专题02 二次函数的图象和性质（七大题型，60题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题02 二次函数的图象和性质（七大题型，60题） 目录 题型一：y=ax²的图象与性质 1 题型二：y=ax²+k的图象和性质 3 题型三：y=a（x-h）²的图象和性质 4 题型四：y=a（x-h）²+k的图象和性质 5 题型五：y=ax²+bx+c化成顶点式 7 题型六：画y=ax²+bx+c的图象 9 题型七：y=ax²+bx+c的图象和性质 12 题型一：y=ax²的图象与性质 1．（21-22九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　） A． B． C． D．5 3．（2023·浙江绍兴·一模）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 5．（2023·浙江台州·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是 ． 7．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边OA在x轴上，，，抛物线与OB交于C点，过点C作交AB于D点．若CD过的重心G，则点G的坐标为 ． 题型二：y=ax²+k的图象和性质 9．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（    ） A． B． C．2 D．4 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 12．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）已知，，是抛物线（k为常数）上的点，则（    ） A． B． C． D． 14．（2021·浙江杭州·一模）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 15．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 16．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 17．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）对于二次函数，当x取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ． 18．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）二次函数的最小值是 ． 题型三：y=a（x-h）²的图象和性质 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能为(　　) A． B． C． D． 21．（2021·浙江温州·三模）已知抛物线y＝（x﹣1）2经过点A（n，y1），B（n＋2，y2），若y1＜y2，则n的值可以为（    ） A．﹣1 B．﹣0.5 C．0 D．0.5 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 23．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 24．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是 ． 25．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 题型四：y=a（x-h）²+k的图象和性质 26．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）把抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则的值可以是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 27．（2024·浙江·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，连接，．以下结论：①抛物线经过点；②；③；④当时，．其中正确的是（　　）（填序号） A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 28．（2024·浙江·模拟预测）与抛物线关于直线对称的图象的解析式是  （   ） A． B． C． D． 29．（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 30．（2024·浙江杭州·二模）二次函数的图象经过两点，若，则h的值可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 31．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 32．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 33．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．函数的最大值为2 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴的交点坐标为 34．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为 . 35．（2023·浙江·一模）二次函数，若函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上，且，则与所满足的关系式为 ． 36．（2022·江苏南通·中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”． (1)在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有___________（填序号）； (2)若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围． 题型五：y=ax²+bx+c化成顶点式 37．（2024·浙江绍兴·二模）已知关于的函数的顶点为，坐标原点为，则长度不可能是（    ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 38．（23-24九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，若顶点C到x轴的距离为，则线段的长度为 ． 39．（2024·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线上任意一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N．设点P的横坐标为t，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则t的取值范围为 ． 40．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）将二次函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位得到的新抛物线的顶点坐标是 ． 41．（2023·浙江杭州·三模）已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若该抛物线上任意两点，都满足：当时，，当时，，试判断点是否在抛物线上； (3)是抛物线上的两点，且总满足，求的最值． 42．（2024·浙江温州·三模）已知，点，在二次函数的图象上． (1)当时，求此时二次函数的表达式和顶点坐标． (2)求证： 43．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数(为常数，）．若二次函数的图象经过点和两点． (1)求函数的表达式，并写出函数图像的顶点C的坐标． (2)试求出的面积是多少？ 44．