专题03 二次函数图象与系数的关系（五大题型，40题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题03 二次函数图象与系数的关系（五大题型，40题）（原卷版） 目录 题型一：二次函数图象与各项系数符号 1 题型二：一次函数、二次函数图象综合判断 3 题型三：反比例函数、二次函数图象综合判断 6 题型四：两个二次函数图象综合判断 8 题型五：根据二次函数的图象判断式子符号 10 一、题型一：二次函数图象与各项系数符号 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点，则下列表述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·浙江·一模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．若抛物线经过点，则必过点 B．若点和都在抛物线上，则 C． D． 4．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 5．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和，则直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线经过点，，其中为互不相等的实数，则下面判断不正确的是（    ） A． B．对称轴为直线 C． D． 8．（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中的x与y的部分对应值如表．当时，给出下列四个结论：①；②当时，y的值随x的增大而增大；③；④．其中结论正确的个数是（    ） x 0 3 y n 3 3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数的图像如图，有下列4个结论：①；②；③；；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2023·湖北武汉·模拟预测）二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列结论： ①； ②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点； ③若，关于的不等式的解集为； ④若，点，在该抛物线上，当实数，． 其中正确的结论是 ． 二、题型二：一次函数、二次函数图象综合判断 11．（2024·浙江嘉兴·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   12．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 13．（2023·浙江台州·二模）已知抛物线与直线的交点横坐标分别记为，，下列描述不正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数和函数 (k是常数，且) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   15．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   16．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 17．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（其中在的左侧），与轴交于点．有一直线过，C两点． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)点关于轴的对称点为，若过点的直线与抛物线在轴上方（不含轴上的点）的部分无公共点，结合函数图象，求的取值范围． 18．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数，的图象在同一平面直角坐标系中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求t的值． (2)求这两个函数图象的交点的横坐标． (3)已知当时，，求的取值范围． 19．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点．    (1)求，的值． (2)利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点C是直线上的一个动点，将点C向右平移3个单位长度得到点D，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点C的横坐标的取值范围． 三、题型三：反比例函数、二次函数图象综合判断 21．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）已知a为实数，下列命题： ①若，则；②若，则；③若，则或．其中真命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 22．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（　　） A． B． C． D． 23．（23-24九年级上·贵州黔南·开学考试）已知在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致可能是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24九年级下·江西南昌·开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 四、题型四：两个二次函数图象综合判断 26．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 27．（22-23九年级下·浙江·开学考试）已知二次函数（a，b为常数，）． (1)若，求二次函数的顶点坐标． (2)若，设函数的对称轴为直线，求k的值． (3)点在函数图象上，点在函数图象上，当，时，试比较m，n的大小． 28．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 29．（2023·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 30．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 五、题型五：根据二次函数的图象判断式子符号 31．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①若时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 32．（2024·山东青岛·一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 33．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 34．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤ 35．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线且过点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．