第5课时 三角形的外角-2024-2025学年八年级上册数学同步辅导（人教版）

11.在△ABC中，已知∠A=2∠B,∠B= 结影-题 ∠C-10°，求△ABC各内角的度数. 如图11-4-15①，在△ABC中，AE平分 ∠BAC(∠C>∠B),F为AE上一点，且FD⊥ BC于点D (1)试推导∠EFD与∠B、∠C的大小 关系： (2)如图11-4-15②，当点F在AE的延长 线上时，其余条件都不变，判断你在(1)中推导 的结论是否还成立？ 图11-4-15 第5课时P三角形的外角 基础巩固 1.下列图形中，∠1一定大于∠2的是( )2.如图11-5-1，已知直线AB∥CD,∠C= 115°，∠A=45°，那么∠E的度数为() 图11-5-1 A.70° B.80° C.90° D.100° 3.如图11-5-2，∠ABC的平分线与∠ACB的：7.某机器零件的横截面如图11-5-6，按要求线 外角平分线相交于D,∠D=40°，则∠A等 段AB和DC的延长线相交成直角才算合格， 于 ( 一工人测得∠A=23°，∠D=31°，∠AED A.50° B.60° C.70° D.80 143°，则判断该零件 (填“合格”或 4.如图11-5-3，点D是△ABC的边BC延长 “不合格”). 线上一点，∠A=70°，∠ACD=105°，则 18.如图11-5-7，∠EAC是△ABC的外角，AD ∠B 平分∠EAC.若∠B=30°，∠EAC=130°，求 ∠D的度数 。八 图11-5-2 图11-5-3 图11-5-4 5.如图11-5-4，∠a=125°，∠1=50°，则∠3的 图11-5-7 度数是 6.如图11-5-5，E是△ABC内一点，CE交AD 于点E,∠1是 的外角，∠3是 的外角，用“<”连接∠1，∠2，∠3 为 图11-5-5 图11-5-6 能力提升 1.如图11-5-8，∠A、∠1、∠2的大小关系是 B.∠B<∠1+∠2 ( C.∠ACD是△ABC的外角 A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A D.∠ACD>∠A+∠B C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 3.将一把直尺与一块三角板按如图11-5-10 所示的方式放置，若∠1=45°，则∠2的度数 为 图11-5-8 图11-5-9 图11-5-10 2.如图11-5-9，下列说法错误的是 A.115 B.120°C.145 D.135 A.∠1不是△ABC的外角 4.一副三角板如图11-5-11所示叠放在一起，10.如图11-5-16，点D在△ABC的BC边上， 则图中∠a的度数是 () 且∠1=∠2，∠3=∠C,∠BAC=63°，求 ∠DAC的度数. 图11-5-11 A.75 B.60° C.65 D.55 图11-5-16 5.已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一 定是 ( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形或锐角三角形 6.如图11-5-12，D是AB上一点，E是AC上 一点，BE、CD相交于点F,∠A=62°， ∠ACD=35°，∠ABE=20°，则∠BDC的度 数为 ,∠BFD的度数为 少结彩一题 如图11-5-17，∠A=70°，BE是∠ABD的 平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF相 图11-5-12 图11-5-13 图11-5-14 交于点G.若∠ABD=40°，∠ACD=30°，求 7.如图11-5-13，一张直角三角形纸片，剪去直 ∠BGC和∠BDC的度数. 角后得到一个四边形，则∠1十∠2= 度 8.如图11-5-14，则∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E= 图11-5-17 9.如图11-5-15，已知F是△ABC的BC边延 长线上的一点，DF⊥AB,且∠A=56°， ∠F=31°，求∠ACF的度数. 图11-5-15·∠FBC=2∠ABC,∠FCB=2∠ACB. ∴.∠A=85°，∠B=42.5°，∠C=52.5° 精彩一题 .∠A=65°， 解：(1)过点A作AM⊥EC于点M,则 ∴.