专题02 认识三角形（二）（八大题型，65题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题02 认识三角形（二）（八大题型，65题）（原卷版） 目录 题型一：三角形内角和定理的证明 1 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 3 题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 7 题型四：三角形折叠中的角度问题 11 题型五：三角形内角和定理的应用 14 题型六：直角三角形的两个锐角互余 18 题型七：三角形的外角的定义及性质 20 题型八：三角形角平分线的定义 24 题型一：三角形内角和定理的证明 1．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）下列语句中，正确的是（    ） A．三角形的外角和大于它的内角和 B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C．三角形的内角小于它的外角 D．三角形的外角和是 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 3．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 4．（2023·河北秦皇岛·三模）定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 5．（22-23八年级上·山西运城·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 6．（2023·河北衡水·二模）定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） ​ 证明：如图，过点E作直线， 使得， ∴（*）， ∴， ∴． A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 7．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作    方法二 证明：如图，过点C作    题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 8．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ）．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号） 11．（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则 ．    12．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点F，使，．若在中，有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则的度数为 ．    13．（22-23七年级下·重庆北碚·阶段练习）在中，，点D是下方一点，连接，，过点D作，连接，分别过点B、D作直线、，使得，平分，平分，则 ． 14．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，． (1)若，，求的度数； (2)若，求证：． 15．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，已知，，． (1)求的度数； (2)若平分，于E，求的度数． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 17．（22-23七年级下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知，，．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 18．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线分别与直线，相交于点，，．    (1)如图1，写出直线，的位置关系，并证明； (2)如图2，的平分线与的平分线相交于点．写出线段，位置关系，并证明； (3)如图3，点在线段上，的平分线与的平分线相交于点．用等式表示与的数量关系，并证明． 题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 19．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，平分交边于点D，交边于点E．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，分别是的两个外角、的平分线，则与之间的数量关系为 ． 21．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 22．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在四边形中，．求证： (1)； (2)如图2，若平分平分，直线与交于点，求的度数． 23．（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，是边上的高，平分交于点．若，．求的度数． 24．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）中，内角和外角和的角平分线交于点P，交于D．过B作于G．若，求的度数． 25．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图中，平分交于点于，且． (1)如图1，锐角，，，则______度； (2)如图1，，则______；（用含、代数式表示） (3)如图2，若是钝角三角形，为钝角，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 26．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）在中，的平分线与外角的平分线相交于点D． (1)若，，求和的度数． (2)求证： ． 27．（20-21七年级下·江苏盐城·期中）（问题背景） ，点分别在上运动（不与点重合）. （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点点的运动，求的度数. （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点. ①若，则__________； ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③），__________.（用含的代数式表示） 28．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数； (3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 29．（23-24七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 30．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 题型四：三角形折叠中的角度问题 31．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 32．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 33．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 34．（22-23七年级上·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 35．（22-23八年级上·河南郑州·期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    36．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 37．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； 题型五：三角形内角和定理的应用 38．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形” (1)在中，若，，则______“准直角三角形”（填写是或不是）； (2)如果是“准直角三角形”，那么是______，（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能），请说明理由； (3)如图，在中，，，平分交于点． ①若交于点，在①，②，③，④中“准直角三角形”是______（填写序号）； ②在直线上取一点，当是“准直角三角形”时，直接写出的度数． 39．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）问题背景：在小学我们了解到三角形内角和等于（内角和定理），学完平行线相关知识后我们可以对内角和定理进行证明． （1）如图1，过的顶点作直线，求证：（即三角形内角和为）． 尝试应用：请利用内角和定理的结论解答下列问题（仅限于本题） （2）已知内部两条射线、交于点， ①如图2：若，则______度（直接写出答案即可） ②如图3：若，、分别平分、，求的度数 拓展创新： （3）如图4：在四边形中，、的角平分线交于点E，求，和之间的数量关系． 40．