（m为实数） 36．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号） 37．（23-24九年级上·浙江温州·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．    38．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知二次函数的图象如图，①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填序号）． 39．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，二次函数（为常数，且）的图象过点，对称轴为直线，且，给出下列结论：①；②；③；④，为任意实数；⑤．其中正确的是 ．（填序号即可） 40．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若时，图象经过点，求二次函数的表达式． (2)写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数图象与系数的关系（五大题型，40题） 目录 题型一：二次函数图象与各项系数符号 1 题型二：一次函数、二次函数图象综合判断 11 题型三：反比例函数、二次函数图象综合判断 21 题型四：两个二次函数图象综合判断 26 题型五：根据二次函数的图象判断式子符号 35 一、题型一：二次函数图象与各项系数符号 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象过点．下列结论中一定正确的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求与的关系．由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下， ， 当时，，由图象可知交轴正半轴一点， ， 对称轴在轴右侧， ， ， ， ， 即，，， ①正确； ②图象过点， 将代入中有， 时，， ， ， ， ， ②正确； ③对称轴为直线， ， ， ， ③错误； ④，， ，即， ， 时，， ， ，， ， ， ， ④正确； 即①②④正确，共个． 故选：C． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数的图象过点，则下列表述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】将代入，得到，进而得到当时，，当时，，当时，，当时，，即可判断， 本题考查了二次函数的性质，解题的关键是：根据分情况讨论． 【详解】解：∵的图象过点， ∴，整理得：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴、、错误，不符合题意，、正确，符合题意， 故选：． 3．（2024·浙江·一模）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．若抛物线经过点，则必过点 B．若点和都在抛物线上，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断、、的符号，然后再根据两根关系和抛物线与的交点情况逐项判定即可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：A、由图象可知，抛物线对称轴为直线，若经过点，则经过点，故选项不符合题意； B、由图象可知，图象开口向下， ∴， 由离对称轴越近的值越大， ∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵抛物线对称轴为直线，且过点， ∴与的另一个交点为， ∴，故选项不符合题意； D、∵抛物线的顶点为，且经过点，， ∴代入抛物线得：，则， ，则， 由得：，故选项符合题意； 故选：D． 4．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意； B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意； C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意； D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意． 故选D． 5．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和，则直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与各项系数的关系，一次函数的性质等知识，由题意可知m，n为一元二次方程的两个实数根，且，根据根与系数的关系可知，，即 ，，再进行对和分类讨论得出，即可根据一次函数的性质求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和 ∴m，n为一元二次方程的两个实数根，且， ∴，， ∵， ∴，， 即 ，， ∴， 当时，则，，则，则， 当时，则，，则，则， ∴当时，总有，， ∴直线一定经过一、二、三象限，一定不经过第四象限， 故选：D． 6．（2024·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，，是常数，）的图象经过点，且对任意的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据当时，，，得出当时，再根据图象经过点．得出，，再根据对任意实数，恒有，即恒成立，整理得 ，然后由判别式，求出的值，从而得出结论，解题的关键熟练掌握知识点的应用． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵， ∴当时，， 即， ∴时，， ∵图象经过点， ∴当时，， 即，， 解得：，， ∵对任意实数，恒有， ∴恒成立，即， ∴，即， 解得：， 此时， ∴抛物线的表达式为， 故选：． 7．（2024·浙江·模拟预测）已知抛物线经过点，，其中为互不相等的实数，则下面判断不正确的是（    ） A． B．对称轴为直线 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．利用二次函数的对称性即可判断B、C；根据二次函数的增减性即可判断A；无法判断的符号，即可判断D． 【详解】解：抛物线经过点，，， 、关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线，故正确，不合题意； ，在对称轴的右侧，随的增大而减小， 抛物线开口向下，，故A正确，不合题意； 抛物线与轴的交点为，， ， ，故C正确，不合题意； 无法确定的符号，故D不正确，符合题意． 故选：D 8．（22-23九年级上·浙江台州·期末）二次函数（a，b，c为常数，）中的x与y的部分对应值如表．当时，给出下列四个结论：①；②当时，y的值随x的增大而增大；③；④．其中结论正确的个数是（    ） x 0 3 y n 3 3 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由，，得出，把代入，得出，即可判断④． 【详解】解：由表格可知过，点， ∴对称轴为直线， ， ，故④正确； ， 函数图象开口向下，当时，y随x的增大而增大， ， ， ，故①正确； ， ∴当时y随x的增大而减小，故②错误； ，， ，代入得： ， ∴，故③正确． 