专题05 待定系数法求二次函数解析式-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题05 待定系数法求二次函数解析式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象与轴无交点 C．函数的最大值为5 D．当时，的值随值的增大而减小 2．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 3．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）在数学实践活动课中，某小组的四位同学对二次函数为常数，且的图象及其性质进行研究，分别得到如下结论： 小赵：该函数图象开口向上； 小钱：该函数的图象经过点； 小孙：该函数的图象经过点； 小李：该函数的图象的对称轴为直线． 若这四个结论中只有一个是错误的，则得到错误结论的同学是（     ） A．小赵 B．小钱 C．小孙 D．小李 二、填空题 4．（2024·浙江金华·二模）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且． （1） ． （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为．若，则t的取值范围为 ． 5．（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 三、解答题 6．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值； (2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3， ①用含b的代数式表示c； ②当时，y的取值范围是，求c的取值范围． 7．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 8．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）已知二次函数（为常数）的图象经过两点． (1)已知，求该二次函数的表达式． (2)当该二次函数图象经过点时． ①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)； ②若，求的取值范围． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线． (1)抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，求该抛物线的解析式； (2)设，当时；当时．已知时，． ①求的值； ②当时，求a的取值范围． 10．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 11．（2024·浙江·一模）已知二次函数（是常数，）． (1)若，求该函数图象顶点坐标； (2)若该二次函数图象经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式； (3)若，当时，的最大值记为，最小值记为，求的最小值． 12．（2024·浙江温州·一模）如图，直线分别交轴、轴于点，，抛物线经过点． (1)求点的坐标和抛物线的函数表达式； (2)若抛物线向左平移个单位后经过点，求的值． 13．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）二次函数（，且a，b为常数），当或时． (1)求m和b的值： (2)当时，，求a的取值范围： (3)若该二次函数图象经过点，且，证明：． 14．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与x轴只有一个交点，且经过和． (1)用含a的代数式表示m; (2)若点也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式． 15．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 16．（2024·浙江湖州·二模）已知二次函数． (1)若它的图象经过点和点． ①求该二次函数的表达式； ②当自变量的值满足时，求的取值范围． (2)若它的图象经过点，，，且，求的取值范围． 17．（2024·浙江杭州·二模）设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 18．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 19．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求a和b的关系式； (2)当时，函数y有最小值，求a的值； (3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 20．（2024·浙江温州·二模）设抛物线与直线交于点． (1)求，的值及抛物线的对称轴； (2)设，是抛物线上两点，且，在直线上． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 21．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 3 … (1)若， ① 求二次函数的表达式． ② 求不等式的解． (2)若在中只有一个为负数，求a的取值范围． 22．（2024·浙江温州·一模）已知抛物线的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 23．（2024·浙江台州·三模）已知二次函数图象的顶点坐标为． (1)若函数图象经过点，求这个函数的解析式． (2)若，求这个函数的解析式． (3)若a，b，c满足，，求S的取值范围． 24．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数的图象经过． (1)求证：； (2)若该函数图象不经过第四象限，求b的取值范围 25．（2024·浙江宁波·三模）设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … … y … n 1 p … (1)若时，求二次函数的表达式； (2)若当时，y有最小值为，求a的值； (3)若是函数图象上的点，若当时，，求a的值． 26．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，其中，； (1)若时， 二次函数图象经过点，两点中的一个点，求该二次函数解析式； 二次函数图象的顶点为，求的值； (2)当，，二次函数图象经过点，，求证：． 27．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 28．（2024·浙江丽水·一模）设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： (1)若时，求二次函数的表达式； (2)当时，有最小值为，求的值； (3)若，求证：． 29．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． (2)若，，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 30．