专题01 认识三角形（一）（七大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（浙教版）

专题01 认识三角形（一）（七大题型，50题）（原卷版） 目录 题型一：构成三角形的条件 1 题型二：确定第三边的取值范围 1 题型三：三角形三边关系的应用 2 题型四：与三角形的高有关的计算问题 4 题型五：根据三角形中线求长度 6 题型六：根据三角形中线求面积 8 题型七：重心的概念 12 题型一：构成三角形的条件 1．（22-23八年级上·浙江温州·期中）下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（　　） A．1，2，4 B．2，4，6 C．2，6，7 D．5，7，13 2．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（22-23八年级下·福建龙岩·期末）下列长度的四条线段能组成四边形的是（    ） A．1，1，1，3 B．1，1，2，5 C．1，2，3，6 D．2，2，3，4 4．（2022·贵州铜仁·二模）三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）根据下列条件，能唯一画出的是（     ） A． B． C． D． 题型二：确定第三边的取值范围 6．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若三角形中有两边长分别是和，则这个三角形的另一边长可能是（     ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 9．（2024八年级·全国·竞赛）已知的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，其中有两边上的高是和，则第三边上的高最长为（    ）． A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，小贤将一根长度为的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为（为正整数），则的最大值为（   ） A．10 B．9 C． D．7 11．（22-23九年级上·全国·期中）已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（  ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 13．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的两边长为， (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的长； 题型三：三角形三边关系的应用 14．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 15．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 16．（22-23七年级下·四川成都·期中）我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数” ；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为 ． 17．（22-23八年级上·海南海口·期末）先阅读下面的例题，再解决问题： 例题；若，求m和n的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 请你参考上面的方法，尝试解决下面的问题： 已知a、b、c是的三边长，满足，且c是最长的边，求c的取值范围． 18．（22-23八年级上·贵州遵义·期中）已知，，是三角形的三边长． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 19．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知a，b，c是三角形的三条边，化简． 20．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）已知为的三边长，满足，且为整数，求的周长的最大值和最小值． 21．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知； (1)化简W； (2)若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 22．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）若一个三角形的三条边长分别是，，，其中，满足方程，若这个三角形的周长是整数，求这个三角形的周长． 23．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 题型四：与三角形的高有关的计算问题 24．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 25．（2023·陕西榆林·二模）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 26．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F．若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（    ） A． B． C． D． 27．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．7 D．8 28．（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图，任意四边形中，和相交于点O，把、、、的面积分别记作、、、，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，中，，，，，则 ．    30．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位，设运动的时间为秒．    (1)当 秒时，把的面积分成相等的两部分； (2)当秒时，把分成的和的面积之比是 ； (3)当为多少秒时，的面积为． 题型五：根据三角形中线求长度 31．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图， 是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为 ． 33．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知是的中线，，则和的周长的差是 ．    34．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是的角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为______； (2)若是的角平分线，试说明与的数量关系． 35．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，在中，是的中线，是边上的高，，，且． (1)求的度数； (2)已知的周长比少，求的长度； (3)若，求的长度． 36．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线.      (1)若，求的长； (2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长. 37．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示已知，分别是的高和中线，，，，．试求：    (1)的长； (2)的面积； (3)与的周长的差 题型六：根据三角形中线求面积 38．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是边上任意一点，分别是的中点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 39．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知、分别为的边、的中点，线段为的中线，连接，若四边形的面积为，且，则中边上高的长为（　　） A． B． C． D． 40．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 41．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，中，为边上的高，记为，的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，得到第一个三角形，作边上的高；作高的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，得到第二个三角形，作边上的高，，依次这样作下去，则第个三角形的面积为 ． 