第14章 整式的乘法与因式分解综合复习-2024-2025学年八年级上册数学同步辅导（人教版）

复习课 典例精析 【例1】下列计算正确的是 】 n).x2+ 2n. A.a3·a=a2 B.(a2)3=a C.a÷a2=a 因为展开式中不含x2项和x项，所以1十 D.(-ab)3=-a3b n=0,m十n=0,解得m=1,n=-1. 思路分析：各选项均为幂的运算，因此弄清 【例4】把下列各式分解因式： 幂的运算性质，再严格遵守运算法则进行即可. 因为a3·a=a2+4=a:(a2)2=a2x3=a5:a5÷ (1)2a3-2a(a+1)2: a2=a5-2=a:(-ab)3=(-1)3a3b=-a3b2. (2)(x2+y2)2-4x2y2: 答案：D (3)a-2a2b+b: 【例2】已知x是整数，若(2-x)3=ao十 (4)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1. a1x十a2x2十ax2,则(a十a2)2-(a1十a4)2的 思路分析：第(1)题先提公因式，再用平方 差公式：第(2)题先用平方差公式，再用完全平 值为 思路分析：(a十a2)2一(a1十aa)2中的ae, 方公式：第(3)题先用完全平方公式，再用平方 差公式：第(4)题观察发现：(x+1)·(x十4)= a1,a,aa在已知中均出现过，因此考虑直接利 x2+5x+4,(x+2)·(x+3)=x2+5x+6,这 用已知条件，原式=(aa十a1十a2十aa)(ao+ 两者有明显的数量关系，因此可用换元法分解 ag一a1—as）. 解：(1)2a3-2a(a+1)2=2a[a2-(a+1)2] ,当x=1时，有(2-1)3=ao十a1十a2十 2a(a+a+1)(a-a-1)=-2a(2a+1). a1:当x=-1时，有(2十1)3=ao-a1十ag一ag. (2)(x2+y2)2-4x2y2=(x2+y)2 .原式=(2-1)3(2+1)3=27. (2xy)2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+ 答案：27 y)2(x-y)2. 【例3】当m,n为何值时，号x(x十m)+ (3)a-2a26+b=(a2)2-2·a2·b+ nx(x十1)十m]的展开式中不含x2项和x3项？ (b2)2=(a2-b)2=(a+b)2(a-b)2. 思路分析：遇到这类问题，只需用单项式与 (4)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1= 多项式相乘，展开后合并同类项，令不存在的项 [(x+1)(x+4)]·[(x+2)(x+3)]+1= 的系数为0. (x2+5x+4)(x2+5.x+6)+1. 解：2[x(x十m)+x(x+1)+m]=2r+ 设x2+5.x十4=a,则x2+5x+6=a十2， ∴.原式=a(a+2)+1=(a+1)2=(x2+ r++2r+mr=(侵+2+ 1 5x+5)2 【例5】已知2x-y=8,xy=3,求2x2y+ m++mr=1+wr+( 8.x2y2-xy2的值. 思路分析：由已知，我们可以建立起关于 解：原式=xy(2x+8xy-y)=xy(2x x,y的方程组，但此类方程组我们并未学习研 y+8.xy), 究过，因此可以考虑暂时放弃此路径.我们还可 当2.x-y=8,xy=3时，原式=3(8十8× 以从2x一y,xy的整体去考虑，因此先分解因 3)=96. 式，再代人求值即可， 综合复习 1.若2ab2m与am-b的和仍是一个单项式，则 以进行因式分解的有 () m,n的值分别是 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 Λ.4,3 B.3,4 C.5,1 D.1,5 8.现规定一种运算：a*b=ab十a一b,则a 2.若(x十2)(x一n)=x2十nx一8，则n的值为 b+(b一a)￥b等于 ( A.a2-b B.b-b A.2 B.