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 41．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 42．（22-23七年级下·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 43．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 44．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 45．（23-24八年级上·广西贵港·期中）如图，，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合），且，分别是和的平分线，它们相交于点．    (1)如图1，当时，求的度数； (2)点，在运动过程中，的大小是否会发生变化?如果发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的度数； (3)如图2，作的两外角和的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，请直接写出此时的度数． 题型六：直角三角形的两个锐角互余 46．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，则和的度数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 47．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，D为延长线上一点，作于点H，交于点E，则下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 48．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，是高，是角平分线，与交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 49．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，D为上一点，为的高，为的角平分线．若，，求的度数． 50．（23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，在中，，交于点D，已知，平分，求的度数． 题型七：三角形的外角的定义及性质 51．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（    ） A． B． C． D． 52．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，是的内角的平分线与外角的平分线的交点：依次这样下去，则的度数为 ． 53．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，延长，分别交于点F，P． (1)求证：； (2)小轩同学探究后提出等式：，请通过推理论证判断“小轩发现”是否正确； (3)若，求的度数． 54．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 55．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点、分别在直线、上，且，点在直线、之间． (1)如图1，求证：． (2)如图2，的角平分线与的角平分线交于点，请直接写出与之间的数量关系：______________． (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，交于点，连接，作，连接交于点，过点作，垂足为，若，，且，求的度数． 56．（23-24八年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值． 57．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 P． (1)如果，则 的度数为 ； (2)如图②，分别作外角 的角平分线，两条角平分线相交于点 Q，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，延长线段 交于点 E，在 中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请直接 写出 的度数． 58．（23-24八年级上·山东青岛·期末）探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 59．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 60．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 八、题型八：三角形角平分线的定义 61．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．    62．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）已知，平分，点A，B，C分别是射线上的动点（A，B，C不与点O重合），连接交射线于点D．设． (1)如图1，若，则： ①的度数为______； ②当时， ______． (2)如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 63．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数． 64．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，为边上的高，的平分线交于点，交于点．若，，求的度数． 65．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 认识三角形（二）（八大题型，65题） 目录 题型一：三角形内角和定理的证明 1 题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 7 题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 21 题型四：三角形折叠中的角度问题 40 题型五：三角形内角和定理的应用 52 题型六：直角三角形的两个锐角互余 71 题型七：三角形的外角的定义及性质 74 题型八：三角形角平分线的定义 95 一、题型一：三角形内角和定理的证明 1．（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）下列语句中，正确的是（    ） A．三角形的外角和大于它的内角和 B．三角形的一个外角等于它的两个内角的和 C．三角形的内角小于它的外角 D．三角形的外角和是 【答案】A 【分析】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，根据三角形外角的性质和内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角和大于它的内角和，故符合题意； B、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，故不符合题意 C、三角形的内角不一定小于它的外角，故不符合题意； D、三角形的外角和是，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）如图，，点E在上，，以下四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形内角和． 根据邻补角的定义求出即可判断①； 根据平行线的性质及等量代换即可判断②； 根据平行线的性质和邻补角的定义即可判断③； 根据三角形内角和求出，再根据平行线的性质及等量代换即可判断④． 【详解】解： ， ，故①成立； ，故②不一定成立； ，故③成立； 由①知， ，故④成立； 故选D． 3．（21-22八年级上·浙江杭州·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（   ） A．过作∥ B．延长到，过作 C．作于点 D．过上一点作， 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：由，则，． 由，得．故A不符合题意； 由，则，． 由，得．故B不符合题意； 由于，则， 无法证得三角形内角和是．故C符合题意， 由，得，．由，得，，那么． 由，得．故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 4．（2023·河北秦皇岛·三模）定理：三角形的内角和是180°． 已知：、、是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（    ）    A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，，即可推出结论． 【详解】解：证明：如图，作点E作直线，使得， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴． ①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意； ②@表示，故②正确，符合题意； ③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意； 综上：正确的有②④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 5．