第二章 一元二次方程（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第二章 一元二次方程（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（　　） A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3 2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值    （    ） A．－1 B． C．1 D．－1或 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 4．关于x的方程的根的情况是（    ） A．有一正一负两个不相等的实数根 B．有两个正的不相等实数根 C．至多有一个正的实数根 D．至少有一个正的实数根 5．若，则的值为（  ） A． B． C． D．或 6．如图,是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是（    ）． A．4或6 B．3或5 C．1或7 D．3或6 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91 8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯21次，则参加酒会的人数为（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．某果农2008年的年收入为2.5万元,由于“惠农政策”的落实,2010年年收入增加到3.6万元,则果农的年收入平均每年的增长率是 ． 10．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 11．用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形场地的长为，则列方程为 ． 12．设是一元二次方程的两个实数根，则实数的值为 ． 13．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+n﹣2＝0的两根，则n的值为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．解方程： (1)； (2)． 15．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，判断方程两根是否都在－2与0之间 16．如图，已知为长方形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动，两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 17．已知一元二次方程（m+1）x2+（2m﹣3）x+（m﹣2）＝0． （1）如果方程有一根x1＝0，求m的值和另一个根x2． （2）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 18．某水果商场经销A，两种高档水果，经调查用元采购A种水果的千克数与用元采购种水果的千克数相等．1千克A种水果比1千克种水果进价多5元. (1)求1千克A种、种水果的进价分别为多少元？ (2)若A种水果每千克盈利10元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少千克，现该商场要保证A种水果每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 20．已知a为方程的一个根，则代数式的值为 ． 21．如图，等边的边长为6，D是的中点，是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为 ．    22．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 ． 23．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? (2)国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 25．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程是倍根方程． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)判断方程是不是倍根方程？并说明理由． (3)若是倍根方程，求代数式的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC落在x轴上，连接AC，AC＝，OC＝1． （1）求点A的坐标； （2）点P为线段AB上一动点，连接CP，点E为CP的中点，设点P的纵坐标为t，△PEA的面积为S，求S与t的关系式； （3）在（2）的条件下，在x轴的负半轴上取点F（﹣5，0），连接DF，点Q为线段DF上一点，连接EQ，且EQ＝AE，当△PEA的面积为3时，求线段DQ的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（　　） A．（x﹣3）2＝15 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝15 D．（x+3）2＝3 【答案】A 【分析】先移项，化为再方程两边都加9，从而可得答案. 【详解】解： x2﹣6x﹣6＝0， 两边都加9得： 故选A 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键. 2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值    （    ） A．－1 B． C．1 D．－1或 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a−1≠0，a2−1＝0，求出a的值即可．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】把x＝0代入方程得：a2−1＝0， 解得：a＝±1， ∵（a−1）x2＋x＋a2−1＝0是关于x的一元二次方程， ∴a−1≠0， 即a≠1， ∴a的值是−1． 故选：A． 【点睛】本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，题目比较好，但是一道比较容易出错的题． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即(-2)2-4×1×m＞0，解得m＜1， ∴m的取值范围为m＜1． 故选B. 考点: 根的判别式. 4．关于x的方程的根的情况是（    ） A．有一正一负两个不相等的实数根 B．有两个正的不相等实数根 C．至多有一个正的实数根 D．至少有一个正的实数根 【答案】D 【分析】先化为一般形式，然后根据一元二次方程根的判别式进行判断有2个不等实数根，根据根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：方程可化为， ∴方程有两个不等实数根， 又∵， ∴至少有一个正的实数根， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式以及根与系数的关系，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 5．若，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】把看作一个整体去括号，再运用因式分解法求出的值，最后再判断即可． 【详解】解： 去括号得， 解得，=4或=-1 ∵ ∴=4 故选：A 【点睛】此题主要考查了运用因式分解法解一元二次方程，掌握是解答此题的关键． 6．如图,是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形,若直线AB将它分成面积相等的两部分,则x的值是（    ）． A．