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 待定系数法求二次函数解析式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（2024·浙江·模拟预测）下表是一个二次函数的自变量与函数值的4组对应值： … 1 2 4 … … 3 5 3 … 则下列说法正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象与轴无交点 C．函数的最大值为5 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数解析式，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据二次函数的图象与性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 将，，代入函数解析式得：， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象的开口向下，故A错误，不符合题意； 令，则， ∵， ∴函数图象与轴有交点，故B错误，不符合题意； ∵， ∴函数的最大值为，故C错误，不符合题意； ∴当时，的值随值的增大而减小，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为轴是解题的关键． 由题意可知对称轴为轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的， 得到的最小值为，无最大值． 【详解】二次函数的图象经过点，，， 对称轴为直线， ，， ， 把，代入得， 解得：． 当时，该函数有最大值和最小值， 时，取最大值， 时，取最小值， ， 又， 的最小值为，无最大值． 故选B． 3．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）在数学实践活动课中，某小组的四位同学对二次函数为常数，且的图象及其性质进行研究，分别得到如下结论： 小赵：该函数图象开口向上； 小钱：该函数的图象经过点； 小孙：该函数的图象经过点； 小李：该函数的图象的对称轴为直线． 若这四个结论中只有一个是错误的，则得到错误结论的同学是（     ） A．小赵 B．小钱 C．小孙 D．小李 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，利用二次函数图像的特征，根据题意逐一判断即可． 【详解】解：若该函数图象该函数的图象经过点，， 则， 解得：， 该函数图象开口向上；该函数的图象的对称轴为直线． 符合题意， 若小李的结论是正确的，则，即， ， 当函数的图象经过点，则，即； 当函数的图象经过点，则； 则小钱，小孙的结论都是错误的，不符合题意； 综上，小李的结论是错误的， 故选：D． 二、填空题 4．（2024·浙江金华·二模）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且． （1） ． （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为．若，则t的取值范围为 ． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点A坐标为代入，进行计算，即可作答． （2）根据“点P在抛物线的段上”进行分类讨论，然后根据部分图象的最低点和最高点到x轴的距离分别为，．若”，列方程计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且． ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图，由（1）得：，设， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ∴， 解得：，， ∴，， 当时，，即， 当时，最高点为，最低点为顶点， ∴， 即， 解得：，（舍去），，（舍去）， 当时，最高点为，最低点为顶点， ∴，即， 解得：（舍去），（舍去）， 当，最高点为，最低点为顶点， ∴， 当时，最高点为，最低点为点， ∴，即， 解得：（舍去），（舍去），（舍去）， 综上：t的取值范围为：或或． 故答案为：或或． 5．（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴，整理得： 因式分解可得： 解得：． 故答案为∶ ． 三、解答题 6．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知关于x的二次函数 (1)若该函数的图像与x轴的交点坐标是，求的值； (2)若该函数的图像的顶点纵坐标为3， ①用含b的代数式表示c； ②当时，y的取值范围是，求c的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，二次函数的性质等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）①把解析式化为顶点式求出顶点坐标，再根据顶点纵坐标为3进行求解即可；②分当时，当时，两种情况根据二次函数开口向上，离对称轴越远函数值越大进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴的交点坐标是， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为， ∵该函数的图像的顶点纵坐标为3， ∴， ∴； ②∵二次项系数大于0， ∴二次函数开口向上， ∵当时，y的取值范围是， ∴当时，， ∴或（舍去）， 则； 当时，或（舍去）， 综上：， ∴． 7．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； （2）解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； （3）解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 8．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）已知二次函数（为常数）的图象经过两点． (1)已知，求该二次函数的表达式． (2)当该二次函数图象经过点时． ①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①直线，；② 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数求最值等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）①该二次函数图象经过和可得对称轴为直线，进而得到，再采用配方法即可解答；②分和两种情况分别根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：把分别代入， 得，解得． 该二次函数表达式为． （2）解：①该二次函数图象经过和 对称轴为直线． ∴，解得：， ，最小值为．     ②当时，，符合要求； 当时，关于对称轴的对称点为， ，而在对称轴右侧，随的增大而增大． ， ． 故的取值范围是． 9．