第6课时 角的平分线的性质-2024-2025学年八年级上册数学同步辅导（人教版）

12.3角的平分线的性质 第6课时角的平分线的性质 基础巩固 1.如图12-6-1，在Rt△ABC中，∠C=90°， 6.如图12-6-5，AD∥BC,∠ABC的平分线 ∠ABC的平分线BD交AC于点D.若CD= BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,作 3cm,则点D到AB的距离是 ( PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD A.5cm B.4cm C.3cm D.2cm 与BC间的距离为 2.如图12-6-2，下列条件中不能确定点O在 ∠APB的平分线上的是 ( A.△PBA≌△PDC B.△AOD≌△COB 图12-6-4 图12-6-5 图12-6-6 C.AB⊥PD,DC⊥PB 7.如图12-6-6，在Rt△ABC中，∠B=90°， D.点O到∠APB两边的距离相等 ∠A=40°，MN⊥AC于点N,MB=MN,则 ∠BCM= 8.如图12-6-7，OP平分∠AOB,PC⊥OA于 点C,PD⊥OB于点D,CD与OP相交于点 Q.求证：CQ=DQ. 图12-6-1 图12-6-2 图12-6-3 3.到三角形三边距离相等的点是 A.三条中线的交点 B.三条高的交点 图12-6-7 C.三条内角平分线的交点 D.不能确定 4.如图12-6-3，如果点P在∠AOB的平分线 上，PB=9,则PA= 5.如图12-6-4，在△ABC中，∠C=90°，BC= 40cm,∠BAC的平分线AD交BC于点D, 且BD：DC=5:3,则点D到AB的距离是 9.如图12-6-8，在四边形ABCD中，BC>BA,↑10.如图12-6-9，已知PB、PC分别是△ABC AD=DC,BD平分∠ABC.求证：∠BAD+ 的外角平分线，且相交于点P.求证：点P ∠C=180°. 在∠A的平分线上 图12-6-8 图12-6-9 能力提升 1.如图12-6-10，OP平分∠AOB,PA⊥OA, 点的连线平分已知角 PB⊥OB,垂足分别为点A、B,则下列结论 D.角内有两点各自到角的两边的距离相等， 中不一定成立的是 经过这两点的直线平分这个角 A.PA=PB B.PO平分∠APB 3.如图12-6-11，在Rt△ABC中，∠C=90°，利 C.OA=OB D.AB垂直平分OP 用尺规在BC,BA上分别截取BE,BD,使 BE=BD:分别以点D,E为圆心、以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于 图12-6-10 点F;作射线BF交AC于点G.若CG=1,P 2.下面的结论中错误的是 ( 为AB上一动点，则GP的最小值为( A.到已知角的两边的距离相等的点都在同 A.无法确定 一直线上 B.一条直线上有一点到已知角的两边的距 B号 D 离相等，这条直线平分已知角 C.1 图12-6-11 C.到角的两边的距离相等的某点与角的顶 D.2 4.如图12-6-12，BD是∠ABC的平分线， ↑9.如图12-6-17，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别 DE⊥AB,垂足为E,若S△x=30cm,AB= 为D、E,BE与CD相交于点O,且AO平分 18cm,BC=12cm,则DE= cm. ∠BAC.求证：OB=OC 图12-6-12 图12-6-13 图12-6-17 5.如图12-6-13，l1,l2,1表示三条相互交叉的 公路，现要建一个货运中转站，要求它到三 条公路的距离相等，则可选择的地址有 处 6.如图12-6-14，已知DB⊥AE于点B,DC1 结影-题 AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°， ∠ADG=130°，则∠DGF= 如图12-6-18①，OP是∠MON的平分线， 请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称 轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形 的方法，解答下列问题： (1)如图12-6-18②，在△ABC中，∠ACB 图12-6-14 图12-6-15 是直角，∠B=60,AD、CE分别是∠BAC 7.