综上，正确的结论有3个． 故选：C． 9．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数的图像如图，有下列4个结论：①；②；③；；④；其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可得的符号及与的关系，函数图像与轴有两个交点，由图像可得时，时函数取最大值，逐一分析判断各结论即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，故结论①正确； ∵抛物线与轴有2个交点， ∴，即，故结论②错误； 由图像可知，当时，， 又∵， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵当时，可有， 当时函数值为， 又∵时函数取最大值， ∴，即，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①③④，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系． 10．（2023·湖北武汉·模拟预测）二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列结论： ①； ②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点； ③若，关于的不等式的解集为； ④若，点，在该抛物线上，当实数，． 其中正确的结论是 ． 【答案】②④ 【分析】先由题意画出图象，再根据图象与系数的关系求解． 【详解】解：当时，如图，当时，如图， ①∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴，即：，故①是错误的； ②当时，，即：， ∴， ∴有两个相等的实数根， ∴过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点，故②是正确； ③∵与轴相交于，对称轴为， ∴与轴相交于，对称轴为， ∴与轴相交于，， ∴的解集为：，即∶，故③是错误的； ④当时，如所示， 当时，， ∴时，，故④是正确的； 故答案为：②④．    【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 二、题型二：一次函数、二次函数图象综合判断 11．（2024·浙江嘉兴·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象与性质，根据点，，特征逐项判断即可，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，关于原点对称， ∴选项、排除， ∵，， 则当时，则 ， ∴在第一象限内，随的增大而减小， ∴选项符合题意， 故选：． 12．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数解析式和函数图象之间的关系，掌握函数解析式的系数和函数图象之间的关系即可解题．根据一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交，得到a的正负与，即可判断二次函数的图象． 【详解】解：∵一次函数（，a，b是常数）的图象经过点，且与y轴正半轴相交， ，， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 故选：A． 13．（2023·浙江台州·二模）已知抛物线与直线的交点横坐标分别记为，，下列描述不正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、与一次函数图象的交点特征，依据题意，根据各选项的已知条件即可分析得解． 【详解】解：当时，抛物线与直线相交可得方程， 化简可得． ，． ． ， ． ， ． 即． A正确． 当时，可得方程， 化简可得． ，． ． B正确． 当时，即，则可得方程， 化简可得． ，． ． ， ． ． C错误． 当时，即，则可得方程， 化简可得． ． ． D正确． 故选：C． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数和函数 (k是常数，且) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分和两种情况，分别根据一次函数和二次函数的图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象过一、二、三象限，抛物线开口向下，B选项不符合； 当时，一次函数的图象过二、三、四象限，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，A选项符合，C、D选项不符合； 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 15．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据各选项图象判断的取值范围求解即可得到答案． 【详解】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意； D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系． 16．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为 ． 【答案】或5/5或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可． 【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵一次函数经过，一次函数经过． ∴， 当时， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴， 此时； 当时，，， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴， 此时； 故答案为：或5 17．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与轴交于，两点（其中在的左侧），与轴交于点．有一直线过，C两点． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)点关于轴的对称点为，若过点的直线与抛物线在轴上方（不含轴上的点）的部分无公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线的表达式为，抛物线表达式为 (2)或 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数图象的特征，关键是画出二次函数和一次函数的图象，利用数形结合的思想进行讨论． （1）令，求出方程的解即可得到点A和点B的坐标，令，则，得到点坐标为，根据直线过，C两点和待定系数法求出，的值即可； （2）根据点与点关于轴对称，从而求出点坐标，再根据过点的直线与抛物线在轴上方不含轴上的点的部分无公共点，结合图象，求出的取值范围． 【详解】（1）解：令，则， ， ， 解得：，， 在的左侧， 点坐标为，点坐标； 令，则， 点坐标为， 直线过，两点， ， 解得：， 点坐标为， ∴直线的解析式为， 抛物线解析式为； （2）∵点坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 直线过点， ， 过点的直线与抛物线的图象如图所示：   当直线过点，时， 把代入得，， 解得：， 当直线过点，时， 把代入得，， 解得：， 根据一次函数的性质，若过点的直线与抛物线在轴上方不含轴上的点的部分无公共点， 则的取值范围为：或． 