1.4 充分条件与必要条件（3知识点+9题型）2024-2025学年上学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 2.理解： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 知识点2 充要条件 1.充要条件的概念 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 3.注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 知识点3 两个角度理解充分必要性 1.从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: (1)若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； (2)若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； (3)若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； (4)若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2.从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， (1)若AB，则p是q的充分不必要条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若AB，则p是q的必要不充分条件； (4)若A＝B，则p是q的充要条件； (5)若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 3.判断充分必要条件的关键：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 思路方法总结 1.判断充分条件与必要条件的基本思路 (1)分清楚条件是什么，结论是什么； (2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)； (3)指出条件是结论的什么条件． 2.判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 3.充分、必要、充要条件的证明 (1)证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立． (2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件． 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即． (3)充要条件证明的两个思路 ①直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． ②集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 典例·举一反三 题型一 命题的概念 例1．下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 跟踪训练1 1．下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 2．下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 3．(多选)下列语句是命题的是（    ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 题型二 命题的真假判定 例2．设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 跟踪训练2 1．已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 2．下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 3．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 题型三 充分条件与必要条件的判定 例3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练3 1．已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 2．是的 条件. 3．已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 题型四 充要条件的判定 例4．是成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 跟踪训练4 1．下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知实数a，b，，，则“”是“”（      ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型五 充分条件与必要条件的探求 例5．使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 跟踪训练5 1．可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 2．设，则“”的一个充要条件是（    ） A．a，b都为2 B．a，b都不为2 C．a，b中至少有一个为2 D．a，b都不为0 3．一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 题型六 已知条件关系求参数范围 例6．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 2．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 3．已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 题型七 充分条件与必要条件的传递性 例7．已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的既不充分也不必要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件 跟踪训练7 1．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件 3．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 题型八 充要条件的证明 例8．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 跟踪训练8 1．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 2．设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 3．当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 题型九 充分必要条件的综合应用 例9．已知集合，集合. (1)是否存在实数，使是的充分条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由； (2)是否存在非负实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由. 跟踪训练9 1．设 ，，命题，命题. （1）当时，试判断命题是命题的什么条件； （2）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件. 2．已知集合，. （1）求集合； （2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？ (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 3．已知非空集合，集合，命题，命题． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）当实数为何值时，是的充要条件． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 充分条件与必要条件 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件 2.理解： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一． 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立． (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”．若A⊇B，则甲是乙的必要条件． 知识点2 充要条件 1.充要条件的概念 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2.条件关系判定的常用结论： 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p⇒q，且q⇏p 充分不必要条件 q⇒p，且p⇏q 必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p 充要条件 p⇏q，且q⇏p 既不充分也不必要条件 3.注意点： (1)充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件． (2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 知识点3 两个角度理解充分必要性 1.