（2024·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线． (1)抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，求该抛物线的解析式； (2)设，当时；当时．已知时，． ①求的值； ②当时，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是解题的关键： （1）依题意，由抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2，从而可得两个交点为，，再将，代入，得，计算即可得解； （2）①依据题意，由，又当时，，可得的对称轴是直线 ，计算即可得解； ②依据题意，，代入得，再代入得，进而两式相减得，化简得，进而可以判断得解 【详解】（1）解：由题意，抛物线与直线两个交点的横坐标分别为和2， ∴把分别代入得，， ∴两个交点为，， 代入，得， 解得， 故． （2）解：①∵，且， ∴， 又当时，，所以y的对称轴是直线， ∴， ∴． ②∵， ∴， ∴． 代入得， 代入得， 两式相减得， 化简得， 故或． 10．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a， b，c是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与x轴有两个交点，，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，；当时，，求a的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质并准确计算是解题的关键． （1）根据，函数图象经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据题意得到二次函数开口向下，当时，函数值大于，建立不等式，对不等式进行变形，即可证明； （3）根据题意得到，函数图象在时取得最小值，即，以及，联立这三个式子求解，即可解题． 【详解】（1）解：，函数图象经过点和， ， 解得， 二次函数解析式为， 整理得， 函数图象的顶点坐标为：． （2）证明：， 二次函数开口向下， 函数图象与x轴有两个交点，，且， 当时，函数值大于， 即， ； （3）解：函数图象经过点， ①， 当时，；当时，， 函数图象在时取得最小值，即②， ， 在的左侧， 当时，，即③， 由①②③解得． 11．（2024·浙江·一模）已知二次函数（是常数，）． (1)若，求该函数图象顶点坐标； (2)若该二次函数图象经过三个点中的一个点，求该二次函数的表达式； (3)若，当时，的最大值记为，最小值记为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）将代入即可； （2）先将解析式因式分解为，后发现不可能经过点，，故经过，代入即可； （3）先根据题意用含的式子表示出，在用的式子表示，最后根据的取值范围即可求出其最小值． 【详解】（1）解： 该函数图象顶点坐标为； （2） 当时，，故不过点 当时，，故不过 过点 将点代入得 ； （3） 对称轴为 ，抛物线开口向下 时，的最大值记为，最小值记为 时， 时， 当时，有最小值，为． 12．（2024·浙江温州·一模）如图，直线分别交轴、轴于点，，抛物线经过点． (1)求点的坐标和抛物线的函数表达式； (2)若抛物线向左平移个单位后经过点，求的值． 【答案】(1)点的坐标为，； (2)，． 【分析】（）由题意可得点、的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答； （）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再把的坐标代入求解即可； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由可知，令，则， ∴点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为， 代入抛物线的表达式，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）由（）得， ∴平移后的抛物线为，将点代入，得， 解得，． 13．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）二次函数（，且a，b为常数），当或时． (1)求m和b的值： (2)当时，，求a的取值范围： (3)若该二次函数图象经过点，且，证明：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的综合问题． （1）利用待定系数法求解即可； （2）代入，由，得到关于a的不等式，求解即可； （3）将代入，根据和求解即可． 【详解】（1）解：时，，当时，， 解得：； （2）解：由（1）得二次函数解析式为， ∵当时， ∴ ∴ （3）解：∵二次函数经过，且， ∴， ， 即， ， ． 14．（2024·浙江宁波·一模）若二次函数与x轴只有一个交点，且经过和． (1)用含a的代数式表示m; (2)若点也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式． 【答案】(1) (2)二次函数的解析式为或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题； （1）根据和得出对称轴为直线则，即可求解． （2）根据题意得出与关于对称轴对称，则，根据二次函数与x轴只有一个交点得出，即可求解． 【详解】（1）由可得， 对称轴为直线 （2）当时， 由对称轴直线可知， 与关于对称轴对称 ∵二次函数与x轴只有一个交点 ∴二次函数的解析式为或 15．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 【答案】(1)①；②12 (2)见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得a即可解得；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可． 【详解】（1）解：（1）①将代入可得，解得：， ∴该二次函数的表达式为； ②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∴，解得：， ∴， ∴． （2）解：∵设点，是该函数图象上的两点， ∴ ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即． 16．（2024·浙江湖州·二模）已知二次函数． (1)若它的图象经过点和点． ①求该二次函数的表达式； ②当自变量的值满足时，求的取值范围． (2)若它的图象经过点，，，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用是关键． （1）①将和点代入，利用待定系数法即可求解； ②由题意可知，再根据增减性即可求解； （2）依据题意，可得对称轴是直线，在结合图象过点，又经过点，，，且，依据点与对称轴的距离进而可以计算得解． 