（22-23八年级上·山西运城·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 【答案】C 【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】A、，，，由 ，得 ，故A不符合题意； B、，，，由 ，得 ，故B不符合题意； C、，，，无法证得三角形的内角和等于，故C符合题意； D、如图，，，，，，，，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键． 6．（2023·河北衡水·二模）定理：三角形的内角和是180°． 已知：是的三个内角． 求证：． 有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（　　） ​ 证明：如图，过点E作直线， 使得， ∴（*）， ∴， ∴． A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】将证明过程补充完整，由此可得出结论①不正确，结论②正确，结合得到的结论适用于任何三角形，可得出结论④正确． 【详解】证明：如图，过点E作直线， 使得， ∴（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意； ∴， ∴．故②符合题意； 上述证明得到的结论，适用于任何三角形． 故③不符合题意；④符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，将证明三角形的内角和是的过程补充完整是解题的关键． 7．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作    方法二 证明：如图，过点C作    【答案】答案见解析 【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． 方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为． 【详解】证明： 方法一：过点作，    则，． 两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 方法二： 如图，过点C作    ∵CD//AB， ∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ACB+∠A=180°． 即三角形的内角和为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 二、题型二：与平行线有关的三角形内角和问题 8．（2021·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 9．（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ）．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】过C点作，根据平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理以及三角板的特点即可作答． 【详解】解：过C点作，如图，      结合图形，根据含角的直角三角板的特点可知：，，， 根据题意有：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， 若 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故正确的有：②③④，即正确的有3个； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键． 10．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）如图，，分别平分的内角、外角、外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的判定和性质、含角平分线的三角形内角和定理的应用，根据相关判定定理和性质，逐项判断，即可得到答案． 【详解】解：①平分， ， ，， ， ， ，故①正确， ②， ， 平分，， ，故②正确； ③，， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④平分， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ，故④正确； ⑤由④得，， ， ， ，故⑤不正确． 故答案为：①②③④． 11．（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点在线段上，，，点在上，若，:，，则 ．    【答案】/度 【分析】根据题意及平行线的判定与性质推出，设，则，，根据三角形内角和定理、三角形外角性质推出，据此求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ：：， 设则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 12．（22-23七年级下·福建福州·期末）如图，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点F，使，．若在中，有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】由可得，进而得出，，再由可得，进而证明，结合ED平分，可得，再根据2倍关系讨论求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵ED平分，即， ∴， 若在中，有一个角的度数是另一个角度数的2倍， 当时，，， 当时，，， 综上所述：若在中，有一个角的度数是另一个角度数的2倍，则的度数为或 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形内角等于，解题关键是通过证明、得出． 13．（22-23七年级下·重庆北碚·阶段练习）在中，，点D是下方一点，连接，，过点D作，连接，分别过点B、D作直线、，使得，平分，平分，则 ． 【答案】 【分析】过点作，根据角平分线的定义，设，则，，再根据平行线的性质及三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：过点作，    平分，平分， 设，则， ， ， ，，，， ，， 在中，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理，作出正确的辅助线是本题的关键． 14．（23-24八年级上·福建宁德·期末）如图，点B，C，F，E在同一条直线上，． (1)若，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和外角的性质、平行线的性质和判定，掌握并灵活运用相关知识是解题关键． （1）根据外角的性质有，结合条件即可得解； （2）由平行线的性质易得，再由外角的性质有，，根据角的转化易得，从而． 【详解】（1）解：，， ， 是的外角，， ； （2）证明：， ． 、分别是、的外角， ，， ， ， ． 15．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，已知，，． (1)求的度数； (2)若平分，于E，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，理解平行线的性质和判定是解答关键． （1）根据由得到，然后证明出，得到； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后由平行线的性质得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵，平分， ∴ ∵， ∴ ∴． 16．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)或； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）①如图1中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； ②过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； （2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1中，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明： 如图2， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设交于，如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点在的延长线上时，同法可证，如图4： 17．（22-23七年级下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知，，．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）的延长线交于点，可求，从而可求，即可求解； （2）延长交于点，可求，从而可求，即可求证． 【详解】（1）解：如图，的延长线交于点，，    ，， ， ， ， ； （2）证明：，理由如下： 如图，延长交于点，    由（1）知，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，理解定义，掌握性质是解题的关键． 18．