从命题的角度充分理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: (1)若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； (2)若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； (3)若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； (4)若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件. 2.从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， (1)若AB，则p是q的充分不必要条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若AB，则p是q的必要不充分条件； (4)若A＝B，则p是q的充要条件； (5)若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 3.判断充分必要条件的关键：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 思路方法总结 1.判断充分条件与必要条件的基本思路 (1)分清楚条件是什么，结论是什么； (2)尝试用条件推结论，或用结论推条件(举反例说明不成立是常用的推理方法)； (3)指出条件是结论的什么条件． 2.判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 3.充分、必要、充要条件的证明 (1)证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立． (2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件． 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即． (3)充要条件证明的两个思路 ①直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． ②集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 典例·举一反三 题型一 命题的概念 例1．下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【答案】D 【分析】根据命题的定义即可求解. 【详解】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D 跟踪训练1 1．下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐个判断即可. 【详解】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B 2．下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 【答案】D 【分析】根据命题的定义逐一判断即可. 【详解】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题， 故选：D 3．(多选)下列语句是命题的是（    ） A．3是15的约数 B．x2+2x+1≥0 C．4不小于2 D．你准备考北京大学吗? 【答案】ABC 【分析】根据命题的定义逐个判断即可. 【详解】对于A，3能整除15，为真，所以A是命题； 对于B，，为真，所以B是命题； 对于C，，所以“4不小于2”为真，所以C是命题； 对于D，“你准备考北京大学吗?”是疑问句不是陈述句，且无法判断真假，所以D不是命题. 故选：ABC. 题型二 命题的真假判定 例2．设，关于的方程组.对于命题：①存在a，使得该方程组有无数组解；②对任意a，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（　　） A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】D 【分析】通过解方程组的知识求得正确答案. 【详解】由得，则，，所以， 则，解得， 所以关于的方程组有唯一解. 所以①为假命题，②为真命题. 故选：D 跟踪训练2 1．已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 2．下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【分析】根据或且命题真假性的性质即可求解. 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 3．分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 【答案】 ③ ①④ 【分析】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【详解】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 题型三 充分条件与必要条件的判定 例3．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可． 【详解】 解：因为，所以， ，， 或， 当时，或一定成立，所以“”是“”的充分条件； 当或时，不一定成立，所以“”是“”的不必要条件． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 跟踪训练3 1．已知命题p：，q：，则下列说法正确的有（    ） A．p是q的必要条件 B．p是q的充分条件 C．p是q的充要条件 D．q是p的必要条件 【答案】BD 【分析】根据充分条件和必要条件的定义直接得到答案. 【详解】命题p：，q：，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 故选：BD 2．是的 条件. 【答案】必要 【分析】根据交集运算结合充分、必要条件分析判定. 【详解】若，不能推出， 例如，则，取，即充分性不成立； 若，则且，可以推出，即必要性成立； 综上所述：是的必要条件. 故答案为：必要. 3．已知集合，，则“”是“”的 条件.（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【分析】根据集合之间的关系，利用充分条件与必要条件的定义分析判断即可得解. 【详解】解：由题意，， ∴若，则；若，不一定有. ∴“”是“”的充分条件. 故答案为：充分. 题型四 充要条件的判定 例4．是成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分别判断充分性和必要性即可得到答案. 【详解】充分性：，所以，， 即，满足充分性. 必要性：因为，所以， 所以， 即，，满足必要性. 所以是成立的充要条件. 故选：C 跟踪训练4 1．下列选项中，是的充要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的判定逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故A错误； 对于选项B：因为不能推出，例如，即充分性不成立，故B错误； 对于选项C：因为不能推出，例如，即必要性不成立，故C错误； 对于选项D：因为等价于，所以是的充要条件，故D正确； 故选：D 2．已知实数a，b，，，则“”是“”（      ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合不等式的性质，即可得答案. 【详解】若，则， 又，所以， 所以，充分性成立； 若，则， 左右同时平方可得，即，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．等式成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把等式平方寻找等式成立的充要条件可得． 【详解】 ． 故选：C． 题型五 充分条件与必要条件的探求 例5．使或}成立的一个充分不必要条件是（　　） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件的定义和集合间的包含关系判断可得答案. 【详解】对于A，因为或或，故错误； 对于B，因为或或，故正确； 对于C，因为或或，故错误； 对于D，因为不是或的真子集，故错误. 故选：B. 跟踪训练5 1．可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出关于的一元二次方程有实数解的充要条件，结合选项得出其必要条件． 【详解】因为关于的一元二次方程有实数解， 所以， 解得，而可以推出， 所以可以作为关于的一元二次方程有实数解的一个必要条件， 故选：A． 2．设，则“”的一个充要条件是（    ） A．a，b都为2 B．a，b都不为2 C．a，b中至少有一个为2 D．a，b都不为0 【答案】C 【分析】根据充要条件的知识求得正确答案. 【详解】或中至少有一个为. 故选：C 3．一次函数的图像不过第一象限的一个充分条件是 （答案不唯一）. 【答案】且 【分析】根据题意，由一次函数的意义，即可得到结果. 【详解】由一次函数可知，，图像过一，三象限，过二，四象限， 且，一次函数图像交于轴正半轴，，一次函数图像交于轴负半轴，，一次函数图像过原点，所以一次函数的图像不过第一象限的充分条件是，取且即可. 故答案为：且 题型六 已知条件关系求参数范围 例6．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可． 【详解】若不等式的一个充分条件为， 则，所以，解得. 则实数的取值范围是. 故选：D. 跟踪训练6 1．方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 2．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设将满足p,q的x的集合即为A,B．已知条件转化为，根据集合间的关系列式可解得结果. 【详解】∵“q是p的必要不充分条件”的等价命题是：是的充分不必要条件． 设． 是的充分不必要条件，所以． （两个等号不能同时取到）， ． 故答案为：. 【点睛】本题考查了转化化归思想，考查了充分不必要条件和必要不充分条件,考查了集合间的关系，属于基础题. 3．已知条件，条件q：，且p是q的必要条件，则m的取值集合是 . 