2.2.1直线的点斜式方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.1直线的点斜式方程 问题探究 与P0不重合的点； 或直线的倾斜角； 或直线的斜率. 增加条件： 可以完全确定一条直线. 已知直线l经过点P0(x0,y0), 可以确定一条直线吗? x y o 探究1：若直线l经过的点P0(x0,y0), 斜率为k，能否将直线上异于点P0的所有点的坐标P(x, y)满足的关系表示出来呢？ 【问题1】过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l上每个点的坐标是否都满足方程 y-y0=k(x-x0) ； 【问题2】以这个方程y-y0=k(x-x0)的解为坐标的点是否都在过点P0(x0,y0),斜率为k的直线l上. 说明：这条直线是方程的直线，这个方程是直线的方程. —— 直线的点斜式方程 4 【问题3】直线的点斜式方程能表示坐标平面上的所有直线吗？ 追问1：当直线过点P0(x0,y0)且倾斜角为0°时， 直线的方程是? 追问4：y 轴所在直线方程是什么？ 追问2：x 轴所在直线方程是什么？ 追问3：当直线过点P0(x0,y0)且倾斜角为90°时， 直线的方程是? 5 是 否 小结：求直线的方程的基本思路 【例1】已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝60°，∠B＝45°，求： (1)AB边所在直线的方程； (2)AC边与BC边所在直线的方程． (3)线段AB中垂线所在的方程. 【思考】你能说出直线点斜式方程的几何意义吗？ 表示恒过点（-1，2）的直线，不包括过点（-1，2）垂直于x轴的直线； 【变式1】已知直线，当k变化时，直线l都恒过点( ) A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1) 【变式2】设直线l的方程为． （1）无论a如何变化，求证直线l的恒过定点，并求定点坐标； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． l y O x P0(0, b) 斜率 y轴上的截距 截距可正，可负，也可以为零，截距不是距离， y轴上的截距： 直线的斜截式方程，简称斜截式 x轴上的截距： 直线的斜截式方程 （纵截距） （横截距） 直线与y轴交点的纵坐标b 直线与x轴交点的横坐标 问题再探究：已知直线l经过点（0，b) ,斜率是k,写出直线l的方程。 【问题4】任何一条直线都有横截距和纵截距吗？ 练习：已知直线l：2y=x-3，试问直线l的斜率和截距是多少？那它是直线的斜截式方程吗？ 【问题5】直线的斜截式方程y=kx+b的形式具有什么特点？ 左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义： k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 【例4】已知直线l1的斜率为2,求： (1)与直线l1垂直且在y轴上的截距为-3的直线l的方程； (2)直线l2的倾斜角是l1的2倍,且过点(-3,1)的直线l2的方程. 探究2： 已知直线 ， 试讨论：（1） 的条件是什么？ （2） 的条件是什么？ ,且 ； 于是我们得到，对于直线： 13 【例5】当a为何值时， (1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？ (2)两直线y＝－x＋4a与y＝(－2)x＋4互相平行？ 【例6】直线l的方程为kx-y+1-2k=0，且分别与x，y轴交于A，B两点，O为原点.当△AOB面积为 时，求直线l的方程。 【变式】直线l过M(2,1)且分别与x，y轴正半轴交于A，B两点，O为原点.当△AOB面积取最小值时，求直线l的方程． 探究3：直线l过点M (2,1)与坐标轴围成三角形； (1)当三角形面积为4时，满足条件的直线l有几条； (2)当三角形面积为3时，满足条件的直线l有几条； (3)当三角形面积为5时，满足条件的直线l有几条。 思考？直线l过定点与坐标轴围成三角形，告诉面积S,判断满足条件的直线l的方程有几条的问题怎么处理？ THE END 17 【练习1】 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程. 【练习2】若直过点(1,1)且与两坐标轴所围成的角形的面积为2,则这样的直线有几条？ $$