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，y的取值范围为 ；    ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成形式，确定抛物线对称轴为直线，通过、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ； 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数，当时，求y的取值范围； 【学以致用】 （3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求a的值． 45．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（是常数）． (1)用含的代数式表示该二次函数的顶点坐标． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． (3)当时，该函数有最小值，求的值． 题型六：画y=ax²+bx+c的图象 46．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式． 【观察发现】 请写出满足这些条件的一个函数表达式，并在直角坐标系中画出大致图象． 【思考交流】 小方说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在轴的左侧．”小程说：“满足条件的函数图象一定在轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明． 【概括表达】 小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数系数，，的关系．他认为只要，在某个取值范围内，并且，，满足一个关系式就可以快速批阅了．请你求出，的取值范围，并写出，，满足的关系式．    47．（22-23九年级上·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． (1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； (2)一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 48．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数． (1)求出函数图像对称轴和顶点坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图像； (2)当函数值y为负数时，自变量x的取值范围； (3)将该函数图向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得图像的函数表达式是_______． 49．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，与轴的交点为. (1)求抛物线解析式； (2)在如图的平面直角坐标系中画出函数大致图象； (3)当时，对应的函数的最小值为，最大值为2，直接写出的取值范围. 50．（22-23九年级上·浙江金华·期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)x与y的几组对应值如下表，其中m=________． x …… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… y …… 5 0 -3 m -3 0 1 0 -3 …… (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． (3)结合函数图象，解决下列问题： ①解不等式：； ②若直线与函数的图象只有一个的交点，求t的取值范围． 题型七：y=ax²+bx+c的图象和性质 51．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(    ) A． B． C． D． 52．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 53．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （  ） A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 54．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 55．（2024·浙江·三模）已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 56．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 57．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 58．（2024·浙江台州·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为 ． 59．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 60．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的图象和性质（七大题型，60题）（解析版） 目录 题型一：y=ax²的图象与性质 1 题型二：y=ax²+k的图象和性质 9 题型三：y=a（x-h）²的图象和性质 15 题型四：y=a（x-h）²+k的图象和性质 20 题型五：y=ax²+bx+c化成顶点式 30 题型六：画y=ax²+bx+c的图象 43 题型七：y=ax²+bx+c的图象和性质 52 题型一：y=ax²的图象与性质 1．（21-22九年级上·河南·阶段练习）如图，正方形三个顶点的坐标依次为，，．若抛物线的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值，再根据∣a∣越大，抛物线的开口越小即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，由3=a×12得：a=3， 当抛物线经过（3，1）时，由1=a×32得：a=， 观察图象可知：， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知抛物线上有A，B两点，其横坐标分别为；在y轴上有一动点C，则的最小值为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】找出点A关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点C，根据轴对称确定最短路线问题，点C即为使最短的点，再根据抛物线解析式求出点、B的坐标，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点的横坐标为1，连接与y轴相交于点C，点C即为使最短的点， 当时，， 当时，， 所以，点， 由勾股定理得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，以及二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 3．（2023·浙江绍兴·一模）已知点为二次函数图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，对称轴为轴， ∴在轴左侧，随的增大而减小，在轴右侧，随的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大； A、，不一定大于，例如时，，时，，此时，但是；故选项A错误； B、，不一定小于，例如时，，时，，此时，但是；故选项B错误； C、当，即：， ∴或， 当时，， 当时，， ∴当时，；故选项C正确； D、当，即：不一定小于，例如时，，时，，此时，但是；故选项D错误； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断． 4．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 5．