42．（23-24八年级上·全国·期中）如图，把面积为的正三角形的各边依次循环延长一倍，顺次连接这三条线段的外端点，这样操作后，可以得到一个新的正三角形；对新三角形重复上述过程，经过2016次操作后，所得正三角形的面积是 ． 43．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，点D，E分别在，上，，若，则的值为 ． 44．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 45．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图1，在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图1，用，分别表示和的面积． 则，． ∵，∴． 【性质应用】 (1)如图2，D是的边上的一点．若，，则______． (2)如图3，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则______，______． (3)如图3，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则______． 46．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      47．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 题型七：重心的概念 48．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 49．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（    ）    A．2 B． C． D． 50．（22-23八年级上·山西忻州·期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形三条 的交点．（请从“高”、“角平分线”、“中线”中选择）    2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 认识三角形（一）（七大题型，50题） 目录 题型一：构成三角形的条件 1 题型二：确定第三边的取值范围 3 题型三：三角形三边关系的应用 7 题型四：与三角形的高有关的计算问题 13 题型五：根据三角形中线求长度 20 题型六：根据三角形中线求面积 26 题型七：重心的概念 38 一、题型一：构成三角形的条件 1．（22-23八年级上·浙江温州·期中）下列长度的三条线段（单位：），能组成三角形的是（　　） A．1，2，4 B．2，4，6 C．2，6，7 D．5，7，13 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系定理判断即可． 【详解】解：A．，不能组成三角形，故A不符合题意； B．，不能组成三角形，故B不符合题意； C．，能组成三角形，故C符合题意 D．，不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 2．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）有长度分别是4cm、5cm、8cm和9cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系逐一判断即可． 【详解】解：若选取长度分别是4cm、5cm、8cm的小棒，，故能围成三角形； 若选取长度分别是4cm、5cm、9cm的小棒，，故不能围成三角形； 若选取长度分别是5cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形； 若选取长度分别是4cm、8cm、9cm的小棒，，故能围成三角形． 综上所述，可以围成3种不同形状的三角形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了构成三角形的条件，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键． 3．（22-23八年级下·福建龙岩·期末）下列长度的四条线段能组成四边形的是（    ） A．1，1，1，3 B．1，1，2，5 C．1，2，3，6 D．2，2，3，4 【答案】D 【分析】根据四边形的四边关系逐项分析判断即可解答． 【详解】解：根据四边形任意三边的和大于第四边，得 A由，故不能组成四边形； B由，故不能组成四边形； C由，故不能够组成四边形； D由，故能组成三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了能够组成四边形的四条边的条件，将三角形的三边关系拓展到四边形的四边关系是解答本题的关键． 4．（2022·贵州铜仁·二模）三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系可得10−6<x<10+6，再解不等式可得答案． 【详解】解：设三角形的第三边为xcm，由题意可得： 10−6<x<10+6， 即4<x<16， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边． 5．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）根据下列条件，能唯一画出的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】要满足唯一画出，就要求选项给出的条件是否符合三角形全等的判定方法，不符合即无法画出唯一的三角形，由此得出答案． 【详解】解：，不能构成三角形，故选项A错误； 不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度，故选项B错误； 已知两角可得到第三个角的度数，已知一边可根据来画一个三角形，故选项C正确； 只有一个角和一条边无法根据此画出三角形，故选项D正确． 故选C． 二、题型二：确定第三边的取值范围 6．（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）已知三角形的两边长分别为4，6．则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集、三角形三边关系等知识点，确定第三边的范围是解本题的关键． 根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，再表示在数轴上即可． 【详解】解：已知三角形的两边长分别为4，6，则第三边长的取值范围为，即，表示在数轴上为： ． 故选C． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）若三角形中有两边长分别是和，则这个三角形的另一边长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的另一边长为， ∴， 解得：， ∴选项中符合题意， 故选：． 8．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）一个三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系，由三角形的三边关系定理可得到的取值范围，而是整数，可求的最小值，周长最小值也可求，熟练掌握三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 【详解】解：设第三边长是， ∵三角形的两边长分别为和， ∴，即， ∵是整数， ∴，，，，， ∴当时，三角形的周长最小值是， 故选：． 9．（2024八年级·全国·竞赛）已知的三边长度各不相等，各边上的高都是整数，其中有两边上的高是和，则第三边上的高最长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查三角形三边关系．注意利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键； 首先设高为4和12的两边长分别为a，b，第三边为c，根据，得，，根据三角形的任意两边之和一定要大于第三边，求出c边的高范围． 【详解】 设，，， ， ，， ， ， ， 即高为3到6之间， 或5 的三边长度各不相等，各边上的高都是整数， 高不能为4， 第三边上的高最长为， 故选：B 10．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，小贤将一根长度为的红色小棒分成两段，使它们可以和另一根绿色小棒首尾相接构成一个三角形．若绿色小棒长为（为正整数），则的最大值为（   ） A．10 B．9 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，设红色小棒分成的两段中的一段为，则另一段为，由三角形三边关系得出，由此即可得出答案，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键． 