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线分别与直线，相交于点，，．    (1)如图1，写出直线，的位置关系，并证明； (2)如图2，的平分线与的平分线相交于点．写出线段，位置关系，并证明； (3)如图3，点在线段上，的平分线与的平分线相交于点．用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）同位角相等，两直线平行，据此即可作答； （2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义有，,即，问题随之得证； （3）过点作．根据角平分线的定义有, ,设，，则，，，，结合平行的性质有，,即,,则有，①，．②，利用即可作答． 【详解】（1）． 证明：，， ． ； （2）． 证明：， ． 的平分线与的平分线相交于点， ，, ， , ． （3）． 如图，过点作．    的平分线与的平分线相交于点， , , 设，， 则，，，，． ，， ． ． ，， ，, 即,, ，①，．② ，得． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，对顶角相等等知识，掌握平行线的判定与性质，是解答本题的关键． 三、题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题 19．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，平分交边于点D，交边于点E．若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义，根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 20．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，分别是的两个外角、的平分线，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和、三角形外角的性质及角平分线的定义；由角平分线的定义得；由三角形外角的性质得，，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：分别是的两个外角、的平分线， ， ； ，， ； ， ． 故答案为：． 21．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图1，在中，，的角平分线交于点O，则． 如图2，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，则 ． 根据以上阅读理解，如图3、猜想（n等分时，内部有个点）（用n的代数式表示） ． 【答案】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算等知识．如图2，根据三等分线定义和三角形内角和得到，进而得到再根据三角形内角和定理得到，化简即可得到；如图3，求出，，，，问题得解． 【详解】解：如图2，∵中，的两条三等分角线分别对应交于，， ∴ ， 如图3， ， ， ， ……， ∴ ． 故答案为：， 22．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在四边形中，．求证： (1)； (2)如图2，若平分平分，直线与交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，角度的计算； （1）连接，根据三角形内角和定理，即可求解； （2）设，由（1）可得，则，分别表示出，进而根据三角形内角和定理，得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， 在中， ， ∴ 又∵， ∴； （2）解：如图所示，设交于点， 设 ∵平分平分， ∴，, 由（1）可得，则 ∴ ∴ 又∵， ∴ 23．（23-24八年级上·四川遂宁·开学考试）如图，是边上的高，平分交于点．若，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高线、角平分线的性质，熟知三角形内角和定理是解题关键．先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】是边上的高， ． 又，， ． 平分， ． 又，， ． 24．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）中，内角和外角和的角平分线交于点P，交于D．过B作于G．若，求的度数． 【答案】 【分析】先求出，再由推导出，又由推导得，则，则可得． 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系，熟练掌握以上知识，且推导出是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ． ， 即， ， ． 又， ， ， ， 即， ， ． 25．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图中，平分交于点于，且． (1)如图1，锐角，，，则______度； (2)如图1，，则______；（用含、代数式表示） (3)如图2，若是钝角三角形，为钝角，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质即可得到的度数． （2）根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质即可得到的度数； （3）根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质得到的度数，最后利用直角三角形的内角和即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵中，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：（2）中的结论成立，理由如下： ∵中，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，平行线的性质以及直角三角形的两锐角互余等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 26．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）在中，的平分线与外角的平分线相交于点D． (1)若，，求和的度数． (2)求证： ． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】此题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键在于根据角平分线定义和外角的性质即可求得度数． （1）根据三角形内角和定理，已知，，易求，根据角平分线定义和外角的性质即可求得度数； （2）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出的等式，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵为，为的角平分线， ∴， ， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，， 又∵为，为的角平分线， ∴，， ∵， 又∵， ∴． 27．（20-21七年级下·江苏盐城·期中）（问题背景） ，点分别在上运动（不与点重合）. （问题思考） （1）如图①，、分别是和的平分线，随着点点的运动，求的度数. （2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点. ①若，则__________； ②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展） （3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③），__________.（用含的代数式表示） 【答案】（1）（2）①②的度数不随、的移动而发生变化，理由见解析（3） 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； ②由①的思路可得结论； （3）在②的基础上，将换成即可． 【详解】解：（1）， ， 、分别是和角的平分线， ，， ， ； 故答案为：； （2）①，， ，， 是的平分线， ， 平分， ， ， 故答案为：； ②的度数不随、的移动而发生变化， 设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ； 故答案为：． 28．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．    (1)如图1，求的度数． (2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数； (3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为2 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理及外角性质，利用数形结合探究角的运算关系是解答的关键． （1）由平行线的性质得，则；再由角平分线的定义得，结合已知，即可求解； （2）设交于点H；先求得，由角平分线定义得，则，利用互补关系即可求解； （3）由角平分线与三角形外角的性质得：，，则可得到结论． 【详解】（1）解：， ，， 即； 平分， ； ， ， ， 即， 即； （2）解：如图，设交于点H； 由（1）知，且， ； 平分，平分， ， ， ；    （3）解：不变； ，，， ； 同理：； 平分，平分， ， ， ， ； 即的值不变，且为2． 