ， ， 解得， ， ， 当时，， ， ，， ， 当时，直线与曲线至少存在两个交点， 的顶点坐标是， 时存在两个交点， ， ，， 的最小值是, 故选：C 43．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数（是常数且）自变量与函数值的部分对应值如表：且当时，对应的函数值，有以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③关于的方程有两个异号的实根，而且负实数根在和之间．其中正确的结论是（    ） 0 1 2 2 2 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的根等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当时，；当时， 对称轴为直线 和关于对称轴对称 ①正确； 当时，对应的函数值 当时， ，即抛物线的开口向下 时随的增大而增大 时随的增大而增大 ②正确； 当时，；当时，对应的函数值 抛物线与轴的一个交点在和之间 即方程有一个正根 对称轴为直线 抛物线与轴的另一个交点在和之间 即方程有一个负根 ③正确； 故选：D． 44．（23-24九年级上·浙江·期中）对于代数式，下列说法正确的是　　 ①存在实数、，使得； ②若存在实数、有，则； ③若，则存在实数、，且，使； ④若，则一定存在实数、有，则． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，二次函数与一元二次方程的关系，正确作差后因式分解是求解本题的关键．根据条件，因式分解后逐个判断． 【详解】解： ， ， ， 当时，， 存在实数、，使得， 故①正确； 如果，则或时，，， 存在实数、有，，的值不一定等于0， ②错误； 令， ， △， 抛物线与 轴有两个不同的交点， 存在实数、，且，使， ③正确． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故④正确． 故选：． 45．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）关于x的方程的根的情况，下列结论中正确的是（    ） A．一个根 B．两个根 C．三个根 D．两个或三个根 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握二次函数与反比例函数的性质是解答本题的关键．先判断的图象一定经过定点，然后画出和的图象，根据图象即可求解． 【详解】解：∵中，当时，；当时，， ∴的图象一定经过定点， ∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴函数图象的草图如下： 由图象可知，的图象与的图象总有三个交点， ∴于x的方程有三个交点． 故选C． 46．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）设是实数，若抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图形与性质，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解抛物线与直线的两个交点在抛物线对称轴的同侧是解题的关键．当时，求出抛物线与直线上对应点的纵坐标，并列出不等式求解，得到，根据抛物线与直线有两个交点，可列不等式并求解，得到，由此即得答案． 【详解】由题意，抛物线的顶点坐标为， 当时，， 抛物线与直线有两个交点，且这两个交点在抛物线对称轴的同侧， ， 解得， 令， 则， ， ， 解得， ． 故选C． 47．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）已知关于x的一元二次方程有一个根是，函数的图象顶点在第二象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程、解一元一次不等式等知识点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键．将代入可得，即；由，则；二次函数的图像的顶点在第一象限，则且，最后解不等式组即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根是， ∴，即， ∵， ∴， ∵二次函数 的图像的顶点在第二象限， ∴且， 将，代入上式得： ，解得． 故选：B． 48．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立方程， 当∆时，抛物线与直线有两个交点， 即， 解得， 此时，直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入得， 把代入得， ， 解得， 满足题意． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 49．（22-23九年级上·浙江台州·期中）已知二次函数，图象上部分点的坐标的对应值如下表所示，则方程的根是 ． x … 0 6 … y … 0.52 0.52 … 【答案】或 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，依据题意，对函数，结合表格可得，从而二次函数为，又方程的根可以看作是的根，即二次函数的函数值为时对应的自变量x的值即为所求． 【详解】解：由题意得，． ∴二次函数为． 又当时，函数值相同． ∴对称轴是直线． 又的根可以看作是的根，即二次函数的函数值为． 由时，， ∴方程的一个根是． ∴另一个根为． 综上，方程方程的根是或． 故答案为：或． 50．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 ． 【答案】或 【分析】由二次函数的部分图象过，对称轴为，可得点关于对称轴的对称点为，从而可得方程的根是或1，即可得方程的根满足或1，故方程的根是或． 【详解】解：由图可得，二次函数的图象过，对称轴为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴方程的根是或1， ∴方程的根满足或1， ∴方程的根是或． 故答案为：或． 六、题型六：图象法确定一元二次方程的近似根 51．（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 52．（22-23九年级上·安徽安庆·阶段练习）根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09 判断方程，，，为常数）的一个解x的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 53．（2022·河北廊坊·模拟预测）如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 【答案】D 【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意； 方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 54．（22-23九年级上·广西崇左·期末）抛物线如图所示，利用图象可得方程的近似解为 （精确到0.1）． 【答案】 或1.7 【分析】抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点分别是、， 又∵抛物线与x轴的两个交点，就是方程的两个根， ∴方程的两个近似根是 或1.7． 故答案为： 或1.7 【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题． 55．（23-24九年级下·湖南岳阳·阶段练习）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用． 作函数的图象，从而利用数形结合解得． 【详解】的根的个数即函数与的图象的交点个数， 由题意作函数的图象如图： 结合图象可知， 当过点或与相切时，两函数图象有三个交点， 将代入得 联立和得：， 则， 解得： 或 故答案为：或． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$