【详解】（1）解：①将点和点代入， 得：，解得：， ∴该二次函数的表达式为； ②∵， ∴当时，；当时，；当时，； 则当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∴当时，； （2）∵图象经过点，，， ∴对称轴是直线， 当时，，即图象经过点， ∵，即抛物线开口向下， ∴在对称轴直线左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧是随的增大而减小． ∵图象经过点，，且， ∴，，在对称轴直线的左侧或两侧． ①当，在对称轴直线的左侧， ∵也在对称轴直线的左侧，且， ∴， ∴； ②，在对称轴直线的两侧， ∴在左侧，，在右侧． ∵，离对称轴越近，函数值越大 ∴， ∴； 综上，或． 17．（2024·浙江杭州·二模）设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 【答案】(1) (2)该函数图象的对称轴：直线，最小值 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）把已知点的坐标代入中求出的值，从而得到二次函数解析式； （2）把化为顶点式即可． （3）把代入解析式得，且满足，即可求出a的值. 【详解】（1）解：因为函数图象经过点，所以可得：， 解得：，， 因为，所以， 所以． （2） ， 该函数图象的对称轴：直线，最小值． （3）∵函数图象经过点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 18．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入，计算求解即可；②由题意知，，则图象开口向上，对称轴为直线，进而可得当时，y随x的增大而增大； （2）由点在二次函数的图象上，可得，将点代入得，进而可得． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴a的值为； ②解：由题意知，， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大； （2）证明：∵点在二次函数的图象上， ∴， 将点代入得， ∴． 19．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求a和b的关系式； (2)当时，函数y有最小值，求a的值； (3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)5 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． （1）将点代入，即可求得a和b的关系式； （2）根据第（1）问得到的结果，二次函数即为，对称轴为直线，分别讨论当时，对称轴直线在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出；当时，在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出； （3）若时，则二次函数为，平移后的解析式为，设，则，则，可求出、坐标，代入即可求出m． 【详解】（1）∵ 的图象经过点． ， ； （2）∵ 对称轴为直线， ①当时，对称轴直线在范围内， 当时，函数取得最小值，即， ， ②当时，在范围内， 当时，函数取得最小值，即， ， 或 （3）若时，则二次函数为，将函数图象向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为， 设，则． ， ， ，， 将或代入，得， 解得． 20．（2024·浙江温州·二模）设抛物线与直线交于点． (1)求，的值及抛物线的对称轴； (2)设，是抛物线上两点，且，在直线上． ①当时，求的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)①4；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，把分别代入和，即可求出，，从而求得抛物线的对称轴； （2）①依据题意，由和关于对称，且，从而和到对称轴的距离都为1，可得，，又将代入抛物线解析式，可得，再由直线为，即可得解； ②依据题意，可得，故，再结合，故可得，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，把分别代入和， ，． 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①和关于 对称，且， 和到对称轴的距离都为1， ，． 又将代入抛物线解析式， ． 又直线为， ． ②由题意，， ． ， ． ，即． 21．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 3 … (1)若， ① 求二次函数的表达式． ② 求不等式的解． (2)若在中只有一个为负数，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）①根据题意，根据表格数据可得对称轴是直线，设二次函数表达式为，再代数求值即可； ②根据题意得到的解就是函数的图像在轴下方对应的自变量取值范围，即可得到答案； （2）根据题意，对称轴是直线，故可分和两种情况进行分析． 【详解】（1）解：根据表格数据可得对称轴是直线， ①设二次函数表达式为， 又过，， ， ， 二次函数的表达式为； ②由①令， ， 或， 抛物线与轴交于，又抛物线开口向上， 不等式的解就是函数的图像在轴下方对应的自变量取值范围． 等式的解为； （2）解：由题意得，对称轴是直线， ①当时，当时，随的增大而增大， ， ， 在中只有一个为负数， ， 且， 对称轴，即， ，且， ； ②当时，当时，随的增大而减小， ， ， 在中只有一个为负数， ， 且， 对称轴，即， ，且， ； 综上，或． 22．（2024·浙江温州·一模）已知抛物线的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据二次函数的最值得到当时，函数的最大值为．再结合二次函数图像，二次函数增减性，以及，得到当时，最大值在处取得，最后根据二次函数性质即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得； 将代入，得到，解得， 所以函数解析式为． （2）解：当时，， ，可知函数顶点为， 即当时，函数的最大值为． ∴ ， ∴， ∴时函数值都是 当时，最大值在处取得， 的取值范围为． 23．（2024·浙江台州·三模）已知二次函数图象的顶点坐标为． (1)若函数图象经过点，求这个函数的解析式． (2)若，求这个函数的解析式． (3)若a，b，c满足，，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及不等式的性质． （1）设二次函数的解析式为．将代入求解，即可解题； （2）根据题意可知图象经过点，把代入求解，即可解题； （3）设二次函数解析式为．根据题意可知当时，．据此建立不等式求解，得到的取值范围，进而可得S的取值范围． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 由题意得，． 把代入，得． ． （2）解： ， 图象经过点． 把代入，得． ． （3）解：设二次函数解析式为． ， 即当时，． ． ． ， ． 24．