如图12-6-15，AD平分∠BAC,DE⊥AB于 ∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F,请你判 点E,DF⊥AC于点F,且∠B=40°，∠C= 断并写出FE与FD之间的数量关系； 80°，则∠ADE= 8.如图12-6-16，P是∠BAC内的一点，PE」 AB,PF⊥AC,垂足分别为点E、F,AE= AF.求证： ② (1)PE=PF; 图12-6-18 (2)点P在∠BAC的平分线上. (2)如图12-6-18③，在△ABC中，如果 ∠ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请 问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成 立，请证明：若不成立，请说明理由. 图12-6-16∴.∠CAB=∠ACB=45 (2)结论仍然成立，理由同(1). ,'∠BAE=∠CAB-∠CAE 精彩一题 =45°-30° (1)证明：，BG∥AC, =15°， ∴.∠DBG=∠DCF. 由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF, 又BD=CD,∠BDG=∠CDF, ∴.∠BCF=∠BAE=15°， ∴.△BGD≌△CFD(ASA). ∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB ..BG=CF. =45°+15 (2)解：BE+CF>EF.证明如下： =60. 由△BGD≌△CFD可得DG=DF,BG= 7.证明：延长CE与BA,延长线交于点F CF. CE⊥BD,.∠1+∠F=90 ,ED⊥GF, 又，∠BAC=∠F+∠ACF=90°， ∴.∠EDF=∠EDG=90°. ..∠1=∠ACF. 在△EDG和△EDF中， 又，AB=AC. DG=DF, ∴.Rt△ABD≌Rt△ACF(ASA), ∠EDG=∠EDF, ∴.BD=FC ED-ED. ,BD⊥CE,∠1=∠2， ∴.△EDG≌△EDF(SAS), ∴.△BEF≌△BEC(ASA). ∴.EG=EF ∴.CF=2CE. '.在△BEG中，BE+BG>EG, 又'BD=CF,∴.BD=2CE. 即BE+CF>EF. 8.解：(1)BD与EF互相平分.理由如下： .AE=CF,..AE+EF=CF+EF, 12.3 角的平分线的性质 ∴.AF=CE 又AB=CD, 第6课时角的平分线的性质 ∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL), 【基础巩固】 ∴.BF=DE. 1.C2.C3.C 又.∠DEG=∠BFG=90°，∠EGD= 4.9点拨：因为点P在∠AOB的平分线上， ∠FGB, 而角平分线上的点到角两边的距离相等， '.△DEG≌△BFG(AAS), PA与PB恰好是点P到角两边的距离， ∴.EG=FG,DG=BG 所以PA=PB=9. ∴.BD与EF互相平分. 5.15cm6.47.259 8.证明：，OP平分∠AOB,PC⊥OA于点 .∠AEP=∠AFP=90° C,PD⊥OB于点D,.PC=PD. 又AE=AF,AP=AP, 又OP=OP, ∴.Rt△AEP≌Rt△AFP, ∴.Rt△OCP≌Rt△ODP,∴.OC=OD .PE=PF. 又.OQ=OQ,OP平分∠AOB, (2)由(1)得Rt△AEP≌Rt△AFP, ∴.△OCQ≌△ODQ,.CQ=DQ .∠EAP=∠FAP, 9.证明：过点D作DE⊥AB交BA的延长线 ∴.AP是∠BAC的平分线， 于点E,过点D作DF⊥BC于点F. 故点P在∠BAC的平分线上. ,BD平分∠ABC,∴.DE=DF. 9.