-2 C.4 D.-4 C.B D.b2-a 3.计算(3a+2)(3a-)月 的结果是( 9.对于任意实数x、y,代数式x2十y2十2.x 4y十7的值 ( A9d2- B81a-6 A.总不小于2 B.总不小于7 C.可为任何有理数 C.81a-9a D.可能为负数 n81a+2a+话 10.计算1001×999= 4.下面是某同学在一次检测中的计算摘录： 1(得)x1.5)w÷(-Dm ①3x2·(-2.x2)=-6.x:②4a3b÷(-2a2b) -2a:③(a3)2=a5:④(-a)3÷(-a)=-a2. 12.已知x2一y=6,且x十y=3,则xy的值是 其中正确的有 ( A.1个B.2个 C.3个 D.4个 13.若(a十3)2+3b+1|=0,则a202·b0a= 5.下列各式的因式分解正确的是 A.-a2+ab-ac=-a(a+b-c) 14.若3a2-a-2=0,则5十2a-6a2= B.9xyz-6xy2=3xyz(3-2xy) C.3a2x-6bx+3.x=3.x(a2-2b) 15.计算： (1)-(-amb)3·(ab-1): D.gry+ry-r 6.已知a-N·ab十64b是一个完全平方式， 则V等于 () A.8 B.±8 C.±16 D.±32 (2)(3p+2q)(3p-2g)(9p2+4g). 7.已知多项式：①x2-(-y)2:②a2-ab十 6:③2-2x+3:④x2+2xy+4y.其中可 16.把下列各式分解因式： 19.有一种用“因式分解”法产生的密码，原理 (1)-8x2y2-4x2y+2xy: 是：如对于多项式x一y,因式分解的结果 是(x-y)(x十y)(x十y2),若取x=9,y 9时，则各个因式的值是x一y=0,x+y 18,.x2十y2=162,于是就可以把“018162”作 (2)(x2+y2)2-4x2y. 为一个六位数的密码，对于多项式4x xy2,取x=10,y=10时，请你写出用上述 方法产生的密码.（写出一个即可） 17.先化简，再求值： (1)y(x+y)+(x+y)(x-y)-x2,其中 x=-2,y=2 20.贝贝和晶品两人共同计算一道整式乘法 题：(2x十a)(3x十b),贝贝同学不小心抄错 了第一个多项式中α的符号，得到的结果为 (2)(x+y)(x-y)+(x-y)2-(x2 6.x2十11x一10；晶晶同学由于漏抄了第二个 3xy),其中x=2,y=2 多项式中x的系数，得到的结果为2x2 9x+10. (1)你能知道式子中a,b的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道整式乘法题的正确结果 18.根据题中条件求值： 已知x+y=1,求号+y+的值： 21.在对某二次三项式进行因式分解时，甲同 学因看错了一次项系数而将其分解为2(x ,求(x+y)2-4xy 2 (2)已知x-y= 一1)(x一9)，而乙同学因看错了常数项而 (x2+y2)+4x2y2的值. 将其分解为2(x一2)(x一4)，试将此多项式 进行正确的因式分解。 6聚焦中考 1.(江西)计算(2m2)3的结果为 ( )13.先化简，再求值： A.8m B.6m C.2m D.2m (1)(长春)(a+1)+a(1-a),其中a= 2.(新疆维吾尔自治区)计算4a·3ab÷2ab的 3 结果是 ( A.6a B.6ab C.6a2 D.6a2b2 3.(河北)若k为任意整数，则(2k十3)2一4k2的 值总能 ( A.被2整除 B.被3整除 (2)(长沙)(x+y)(x-y)-x(x+y)+2xy, 其中x=(3-π)°，y=2. C.被5整除 D.被7整除 4.(成都)下列计算正确的是 ( A.5ab-3a=2b B.(-3a2b)2=6ab C.(a-1)2=a2-1 D.2a2b÷b=2a 5.(潍坊)下列因式分解正确的是 ( 14.