29．（23-24七年级下·四川乐山·期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理可知“对顶三角形”有如下性质∶．    (1)性质理解：如图1，在“对顶三角形”与中，若，则 ； (2)性质应用∶ ①如图2，则 ； ②如图3，在中，分别平分和，若，比大，求的度数； (3)拓展提高：如图4，是的角平分线，和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题综合考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，掌握整体思想是解题关键． （1）求出即可求解； （2）①连接，可得，据此即可求解；②求出即可求解； （3）根据、、即可求解； 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴ 故答案为： （2）解：①连接，如图所示：    则 ∴ 故答案为： ②∵， ∴ ∵分别平分和， ∴ ∵ ∴ ∵ 由①②可得： （3）解：∵， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵和的平分线和相交于点P， ∴ ∵ ∴得： ∴ 30．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数． (3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) (4)F在E左侧；F在E，D中间；F在D右侧 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，， 再根据三角形外角的性质可得，进一步推理得，最后再根据三角形外角性质，即可求得答案； （3）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，再同（1）即可得到答案； （4）分点F在点E左侧，点F在D，E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）；理由如下: 、的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ， ， ； （2）的角平分线与的外角的角平分线交于点P， ，， ， ， ， ； （3）；理由如下： ，， ， ，， ， ， 由（1）知，； （4）理由如下：当点F在点E左侧时，如图4-1所示， ， ， 平分，平分， ，， ∵， ∴ ， 当F在D、E之间时，如图4-2所示： 同理可得，，， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示： 同理可得，； 综上所述，F在E左侧； F在中间； F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，熟知相关知识是解题的关键． 四、题型四：三角形折叠中的角度问题 31．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 32．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ． 【答案】 【分析】连接，过作，如图所示，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分，则， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴，则， ∵将纸片沿折叠，点落在点处， ∴， ∴， ， ∴， 是的一个外角， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键． 33．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 34．（22-23七年级上·江西南昌·期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．    (1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝　 　，可以发现与的数量关系是 　 　； (2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数； (3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可； （2）根据平角定义求出，，然后利用折叠性质可得，然后利用三角形内角和进行计算即可； （3）根据平角定义求出，再利用折叠性质即可求出，然后利用三角形内角和进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠得： . ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， 由折叠得： ∴， ∴的度数为； （3）解：如图：    ∵， ∴， 由折叠得： ， ∴ ， ∴与x，y之间的数量关系：． 【点睛】本题考擦汗折叠性质和三角形内角和，灵活运用所学知识是关键． 35．（22-23八年级上·河南郑州·期末）（1）如图，把沿折叠，使点A落在点处，试探究与的关系； （2）如图2，若，作的平分线，与的外角平分线交于点N，求的度数； （3）如图3，若点落在内部，作，的平分线交于点，此时, 满足怎样的数量关系？并给出证明过程．    【答案】（1）；（2）；（3），理由见详解 【分析】（1）由折叠的性质可知，根据外角定理得到，，代入即可得到； （2）先根据（1）的结论求出得到，再由角平分线的定义得到，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到； （3）由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理证明，根据角平分线的性质得到，，进而证明，代入即可得到． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，与交于点M．    由折叠的性质可知， ∵为外角， ∴， ∵为外角， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∵， ∴， ∴, ∵的平分线，与的外角平分线交于点N， ∴， ∵为的外角，为的外角， ∴； （3）解：，理由如下； 由折叠的性质可知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键． 36．（23-24八年级上·广西桂林·期中）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：    (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若．则______； (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，过点B作于点H，若，则______； (3)如图3，如图3，在中，、的角平分线交于点，将沿DE折叠使得点与点重合． ①若，则______； ②若，求证：； (4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①；②见解析 (4)F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，据此求解即可； （3）①同（1）求得，由折叠的性质可得，据此计算即可求解；②证明，同①即可证明； （4）分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； （3）解：①∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （4）解：当点F在点E左侧时，如图4-1所示，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ； 当F在D、E之间时，如图4-2所示：    同理可得， ， ∴ ； 当点F在D点右侧时，如图4-3所示：    同理可得 ； 综上所述，F在E左侧；F在之间；F在D右侧． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 37．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；      （2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______； （4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______； 【答案】（1）；（2）成立，详见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）根据折叠性质和三角形内角和即可； （2）根据折叠性质和三角形内角和即可； （3）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可； （4）根据折叠性质和三角形内角和外角性质计算即可． 【详解】（1）由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：， （2）由由折叠性质可知：，，， ∴，，， ∵，，，， ∴， 同理：，， ∴， （3）根据(2)可知：，， 如图3，∵，， ∴， ∴， 故答案为：， （4）根据（2）（3）可知：，，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了翻折、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 五、题型五：三角形内角和定理的应用 38．