4或6 B．3或5 C．1或7 D．3或6 【答案】D 【分析】根据题意列方程，即可得到结论． 【详解】解：如图，延长BD.AF交于点E，延长BM,AN交于点C 根据题意可知：EF=3；CM=9-x且四边形EACB为矩形 ∵若直线AB将它分成面积相等的两部分， ∴矩形EFGD与矩形HNCM的面积相等 ∴ 解得：x=3，或x=6， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和矩形的性质，图形的面积的计算，根据题意准确识别图形是解题的关键． 7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是（　　） A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91 C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91 【答案】C 【分析】如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x⋅x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为x⋅x=x2个， 根据题意可列出方程为：1+x+x2=91， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 8．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯21次，则参加酒会的人数为（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯21次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设参加酒会的人数为x人， 依题意，得：x（x－1）＝21， 解得：x1＝7，x2＝－6（舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．某果农2008年的年收入为2.5万元,由于“惠农政策”的落实,2010年年收入增加到3.6万元,则果农的年收入平均每年的增长率是 ． 【答案】20%． 【详解】试题分析：设果农的年收入平均每年的增长率是x, 2.5×（1+x）2=3.6, （1+x）2=1.44, ∵1+x＞0, ∴1+x=1.2, x=20%． 故答案是20%． 考点：一元二次方程解应用题． 10．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出，，再将其代入，即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为： 11．用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形场地的长为，则列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据“场地的面积为”列方程即可． 【详解】解：设该长方形场地的长为, 则： 整理得： 故答案为：． 12．设是一元二次方程的两个实数根，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据根的判别式变形计算即可； 【详解】∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确计算是解题的关键． 13．等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+n﹣2＝0的两根，则n的值为 ． 【答案】18 【分析】分2为底边长或腰长两种情况考虑：当2为底时，由a=b及a+b=8即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系找出n-2=4×4即可；当2为腰时，则a、b中有一个为2另一个为6，由2、2、6不能围成三角形可排除此种情况．综上即可得出结论． 【详解】当2为底边长时，则a＝b，a+b＝8， ∴a＝b＝4． ∵4，4，2能围成三角形， ∴n﹣2＝4×4， 解得：n＝18； 当2为腰长时，a、b中有一个为2，则另一个为6， ∵6，2，2不能围成三角形， ∴此种情况不存在． 故答案为18． 【点睛】考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况考虑是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)原方程无实数根 【分析】（1）运用配方法解一元二次方程即可； （2）运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键． 15．已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，判断方程两根是否都在－2与0之间 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）计算判别式得到 ，则可根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法求出方程的两个根，，根据得出，进而得出． 【详解】（1）∵，，， ∴ ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 并， 综上所述： ∴当时，方程的两根都在－2与0之间 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． 16．如图，已知为长方形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动，两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】2秒、秒、秒或秒 【分析】需要对等腰三角形的不同的腰进行分类讨论，然后求解． 【详解】解：过点作于，于， 则． 分三种情况； ①当时，则． ． ； ②当时，在直角中，由勾股定理得： 整理，得， 解得，； ③当时，在直角中，由勾股定理得： 解得，（舍去） 综上所述，经过2秒、秒、秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程的运用．关键是掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理列方程． 17．已知一元二次方程（m+1）x2+（2m﹣3）x+（m﹣2）＝0． （1）如果方程有一根x1＝0，求m的值和另一个根x2． （2）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】（1），；（2）且． 【分析】（1）将代入一元二次方程解得m，然后将m代回原方程进行求解，即可得出方程的另一个根； （2）方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式：，将方程的系数代入可得不等式，求解即可得出m的取值范围． 【详解】解：（1）将代入一元二次方程可得： ， 解得：， 将代回原方程可得： ， ， 解得：，， 另一个根为：； （2）方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式：， 可得：， 解得：， 为一元二次方程， ∴， ∴， 综上可得：且． 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的因式分解法和方程根的判别式以及求解不等式的解集，熟练掌握一元二次方程的解法及不等式的解法是解题关键． 18．某水果商场经销A，两种高档水果，经调查用元采购A种水果的千克数与用元采购种水果的千克数相等．1千克A种水果比1千克种水果进价多5元. (1)求1千克A种、种水果的进价分别为多少元？ (2)若A种水果每千克盈利10元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少千克，现该商场要保证A种水果每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)购进1千克A种水果的进价为元，购进1千克B种水果的进价为元 (2)该商场要保证A种水果每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元 【分析】（1）设购进1千克A种水果的进价为a元，则购进1千克B种水果的进价为元，由题意得，，进行计算即可得； （2）设每千克应涨价x元，由题意得，，进行计算得，，根据题意要尽快减少库存，即可得． 【详解】（1）解：设购进1千克A种水果的进价为a元，则购进1千克B种水果的进价为元， 由题意得，， 两边同乘，得， 整理，得， 解得，， 经检验，是方程的解， 则购进1千克B种水果的进价为：（元）， 即购进1千克A种水果的进价为元，购进1千克B种水果的进价为元； （2）解：设每千克应涨价x元， 由题意得，， 整理，得， 解得，，， ∵要尽快减少库存， ∴， 即该商场要保证A种水果每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出分式方程，一元二次方程，并正确计算 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴的取值范围为且． 故答案为：且． 20．已知a为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】把a代入方程，得到关于a的代数式的值，求解即可． 【详解】解：∵a为方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，把a代入方程，得到关于a的代数式的值是解题的关键． 21．如图，等边的边长为6，D是的中点，是边上的一点，连接，以为边作等边，若，则线段的长为 ．    【答案】1或2 【分析】过F作交于H，交于；过A作于N,然后说明为等边三角形，进而可得；再证可得；设，则，然后运用勾股定理列式求解即可． 【详解】解：过F作交于H，交于；过A作于N,    ∴ ∴为等边三角形 ∵，，，∴ 在和中 ,,∴, ∴ 设，则 在中， ∴ 在中，,，，∴ ∴，解得：或．∴线段的长为1或2． 故答案为1或2． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 22．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】 设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可． 【详解】 解：， 设，则原方程化为： ， ， 解得：，， 当时，， 算术平方根具有非负性，所以此方程无解； 当时，， 方程两边平方，得， 解得：，， 经检验，都是原方程的解． 故答案为：，． 【点睛】 本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 23．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是 ． 【答案】6 【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 【详解】∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． (1)国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? (2)国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 【答案】(1)商场对商品平均每次每次降价的百分率为 (2)这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元 【分析】（1）设商场对商品平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设商场对商品平均每次降价的百分率为， 由题意得： 解得：，（舍去）， ， 答：商场对商品平均每次每次降价的百分率为； （2）解：设这天商场在每件150元的基础上降价元， 由题意得：， 解得：， 为了尽快销售完这批商品， ， 答：这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 25．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2和4，则方程是倍根方程． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)判断方程是不是倍根方程？并说明理由． (3)若是倍根方程，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2)不是，理由见解析 (3)0 【分析】（1）由一元二次方程是“倍根方程”，得到即可得到结论； （2）求出方程的解即可判断出结论； （3）解方程得，由方程两根是2倍关系，得到或4，代入解方程即可得到结论． 【详解】（1）∵一元二次方程是“倍根方程”， 又 ∴ ∴ 故答案为：2； （2）方程不是“倍根方程”，理由如下： ， 解得， ∴ ∴方程不是“倍根方程”； （3）解方程得， ∵方程两根是2倍关系， ∴或4， 当时，即代入代数式得 当时，即代入代数式得 综上， 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程． 26．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边BC落在x轴上，连接AC，AC＝，OC＝1． （1）求点A的坐标； （2）点P为线段AB上一动点，连接CP，点E为CP的中点，设点P的纵坐标为t，△PEA的面积为S，求S与t的关系式； （3）在（2）的条件下，在x轴的负半轴上取点F（﹣5，0），连接DF，点Q为线段DF上一点，连接EQ，且EQ＝AE，当△PEA的面积为3时，求线段DQ的长度． 【答案】（1）A（3，4）；（2）S＝4﹣t；（3）当△PEA的面积为3时，线段DQ的长度为0或． 【分析】（1）根据正方形的性质，求得边长，利用线段和的定义，求得OB的长度，根据点A在第一象限，把线段长转化为坐标即可； （2）设P（3，t），利用中点坐标公式表示点E，继而确定点E到AB的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据三角形的面积确定点P的坐标，根据中点，确定点E的坐标，计算EA的长度；确定直线DF的解析式，根据解析式设出点Q的坐标，求得EQ，利用EA=EQ建立等式计算即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC＝4， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC＝4，∠ABC＝90°， ∴OB＝BC﹣OC＝4﹣1＝3， ∴A（3，4）； （2）∵点P为线段AB上一动点，点P的纵坐标为t， ∴P（3，t），AP＝4﹣t， ∵OC＝1， ∴C（﹣1，0）， ∵点E为CP的中点， ∴E（1，）， ∴△PEA的面积为S＝×（4﹣t）×（3﹣1）＝4﹣t， 即S与t的关系式为S＝4﹣t； （3）当△PEA的面积为3时，4﹣t＝3， ∴t＝1， ∴P（3，1），E（1，）， ∴＝＝， 由（1）得：D（﹣1，4）， 设直线DF的解析式为y＝kx+b，把D（﹣1，4），F（﹣5，0）代入得：，解得：， ∴直线DF的解析式为y＝x+5， 设Q（x，x+5）， ∵＝，EQ＝AE， ∴＝，整理得：2+7x+5＝0，解得：x＝﹣1或x＝﹣， 即点Q的坐标为（﹣1，4）或（﹣，）， 当点Q坐标为（﹣1，4）时，DQ＝0； 当点Q坐标为（﹣，）时，DQ＝； 综上所述，当△PEA的面积为3时，线段DQ的长度为0或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，两点间的距离，待定系数法确定一次函数的解析式，中点坐标公式，一元二次方程的解法，坐标与线段的关系，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$