18．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数，的图象在同一平面直角坐标系中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求t的值． (2)求这两个函数图象的交点的横坐标． (3)已知当时，，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2)0，1 (3) 【分析】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，熟练掌握待定系数法及其性质是解题关键． （1）将代入，点代入，即可求解； （2）令，求解即可； （3）根据题意得出当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，点代入， 得 ∴； （2）令， 得， 解得， ∴这两个函数图象的交点的横坐标为0，1． （3）∵这两个函数图象的交点的横坐标为0，1，， ∴当时，， ∵当时，， ∴， ∴． 19．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象交于点和点．    (1)求，的值． (2)利用函数图象，求当时自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的图像与性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将代入中求出值，则，当时，，解该方程即可求出； （2）根据图像即可求解． 【详解】（1）解：将代入中得： ， 解得：， ， 当时，， 解得：，， ， 所以：，； （2）由图像得：当时，自变量的取值范围是：． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； (3)点C是直线上的一个动点，将点C向右平移3个单位长度得到点D，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点C的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，． (2)或． (3) 或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）求出点B的坐标为，再观察函数图象即可． （3）分类讨论：当点C在线段上的点时，当点C点B右侧时，当点C在点A左侧时，分情况求解即可． 本题考查了二次函数综合应用，一次函数的图象及性质，二次函数的图象和性质等知识，数形结合和分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得：， 将点A的坐标代入得：，解得； 故，． （2）由（1）得，直线和抛物线的表达式分别为：，， 联立上述两个函数表达式得到， ， 解得或， 即点B的坐标为， 从图象看，不等式 的解集为或． （3）当点C在线段上的点时，， ∵A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即； 当点C点B右侧时，与抛物线没有公共点； 当点C在点A左侧时，，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点， 综上所述， 或 ． 三、题型三：反比例函数、二次函数图象综合判断 21．（22-23九年级下·浙江宁波·阶段练习）已知a为实数，下列命题： ①若，则；②若，则；③若，则或．其中真命题的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】借助函数图象，先确定出三函数图象的交点坐标为，再根据二次函数与不等式组的关系求解即可． 【详解】解：对于函数和， 当时，三个函数的函数值都是1， 所以，交点坐标为， 根据对称性，和在第三象限的交点坐标为， 画出三个函数的图象如图， ①如果，那么，故①正确； ②如果时，那么，故②正确； ③如果，那么或，故③正确； 综上所述，真命题是①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数、一次函数与不等式组的关系，命题与定理，求出两交点的坐标并准确识图是解题的关键． 22．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程的实根所在的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意推断方程的实根是函数与函数的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程的实根所在的范围． 【详解】根据题意推断方程的实根是函数与函数的图象交点的横坐标，这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限． 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方． ∴方程的实根所在的范围是：． 故选：B． 【点睛】本题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，解题的关键是要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 23．（23-24九年级上·贵州黔南·开学考试）已知在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查考查二次函数和反比例函数与系数的关系，正确判断函数的图像和系数的关系是解题的关键；根据二次项系数决定抛物线的开口方向，，共同决定了对称轴的位置，常数项决定了抛物线与轴的交点位置，根据反比例函数图像判断系数即可求解； 【详解】解：根据二次函数图像可知：，，则，二次函数交轴正半轴，故， 反比例函数过二，四象限，故； 则一次函数，， ，则 故一次函数过一，二，三象限； 故选：C 24．（23-24九年级下·江西南昌·开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，反比例函数的图象，一次函数的图象，先根据二次函数的图象判断出的符号，进而可判断出一次函数与反比例函数图象所在的象限，先根据二次函数的图象判断出的符号是解答此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， ． 抛物线与轴的交点在轴正半轴， ． 抛物线的对称轴在轴正半轴， ， ， 一次函数的图象经过一二四象限，反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限， 故选：C． 25．（2024·山东滨州·三模）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定，，，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可． 【详解】∵二次函数的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点， ∴，， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C； 由二次函数的部分函数图象可知，点在x轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限， 据此可知，符合题意的是B， 故选：B． 