第2课时 三角形的高、中线与角平分线-2024-2025学年八年级上册数学同步辅导（人教版）

11.如图11-1-6，在某开阔地带，有四个村庄 少精彩一题 A、B、C、D位于四边形ABCD的四个顶点 如图11-1-7，△ABC的边BC上有2009 处，因用水困难，现准备建一个水厂，向这 个点，分别为D,D2,…,D2m,分别连接AD1, 四个村庄同时送水，该水厂建在何处时，所 AD,…,AD2m,试设法探索出图中共有多少个 需的水管最短？并说明理由 三角形.[提示：1+2+…+n=mDn>2] D,D3 图11-1-6 图11-1-7 第2课时三角形的高、中线与角平分线 基础巩固 1.小华在电话中问小明：“已知一个三角形的 2.如图11-2-1，以AD为一条高的三角形有 三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的 ( 面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的 A.2个 B.3个 高来求解.”小华根据小明的提示作出的图 C.4个 D.5个 形正确的是 图11-2-1 图11-2-2 3.如图11-2-2，AD是△ABC的中线，DH⊥ AB于点H,DGL⊥AC于点G,若AB=7cm, AC=6cm,DH=3cm,则DG的长是()6.如图11-2-5，在△ABC中，已知点D、E、F A.4cm B.3cm 分别为边BC,AD、CE的中点，且S△Ax= Com 4cm2,则S刚s等于 () D.无法判断 A.2cm2 B.1cm2 4.如图11-2-3，在△ABC中，∠1=∠2，G为 AD的中点，延长BG交AC于点E,CF⊥ C.gem D.cm AD于点H,延长CH交AB于点F,下面 7.如图11-2-6，在△ABC中，AE,CD分别为 判断： △ABC的高，若AB=5cm,AE=4cm,CD ①AD是△ABE的角平分线： 3cm.求BC的长. ②BE是△ABD的边AD上 的中线： ③CH是△ACD的边AD上 图11-2-3 的高： 图11-2-6 ④AH是△ACF的角平分线和高. 其中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图11-2-4，已知D、E分别是BC、CD的中 点.若△ABC的面积为S,则△AEC的面积 为 A.7S B.iS D.不能确定 图11-2-4 图11-2-5 能力提升 1.下列说法中正确的是 ( 在三角形外：⑥三角形的三条中线总在三角 ①平分三角形内角的射线叫做三角形的角 形内 平分线：②三角形的中线、高和角平分线都 A.①③① B.②①⑥ 是线段：③三角形的中线是经过顶点和对边 C.②③⑤ D.①④⑤ 中点的直线：④三角形的各边上的高至少有 2.若有一块三角形的菜地ABC,现要一半种玉 一条在三角形内：⑤钝角三角形的三条高都 米，一半种豆角，则下列各项中，可把△ABC 分成面积相等的两部分的是 A.一边上的中线 B.一边上的高 C.一个角的平分线 图11-2-10 图11-2-11 D.以上都不对 8.如图11-2-11，在△ABC中，AD⊥BC于点 3.如图11-2-7，图中以BD为高的三角形的个 D,CE⊥AB于点E,已知AB=6,BC=4, 数是 ( AD=5,则CE= A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 9.在△ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD 把三角形的周长分成12cm和15cm的两部 分，求三角形各边的长 图11-2-7 图11-2-8 4.如图11-2-8，D、E分别是△ABC的边AC、 BC的中点，则下列说法不正确的是() A.DE是△BDC的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BE=EC D.DE是△ABC的中线 精彩一题 5.△ABC的三条高恰好交于△ABC的一个顶 如图11-2-12，在△ABC中，AB=BC,P 点，则△ABC一定是 三角形. 为底边AC上任意一点，PE⊥AB,PF⊥BC, 6.如图11-2-9. AD⊥BC,垂足分别为E,F,D. (1)猜想AD与PE、PF的大小关系，并加 以证明： (2)若P是AC延长线上一点，其余条件不 图11-2-9 变，则(1)中的结论还成立吗？请说明理由。 (1)若∠DAE=∠CAE,则AE平分 ∠ ,∠DAE=2∠ (2)若AF=FC,则△ABC的中线是 (3)若BG-GH-HF,则AG是 的 中线，AH是 的中线。 图11-2-12 7.