证明：点O在∠BAC的平分线上， 在Rt△EAD和Rt△FCD中， OE⊥AC,OD⊥AB,∴.OD=OE. AD=DC, 在Rt△ODB和Rt△OEC中， DE=DF, ∠ODB=∠OEC=90°， ,∴.Rt△EAD≌Rt△FCD(HL), OD=OE. ∴.∠C=∠EAD. :∠EAD+∠BAD=180°， ∠BOD=∠COE, ∴.∠BAD+∠C=180°. ,∴.Rt△ODB≌Rt△OEC(ASA), 10.证明：过点P作PE⊥AB于点E,PG⊥ ..OB=OC. AC于点G,PH⊥BC于点H. 精彩一题 点P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB, 解：作图略.(1)FE=FD PH⊥BC, (2)FE=FD仍然成立.证明如下： ∴.PE=PH. 在AC上截取AG=AE,连接FG. 同理PG=PH,∴.PE=PG, 由∠EAF=∠GAF,AF为公共边， 点P在∠A的平分线上. 易证△AEF≌△AGF, 【能力提升】 ∴.∠AFE=∠AFG,FE=FG 1.D2.B3.C4.25.46.150 又，∠B=60°， 7.60°点拨：∠BAC=180°-∠B-∠C AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， 60,∠DAE-2∠BAC=30,∠ADE- ∴.∠GAF+∠FCG=60°， 180°-∠DAE-∠AED=60. ∴.∠CFD=∠GAF+∠FCG=60°， 8.证明：(1)连接AP ∴.∠AFE=∠AFG=∠CFD=60°， PE⊥AB,PF⊥AC, ∴.∠CFG=60°. ,∠FCG=∠BCE,FC为公共边， 斜边相等，再有一组直角边相等，可依据 ∴.△CFD≌△CFG. “HL”判定. ∴.FG=FD,.EF=FD. 14.解：D为BC的中点，.BD=CD.在 △ABD和△ACD中，BD=CD,AB=AC, 复习课 AD=AD,.△ABD≌△ACD(SSS), 【综合复习】 .∠ADB=∠ADC=90°.又，AD为铅 1.C2.D3.D4.A5.B6.D 垂线，∴.BC为水平线. 7.B点拨：由∠ABC=∠DBE,得∠ABC+ 15.(1)证明：'AC⊥CE,CF⊥AE, ∠CBE=∠DBE+∠CBE,即∠ABE= ∴.∠CAE=∠BCD.在△ACE和△CBD中， ∠DBC.又：AB=BC,BE=BD, '∠CAE=∠BCD. ∴.△ABE≌△CBD(SAS),.AE=CD. CA=BC, ∴.△ACE≌△CBD, 8.A点拨：由△BDF≌△CED,可知 ∠ACE=∠CBD, ∠CED=∠BDF,.∠a=180°-∠BDF ∴.AE=CD. -∠CDE=180°-∠CED-∠CDE= (2)解：由(1)△ACE≌△CBD可知 ∠C.又：∠B=∠C,∠a=号180° BD=CE,CE=2BC=)AC=2× ∠A),∴.2∠a=180°-∠A.即2∠a+ 12=6(cm),.BD的长为6cm. ∠A=180°. 16.解：因为PQ=AB,当PA=BC及PA= 9.60°10.7 AC时，都有△ABC与△APQ全等.①当 11.6cm点拨：，△ABC≌△DEF,.S△x= PA=BC时，在Rt△ABC和Rt△QPA S△，BC的对应边为EF,且对应边上的 中，因为AB=PQ,所以有Rt△ABC≌ 高也对应相等，EF边上的高为18÷ Rt△QPA(HL),此时PA=BC=5cm, 6×2=6(cm). 即P点运动到AC的中点处时，两个三 12.3cm60°点拨：，△ABC≌△EFC, 角形全等；②当PA=AC=10cm时，在 '.BC=CF=3cm,∠B=∠EFC=60°. Rt△ABC和Rt△PQA中，因为AB= 13.2点拨：①中只有两个条件，所以不能判 PQ,所以有Rt△ABC≌Rt△PQA(HL), 断：②中直角三角形是特殊三角形，所以 即当P点与C点重合时，两个三角形全 具有一般三角形的性质；③中两边相等可 等，综上所述，当P点运动到AC的中点 能会出现斜边和直角边相等的情况：④中 或P点与C点重合时，△ABC与△APQ