【详解】解：设红色小棒分成的两段中的一段为，则另一段为， 由三角形三边关系可得：，即， 为正整数， 的最大值为， 故选：B． 11．（22-23九年级上·全国·期中）已知三角形的三条边为a，b，c，且满足，则这个三角形的最大边c的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握完全平方公式、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为a，b，c， ， ， 又这个三角形的最大边为c， 故选：C． 12．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、三角形三边关系，解不等式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形三边关系可得，解得，再去掉原式中的绝对值并化简即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得， 即， 解得， ∴， 故答案为． 13．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的两边长为， (1)求的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的长； 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）利用三角形的三边关系即可求解； （2）由（1）可得，从而可得的值为7、8、9，分别求得三角形的周长，再判断即可． 【详解】（1）解：∵的两边长为， ∴，即； （2）解：由（1）可得，， ∵的值为7、8、9， ∴（舍）， ， （舍）， ∴． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 三、题型三：三角形三边关系的应用 14．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【答案】A 【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形三边关系，首先根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的最大边的值是取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， ， 的最大边的值可能是7、8、9、10．共4个． 故选A． 15．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解题的关键．先根据三角形的三边关系确定线段的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴A选项符合题意． 故选：A． 16．（22-23七年级下·四川成都·期中）我们规定：满足（1）各边互不相等且均为整数：（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数，这样的三角形称为“倍高三角形”，其中叫做“倍高系数”．如果是周长为13的“倍高三角形”，其“倍高系数” ；如果是“倍高三角形”，且，则周长最小值为 ． 【答案】 2或3 36 【分析】本题主要考查三角形三边关系的知识点，解答本题的关键是理解题干条件：倍高三角形的概念， 根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析；设，，，得，，，得出即当时的周长有最小值，据此求出即可得到答案． 【详解】根据倍高三角形的定义和三角形的三边关系得： 是周长为13， 最长边小于， 各边互不相等且均为整数， 最长边为6，较短两边为2和5或3和4， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， ，或即或3； 设，，， ， ，，， ，， 分子的变化比分母的变化要快， 随着k的增大则随着k的增大周长在增大，周长在增大， 最短边上的高与最长边上的高的比值为整数， 当时的周长有最小值， ∴， 周长最小值为， 故答案为： 2或3；36． 17．（22-23八年级上·海南海口·期末）先阅读下面的例题，再解决问题： 例题；若，求m和n的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 请你参考上面的方法，尝试解决下面的问题： 已知a、b、c是的三边长，满足，且c是最长的边，求c的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、三角形的三边关系，根据变形为，即可得出、的值，再根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，。 ∴，， ∵a、b、c是的三边长， ∴，即， ∵c是最长的边，， ∴c的取值范围为：． 18．（22-23八年级上·贵州遵义·期中）已知，，是三角形的三边长． (1)化简：； (2)若，，，求（1）中式子的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理、绝对值的性质、代数式求值等知识点，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可确定绝对值符号内的式子的符号，从而去绝对值再化简即可； （2）将代入，，代入（1）化简的代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴． （2）解：把，，，代入（1）中式子可得： 原式． 19．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）已知a，b，c是三角形的三条边，化简． 【答案】0 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，化简绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴原式． 20．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）已知为的三边长，满足，且为整数，求的周长的最大值和最小值． 【答案】的周长的最大值为，最小值为． 【分析】本题考查了三角形的三边关系及绝对值的性质和偶次方的性质，由得，，根据三边关系可知，则的最大值为，的最小值为，最后由周长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，即， ∵为整数， ∴的最大值为，的最小值为， ∴的周长的最大值为，最小值为． 21．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知； (1)化简W； (2)若a，2，3恰好是的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值． 【答案】(1) (2)当时，原式 【分析】本题考查了分式的化简求值，三角形三条边的关系，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． （1）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简； （2）先求出a的取值范围，再选取一个使原分式有意义的值代入计算． 【详解】（1）解： ； （2）∵a，2，3恰好是的三边长， ∴， ∵， ∴， 当时， 原式． 22．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）若一个三角形的三条边长分别是，，，其中，满足方程，若这个三角形的周长是整数，求这个三角形的周长． 【答案】9 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，三角形的三边关系等知识．先解二元一次方程组得，根据三角形三边关系得到，求出，即可求出三角形的周长． 【详解】解：解二元一次方程组得， ∵三角形的三条边长分别是，，， ∴， ∴， ∵c为整数， ∴， ∴三角形的周长为． 23．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 根据非负数的性质列式求出、的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，再根据是奇数求出的值． 【详解】解：，满足， ，， 解得，， ，， ， 又是奇数， ， 的周长为． 故答案为． 四、题型四：与三角形的高有关的计算问题 24．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图，在中，，，，，边上的高长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的面积，灵活运用等面积法是关键； 由三角形等面积法直接求斜边上的高． 