(安微)观察以下等式： A.3a.x2-6a.x=3(a.x2-2a.x) 第1个等式：(2×1+1)2=(2×2+1)2一 B.-x2+y2=(-x+y)(-x-y) (2×2)2: C.a2+2ab+4b2=(a+2b) 第2个等式：(2×2+1)2=(3×4+1)2一 D.-a.x2+2ax-a=-a(x-1)2 (3×4)2: 6.(天水)已知a+6=号，则代数式2a+26-3 第3个等式：(2×3+1)2=(4×6+1)2一 (4×6)2: 的值是 ( 第4个等式：(2×4+1)2=(5×8+1)2- A.2 B.-2 C.-4 D.-3 (5×8)2: 7.(泰安)分解因式：9.x3一18.2十9.x= +…e4 8.(天津)计算（√7+√6）(7一√6)的结果为 按照以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式 9.(成都)已知a-7一3b,则代数式a+6ab+ 子表示)，并证明. 9b的值为 10.(德阳)已知(x十y)2=25,(x-y)2=9,则 Iy= 11.(乐山)已知m2十2十10=6m一2n,则m 1= 12.(莱芜)已知m十n=3,mn=2,则m2一 n2=逆用法则简化运算. 复习课 12. 点拨：因为x2一y2=(x十y)(x一y)= 【综合复习】 6,由x十y=3①，得x-y=2②.由①②， 1.A点拔：若两个单项式的和仍是单项式， 得1=2y=所以xy= 5 则2ab2m与a2m-2b3一定是同类项，那么会 41 有2m=8,m=2n一2，解得m=4,n=3. a+3=0, 2.B 13.- 3 点拨：由已知等式，得 3b+1=0, 3.C点拔：原式-[(3a+号(3a-2)] a=-3, 解得 1 所以a20·b08=(-3)202X 0u2-)=81a-+6放选C b=- 3 4.B (-3)=3×(仁3)×(-) 5.D点拨：提公因式法分解因式要找准公 3×)×(仁-)=-3 因式，并注意符号问题 6.C点拨：N·ab=±2×a×8b,从而N= 14.1点拨：关键是将多项式变形，直接应用 已知条件.5+2a-6a2=5十2(a-3a2), 士16，故选C. 把a-3a2=-2整体代入，得原式=5十 7.B点拨：x2-（一y)2=x2-y可用平方差 2×(-2)=5-4=1. 公式因式分解，a2-ab+可用完全平 15.(1)am+bm+(2)81p-16g 方公式因式分解，即a2-ab+子B 16.解：(1)-8xy-4x2y十2xy=-2.xy(4xy+ 2x-1). (a-z). (2)(x2+y2)2-4.x2y2=(x2+y2)2 8.B点拨：a*b十(b-a)米b=ab十a一b+ (2xy)2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) (b-a)b+(b-a)-b=ab+a-b+82-ab+ (x+y)2(x-y)2 b-a-b=82-b. 点拔：对多项式进行因式分解关键是要遵 9.A点拨：x2+y2+2x-4y+7=(x+ 循因式分解的一般步骤，直到分解到不能 2x+1)+(y2-4y+4)+2=(x+1)2十 再分解为止。 (y-2)2十2≥2，故选A. 17.解：(1)y(x十y)十(x十y)(x-y)-x2= 10.999999点拨：1001×999=(1000+1)× xy十y+x2-y2-x2=xy.当x=-2, (1000-1)=10002-1=999999. y= 时，原式=-2×2-1. 1山。号点拔：前两项化为同底数幂的乘法， (2)(x+y)(x-y)+(x-y)2-(x2 3.xy)=x2-y+x2-2xy+y-x2+3.xy= 2b+a=-9,2h-3a=11,a=-5, 由 得 +,当x=2,y=号时，原式=2+ ab=10. 2h+a=-9,b=-2. (2)(2x-5)(3.x-2)=6.x2-15.x-4x+ 2×=5. 10=6.x2-19.x+10. 