2.1.1直线的倾斜角与斜率(1) 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

解析几何 以代数的方法 研究图形的 几何性质 平面直角坐标系建立曲线（点的轨迹）的方程 解析几何学是17世纪创立，里程碑意义：数学从此进人变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础。 笛卡尔解析几何之父(1596-1650) 费马业余数学家之王（1601-1665） 费马 几何问题 代数问题 2.1.1直线的倾斜角与斜率 【问题1】确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l(如图)，如何利用坐标系确定它的位置？ 两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线. 设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量. 所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线. O P x y l1 l2 l3 在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．因此，这些直线的区别是它们的方向不同. 追问1：这些直线方向不同，倾斜程度也不同，如何表示直线的倾斜程度呢？ 它们与x轴所成的角不同，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向． 【问题2】在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线1，2, 3，…，它们组成一个直线束(如图)，这些直线的区别是什么? 1、直线倾斜角的定义： 当直线与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 图中直线的倾斜角为锐角， 直线的倾斜角α'为钝角. 当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°． 因此，直线的倾斜角α的取值范围为： 注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。 追问2：过一点且倾斜角为α能不能确定一条直线？ 确定一条直线的两个核心要素：一个点+倾斜角 练习1：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( ) A B C D A 体现了直线对x轴正方向的倾斜程度，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角。 追问3：倾斜角相同能确定一条直线吗？ 相同倾斜角可作无数互相平行的直线 2、直线倾斜角的意义 这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线 , 其倾斜程度不同 , 倾斜角不相等. 【问题3】滑滑梯怎样更刺激？安全考虑，滑滑梯如何设计更合理呢？ 滑滑梯的坡度缓冲 生活体验 3m 2m 楼梯的倾斜程度用坡度来刻画 坡度= 铅直高度 水平宽度 坡度越大，楼梯越陡． A B C D 设直线的倾斜程度为k 3、直线斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope)。 用小写字母 k 表示，即 9 x y o 【思考】当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角是多少？ 直线的倾斜角为90°时，斜率不存在。 练习2：已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率： (1)；(2)；(3)；(4) 练习3：已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角： (1)；(2)；(3)；(4) 纵坐标的增量 x y o 探究：已知两点 P(x1，y1)， Q(x2，y2)，且 x1≠x2，如何确定直线 PQ的斜率？　　　　　 k ＝ 　 横坐标的增量 4、直线斜率的公式 【思考1】当直线平行于x轴，或与x轴重合时，上述公式还适用吗？ 综上：如果直线经过两点P1()，，那么 在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于轴的倾斜程度. 【思考2】当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？ 【例1】如图，已知A(3，2)，B(,1)，C(0，1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 解:直线AB的斜率 直线BC的斜率 直线CA的斜率. 由>0及>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角;由<0可知，直线 BC的倾斜角为钝角. x O y l1 l3 l2 【变式】如图，直线 的斜率分别为 ，则( ) THE END 19 k＝0 3、斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°<α<90° α＝ 90°<α<180° 斜率 (范围) 不存在 k的增 减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 90° k>0 k<0 $$