（2023·浙江台州·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意分别将，…代入解析式，求得与的坐标，的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把代入；中， 得到，， ∴， ∴， 同理，把代入，中， 得到，， ∴， ∴， … 代入；中 得到， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的点的坐标求法及数字型的规律探索，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．连接，过B作轴于D，则，可得，再由直角三角形的性质可得的长，进而得到点，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过B作轴于D， 则， 由题意得：， ∵， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴点， 代入中，得：， ∴故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知的顶点坐标为，若抛物线与该直角三角形无交点，则a的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质， 根据二次函数的性质可得：越大，开口越小，越小，开口越大进行求解， 【详解】解：当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 当经过点时， ， 即， 当时，抛物线与该直角三角形无交点， 综上，a的取值范围是或， 故答案为：或． 8．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边OA在x轴上，，，抛物线与OB交于C点，过点C作交AB于D点．若CD过的重心G，则点G的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，延长与交于点E，设B点坐标为（2，b），根据三角形的重心用b表示G点坐标，再用b表示直线的解析式，进而求得与抛物线的交点C，然后根据轴列出方程求得b的值，便可写出G点坐标． 【详解】解：连接，延长与交于点E，则， 设B点坐标为， ∵G是的重心， ∴， ∴G点横坐标， G点横坐标， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，或， ∴， ∵轴， ∴， 解得（舍）或， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，三角形的重心性质，关键是根据C、G点的位置关系列出方程． 题型二：y=ax²+k的图象和性质 9．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，首先得出函数的图像开口向上，再分为点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，两种情况讨论并进行判断，本题得以解决． 【详解】解：， 函数的图像开口向上， 若且满足， 点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且， 当点B在点A的左侧时，，，， 当点B在点A的右侧且时，，，， 综上所述，选项D不正确， 故选：D 10．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或．则如下四个值中有可能为的是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由当时，x的取值范围为或，可得抛物线对称轴为直线，从而可得b与a的关系，将代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解． 【详解】解：当时，，x的取值范围为或. ∴为抛物线上的点， ∴抛物线对称轴为直线． ∴． ∴， ∴， 将代入解析式得， ∴， ∵当时，x的取值范围为或， ∴． ∴ ∴． ∴． 故选：D． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）若二次函数的图象过点，则该图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质，求得对称轴，再根据二次函数的对称性即可求解，解题的关键是根据二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点， 故选：． 12．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵点，，，在抛物线上，而点到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 13．（22-23九年级上·浙江衢州·期中）已知，，是抛物线（k为常数）上的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴是y轴，当时，y随x的增大而增大， ∵，，是抛物线上的点， 点关于y轴的对称点为， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 14．（2021·浙江杭州·一模）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解． 【详解】解：二次函数． 开口向上，对称轴为， 当时，随增大而增大． ． ．即是的一次函数． ， 一次函数上升趋势． ． 有最小值，没有最大值． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合． 15．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 【答案】或/4或0 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ 如图所示，画出该函数的函数图象： 可知：当或时，，则； ∴的值是或 故答案为：或 16．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【答案】9 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴， 故答案为：9 17．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）对于二次函数，当x取，时，函数值相等，则当x取时，函数值为 ． 【答案】3 【分析】根据抛物线的顶点式得到二次函数图象的对称轴为y轴，所以函数值相等，则自变量互为相反数，然后计算自变量为0时的函数值即可． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为y轴，当x分别取，时，函数值相等， ∴， ∴当时，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 18．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）二次函数的最小值是 ． 【答案】2016 【分析】根据二次函数的性质解答即可． 【详解】∵对于二次函数，若，则当时，y有最小值k， ∴二次函数的最小值是2016． 故答案为：2016． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，把解析式化成顶点式是解题的关键． 题型三：y=a（x-h）²的图象和性质 19．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 20．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越小对应的值就越小即可得到的取值范围．根据的取值范围判断不可能的值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当抛物线上的点与直线的距离越小，对应的值就越小， ，，且， 点到直线的距离小于点到直线的距离， ，或， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 21．