第4课时 三角形的内角-2024-2025学年八年级上册数学同步辅导（人教版）

11.2写三角形有关的角 第4课时三角形的内角 基础巩固 1.如图11-4-1，AE∥BD,∠1=120°，∠2= 6.如图11-4-4，∠A=60°，∠B=30°，∠C 40°，则∠C的度数是 ( 20°，求∠BOC的度数. A.10° B.20° C.30 D.40 2 图11-4-4 图11-4-1 2.下列说法正确的是 A.三角形的内角中最多有一个锐角 B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角 D.三角形的内角都大于60° 7.如图11-4-5，在△ABC中，BF平分∠ABC, 3.如图11-4-2，∠A+∠B+∠C+∠D+ CF平分∠ACB,∠A=65°. (1)求∠BFC的大小： ∠E十∠F一定等于 ( (2)若将题目“∠A=65”改为“∠A=a”,则 A.180°B.360° C.540° D.720° ∠BFC的大小是多少？ 图11-4-5 图11-4-2 图11-4-3 4.如图11-4-3，在△ABC中，CD是∠ACB的 平分线，∠A=80°，∠ACB=60°，那么 ∠BDC等于 ( A.80° B.90 C.100° D.110 5.直角三角形中，两个锐角的角平分线相交所 成的角的度数为 能力提升 1.如果一个三角形的两个内角的度数分别为 7.如图11-4-11，AB∥CD,直线MN分别交 32°和68°，那么这个三角形是 ( AB、CD于点E、F,EG平分∠AEF,EG⊥ A.锐角三角形 B.直角三角形 FG于点G,若∠BEM=50°，则∠CFG= C.钝角三角形 D.不能确定 2.如图11-4-6，直线1∥l2,∠1=55°，∠2= 8.如图11-4-12，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 65°，则∠3的度数为 ( A.50 B.559 C.60° D.65 图11-4-6 图11-4-7 A 3.如图11-4-7，AB∥CD,AD和BC相交于点 图11-4-12 图11-4-13 O,∠A=40°，∠AOB=75°，则∠C等于( 9.图11-4-13是一块三角形木板的残余部分， A.40° B.65° C.75 D.115 量得∠A=110°，∠B=40°，则这块三角形木 4.如图11-4-8，已知DF⊥AB于点F,∠A= 板另外一个内角的度数是 35°，∠D=50°，则∠ACB的度数是()10.如图11-4-14，B处在A处南偏西35°方向， A.105°B.100°C.95 D.80 C处在A处南偏东30°方向，B处在C处西 偏南10°方向，求∠ABC的度数 北 图11-4-8 图11-4-9 5.如图11-4-9，从B,C两处观测A处的仰角 图11-4-14 分别为∠ABC=60°，∠ACB=50°，则从A 处观测B,C两处的视角∠BAC等于( A.70° B.50° C.60° D.55° 6.如图11-4-10，在△ABC中，∠ACB=90°， ∠ABC=33°，CD⊥AB于点D,则∠ACD= 图11-4-10 图11-4-11 11.在△ABC中，已知∠A=2∠B,∠B= 结影-题 ∠C-10°，求△ABC各内角的度数. 如图11-4-15①，在△ABC中，AE平分 ∠BAC(∠C>∠B),F为AE上一点，且FD⊥ BC于点D (1)试推导∠EFD与∠B、∠C的大小 关系： (2)如图11-4-15②，当点F在AE的延长 线上时，其余条件都不变，判断你在(1)中推导 的结论是否还成立？ 图11-4-15 第5课时P三角形的外角 基础巩固 1.下列图形中，∠1一定大于∠2的是( )2.如图11-5-1，已知直线AB∥CD,∠C= 115°，∠A=45°，那么∠E的度数为() 图11-5-1 A.70° B.80° C.90° D.100°2BC·AD可求. 们都是稳定的，从而五边形形状的木框就 稳定了. 9.解：设底边长为x,腰长为y, 【能力提升】 y+y =12, y+=15， 2 1.D2.A3.C 则 或 x+=15 2 x+-12. 4.三角形具有稳定性 5.