（23-24七年级下·江苏南京·期中）如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形” (1)在中，若，，则______“准直角三角形”（填写是或不是）； (2)如果是“准直角三角形”，那么是______，（从下列四个选项中选择，填写符合条件的序号）（①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④都有可能），请说明理由； (3)如图，在中，，，平分交于点． ①若交于点，在①，②，③，④中“准直角三角形”是______（填写序号）； ②在直线上取一点，当是“准直角三角形”时，直接写出的度数． 【答案】(1)是 (2)③ (3)①：④；②：或或或 【分析】本题考查了三角形内角和，新定义，对新定义的理解是本题的关键． （1）由三角形内角和求得，验证得，即可作出判断； （2）由题意不妨设中，由三角形内角和可得，此时为钝角三角形，其它三角形不符合题意； （3）①根据“准直角三角形”的定义判断，将其它角表示出来即可； ②由（2）得“准直角三角形”是钝角三角形，以钝角为依据进行分类讨论，同时注意是哪个角是哪个角的两倍，再进行讨论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴是“准直角三角形”； 故答案为：是； （2）解：∵是“准直角三角形”， ∴不妨设中，即， ∵， ∴， ∴为钝角三角形， ∴当三角形是“准直角三角形”时，它必是钝角三角形，其它三角形不会是“准直角三角形”； 故答案为：③； （3）解：①∵，， ∴； ∵平分， ∴， ∴， 即是“准直角三角形”； ∵， ∴，， 即是锐角三角形，由（2）知它不是“准直角三角形”； ∵， ∴， 而， 但， 即不是“准直角三角形”； ∵， ∴是锐角三角形， 由（2）知，它不是“准直角三角形”； 综上，只有是“准直角三角形”； 故答案为：④； ②由（2）知，是钝角三角形， 当是钝角时， 若，则； 若，则； 当是钝角时，此时点F在线段上， 若，则， ∴； 若，则， ∴； 若为钝角，则点在线段延长线上，且， ∴， 若，则， ∴，不合题意； 若，则； ∴，不合题意； 故此种情况不存在； 综上，的度数为或或或． 39．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）问题背景：在小学我们了解到三角形内角和等于（内角和定理），学完平行线相关知识后我们可以对内角和定理进行证明． （1）如图1，过的顶点作直线，求证：（即三角形内角和为）． 尝试应用：请利用内角和定理的结论解答下列问题（仅限于本题） （2）已知内部两条射线、交于点， ①如图2：若，则______度（直接写出答案即可） ②如图3：若，、分别平分、，求的度数 拓展创新： （3）如图4：在四边形中，、的角平分线交于点E，求，和之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，，结合平角是即可证明； （2）①根据三角形内角和是计算即可；②根据三角形内角和是可得，根据角平分线的定义可得，，求得，根据三角形内角和是计算即可； （3）连接，根据角平分线的定义可得，，根据三角形内角和是即可推得． 【详解】（1）证明：∵，∴，， ∵， ∴． （2）解：①∵，， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 则． （3）连接，如图： ∵、的角平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， 即， 整理得：， 则， 即， 整理得：． 40．（23-24八年级上·广东肇庆·期末）【问题】 如图，在中，平分，平分，若，则____________； 若，则____________．    【探究】 （）如图，在中，、三等分，、三等分，若，则____________； （）如图，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （）如图，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 【答案】问题：，；（）；（），理由见解析；（），理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键； 问题：利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出； 探究：（）利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出； （）由三角形外角性质可得，，再根据角平分线的定义可得， ，代入即可求解； （）根据角平分线的定义可得，，进而得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：问题：若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； 若， 则， ∵平分，平分， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图，∵， ∴， ∵、三等分，、三等分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）． 理由：由三角形的外角性质得，，， ∵是与外角的平分线和的交点， ∴， ， ∴ ， ∴； （）． 理由：∵是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ， 在中， ， ， ∵， ∴． 41．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，点，分别是边，上的点，点是一动点，令，，． 【问题初探】 （1）如图1，若点在线段上，且，则______°； （2）如图2，若点在线段上运动，则，，之间的数量关系为______； 【问题再探】 （3）如图3，若点在线段的延长线上运动，求，，之间的数量关系； （4）如图4，若点运动到的内部，求，，之间的数量关系． 【问题解决】 （5）若点运动到的外部，且满足与点分别居于直线的两侧时，请直接写出此时，，之间的数量关系． 【答案】（1）120；（2）；（3）；（4）；（5）；； 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，找出相关角与角之间的关系． （1）（2）均先根据三角形内角和定理求出和，再根据求出，从而求出答案即可； （3）先根据三角形内角和定理求出和，，再根据，从而求出答案即可； （4）先根据三角形内角和定理求出，再根据五边形内角和公式求出，从而得到答案即可； （5）分三种情况讨论：①在线段的延长线上，②不在线段的延长线上，③当点P在延长线上，分别画出图形进行解答即可． 【详解】解：（1），， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （4），， ， 五边形的内角和为， ， ， 即； （5）由题意可知点的位置可能两种情况， ①在线段的延长线上，如（3），，之间的数量关系为：； ②不在线段的延长线上，有两种情况 第一种如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， 第二种如图所示： ∵， ． ③当点P在延长线上时，如图：， ， ， ， ； 若点运动到的外部，且满足与点A分别居于直线的两侧时，，，之间的数量关系为：；；． 42．（22-23七年级下·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键； （1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得； （3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， ，， ． （2）解：如图2， 和的平分线相交于点， ，， 由（1）可得：，， ， ． （3）由（1）得：， ， ， 设与的交点为点，则， 两式相减可得：， ， ， ， ， 即． 43．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）如图，A，B分别是两边，上的动点（均不与点O重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点C，则______； (2)如图2，当时，，的平分线交于点D，则______（用含n的式子表示）； (3)如图3，当（α为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点F．随着点A，B的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含α的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1)61 (2) (3)∠F的大小不变， 【分析】 本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理、角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1） 分别为，的平分线 故答案为：61． （2）， 分别为，的平分线 故答案为：． （3）的大小不变，． 理由如下： 又是的平分线，是的平分线， ． 44．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1），；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 45．