（2021·浙江温州·三模）已知抛物线y＝（x﹣1）2经过点A（n，y1），B（n＋2，y2），若y1＜y2，则n的值可以为（    ） A．﹣1 B．﹣0.5 C．0 D．0.5 【答案】D 【分析】由抛物线解析式可得开口向上，对称轴为，根据函数的性质，分为三种情况进行讨论，求出的范围，即可求解． 【详解】解：由抛物线解析式y＝（x﹣1）2可得开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增加而减小，当时，随的增加而增大 当时，在对称轴左侧，，不符合题意， 当时，在对称轴右侧，，符合题意， 当时，在对称轴两侧，y2＞y1，可得到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即，解得 综上所得： 由此可得答案为：D 【点睛】此题考查了二次函数在对称轴两侧的增减性，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键． 22．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，对称轴为， ∴在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧y随着x的增大而减小， ∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的增减性是由对称轴和开口方向确定的，确定开口方向和对称轴是关键．根据顶点式可求对称轴，再结合开口方向判断增减性． 【详解】解：根据二次函数解析式为， 可知对称轴是直线， 又，抛物线开口向上， 所以，当时，y随x的增大而减小． 故答案为：减小． 24．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当时，的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为，从而确定值，得到二次函数解析式为，将代入即可得到结论． 【详解】解：二次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ，即， 二次函数解析式为， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键． 25．（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）已知二次函数为常数），当时，的最大值为，则的值为 ． 【答案】1或6/6或1 【分析】分、和三种情况考虑：当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；当时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当时，根据二次函数的性质可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，（舍去）； 当时，的最大值为0，不符合题意； 当时，有， 解得：（舍去），． 综上所述：的值为1或6． 故答案为：1或6． 【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分、和三种情况求出值是解题的关键． 题型四：y=a（x-h）²+k的图象和性质 26．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）把抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则的值可以是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，由二次函数的平移规律得平移后得到的抛物线为，由二次函数的性质得：当、在对称轴的左侧时，，即可求解；当、在对称轴的两侧时，同理可求；掌握二次方函数图象的平移规律，理解抛物线的开口向上时，到对称轴距离越远的点对应的函数值越大，据此进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：平移后得到的抛物线为， 对称轴为直线， ， 抛物线的开口向上， 到对称轴距离越远的点对应的函数值越大， ，， 当、在对称轴的左侧时， ， 解得：， 当、在对称轴的两侧时， ， 解得：； 故选：A． 27．（2024·浙江·模拟预测）如图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，连接，．以下结论：①抛物线经过点；②；③；④当时，．其中正确的是（　　）（填序号） A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目找出抛物线的解析式是解题的关键，再利用其性质求解． 根据抛物线与y轴交于点，可以求得m的值，从而可以判断②是否正确；然后将代入求得的函数解析式，即可判断①是否正确；然后令，求出x的值，即可得到点A的坐标，再根据抛物线解析式可以得到点M的坐标，从而可以求得的面积，从而可以判断③是否正确；再根据二次函数的性质，即可判断④是否正确． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点， ∴，得，故②错误； ∴抛物线， 当时，， 即抛物线过点，故①正确； 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴， ∵抛物线，顶点为M， ∴点M的坐标为， ∴，故③错误； ∵抛物线与x轴的交点为， ∴当时，， ∴当时，，故④正确； 综上：正确的有①④， 故选：A． 28．（2024·浙江·模拟预测）与抛物线关于直线对称的图象的解析式是  （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标是，根据关于直线对称求出对称点是，即可写出函数解析式. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ∵点关于直线的对称点是， ∴与抛物线关于直线对称的图象的解析式是， 故选：C 29．（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线经过点和，从而可得①，②，又②①得，，即，故，最后即可判断得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，抛物线经过点和， ①，②． ②①得，． ，即． ． ． ． ． 故选：C． 30．（2024·浙江杭州·二模）二次函数的图象经过两点，若，则h的值可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线过两点．若，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，然后解不等式后进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线过两点， ， 解得． 故选：A． 31．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故C选项错误； 如图所示，若，则， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 32．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，由函数图象与系数的关系讨论和两点中与的关系． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线， 若，， 抛物线开口向下，一次函数中随增大而减小， 设，则， ， ． 故选：C． 33．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，则（    ） A．函数图象的对称轴为直线 B．函数的最大值为2 C．当时，随的增大而增大 D．函数图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【详解】解：由可知，抛物线的对称轴为直线，故A错误； 函数的最大值为，故B错误； 因为，则抛物线开口向下所以当时，随的增大而增大，故C正确； 令，则，所以函数图象与y轴的交点坐标为，故D错误． 故选：C． 34．