∠ABC+∠ACB=180°-65°=115. ∠EFD=∠EAM, ·∠FBC+∠FCB=号（∠ABC+ ∠EAM=∠EAC-∠MAC-;∠BAC- ∠ACB)=57.5°. (90°-∠C) .∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB)= 122.5 =2180°-∠B-∠C)-(90°- (2)由(1)中推理易知此时∠BFC=90°+ ∠C) 2a. =2(∠C-∠B. 点拨：三角形内角和为180°是我们计算角 ·∠EFD=2(∠C-∠B). 度的有利工具，它常与角平分线、等腰三角 (2)仍成立，方法同(1) 形等具有特殊性质的图形综合运用，并要 注意在计算中也应有必要的推理过程，另 第5课时三角形的外角 外(2)中的结论可作为一个常用结论将它 【基础巩固】 记住，有利于我们解题. 1.B2.A 【能力提升】 3.D点拨：：∠ACE=2∠DCE=∠A十 1.A2.C3.B4.A5.A 2∠DBC,.∠A=2(∠DCE-∠DBC)= 6.33°7.65°8.180°9.30 2∠D=80°. 10.解：∠BAC=35°+30°=65°，∠ACB= 4.35° 90°-30°+10°=70°.在△ABC中，∠ABC+ 5.105°点拨：由平角的定义知∠α的补角为 ∠ACB+∠BAC=180°， 180°-125°=55°，再利用三角形外角的性 .∠ABC=180°-65°-70°=45. 质得∠3=∠1十55°=50°+55°=105. 11.解：设∠C的度数为a, 6.△CED△ABD∠2<∠3<∠1 则∠B=a-10°，∠A=2(a-10°). 7.不合格点拨：延长AE交CD于点F, ,∠A+∠B+∠C=180°， ∴.∠AFD=∠AED-∠D=143°-31°=112°， .a十a-10°+2(a-10°)=180°， 线段AB和DC延长线相交的角为∠AFD 解得a=52.5°，a-10°=42.5°，2(a-10)= -∠A=112°-23°=89°≠90°. 85°， 8.解：∠EAC=130°，AD平分∠EAC, ∠EAD-2∠EAC=65 ∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB)= 180°-(180°-∠A-∠ABD-∠ACD)= ,'∠EAD是△ABD的外角， ∠A+∠ABD+∠ACD=70°+40°+30°= ∴.∠EAD=∠B+∠D. 140°. ∴.∠D=∠EAD-∠B=65°-30°=35. 【能力提升】 11.3 多边形及其内角和 1.B2.D3.D4.A5.B 第6课时多边形 6.97°63 【基础巩固】 7.270点拨：∠1+∠2=2×180°-(180° 1.D2.C3.B4.B 90)=270°. 5.(1)是四边形：(2)是五边形：(3)不是多边 8.180°点拨：，∠DMO是△CME的一个 形：(4)是六边形 外角，.∠DMO=∠C十∠E. 6.解：(1)在n边形中，以一个顶点为例，除了 同理可得∠DOM=∠A+∠B. 它自身和左右与它相邻的两个顶点外，这 又.∠DMO+∠DOM+∠D=180°， 一点与其他各点都可画出对角线，即过 ∴.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 边形的一个顶点可画出(n一3)条对角线. 9.解：DF⊥AB,.∠BDF=90°， 由于n边形共有n个顶点，所以一共可画 ∴.∠B=90°-∠F=59°， 出n(n一3)条对角线，但由于每条对角线 ∴.∠ACF=∠A+∠B=56°+59°=115 算了两次（比如对角线AC和CA是同一 10.解：设∠1=x,则∠C=∠3=2.x,∠DAC 63°-x, 条)，因此m边形的对角线为"，3》条。 2 ∠ADB=180°-2x=2.x+63°-x, 验证：当n=4时，对角线为4X4-3) 2 解得x=39°， 则∠DAC=63°-x=24. 2(条)：当n=5时，对角线为5×(5-3) 2 精彩一题 5(条)：当n=6时，对角线为6×(6-3) 2 解：连接BC 9(条). :∠GBD=∠ABG=号∠ABD=20, (2)当n=12时，对角线为12×(12-3) 2 ∠GCD=∠ACF=2∠ACD=15, 54(条)，即十二边形共有54条对角线. ∴.∠BGC=∠GEC+∠ACF=∠A+ 【能力提升】 ∠ABG+∠ACF=70°+20°+15°=105°，1.D2.C3.C