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数的图象经过． (1)求证：； (2)若该函数图象不经过第四象限，求b的取值范围 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图形与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）把点代入二次函数即可； （2）利用数形结合思想，因为开口向上，可知当函数对称轴小于零或x轴上方时，函数图象不经过第四象限，即可求出b的取值范围． 【详解】（1）证明：把点数代入得， ∴． （2）由（1）可知，， 二次函数解析式为 函数图象不经过第四象限， ， ． 25．（2024·浙江宁波·三模）设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … … y … n 1 p … (1)若时，求二次函数的表达式； (2)若当时，y有最小值为，求a的值； (3)若是函数图象上的点，若当时，，求a的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求二次函数表达式即可； （2）设，由抛物线过可得，即，然后分和分两种情况分别运用二次函数的性质进行解答即可； （3）分和分两种情况分别运用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得：，解得：， ∴； （2）解：设， ∵经过， ∴， ∴， ∴， ①若时，当时，， ，解得：， ②若时，当时，， ，解得， ∴综上所述：或； （3）解：若时，当时，， ∴， ∴， 若时，当时，；当时，， ∵表格中当时，， ∴不符合题意； ∴综上所述：． 26．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，其中，； (1)若时， 二次函数图象经过点，两点中的一个点，求该二次函数解析式； 二次函数图象的顶点为，求的值； (2)当，，二次函数图象经过点，，求证：． 【答案】(1)该二次函数解析式；； (2)证明见解析． 【分析】（）根据，进行排除即可； 先把，再根据顶点为求出即可； （）由，，得二次函数，由二次函数图象经过点，则，，然后由即可； 本题考查了二次函数的图象及性质，解分式方程，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 若二次函数图象经过点， 则，无解， 若二次函数图象经过点， 则，解得：，经检验是原方程的解， ∴该二次函数解析式； 由， ∴顶点坐标为， ∵二次函数图象的顶点为， ∴，解得， ∴； （2）解：∵，， ∴二次函数， ∵二次函数图象经过点，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 27．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解． （2）利用根与系数的关系即可判断； （3）求得直线的解析式为，即可得到抛物线的顶点在直线上，分别求得抛物线过、点时的的值，结合图象即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线顶点坐标为． （2）证明：由题意可知，，是方程，即的两个根， ，， ． 是个定值． （3）解：设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 直线解析式为． 抛物线顶点坐标为， 抛物线的顶点在直线上， 当时，抛物线与线段有1个交点，当时，抛物线与线段有2个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 综上所述，该二次函数图象与线段只有一个交点，的取值范围是或． 28．（2024·浙江丽水·一模）设二次函数（，是常数），已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： (1)若时，求二次函数的表达式； (2)当时，有最小值为，求的值； (3)若，求证：． 【答案】(1)； (2)或； (3)证明见解析． 【分析】（）利用表格数据以及待定系数法求解即可； （）由表可知，抛物线经过两点，进而得到抛物线的对称轴为直线,则，即，再分和两种情况解答即可； （）利用二次函数的解析式求出，结合二次函数的对称轴进而得到，利用一次函数的性质即可求证； 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由表可知，抛物线经过两点， ∴当或时，, ∴抛物线的对称轴为直线, ∴，即， ∴ ∵当时，y有最小值为， ∴①当，时，函数有最小值， ∴，解得：； ②当，则或时，函数y取得最小值， ∴，； 综上，的值或． （3）证明：由表和二次函数可得， ，，， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的值随的减小而增大， ∴当时，，即． 29．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴． (2)若，，求b的取值范围． (3)已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，作差法比较大小等，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征和不等式的基本性质． （1）当时，用待定系数法可得二次函数的表达式为；即可得函数图象的对称轴为直线； （2）当时，可得，又，故，得； （3）由，可得，又，即可知且；求出，用作差的方法可得到答案． 【详解】（1）解：当时，把和代入得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； ∵， ∴函数图象的对称轴为直线； （2）当时，， 把和代入得：， ， ， 解得， ∴的取值范围是； （3）把和代入得： ， ， ， 或， ， 或，无解； 或； 把代入， 得：， ， ， ． 30．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 的图象经过点． (1)求二次函数的函数表达式； (2)当 时， ①若 求 的取值范围； ②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值． 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）运用待定系数法求解析式即可； （2）①先表示出，，由得到或，当时，有，解得：，则，可得，故；当时，有，解得：，故，因此可求，综上所述，；②将点代入，得：，求出，将代入①可得：，求出m关于的二次函数，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入， 得：， 解得：， ∴二次函数的函数表达式； （2）①解：∵， ∴， 而二次函数，且过点， ∴，， ∵ ∴或， 当时，有 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， ∴， 当时，有， 结合图像化简得：， 解得：， ∴， 此时， ∴， 综上所述，； ②将点代入， 得：， 由②①得：， ∴， 将代入①可得：， ∴， ∴，m取得最大值为4． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，二次函数与一元二次方程的关系，借助于图像求解集，难度较大，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$