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）点，都在二次函数的图象上.若，则的取值范围为 . 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的增减性和对称性，正确理解二次函数的增减性和对称性是解答本题的关键．当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，根据二次函数的增减性，的取值范围；当时，抛物线开口向下，A，B两点在对称轴的两侧，根据来比较它们与对称轴的距离大小，即得答案． 【详解】二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大，若，则若，解得； 当时，抛物线开口向下，，所以点在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧，由离对称轴越近函数值越大，得：点B离对称轴更近，所以，解得，故m的取值范围为； 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 35．（2023·浙江·一模）二次函数，若函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上，且，则与所满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】先根据顶点坐标公式得到两个函数的顶点坐标，再分别代入对应的解析式表示出来，最后通过化简，根据，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 二次函数的顶点坐标为：， 二次函数的顶点坐标为：， 函数的图象的顶点在函数的图象上，函数的图象的顶点在函数的图象上， ，， 整理得： ，， ，， 得：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标公式，是解题的关键． 36．（2022·江苏南通·中考真题）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是函数图像的“阶方点”；点是函数图像的“2阶方点”． (1)在①；②；③三点中，是反比例函数图像的“1阶方点”的有___________（填序号）； (2)若y关于x的一次函数图像的“2阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若y关于x的二次函数图像的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)3或； (3) 【分析】（1）根据“n阶方点”的定义逐个判断即可； （2）如图作正方形，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出a的值，并舍去不合题意的值即可得； （3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点（n，－n）和点（－n， n）时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得n的取值范围． 【详解】（1）解：∵点到x轴的距离为2，大于1， ∴不是反比例函数图象的“1阶方点”， ∵点和点都在反比例函数的图象上，且到两坐标轴的距离都不大于1， ∴和是反比例函数图象的“1阶方点”， 故答案为：②③； （2）如图作正方形，四个顶点坐标分别为（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2）， 当a＞0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个， 则过点（－2，2）或（2，－2）， 把（－2，2）代入得：，解得：（舍去）； 把（2，－2）代入得：，解得：； 当a＜0时，若y关于x的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个， 则过点（2，2）或（－2，－2）， 把（2，2）代入得：，解得：； 把（－2，－2）代入得：，解得：（舍去）； 综上，a的值为3或； （3）∵二次函数图象的顶点坐标为（n，）， ∴二次函数图象的顶点坐标在直线y＝－2x＋1上移动， ∵y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在， ∴二次函数的图象与以顶点坐标为（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交点， 如图，当过点（n，－n）时， 将（n，－n）代入得：， 解得：， 当过点（－n，n）时， 将（－n，n）代入得：， 解得：或（舍去）， 由图可知，若y关于x的二次函数图象的“n阶方点”一定存在，n的取值范围为：． 【点睛】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“n阶方点”的几何意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 题型五：y=ax²+bx+c化成顶点式 37．（2024·浙江绍兴·二模）已知关于的函数的顶点为，坐标原点为，则长度不可能是（    ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，已知两点求距离，平方数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出顶点为，则，由平方数非负求解即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∴， ∵，， ∴， 而， 故选：D． 38．（23-24九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，若顶点C到x轴的距离为，则线段的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．将题中二次函数化为顶点式是解题的关键． 设顶点式，再解方程得，，然后把B ，A两点的横坐标相减得到的长度． 【详解】解：设抛物线解析式为， 当时，， 解得，， 所以，， 所以， 故答案为：6． 39．（2024·浙江宁波·一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线上任意一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N．设点P的横坐标为t，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则t的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先根据抛物线的解析式求出抛物线与x轴的两个交点为，，抛物线的对称轴为直线，设抛物线与y轴的交点为B，则点B关于对称轴对称的点的横坐标为，分情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】解：， ∴抛物线与x轴的两个交点为，， 抛物线的对称轴为直线， 设抛物线与y轴的交点为B，则点B关于对称轴对称的点的横坐标为， 当时，如图所示： 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，不符合题意； 当时，如图所示： 抛物线不在矩形内部，不符合题意； 当时，如图所示： 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，符合题意； 当时，如图所示： 抛物线不在矩形内部，不符合题意； 当时，如图所示： 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小； 综上分析可知：或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小． 故答案为：或． 40．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）将二次函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位得到的新抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的平移，二次函数的图象与性质是解题的关键．