第5课时 “HL”-2024-2025学年八年级上册数学同步辅导（人教版）

第5课时 “HL.” 基础巩固 1. 如图12-5-1,在Rt△ACD和Rt△BCE中, 15. 如图12-5-4,AD、EH分别是锐角△ABC与 若AD=BE,DC=EC,则下列结论不正确的 △EFG的高,且AB=EF,AD=EH,若使 是 。 △ABC。△EFG,可添加的条件是 A. RtACDRtBCE (只需填一个) B.OA-OB ##.# C.E为AC的中点 D. AE-BD 图12-5-1 2.下面的语句正确的有 图12-5-4 ①两条直角边对应相等的两个直角三角形 6. 如图12-5-5,AB=CD,DE AC.BF |AC 全等;②两锐角对应相等的两个直角三角形 E.F分别为垂足,DE一BF.求证:AE一CF. 全等:③一锐角与一斜边对应相等的两个直 #### 角三角形全等;④一锐角和这个锐角的对边 对应相等的两个直角三角形全等, 图12-5-5 B.2个 A.1个 C.3个 D.4个 3. 如图12-5-2,在△ABC中,如果AB=AC. BD=DC,DE AB,DF 1 AC,那么图中与 B互余的角有 ( C.3个 A.5个 B.4个 D.2个 7. 如图12-5-6,在△ABC中,C=90*},AD是 BAC的平分线,DE|AB于点E,F在AC 上,BD-DF.求证:CF-EB 图12-5-2 图12-5-3 4. 如图12-5-3,已知AB-AD,那么添加下列 一个条件后,仍无法判定△ABC/ADC 的是 _ ) 图12-5-6 A.CB-CD B. BAC- DAC C. BCA-/DCA D. B-/D-90* 能力提升 1. 如图12-5-7,点D在AB上,点E在AC上; 6.如图12-5-12,在△ABC中,AB=CB 且 B=C,那么添加下列条件之一,不能 ABC-90{*},F为AB延长线上一点,点E 判定△ABE△ACD的是 在BC上,且AE-CF A.AD-AE (1)求证:Rt△ABERt△CBF; B. AEB-ADC-90* (2)若 CAE=30{,求 ACF的度数. C. BE-CD D.AB-AC 图12-5-7 2. 如图12-5-8,在△ABC中,C=90{*,AC= BC,AD平分/CAB,交BC于D.DE AB于 图12-5-12 E,且AB-6cm,则△DEB的周长为 B. 6cm A.4cm C.8cm D. 12cm ### 图12-5-8 图12-5-9 3. 如图12-5-9, ADB= ACB-90{*,AC$ BD.AC、BD相交于点O,给出下列五个结 7. 如图12-5-13,在Rt\ABC中,AB=AC 论:①AD=BC;② DBC=CAD:③AO $BAC=90*},1= 2,CE 1BD交BD的$ BO;④AB/CD;DO=CO.其中正确的有 延长线于点E.求证:BD一2CE .(填序号) 4. 如图12-5-10,在△ABC中,B=90{, AB=AD,DE |AC于D,若 C=28*,则$ 图12-5-13 AED- 度. 图12-5-10 图12-5-11 5. 如图12-5-11,在四边形ABCD中,ADC= ABC-90*,AD=CD,DE1AB于点E,若 四边形ABCD的面积为16,则DE= 8. 如图12-5-14①,已知A、E、F、C在同一条直 精影一题 线上,AE=CF,过E、F分别作DEIAC于 如图12-5-15,在△ABC中,D是BC的中 点E,BF|AC于点F,若AB=CD 点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的 ##### 平行线BG于点G,DE1GF交AB于点E,连 接EG、EF. ② ① (1)求证:BG-CF; 图12-5-14 (2)请你判断BE十CF与EF的大小关系, (1)BD与EF互相平分吗?请说明理由; 并证明你的结论 (2)若将△ABF沿CA方向移动变为图12- 5-14②时,其余条件不变,上述结论是否 #7# 仍然成立?请说明理由 图12-5-15 -.)---” -)-)如图甲，过点C作CG⊥AB,垂足为点G, ,∠C=90°，DE⊥AB, ,∠H1AC+∠ACH1+∠AHC=180°， .