（23-24八年级上·广西贵港·期中）如图，，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合），且，分别是和的平分线，它们相交于点．    (1)如图1，当时，求的度数； (2)点，在运动过程中，的大小是否会发生变化?如果发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出的度数； (3)如图2，作的两外角和的平分线交于点，延长，交于点，在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，请直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义， （1）先求出，再根据角平分线的定义可得，，问题随之得解； （2）根据角平分线的定义可得，，进而可得，问题随之得解； （3）设，可得，根据为锐角，可得，再依次得出， ，，即可得，，再分当时，当时，当时，当时四种情况讨论即可作答． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴，， ∴； （2）不发生变化，，理由如下， ∵，分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍的情况有四种， 第一种：当时， 则， 解得：，不符合题意，舍去； 第二种：当时， 则， 解得：，不符合题意，舍去； 第三种：当时， 则， 解得：，不符合题意，舍去； 第四种：当时， 则， 解得：， ∴； 综上所述：在中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍时，． 六、题型六：直角三角形的两个锐角互余 46．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，则和的度数是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵，是角平分线， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 则有，， 故选：． 47．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，D为延长线上一点，作于点H，交于点E，则下列说法正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质、三角形内角和定理、对顶角相等以及三角形外角的性质逐项排查即可解答． 【详解】解：A.由中，不一定成立，即不一定成立，故不符合题意； B.由，则,即，故不符合题意； C.由，而不一定成立，即,又,由三角形内角和定理可知不一定成立，故不符合题意； D.由以及,即，故符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理、对顶角相等以及三角形外角的性质等知识点，明确各角之间的关系是解答本题的关键． 48．（23-24八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，是高，是角平分线，与交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高和角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题的关键． （1）先根据三角形内角和求出，由角平分线的定义求出，由直角三角形两锐角互余得，然后根据求解即可； （2）根据角平分线的定义得，结合三角形内角和可得，然后根据对顶角相等即可求解． 【详解】（1）在中，， ． 平分， ． 是边上的高， ． ∴在中，， ． （2）是的角平分线， ， ， ∴在中，． ． 49．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，D为上一点，为的高，为的角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角性质. 先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数. 【详解】解：∵，， ∴. ∵平分， ∴. ∵为的高， ∴， ∴. 50．（23-24八年级上·新疆和田·期中）如图，在中，，交于点D，已知，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 根据三角形的内角和，角平分线的定义，平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：，， ， 平分， ∴， ， ． 七、题型七：三角形的外角的定义及性质 51．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，，、、分别平分的内角、外角、外角．其中不正确的结论有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， 故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 52．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，是的内角的平分线与外角的平分线的交点，是的内角的平分线与外角的平分线的交点：依次这样下去，则的度数为 ． 【答案】/2度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义得，，再根据三角形外角性质得，于是得到，然后整理可得，同理得到结论，熟知掌握三角形外角的定义及性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵的内角平分线与外角平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：． 53．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，延长，分别交于点F，P． (1)求证：； (2)小轩同学探究后提出等式：，请通过推理论证判断“小轩发现”是否正确； (3)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)“小轩发现”正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，根据三角形的外角的性质即可证明结论； （2）根据（1）中的结论变形后可得结论； （3）根据三角形的外角和角平分线的定义，综合已知，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， 即： ∴“小轩发现”是正确的； （3）在中，， 在中，， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角性质的应用，能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 54．（23-24七年级下·福建泉州·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识． （1）先求出，进而求出，即可求出； （2）先求出，进而求出，即可求出； （3）延长至点，先证明，再求出．分①，②，③，④四种情况分类讨论即可求解 ． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）解：（3）如图③，延长至点， 为的外角的角平分线， 是的外角的角平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， 即． 平分，平分，， ． 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况： ①当时，则， ； ②当时，则，， ； ③当时，则， ； ④当时，则， ． 综上所述，的度数是或或或． 55．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点、分别在直线、上，且，点在直线、之间． (1)如图1，求证：． (2)如图2，的角平分线与的角平分线交于点，请直接写出与之间的数量关系：______________． (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点，交于点，连接，作，连接交于点，过点作，垂足为，若，，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与定等等： （1）过点E作，则，由平行线的性质得到，由此即可证明结论； （2）由平角的定义可得，由角平分线的定义得到，，再由三角形内角和定理即可得到结论； （3）设，则，由平行线的性质得到，；由（2）得，求出，则，再由，推出，进而得到，则，即可得到，即，解得，则． 【详解】（1）证明：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由平角的定义可得， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，； 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 56．