【答案】 【分析】条件，条件，根据p是q的必要条件，可得．因此，或，．分类讨论即可得出． 【详解】解：条件， 条件， 是的必要条件，． ，或，． 时，满足题意． 时，若，则，解得． 若，则，解得． 综上可得：的取值集合是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的解法、集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 题型七 充分条件与必要条件的传递性 例7．已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的既不充分也不必要条件 B．是的充分条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件 【答案】BD 【解析】由已知可得；，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：由已知得：；． 是的充分条件；是的充分条件；是的充要条件；是的充要条件． 正确的是B、D． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，属于基础题． 跟踪训练7 1．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，设命题甲为集合A，命题乙为集合B，命题丙为集合C，命题丁为集合D，转化为集合之间的包含关系，可探求命题之间的关系，判断命题丁能否推出命题甲，及命题甲能否推出命题丁，即可得出结论. 【详解】设命题甲为集合A，命题乙为集合B，命题丙为集合C，命题丁为集合D； 命题甲是命题乙的充分非必要条件；命题丙是命题乙的必要非充分条件命题乙是命题丙的充分非必要条件，命题丁是命题丙的充要条件，综上得到，可知，及命题甲是命题丁的充分非必要条件命题丁是命题甲的必要非充分条件， 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，真子集，属于中档题. 2．已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ） A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充要条件 【答案】AD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可得出选项. 【详解】解：由已知得：；. 是的充分条件；是的充分条件； 是的充要条件；是的充要条件. 故选：AD 3．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【答案】AB 【解析】根据条件弄清楚之间的关系，然后逐一判断即可. 【详解】由已知有 所以且，故A正确，C不正确 ，B正确，且，D不正确 故选：AB 【点睛】本题主要考查的是充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 题型八 充要条件的证明 例8．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 跟踪训练8 1．证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证. 【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下： 当时，， 所以方程有两个不相等的实根， 设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根， 故充分性成立， 必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下： 设方程一正一负根分别为，，则， 所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则， 故必要性成立， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 2．设分别为的三边的长，求证：关于的方程与有公共实数根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】设两个方程公共实数根，代入方程化简得到，求得，代入，得到，证得必要性成立；由，可得，代入两个方程，化简得到两方程有公共实数根，进而得到充分性成立，即可得证. 【详解】证明：必要性：设方程与有公共实数根， 则 两式相减并整理，可得 因为，所以，将此式代入中， 整理得，故. 充分性：因为，可得，所以， 将代入方程中，可得， 即， 将代入方程中，可得， 即 故两方程有公共实数根. 所以关于的方程与有公共实数根的充要条件. 3．当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【答案】(1)1； (2)证明见解析 【分析】（1）先理解的运算，然后求解即可； （2）先证充分性，再证必要性即可． 【详解】（1）. （2）先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 题型九 充分必要条件的综合应用 例9．已知集合，集合. (1)是否存在实数，使是的充分条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由； (2)是否存在非负实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在， (2)存在， 【分析】（1）要使是的充分条件，需使，列出不等关系即可求解. （2）首先判断出，其次要使是的必要条件，需使，列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）要使是的充分条件，需使， 即解得， 实数的取值集合为. （2）由题知，，故， 要使是的必要条件，需使. ，解得，. 即非负实数的取值集合为. 跟踪训练9 1．设 ，，命题，命题. （1）当时，试判断命题是命题的什么条件； （2）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件. 【答案】（1）命题是命题的必要不充分条件；（2）. 【分析】解分式不等式求得集合； （1）求出集合后，根据可确定结果； （2）分别在、和三种情况下，根据必要不充分条件所要求的集合的包含关系可求得结果. 【详解】由得：，即，解得：或， 或； ， （1）当时，， ，，， 命题是命题的必要不充分条件. （2）当，即时，，此时，满足条件； 当，即时，，此时，满足条件； 当，即时，，若命题是命题的必要不充分条件，则，即； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够通过集合的包含关系来确定推出关系. 2．已知集合，. （1）求集合； （2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？ (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 【答案】（1），；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可得答案； （2）选：①充分不必要条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可； 选：②必要不充分条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可； 选：③充要条件，则，再根据集合关系求解即可； 【详解】解：（1）不等式，故， 不等式，由于， 故 （2）选：①充分不必要条件 由（1）知，， 因为若是成立的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集； 所以，解得， 所以实数的取值范围为： 选：②必要不充分条件 由（1）知，， 因为若是成立的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集； 所以，解得，又因为，故 所以实数的取值范围为：； 选：③充要条件 由（1）知，， 因为若是成立的充要条件，所以， 所以，方程组无解. 所以不存在实数使得是成立的充要条件； 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是qq的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是qq的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是qq的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是qq的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含． 3．已知非空集合，集合，命题，命题． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）当实数为何值时，是的充要条件． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求解二次不等式以及分式不等式解得集合，根据，分类讨论，即可列出不等式求得参数范围； （2）根据（1）中所求，结合是的充要条件，即可容易求得结果. 【详解】（1）解不等式，即，解得，则. 由于是的充分不必要条件，则A，又， ①当时，即当或时，，满足题意； ②当时，即当或时，， 因为A，则，解得， 又当，，不合乎题意.所以； ③当时，即当时，因为A，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是； （2）由于是的充要条件，则， 所以，和1是方程的两根， 由韦达定理得，解得. 故. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件、充要条件求参数，考查运算求解能力，属于中等题. （1）解出集合，由题意得出，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围； （2）由题意，进而可得出和是方程的两根，利用韦达定理可求得实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$