稳定性 x=11,x=7, 解得 或 精彩一题 y=8 y=10. (1)三角形的稳定性和四边形的不稳定性 根据三角形三边关系可得三角形的三边长 (2)解：由图可知在折叠过程中，AB十AD= 为8,8,11或10,10,7. CD+BC,即AD=39时，才能实现上述的 精彩一题 折叠变化· 解：(1)猜想：AD=PE十PF.证明如下：连 接BP,则SAABC=S△ABP十S△xP,所以 11.2 与三角形有关的角 BC·AD=AB·PE+BC·PF.又因为 AB=BC,所以AD=PE+PF. 第4课时三角形的内角 (2)若P是AC延长线上一点，则(1)中的 【基础巩固】 结论不成立，应为AD=PE一PF.理由如 1.B2.C 下：连接BP,则S△AuC=S△ABr一S△CP,所 3.B点拨：∠A+∠E+∠C=180°，∠D+ 以BC·AD=AB·PE-BC·PF.又因为 ∠B+∠F=180. AB=BC,所以AD=PE-PF. 4.D5.45°或135° 第3课时三角形的稳定性 6.解：如图所示，连接BC, 【基础巩固】 在△ABC中，∠A=60°， 1.C2.D3.D 所以∠ABC+∠ACB= 4.解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不 180°-∠A=180°-60°=120°.又因为 稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离. ∠ABO=30°，∠ACO=20°，所以∠ABC+ 5.解：答案不唯一，如图，在A、 ∠ACB-∠ABO-∠ACO=∠OBC+ C和A、D间分别加一根木条 ∠OCB=120°-30°-20°=70°，所以 即可，因为这样可以将五边形 ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°- ABCDE转化为△ABC、△ACD、△ADE这 70°=110°. 三个三角形，根据三角形的稳定性可知它 7.解：(1)，BF平分∠ABC,CF平分∠ACB, ·∠FBC=2∠ABC,∠FCB=2∠ACB. ∴.∠A=85°，∠B=42.5°，∠C=52.5° 精彩一题 .∠A=65°， 解：(1)过点A作AM⊥EC于点M,则 ∴.∠ABC+∠ACB=180°-65°=115. ∠EFD=∠EAM, ·∠FBC+∠FCB=号（∠ABC+ ∠EAM=∠EAC-∠MAC-;∠BAC- ∠ACB)=57.5°. (90°-∠C) .∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB)= 122.5 =2180°-∠B-∠C)-(90°- (2)由(1)中推理易知此时∠BFC=90°+ ∠C) 2a. =2(∠C-∠B. 点拨：三角形内角和为180°是我们计算角 ·∠EFD=2(∠C-∠B). 度的有利工具，它常与角平分线、等腰三角 (2)仍成立，方法同(1) 形等具有特殊性质的图形综合运用，并要 注意在计算中也应有必要的推理过程，另 第5课时三角形的外角 外(2)中的结论可作为一个常用结论将它 【基础巩固】 记住，有利于我们解题. 1.B2.A 【能力提升】 3.D点拨：：∠ACE=2∠DCE=∠A十 1.A2.C3.B4.A5.A 2∠DBC,.∠A=2(∠DCE-∠DBC)= 6.33°7.65°8.180°9.30 2∠D=80°. 10.解：∠BAC=35°+30°=65°，∠ACB= 4.35° 90°-30°+10°=70°.在△ABC中，∠ABC+ 5.105°点拨：由平角的定义知∠α的补角为 ∠ACB+∠BAC=180°， 180°-125°=55°，再利用三角形外角的性 .∠ABC=180°-65°-70°=45. 质得∠3=∠1十55°=50°+55°=105. 11.解：设∠C的度数为a, 6.△CED△ABD∠2<∠3<∠1 则∠B=a-10°，∠A=2(a-10°). 7.不合格点拨：延长AE交CD于点F, ,∠A+∠B+∠C=180°， ∴.∠AFD=∠AED-∠D=143°-31°=112°， .a十a-10°+2(a-10°)=180°， 线段AB和DC延长线相交的角为∠AFD 解得a=52.5°，a-10°=42.5°，2(a-10)= -∠A=112°-23°=89°≠90°. 85°， 8.解：∠EAC=130°，AD平分∠EAC,