四、题型四：两个二次函数图象综合判断 26．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意； B．图像开口向上，故此选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意； D．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小． 27．（22-23九年级下·浙江·开学考试）已知二次函数（a，b为常数，）． (1)若，求二次函数的顶点坐标． (2)若，设函数的对称轴为直线，求k的值． (3)点在函数图象上，点在函数图象上，当，时，试比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时，；当时， 【分析】（1）将代入抛物线解析式求出解析，再化成顶点式即可求得； （2）把代入抛物线解析式中求出解析式，再根据对称轴公式即可求得； （3）令，解得或，即可得出两抛物线的交点的横坐标为0和1，分四种情况时， 时， 时， 时，画出函数图象，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴对称轴为直线， 设函数的对称轴为直线， 则； （3）解：当时，函数图象开口向下， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 当时，函数图象开口向上， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 当时，与的图象重合，当，； 当时，函数图象开口向上， ∵， ∴， 令， 整理得， 解得或， ∴两抛物线的交点的横坐标为0和1， 如图， 由图象可知，当，； 综上分析可知，当时，；当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 28．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 29．（2023·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴，与轴的交点坐标 (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式及其图象与轴的交点坐标求出结果即可； （2）在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为，把点代入抛物线G的解析式即可； （3）①当时，在同一平面直角坐标系中画出图象可知；②结合抛物线图象分情况讨论求出其取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线G的对称轴为， 与轴的交点坐标； （2）解：在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为， 把点代入抛物线G的解析式得， 抛物线的表达式为； （3）①当时，抛物线G的解析式为， 抛物线的解析式为，在同一平面直角坐标系中图象如图：    从图中可以得出区域W内的整点个数为3； ②当时，如图1， 抛物线经过点（1，－3）时，区域W内恰有5个整点， ∴．解得：， 结合①可得：； 当a＜0时，如图2，抛物线经过点（－1，0）和（1，2）时，区域W内恰有5个整点． 经过点（－1，0）时，， 解得：， 经过点（1，2）时，， 解得：， ∴， 故如果区域W内恰有5个整点，则或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，对称轴及顶点坐标，轴对称图形的概念，解题的关键是运用数形结合、分类讨论的思想方法． 30．（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据x值的取值判断函数表达式和用顶点式求函数最大值是解本题的关键． 五、题型五：根据二次函数的图象判断式子符号 31．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数（a为非零常数，），当时，y随x的增大而增大，则下列结论正确的是（   ） ①若时，则y随x的增大而减小；②若图象经过点，则；③若，是函数图象上的两点，则；④若图象上两点，对一切正数n，总有，则． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．依据题意，由题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数为非零常数，， 当时，，，． 又当时，随的增大而增大， ，开口向下． 当时，随的增大而减小，故①正确； 又对称轴为直线，， ． 若，是函数图象上的两点，2023离对称轴近些， 又抛物线开口向下， 则，故③正确； 若图象上两点，对一切正数，总有，， 又该函数与轴的两个交点为，， ． 解得，故④错误； 二次函数为非零常数，，当时，随的增大而增大， ． 若图象经过点，则，得． ，， ，故②错误； ①③正确；②④错误， 故选：B． 32．（2024·山东青岛·一模）已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想． 首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴画出示意图如下， ∴当时，，故①正确； ∵ ∴，故②错误； 如图所示，抛物线和直线有两个交点， ∴方程的两个实数根为，，且， ∴，，故③正确； ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵抛物线开口向下，对称轴为 ∴当时，y有最大值 ∴若为任意实数，，故④正确． 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 33．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，利用图形解决问题是解题的关键．观察图像可知，，再结合题目一一判断即可． 【详解】解：由题意可得对称轴为直线， 故与，与的函数值相等， 抛物线开口向上，在对称轴坐标单调递增， ， 若，①，则 ②，则， ③，则，故选项A错误； 若，，则，故选项B正确； 若，①，则， ②，则， ③，则， ④，则，故选项C不一定正确； 若，①，则， ②，则，故选项D不一定正确． 故选B． 34．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①，②，③当时，y随x的增大而增大，④，⑤若m，n（）为方程的两个根，则且．其中正确的结论有（    ） A．①③ B．①②④ C．②④⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．①根据图像得出，即可判断①；②根据二次函数的对称轴得出，与x轴另一个交点为，进而得出，当时，，则，推出，即可判断②；③由图可知，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，故③不正确，即可判断③；④由图可知，顶点在第二象限，则即可判断④；⑤根据二次函数与x轴交点坐标为，，得出，结合图象得出当时，对应x的值在左侧，右侧，即可判断⑤． 