由题意知，，则平移后的抛物线的解析式为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为， 故答案为：． 41．（2023·浙江杭州·三模）已知抛物线． (1)当时，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若该抛物线上任意两点，都满足：当时，，当时，，试判断点是否在抛物线上； (3)是抛物线上的两点，且总满足，求的最值． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，其顶点坐标为 (2)点不在抛物线上 (3)的最大值为5，最小值为3 【分析】（1）将代入抛物线解析式，然后化成顶点式，即可获得答案； （2）结合二次函数图像的性质可确定该抛物线的对称轴为，进而求得该抛物线解析式，然后判断点是否在抛物线上即可； （3）结合抛物线解析式可得该抛物线开口向上，其对称轴为，已知点在抛物线对称轴右侧．分两种情况讨论：①当点在对称轴右侧或在对称轴上，且在点的左侧或与点重合时满足条件；②当点在对称轴左侧，且点到抛物线对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离时满足条件．然后列关于的不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时， 该抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，其顶点坐标为； （2）点不在抛物线上，理由如下： 当时，， ∴，即， 当时，， ∴，即， ∴该抛物线的对称轴为， 此时可有， ∴该抛物线解析式为， 令，则， ∴点不在抛物线上； （3）对于抛物线， ∵， ∴该抛物线开口向上，其对称轴为直线， ∴点在抛物线对称轴右侧， ∵， ①当点在对称轴右侧或在对称轴上，且在点的左侧或与点重合时满足条件， ∴且， 解得； ②当点在对称轴左侧，且点到抛物线对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离时满足条件， ∴且， 解得． 综上所述，当时，满足， ∴的最大值为5，最小值为3． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与性质、二次函数图像上点的坐标特征等知识，理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 42．（2024·浙江温州·三模）已知，点，在二次函数的图象上． (1)当时，求此时二次函数的表达式和顶点坐标． (2)求证： 【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、将抛物线解析式化为顶点式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出抛物线的对称轴为直线，从而即可得出，即可得出抛物线的解析式，再化为顶点式即可得出答案； （2）由题意得出，，从而得出，再代入式子计算即可得出答案． 【详解】（1）解：， 二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得，， 二次函数的表达式为， ∵， ∴顶点坐标； （2）解：∵点，在二次函数的图象上， ∴，， ∴ ∴． 43．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数(为常数，）．若二次函数的图象经过点和两点． (1)求函数的表达式，并写出函数图像的顶点C的坐标． (2)试求出的面积是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数、二次函数的图象和性质； （1）利用待定系数法可求函数的表达式，将一般式化成顶点式可得函数图像的顶点C的坐标； （2）画出图形，设与轴交于点D，连接，求出直线的解析式，然后可得点D坐标，再根据可知，轴，进而根据进行计算． 【详解】（1）解：把、代入得：， 解得：， ∴函数的表达式为， ∴函数图像的顶点坐标为； （2）解：如图，设与轴交于点D，连接， 设直线的解析式为， 代入、得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：， ∴， ∵， ∴，轴， ∴． 44．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）【问题初探】 （1）综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：已知二次函数，当时，y的取值范围为 ；    ①小伟同学经过分析后，将原二次函数配方成形式，确定抛物线对称轴为直线，通过、h和2的大小关系，分别确定了最大值和最小值，进而求出y的取值范围； ②小军同学画出如图的函数图象，通过观察图象确定了y的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出y的取值范围是 ； 【类比分析】 （2）张老师发现两名同学分别从“数”和“形”的角度分析、解决问题，为了让同学们更好感悟“数形结合”思想，张老师将前面问题变式为下面问题，请你解答：已知二次函数，当时，求y的取值范围； 【学以致用】 （3）已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求a的值． 【答案】(1);（2）；（3）或 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，开口方向、对称轴以及自变量的取值范围是求最值的三要素，掌握分类讨论的思想思想是解决第三问的关键． （1）配方得到抛物线对称轴为直线，结合图象可知当时，y有最小值；当时，y有最大值； （2）配方得到抛物线对称轴为直线，画出函数图象可知，当时，y有最小值；当时，y有最大值； （3）配方得到抛物线对称轴为直线，分类讨论若时若时若时（i）时（ii）时，画出对应函数图象即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线对称轴为直线， 结合图象可知，当时，y有最小值； 当时，y有最大值； ∴y的取值范围为： 故答案为： （2）∵， ∴抛物线对称轴为直线， 图象如图所示： 结合图象可知，当时，y有最小值； 当时，y有最大值； ∴y的取值范围为： （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线， 若，即：时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） 若时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） 若时： （i）时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） （ii）时：    结合图象可知，当时，y有最小值， ∴； 当时，y有最大值， ∴； ∴ 解得：（舍去） 综上所述，或 45．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（是常数）． (1)用含的代数式表示该二次函数的顶点坐标． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． (3)当时，该函数有最小值，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】本题看出来二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． （1）配方得到顶点式，可确定顶点坐标； （2）根据二次函数的性质即可得到的取值； （3）分三种情况讨论，关键题意得到关于的方程，解方程即可求得． 【详解】（1）解：， 该二次函数的顶点坐标是． （2）该二次函数图象的对称轴是直线，开口向上， ∴当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小， ． （3）①若，当时，． ②若，当时，， 解得（舍去）． ③若，当时，， 解得（舍去）． 综合以上得：当时，该函数有最小值，此时的值是或2． 题型六：画y=ax²+bx+c的图象 46．