18.解：(1).x十y=1, 21.解：2(x-1)(x-9)=2(x2-10x+9)= 2x2-20x+18. 甲同学看错了一次项系数， x+w=号×1=号 2 ∴.一20x错误，2x2,18正确. 2(x-2)(x-4)=2(.x2-6.x+8)=2.x2 (2)x-y=- 2 12x+16. .(x2+y2)2-4xy(x2+y)+4x2y2 乙同学看错了常数项， +r-2=-w=(-号}-品 .16错误，2x2,一12x正确. ∴.原多项式为2x2一12x+18,因式分解为 点拨：通过把要求的代数式进行变形，变 2.x2-12.x+18=2(x2-6.x+9)=2(x-3)2. 成只含有已知的式子的形式，然后用整体 点拨：观察题目，应先将甲、乙两同学的错 思想来解决问题，这是数学中常用的一种 误结果展开，有选择地取舍后得到正确的 重要的思想方法。 原多项式，再进行因式分解. 19.解：4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x-y) 【聚焦中考】 (2.x+y). 1.A2.C3.B4.D5.D6.B 取x=10,y=10时， 7.9.x(x-1)28.1 2x-y=20-10=10,2x+y=20+10=30, 9.49点拨：由a=7一3b,得a+3b=7,原 所以密码可以是101030或301010 式=(a+3b)2=72=49. 或103010. 10.4 20.解：(1)由题意得(2x一a)(3.x十b)=6.x2+ 11.412.6 2bx-3ax-ab=6x2+(26-3a)x-ab= 13.解：(1)原式=a2+2a+1+a-a2=3a+ 6.x2+11x-10, 2b-3a=11, 1.当a=停时，原式=3x5+1=5+1 3 ab=10. (2)原式=x2-y2-x2-xy+2xy=xy (2.x+a)(x+b)=2x2+2b.x+a.x+ab= y2, 2x2-9x+10, ,x=(3-π)°=1，y=2, .原式=2-4=-2. 3.B点拨：分式的值为0的条件是：①分子 14.解：(1)(2×5+1)2=(6×10+1)2-(6× 为0，②分母不为0.由分子x2一1=0，得 10) x=士1，由分母x十1≠0，得x≠一1，.当 (2)第n个等式为(2n十1)2=[(n+1)· x=1时，分式的值为0. 2n+1]2-[(n+1)·2n], 4.(1)a=0 (2)a=2 (3)a<且u≠0 证明如下： 等式左边：(2n十1)2=4n2+4n十1， (4)a72 等式右边：[(n+1)·2n+1]2-[(n+1)· /240200 5. a a 2n] 6.解：(1)当x+3≠0，即x≠一3时，分式有 =[(+1)·2n+1+(n+1)·2n]·[(n+ 意义 1)·2n+1-(n+1)·2n] (2)当2x2-18=0且x+3≠0，即x=3时， =[(n+1)·4n+1]×1 分式的值为0. =4n2+4n+1, 点拨：求使分式的值等于0的数，可令分子 故等式(2n+1)2=[(n+1)·2m+1]2 等于0，但是求出的值要代入分母验证，看 [(n+1)·2n]成立. 分母是否为0，使分母为0的值不是原分式 第十五章 分式 方程的解。 【能力提升】 15.1分式 1.A2.C3.C4.C 5.D点拨：分式的值为0应满足分子等于0 第1课时从分数到分式 x-2=0, 【基础巩固】 且分母不等于0，即 .x=2. x2-1≠0. 1.B 6.D 2.A点拔：根据分式的概念知子0的分 7.A点拨：分式的值为正数的条件为分子、 母都含有字母，所以它们是分式.故选A. 分母同号，即1-4x<0,所以x> 此圈易把买看成是分式，因为云是一个常 数，不是字母，所以是整式.注意分式定义 9.(1)≠3(2)2(3)-3 包含两点：①在合中，B中含有字母：②B不 10.6点拨：当x=2时，分式无意义，即分母 能为0. x2一5.x十a=0,将x=2代入即可求出