∠AED=∠C=90. ∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°， .AD=AD,.△ADC≌△ADE(AAS). ∠AH1C=∠ACD1, .'DC=DE. ∴.∠H1AC=∠D1CM. 在Rt△FCD和Rt△BED中， 在△ACG和△CDM中， .BD=DF,DC=DE. I∠H1AC=∠D,CM, .Rt△FCD≌Rt△BED(HL), ∠AGC=∠CMD,=90°， ..CF=EB. AC=CD, 【能力提升】 .△ACG≌△CDM(AAS), 1.B ∴.CG=DM,同理可证CG=D2N, 2.B点拨：可证明Rt△ACD≌Rt△AED得 到AE=AC=BC,DE=DC,所以△DEB ∴.DM=D2N. 的周长为BD+DE+BE=BD+DC+ K2\D BE=BC+BE=AE+BE=AB=6cm. 3.①②③④⑤ 分 4.59点拨：由题中条件知△ABE≌△ADE, ②作图如图乙所示.DM=D2N还成立. 所以∠BAE=∠EAD=∠BAC.又因为 2 第5课时“HL” ∠C+∠BAC=90°，所以∠BAC=62°，所以 【基础巩固】 ∠EAD=31°.又因为∠AED+∠EAD= 1.C2.C3.B4.C 90°，所以∠AED=90°-31°=59 5.BC=G(答案不唯一) 5.4点拨：过点D作DF⊥BC交BC的延长 6.证明：，DE⊥AC,BF⊥AC, 线于点F,易证△ADE≌△CDF,∴.DE= ∴.∠AFB=∠CED=90°. DF.'Sg边形AD=SE方形EBF=DE=16, .AB=CD,DE=BF, .DE=4. .Rt△ABF≌Rt△CDE(HI), 6.(1)证明：，∠ABC=90°， ..AF=CE. ∴.∠CBF=∠ABE=90 ..AF-EF=CE-EF, 在Rt△ABE和Rt△CBF中， 即AE=CF. .AE=CF,AB=BC, 7.证明：，'AD是∠BAC的平分线， ∴.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). ∴.∠DAC=∠DAE. (2)解：，AB=BC,∠ABC=90°， ∴.∠CAB=∠ACB=45 (2)结论仍然成立，理由同(1). ,'∠BAE=∠CAB-∠CAE 精彩一题 =45°-30° (1)证明：，BG∥AC, =15°， ∴.∠DBG=∠DCF. 由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF, 又BD=CD,∠BDG=∠CDF, ∴.∠BCF=∠BAE=15°， ∴.△BGD≌△CFD(ASA). ∴.∠ACF=∠BCF+∠ACB ..BG=CF. =45°+15 (2)解：BE+CF>EF.证明如下： =60. 由△BGD≌△CFD可得DG=DF,BG= 7.证明：延长CE与BA,延长线交于点F CF. CE⊥BD,.∠1+∠F=90 ,ED⊥GF, 又，∠BAC=∠F+∠ACF=90°， ∴.∠EDF=∠EDG=90°. ..∠1=∠ACF. 在△EDG和△EDF中， 又，AB=AC. DG=DF, ∴.Rt△ABD≌Rt△ACF(ASA), ∠EDG=∠EDF, ∴.BD=FC ED-ED. ,BD⊥CE,∠1=∠2， ∴.△EDG≌△EDF(SAS), ∴.△BEF≌△BEC(ASA). ∴.EG=EF ∴.CF=2CE. '.在△BEG中，BE+BG>EG, 又'BD=CF,∴.BD=2CE. 即BE+CF>EF. 8.解：(1)BD与EF互相平分.理由如下： .AE=CF,..AE+EF=CF+EF, 12.3 角的平分线的性质 ∴.AF=CE 又AB=CD, 第6课时角的平分线的性质 ∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL), 【基础巩固】 ∴.BF=DE. 1.C2.C3.C 又.∠DEG=∠BFG=90°，∠EGD= 4.9点拨：因为点P在∠AOB的平分线上， ∠FGB, 而角平分线上的点到角两边的距离相等， '.△DEG≌△BFG(AAS), PA与PB恰好是点P到角两边的距离， ∴.EG=FG,DG=BG 所以PA=PB=9. ∴.BD与EF互相平分. 5.15cm6.47.259