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式． 【观察发现】 请写出满足这些条件的一个函数表达式，并在直角坐标系中画出大致图象． 【思考交流】 小方说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在轴的左侧．”小程说：“满足条件的函数图象一定在轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明． 【概括表达】 小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数系数，，的关系．他认为只要，在某个取值范围内，并且，，满足一个关系式就可以快速批阅了．请你求出，的取值范围，并写出，，满足的关系式．    【答案】[观察发现]，图象见解析； [思考交流] 小方的说法不正确，小程的说法不正确，见解析； [概括表达] ，，且． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合题意，画出函数图象是解题的关键． [观察发现] 由题意写出一个符合条件的函数解析式，然后再画出函数的大致图象即可； [思考交流] 由题意可知抛物线的图象一定在x轴的下方，a＜0，然后根据对称轴公式可得抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴； [概括表达] 由题意可知，且，①当对称轴在y轴右侧时，即，此时顶点在x轴上或在x轴下方，，可得，，可得，解得；②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，，只需保证与y轴交点在x轴上或在x轴下方，此时． 【详解】解：[观察发现] 由题意得，这个函数可以是：（答案不唯一）； 画出函数图象如图：    [思考交流] ∵二次函数的图象不经过第一象限， ∴抛物线的图象一定在x轴的下方，， ∵抛物线经过x轴， ∴小程的说法不正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴， ∴小方的说法不正确； [概括表达] ∵抛物线经过点，且不经过第一象限， ∴，且， ①当对称轴在y轴右侧时，，即，此时顶点在x轴上或在x轴下方， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，有，解得：， 当时，有，不成立， ∴； ②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，，即，此时只需保证与y轴交点在x轴上或在x轴下方， ∴； 综上所述：，，且． 47．（22-23九年级上·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． (1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； (2)一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)点B的坐标为；作图象见解析 (2)或 【分析】（1）将代入函数解析式求解， （2）根据点A，B坐标及图象求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴B点坐标为， 列表得： x 0 1 2 3 y 3 0 0 3 画图得： （2）解：，，如图，一次函数的图象过A，B两点， 由图形可得：或时，． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 48．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数． (1)求出函数图像对称轴和顶点坐标，并在直角坐标系中画出该二次函数的大致图像； (2)当函数值y为负数时，自变量x的取值范围； (3)将该函数图向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得图像的函数表达式是_______． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴方程为直线，图像见解析； (2)； (3) 【分析】（1）将二次函数的解析式化为顶点式，根据二次函数的对称性、顶点坐标、与坐标轴的交点等性质即可画出函数的图像； （2）根据图像位于x轴下方部分的横坐标即可求解； （3）根据函数图像平移规律“左加右减，上加下减”即可得出平移后的函数表达式． 【详解】（1）解：， 函数图像顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，由得：， 二次函数在图像如下图所示： ； （2）根据图像，当函数值为负数时，自变量x的取值范围为； （3）由题意，平移后图像的函数表达式为：， 故答案是：． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答的关键． 49．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，与轴的交点为. (1)求抛物线解析式； (2)在如图的平面直角坐标系中画出函数大致图象； (3)当时，对应的函数的最小值为，最大值为2，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2)图见解析； (3) 【分析】（1）根据已知条件利用待定系数法求解即可； （2）画出大致图象即可； （3）根据二次函数的图象和性质进行解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得， ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）函数图象如下： （3）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数最大值为2， ∵抛物线经过， ∴抛物线经过， ∵当时，对应的函数的最小值为，最大值为2， ∴. 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象，根据二次函数的性质确定字母的取值范围，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 50．（22-23九年级上·浙江金华·期中）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整： (1)x与y的几组对应值如下表，其中m=________． x …… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …… y …… 5 0 -3 m -3 0 1 0 -3 …… (2)如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整． (3)结合函数图象，解决下列问题： ①解不等式：； ②若直线与函数的图象只有一个的交点，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)①或；②或． 【分析】（1）把代入即可求得； （2）描点、连线画出函数的图象即可； （3）①观察函数图象得到当时，，当时，，令，得，解得（舍去），，由图象得到不等式的解为或； ②根据图象即可求得． 【详解】（1）把代入得，， ∴； 故答案为：； （2）描点、连线画出函数的图象如图， （3）①由图象知，当时，x1=－2，x2=0，x3=4 当时， 当时， 令，得，解得（舍去）， 结合图象得，当时，或 ∴原不等式的解为或． ②当时， 由得 ，解得． 把代入的， ∴ t的取值范围为：或 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用图象解不等式，抛物线与直线的交点，正确的识别图象是解题的关键． 题型七：y=ax²+bx+c的图象和性质 51．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象经过两点，，则满足的关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根的判别式，由点的纵坐标相同，可得，即得，再由二次函数与轴只有一个交点可得，即得，最后把代入二次函数解析式得，即可得，据此即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵二次函数与轴只有一个交点， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， 故选：． 