【详解】 ， ， 故选：D 25．（2023·陕西榆林·二模）如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】首先利用中线的性质可以求出的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵的面积为5， ∴， ∵为的高线，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性． 26．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，从各顶点作平行线，各与其对边或其延长线相交于点D，E，F．若的面积为，的面积为，的面积为，只要知道下列哪个值就可以求出的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴和在底边上的高相等，和在底边上的高相等，和在底边上的高相等， ∴ ∴． 即． ∵ 即 即， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离，三角形面积，根据等底等高的三角形面积进行转化是解题的关键． 27．（22-23八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，，，则（　　） A．10 B．9 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形的高相同时，面积比＝底边的比，由，得出，得出，然后同理得出，，从而算出得数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的面积,根据三角形的高相同时，面积比＝底边的比，得出所求的三角形的面积与已知三角形的面积的关系是解题的关键． 28．（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图，任意四边形中，和相交于点O，把、、、的面积分别记作、、、，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于点，从而可分别表示出和然后可得出，同理可得出，这样即可证得． 【详解】解：如图，过点作于点， 则，， ， 同理可证：， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形面积的求法．解答该题时，主要是抓住不同底等高三角形面积间的数量关系． 29．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，中，，，，，则 ．    【答案】9 【分析】根据三角形的高相同时，面积比=底边的比计算求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查三角形的面积．根据三角形的高相同时，面积比=底边的比，得出所求的三角形的面积与已知三角形的面积的关系是解题的关键． 30．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，中，，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒个单位，设运动的时间为秒．    (1)当 秒时，把的面积分成相等的两部分； (2)当秒时，把分成的和的面积之比是 ； (3)当为多少秒时，的面积为． 【答案】(1)； (2)； (3)当或时，的面积为． 【分析】()三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用中线的性质可求出P的路径长即可求解； ()和分别以、为底时，高相同，根据和的比即可求出面积比； ()分两种情况讨论，当在上时，利用面积求出的长度即可求出，当在上时，利用面积比可求出的长，即可求出． 【详解】（1）当点在中点时，把的面积分成相等的两部分， 此时， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当在线段上时，如图，    ， 解得； 当在线段上时，如图，    ， ∴， ∵和高相同， ∴， ∴， ∴， ∴当或时，的面积为． 【点睛】此题考查了三角的面积公式，三角形的动点问题，灵活应用三角形面积公式是解题的关键． 五、题型五：根据三角形中线求长度 31．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别是边，上的中线，，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，三角形中线的交点是重心，它把中线分为两部分，可得 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴点是的重心， ∴， ∴ 故选：A 32．（22-23八年级上·云南红河·期末）如图， 是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为 ． 【答案】8 【分析】根据中线的定义可得，再根据 的周长比 的周长多2，可得，由此即可求出的长． 本题主要考查了三角形的中线的定义和性质．三角形的中线将三角形分成的两个三角形的周长差就等于相邻两边之差，熟练掌握三角形的中线的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴， ∵ 的周长比 的周长多 2， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 故答案为：8． 33．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知是的中线，，则和的周长的差是 ．    【答案】9 【分析】根据三角形中线的定义可得，然后求出，代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴和的周长的差是9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了三角形的中线的定义，求出是解题的关键． 34．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，是的角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为______； (2)若是的角平分线，试说明与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形中线的性质，三角形内角和定理、角平分线的定义； （）利用是中线，得，再根据三角形周长公式作差即可； （）根据角平分线定义得到，，再根据三角形内角和定理求出，，然后可得与的数量关系． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∴与的周长差为：， 故答案为：； （2）∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 35．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，在中，是的中线，是边上的高，，，且． (1)求的度数； (2)已知的周长比少，求的长度； (3)若，求的长度． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，三角形内角和为．也考查了三角形的面积． （1）先根据三角形内角和得到即可求解； （2）由中线得，再由的周长比少，即可求解； （3）根据三角形面积公式即可求得的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， （2）解：∵是的中线， ∴， ∵已知的周长比少，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，，，，， ∴，即， ∴． 36．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，是的中线，是的中线.      (1)若，求的长； (2)若的周长为，，且与的周长差为，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形中线性质可以求出结果； （2）根据是的中线，与的周长差为，可得到，根据的周长为，，即可得到，进而可求出的长． 【详解】（1）解：是的中线， ， 是的中线， ； （2）是的中线，与的周长差为， ， 的周长为，， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，根据题意找到，的关系是解答本题的关键． 37．（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示已知，分别是的高和中线，，，，．试求：    (1)的长； (2)的面积； (3)与的周长的差 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． （3）解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 【点睛】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． 