（23-24八年级上·重庆九龙坡·开学考试）如图1，，点E、F分别在、上，点O在直线、之间，且． (1)求的值； (2)如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值； (3)如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图1，过点作，利用两直线平行，同旁内角互补的性质分别求得，，再根据，即可求出的值； （2）如图2，过点作，过点作，利用两直线平行，内错角相等的性质，得到，再根据角平分线的性质，得到，，进而可求出的值； （3）如图3，设直线交于点，与相交于点，由得到，根据三角形外角与内角关系得到，进而得到，再由三角形外角与内角关系求得，即可得到与的关系，即，再由题意可求得，，然后由，化简可得方程，求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，， ，， ，， ． （2）解：如图2，过点作，过点作， ， ， ，，， ， 平分，平分， ，， 又由（1）得， ． （3）解：如图3，设直线交于点，与相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ，在内，， ， ， ， ， ， 即， ， 解得． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键． 57．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图①，在 中， 与 的平分线相交于点 P． (1)如果，则 的度数为 ； (2)如图②，分别作外角 的角平分线，两条角平分线相交于点 Q，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图③，延长线段 交于点 E，在 中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请直接 写出 的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)∠E的度数是或或或 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点， （1）在中，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，求出，再在中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出，求出，根据角平分线的定义得出，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义和平角的定义求出，分为四种情况：①，②，③，④，再求出答案即可； 熟练掌握其的综合应用是解决此题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵点P是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵点Q是和的角平分线的交点， ∴， ∴， ∴； （3）∵平分，平分， ∴，， ∵， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况： ①，则； ②，则； ③，则； ④，则， 综合上述，的度数是或或或． 58．（23-24八年级上·山东青岛·期末）探究（一） 已知，P为直线所在平面上一点，平分，平分， （1）如图1，P为之间一点，若，则　 　°； （2）如图2，P为外一点，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 探究（二） 已知P为所在平面上一点，平分，平分，D、E分别为上的点，点P关于的对称点为点． （3）如图3，若P在内部，，则　 　°； （4）如图4，若P在外部，判断之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】（1）50；（2），理由见解析；（3）200；（4）．理由见解析 【分析】（1）连接，由平行线的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （2）设，，由平行线的性质得出，，由三角形外角的性质可得出答案； （3）连接，求出，由轴对称的性质求出，，则可得出答案； （4）由三角形内角和定理证出，则可得出结论． 【详解】解：（1）连接， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）． 理由：设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点P关于的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：200； （4）． 理由：设，， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 59．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）①如图1中，连接． ，， ， ，， ． 故答案为：； ②由①可知，， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图2中， ，， ． （3）结论：． 理由：如图3中，当在 内部时， ，， ， ． 当在四边形内部时，． 60．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②． 【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点． (1)如图2，，，则的度数是多少呢？ 易证， 请你完成后续的推理过程： ______ ，分别是，的平分线 ， ______ 又， ______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3，的平分线与的平分线交于点． 已知：，，则______．（用、表示） 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． （1）由题意易得，，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化简，最后将、代入计算即可； （2）利用（1）的相关结论即可解答； （3）如图3，延长交于点F，由三角形外角的性质，可得，又由角平分线的性质可得，再代入进行化简可得,最后将、代入即可解答． 【详解】（1）解：如图2，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ， ∴ 故答案为：，，； （2）解：由（1）可得，即 故答案为； （3）解：如图3，延长交于F， ∵， ∴， ∵平分，平分, ∴， ∵， ∴ ， ∵，， ∴． 故答案为． 八、题型八：三角形角平分线的定义 61．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，从而得出，即可得证． 【详解】证明：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵． ∴． 62．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）已知，平分，点A，B，C分别是射线上的动点（A，B，C不与点O重合），连接交射线于点D．设． (1)如图1，若，则： ①的度数为______； ②当时， ______． (2)如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，，33.75，45或123.75 【分析】（1）①先根据角平分线的定义得，再结合平行线的性质，即可作答． ②先得，结合三角形内角和，得，即可作答． （2）先根据角平分线的定义得，然后进行分类讨论，①当在左侧时以及②当在右侧时，结合三角形内角和性质，以及角的运算，即可作答． 本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，三角形的内角和，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1， ①，平分， ． ， ． ②当时， 则， ， ． 故答案为①；② （2）解：如图2，存在这样的x的值，使得中有两个相等的角． ，平分， ， ①当在左侧时： 若，则； 若， 则； 若， 则， 故． ②当在左侧时： ，且三角形的内角和为， 只有， 则． 综上所述，当，，或时，中有两个相等的角 63．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据三角形高的定义可知，再结合三角形内角和定理解得的值，结合为的角平分线，可得，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由求解即可． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 64．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，为边上的高，的平分线交于点，交于点．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，最后由三角形外角的定义及性质进行计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，平分， ， 为边上的高， ， ， ， ． 65．（23-24八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，是角平分线，，垂足为． (1)已知，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，最后再由，进行计算即可得出答案； （2）设，则，由三角形内角和定理得出，再由角平分线的定义得出，计算出，，即可得证． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， ； （2）证明：设，则， ， 是角平分线， ， 又， ， ， ， ． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$