52．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及不等式性质，根据题意得到，，再联立函数解析式表示出，，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题． 【详解】解：，， ，， 抛物线与的交点为A， ， 整理得， 解得或， ， ， 抛物线与，与x轴的交点分别为B，C， ，可得，，可得， ， ，， ， 故选：C． 53．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （  ） A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．①当时，时，取最大值2，时，取最小值，代入，无解；②当时，时，取最大值2，时，取最小值1，不满足；③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2，不满足；④当时，时，取最小值1，时，取最大值，代入，求出值． 【详解】 对称轴为，顶点坐标为， 将代入，，所以该二次函数过 将代入，，所以该二次函数过 画出的图象，，开口向上，如图所示 ①当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为 ， 该方程无解； ②当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为1 ， 不满足 ③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2 ， 不满足 ④当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为 ， 解得， 舍去 故选：C． 54．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用． 当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意． 【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图： ∴，即． ∴． ∴． 令，则， ∴， 记直线与y轴交于点， 又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧， ∴． ∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图： 又继续向左平移符合题意，符合题意，如图： ∴． 综上，或． 故选：D． 55．（2024·浙江·三模）已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由点，在函数，为常数）的图象上，从而，，进而根据和分别进行分析即可得解． 【详解】解：由题意，点，在函数，为常数）的图象上， ，． 当时， A、若， ． ． ． ． ，故A错误，故本选项不符合题意； B、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故B错误，故本选项不符合题意； 当时， C、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故C错误，故本选项不符合题意； D、若， ． ． ． ． ，故D正确，故本选项符合题意． 故选：D． 56．（2024·浙江杭州·一模）二次函数（，是常数）过，两个不重合的点，一次函数过和二次函数的顶点，则的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握并能灵活运用是解题的关键．依据题意，由抛物线过，，从而可得抛物线的对称轴，且有，用表示和，进而用m表示抛物线的顶点，再结合一次函数过和二次函数的顶点，即可求出． 【详解】解：抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线，， ， ， 顶点为， 又一次函数过和二次函数的顶点， ，且， ， 或（舍去）， ． 故选：B． 57．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由时，或，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合，是抛物线上的两点，且，可得，最后计算可以得解． 【详解】解：由题意，当时，或， 抛物线开口向上，且对称轴是直线． 当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ， 又，是抛物线上的两点，且， ． ． ． ． 故选：A． 58．（2024·浙江台州·模拟预测）已知二次函数满足：（1）当时，，（2）对一切x的值有成立．则该二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数图象的交点等．灵活运用这些知识是关键．当时，易得，则可求得b的值；再由，由判别式非负即可求得a的值，从而求得c的值，最后求得函数解析式． 【详解】解：当时，，即； ； 当时，，即，则有； 即， 解得：，则； ， 由于对一切x的值有成立，即， 则， 即， 而， ， 解得：， 则， ； 故答案为：． 59．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知点，为二次函数图象上两点，当时，二次函数随增大而减小，若，时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质得到，即得，又根据二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为，得到，由即可得到，画出函数图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小， 又∵当时，二次函数随增大而减小， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴在中， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， ∴当，时， ， ∵恒成立， ∴， 画出函数和的图象如图所示， 由图象可得，当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 60．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数（m是常数）． (1)若函数图像经过点，求函数图像的顶点坐标； (2)若函数图像经过点，，求证：； (3)已知函数图像经过点，若对于任意的，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)见详解 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）将已知两点代入求出，，再表示出，即可求解； （3）分两种情况，当时，当时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根据增减性分析，解不等式（组）即可． 【详解】（1）解：函数图象经过点， ， 解得， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）证明：函数图象经过点，， ，， ， ， ； （3）解：， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， 对于任意的，都有成立， 存在如下情况：设函数图象经过点，，． 情况1，如图1，当时， 则关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴，且， ∴有，解得； 情况2，如图2， 当时， ∵点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴，且， 可得，解得：， 综上所述，或． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$