六、题型六：根据三角形中线求面积 38．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，是边上任意一点，分别是的中点，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接，由点是的中点，则，，故，所以，根据点是的中点的，点是的中点得，从而求解，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】连接，如图所示， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故选：． 39．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知、分别为的边、的中点，线段为的中线，连接，若四边形的面积为，且，则中边上高的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．连接，设，四边形的面积为：，求出，中边上高的长为，根据等底同高的三角形的面积相等以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，设，中边上高的长为， 、分别为的边、的中点，线段为的中线， ， ， ， ， 四边形的面积为：， ， 的面积为，即的面积， 解得：． 故选：C． 40．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中线的性质，利用中线等分三角形的面积进行求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵是的边上的中线，， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 41．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，中，为边上的高，记为，的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，得到第一个三角形，作边上的高；作高的垂直平分线交边于点，交边于点，连接，得到第二个三角形，作边上的高，，依次这样作下去，则第个三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中线的性质，找规律，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，再根据面积规律即可求解，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用，根据面积的变化寻找规律，总结规律． 【详解】由题意得：是中点，则， 是中点，则， 是中点，则， ， 则， 故答案为：． 42．（23-24八年级上·全国·期中）如图，把面积为的正三角形的各边依次循环延长一倍，顺次连接这三条线段的外端点，这样操作后，可以得到一个新的正三角形；对新三角形重复上述过程，经过2016次操作后，所得正三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形面积、同底等高的三角形面积相等．关键是作辅助线，构造同底等高的三角形．连接、、，利用同底等高的三角形面积相等，可得，同理：、，再利用等于7个三角形面积之和，即可求得第一次操作后所得正三角形面积，同理即可得经过2016次操作后，所得正三角形的面积． 【详解】解：如图，连接、、， ， ， 又， ， ， 同理：， ， 第一次操作后，， 同理，经过2016次操作后，所得正三角形的面积是， 故答案为：． 43．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在中，点D，E分别在，上，，若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用，根据已知条件找到相等关系列出方程是解题的关键．设，则可得到，利用同底等高，结合，得到点是的中点，由此得到，进而利用列方程即可求解． 【详解】解：设， 则， 且两个三角形等高， ，即点是的中点， ， ，， 解得， ． 故答案为：6． 44．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据中点性质求面积，涉及三角形中线将三角形面积等分的性质，熟练根据这个性质，逐渐找到各个三角形之间面积的关系，代值求解即可得到答案，熟记三角形中线将三角形面积等分，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：点分别为的中点， ， 点分别为的中点， ， ， ， ，则， 故答案为：． 45．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图1，在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图1，用，分别表示和的面积． 则，． ∵，∴． 【性质应用】 (1)如图2，D是的边上的一点．若，，则______． (2)如图3，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则______，______． (3)如图3，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，则______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式，理解等高的两三角形的面积比等于底的比是解本题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案； （2）同（1）的方法即可求出答案； （3）同（1）的方法即可求出答案． 【详解】（1），， ， 故答案为：； （2）， ， ， ； ， ， ； 故答案为：，； （3）， ， ， ； ， ， ， 故答案为：． 46．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 47．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1）过点B作交于一点E，即可作答． （2），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （3）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （4）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如图所示： （2）； 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （3）过点B作交于一点G， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， （4）过点B作交于一点， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 七、题型七：重心的概念 48．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在，，，四个点中，有一个点是的重心，请你用刻度尺确定这个点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的重心，解题的关键是熟练掌握三角形的重心为三角形三边中线的交点，分别连接三角形两个顶点与各个点并延长与各边相交，用刻度尺测出交点是否为各边的中点，即可作出判断． 【详解】解：A．如图，连接并延长交于点P，显然不是的中点，因此不是重心，故A错误；    B．如图，连接并延长交于点Q，显然不是的中点，因此F不是重心，故B错误；    C．如图，连接并延长交于点N，连接并延长交于点M，显然M、N分别是、的中点，因此G是重心，故C正确；    D．如图，连接并延长交于点K，显然不是的中点，因此H不是重心，故D错误．    故选：C． 49．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念、三角形的中线性质．根据三角形的重心的概念得到点为的中点，根据三角形中线的性质解答即可． 【详解】解：∵点是的重心， ∴点为的中点， ∴， ∴， 故选：C． 50．（22-23八年级上·山西忻州·期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形三条 的交点．（请从“高”、“角平分线”、“中线”中选择）    【答案】中线 【分析】支撑点应是三角形的重心，根据三角形重心是三角形得三条中线的交点． 【详解】解：支撑点是三角形的重心，三角形的重心是三角形得三条中线的交点， 故答案为：中线． 【点睛】本题考查了三角形的重心的概念和性质． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$