如图11-2-10，在△ABC中，D、E分别是 BC、AD的中点，若S△c=4cm,则S△E=同理，在△ACD中，AC+CD>AD,② 但AD不是△ABE内的线段，故①不正 由①十②，得 确，AD应是△ABC的角平分线：同理，BE AB+AC+BD+CD>2AD, 经过△ABD的边AD的中点G,但BE不 即AB+AC+BC>2AD. 是△ABD内的线段，故②不正确，正确的 11.解：连接AC、BD交于点O,取异于点O 说法应是BG是△ABD的边AD上的中 的点O',连接OA、OB、OC、OD,由三 线：由于CH⊥AD于点H,故CH是 边关系可知OD+OB≥OB+OD,当点 △ACD的边AD上的高，故③正确：AH O在BD上时，OD十OB有最小值，即 平分∠FAC并且在△ACF内，故AH是 为OD+OB, △ACF的角平分线，同理AH也是△ACF 同理有OA+OC≥OA十OC,当点O)在 的高，故④正确。 AC上时，OA+OC有最小值，即为OA十 5.B OC. 6.B 点拨：Sa=号S6c,Sar .OD+OB+OA+OC≥OD+OB+ OA+OC, 2SAwc-Samc-1em. 即OD+OB+OA+OC为最小值. 7.解：，在△ABC中，AE,CD分别为△ABC .该水厂应建在AC与BD的交点处. 的高， 精彩一题 &Se=2ABCD=号BC·AE, 解：以AB为边向右数有2010个三角形， 以AD1为边向右数有2009个三角形，以 AB·CD=BC·AE.BC=AB·CD AE AD2为边向右数有2008个三角形，…，以 又，'AB=5cm,AE=4cm,CD=3cm, AD为边向右数有1个三角形，故图中共有 BC=5X3_15 4 4 cm). 三角形的个数为2010十2009+2008十·+ 2+1=2010X(2010+1D=2021055(个). 【能力提升】 2 1.B2.A3.A4.D5.直角 第2课时三角形的高、中线与角平分线 6.(1)DAC DAC (2)BF (3)AABH 【基础巩固】 △AGF 1.C2.C 7.1cm2 点拔：S6E=号Sm=5am 3.C点拨：根据S△ABD=S△ADc,即AB· 1cm2. DH=AC·DG可求， 4.B点拨：由∠1=∠2知AD平分∠BAE, 89点拨：根据Sawe= 2AB·CE 2BC·AD可求. 们都是稳定的，从而五边形形状的木框就 稳定了. 9.解：设底边长为x,腰长为y, 【能力提升】 y+y =12, y+=15， 2 1.D2.A3.C 则 或 x+=15 2 x+-12. 4.三角形具有稳定性 5.稳定性 x=11,x=7, 解得 或 精彩一题 y=8 y=10. (1)三角形的稳定性和四边形的不稳定性 根据三角形三边关系可得三角形的三边长 (2)解：由图可知在折叠过程中，AB十AD= 为8,8,11或10,10,7. CD+BC,即AD=39时，才能实现上述的 精彩一题 折叠变化· 解：(1)猜想：AD=PE十PF.证明如下：连 接BP,则SAABC=S△ABP十S△xP,所以 11.2 与三角形有关的角 BC·AD=AB·PE+BC·PF.又因为 AB=BC,所以AD=PE+PF. 第4课时三角形的内角 (2)若P是AC延长线上一点，则(1)中的 【基础巩固】 结论不成立，应为AD=PE一PF.理由如 1.B2.C 下：连接BP,则S△AuC=S△ABr一S△CP,所 3.B点拨：∠A+∠E+∠C=180°，∠D+ 以BC·AD=AB·PE-BC·PF.又因为 ∠B+∠F=180. AB=BC,所以AD=PE-PF. 4.D5.45°或135° 第3课时三角形的稳定性 6.解：如图所示，连接BC, 【基础巩固】 在△ABC中，∠A=60°， 1.C2.D3.D 所以∠ABC+∠ACB= 4.解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不 180°-∠A=180°-60°=120°.又因为 稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离. ∠ABO=30°，∠ACO=20°，所以∠ABC+ 5.解：答案不唯一，如图，在A、 ∠ACB-∠ABO-∠ACO=∠OBC+ C和A、D间分别加一根木条 ∠OCB=120°-30°-20°=70°，所以 即可，因为这样可以将五边形 ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°- ABCDE转化为△ABC、△ACD、△ADE这 70°=110°. 三个三角形，根据三角形的稳定性可知它 7.解：(1)，BF平分∠ABC,CF平分∠ACB,