【详解】解：①∵开口向下，对称轴在y轴左边，于y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵对称轴为直线，x轴交于点， ∴，与x轴另一个交点为， ∴，当时，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 即，故②不正确，不符合题意； ③由图可知，当时，y随x的增大而增大，故③不正确，不符合题意； ④由图可知，顶点在第二象限， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵二次函数与x轴交点坐标为，， ∴， 当时，对应x的值在左侧，右侧， ∴的两个根，，．故⑤正确，符合题意； 综上：正确的有①④⑤， 故选：D． 35．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线且过点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．（m为实数） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，，抛物线的对称轴为直线，，可得，，进而可判断A、C的正误；由二次函数的图象与性质可知当时，，关于对称轴对称的点坐标为，则，进而可判断B的正误；由，可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，，抛物线的对称轴为直线，， ∴，， ∴，A错误，故不符合要求；C正确，故符合要求； 由抛物线的性质可知，当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∴当时，，B错误，故不符合要求； ∵， ∴，D错误，故不符合要求； 故选：C． 36．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号） 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质逐一判断即可，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由所给抛物线可知，，，， ∴，故错误； ∵，且抛物线与轴的另一个交点横坐标为， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴在直线和直线之间， ∴点离对称轴的距离比点远， 又抛物线开口向下， ∴，故正确． 将点代入二次函数表达式得，， 又， 两式相加得，， 又， ∴，故错误， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·浙江温州·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，过，则下列结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数）．其中正确的是 （填序号）．    【答案】①③ 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象与性质，根据图象先判断的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可． 【详解】解： 由图象可知，图象开口向下， ∴， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， 又对称轴为， ∴，， ∴， ∴，故①符合题意； 抛物线与x轴交于， ∴， ∴，故②不符合题意； 由二次函数的对称性可知，当时，， 则有，故③符合题意； ∵，， ∴， 又， ∴，故④不符合题意； 当时，函数值最大，， 而当时，， ∴ ，故⑤不符合题意． 故答案为：①③． 38．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）已知二次函数的图象如图，①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填序号）． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质等等，根据二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，得到，根据对称轴为直线，得到，由此可判断①；当时，，则，由此即可判断②；当时，，则，由此即可判断③；由，，得到，由此即可判断④；抛物线开口向下，则当时，y有最大值，则，由此即可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故②错误； ∵当时，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故④正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有③和④， 故答案为：③④． 39．（23-24九年级上·浙江·期中）如图，二次函数（为常数，且）的图象过点，对称轴为直线，且，给出下列结论：①；②；③；④，为任意实数；⑤．其中正确的是 ．（填序号即可） 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下，交轴于正半轴，对称轴在轴的右边，得出，，，即可判断①；由图象可得：当时，，即可判断②；由二次函数（为常数，且）的图象过点，对称轴为直线，可得，，即可判断③；由抛物线的对称轴为直线，，可得当时，函数值取得最大值为，即可判断④；由得出，从而得出，求解即可判断⑤；熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下，交轴于正半轴，对称轴在轴的右边， ，，， ，故①错误，不符合题意； 由图象可得：当时，， ，故②正确，符合题意； 二次函数（为常数，且）的图象过点，对称轴为直线， ，， ， ，即，故③错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线，， 当时，函数值取得最大值为， 当为任意实数时，，即，故④正确，符合题意； ， ， ， ， ，故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确的有②④⑤， 故答案为：②④⑤． 40．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数（a，b是常数，）． (1)若时，图象经过点，求二次函数的表达式． (2)写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． (3)已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证：． 【答案】(1) (2)， （答案不唯一） (3)证明见解析 【分析】（1）把代入二次函数的关系式，再把代入求出b的值，进而即可确定二次函数的关系式； （2）令，则，当时，求得,据此写出一组a,b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到,整理得，则，最后根据二次函数的性质即可得证明结论． 【详解】（1）解：把代入得:， ∵当时，， ∴， ∴， ∴二次函数的关系式为． （2）解：令，则， 当时，则， ∴， ∴若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为， ∴此函数的顶点坐标为(答案不唯一) ． （3）证明：∵二次函数的图象和直线都经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$