第05讲 简单事件的概率（5个知识点+5种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第05讲 简单事件的概率（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点2．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点3．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点4．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点5．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型强化 题型一．可能性的大小 1．（2023秋•余姚市期末）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是　　 A．朝上一面的点数大于3 B．朝上一面的点数小于3 C．朝上一面的点数是3的倍数 D．朝上一面的点数是3的因数 2．（海曙区期末）下列第一排表示各盒中球的情况， 第二排的语言描述了摸到蓝球的可能性大小， 请你用线把第一排的盒子与第二排的描述连起来使之相符 ． 3．（2021秋•下城区校级期中）从标有1到20号的卡片中任意抽取一张，记事件“抽到2的倍数”发生的可能性为（A），事件“抽到5的倍数”发生的可能性为（B），事件”抽到13的倍数”发生的可能性为（C），请用“”连接（A），（B），（C）为 　　． 题型二．概率的意义 4．（2023•舟山三模）如图，某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是　　 A．定海区明天下雨的可能性较大 B．定海区明天下雨的可能性较小 C．定海区明天将有的时间下雨 D．定海区明天将有的地区下雨 5．（2021秋•鹿城区校级期中）投掷三次硬币，前两次均正面朝上，则第三次正面朝上的概率为 　　． 题型三．概率公式 6．（2024•温州模拟）在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球．每个球除颜色外其余均相同，从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•西湖区校级月考）在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的黄球、绿球和红球共12个，其中红球有2个． （1）摸到红球的概率是 　　； （2）若摸到绿球的概率是，求袋子中黄球的个数． 8．（2024•余姚市一模）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则　　． 题型四．游戏公平性 9．（2022秋•西湖区校级月考）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个材质均匀的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘， （1）转盘转到4的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 10．（萧山区期中）小明和小亮用如图所示两个转盘（每个转盘被分成四个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，如果两次数字之和为奇数，则小明胜；否则，小亮胜，这个游戏公平吗？答：　　（填“公平”或“不公平” ． 题型五．利用频率估计概率 11．（2023秋•安吉县月考）在一个不透明的布袋中，黄色、红色的乒乓球共10个，这些球除颜色外其他都相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到黄球的频率稳定在，则布袋中红色球的个数很可能是 　　个． 12．（2023秋•绍兴期中）在一个不透明的口袋中装有5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有　　个 A．15个 B．20个 C．25个 D．30个 13．（2023秋•西湖区校级期中）某园林基地，特地考查一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在 　　附近，估计成活概率为 　　（精确到 （2）该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 分层练习 一、单选题 1．口袋中有白球和红球共10个，这些球除颜色外其它都相同．小明将口袋中的球搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，小明继续重复这一过程，共摸了100次，结果有40次是红球，请你估计下一次操作拱到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（   ）种不同的可能？ A．12 B．6 C．5 D．2 3．假设甲是确诊感染者，乙与甲有接触，乙称为密切接触者；丙与乙有接触，且与甲没有接触，丙称为次密切接触者．经调查，发现的接触情况如图所示．若两人有接触，则在代表两人的两个点之间连结一条线段．已知是确诊感染者，则从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为（    ）    A． B． C． D． 4．有两件不同款式的衬衣和3条不同款式的裤子， 各取一件衬衣和一条裤子搭配， 则不同的搭配共有（    ）种 A．2 B．4 C．5 D．6 5．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．小明买彩票中奖 B．任选三角形的两边，其差小于第三边 C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 6．在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（　　） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 7．在一个不透明的口袋里装有3个白球，2个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 8．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（　　） A．百步穿杨 B．瓜熟蒂落 C．瓮中捉鳖 D．水中捞月 9．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（    ） A． B． C． D． 10．甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只有一砖高．例如，如图，一组（4，2）的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种：（3，2），（1，2，2），（2，1，2），（4），（4，1），（2，2）或（1，1，2）．若甲先开局，而拿下最后一块砖的选手获胜，对于以下开局，甲没有必胜策略的开局是（    ） A．（6，1，1） B．（6，2，1） C．（6，3，1） D．（6，2，2） 二、填空题 11．事件“某人的体温是”是 （填“随机”、“不可能”或“必然”）事件． 12．如图为某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验结果统计图，某位顾客购进这种玉米种子千克，那么能发芽的种子质量大约为 千克．    13．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置 位． 14．一个不透明的口袋中装有1个红球，3个黄球，5个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最大． 15．为开展“学习贯彻二十大、凝聚创造新伟业”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取一名进行宣进，则恰好选中丙的概率为 ． 16．有5张扑克牌，牌面朝下，随机抽出一张记下花色后放回，洗牌后再这样抽，经历多次试验后，得到随机抽出一张牌是红桃的频率是0.2，则红桃大约有　 张． 三、解答题 17．为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放．一天，小林把垃圾分装在三个袋中，可他在投放时不小心把三个袋子都放错了位置．你能确定小林是怎样投放的吗？—个人任意投放垃圾，把三个袋子都放错位置的概率是多少？ 18．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个红球，1个白球．小真和小凡同学设计了一个游戏．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，记下颜色．若摸出的2个球颜色相同，则小真获胜；若摸出的2个球颜色不同，则小凡获胜．请问这个游戏公平吗?请用画树状图或列表法说明理由． 19．春节期间，小玉计划到玉环市体验民俗文化，想从“龙灯滚舞”“祭海神”“敲鱼面”“捏糕元宝”四种民俗文化进行选择． (1)若随机选择一项民俗文化，请求出小玉选择体验“捏糕元宝”的概率； (2)若随机选择两项民俗文化，请用画树状图或列表的方法求出小玉选择体验“龙灯滚舞”和“敲鱼面”的概率． 20．某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同．某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验．每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次． (1)估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率． (2)请你估计这个盒子中白色卡片接近多少张． 21．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件； (4)“摸到两个黄球”是确定事件． 22．如图，四张三角形纸片中有三个是完全相同的直角三角形，另一个也有一边长与其他三个直角三角形的斜边长相等，把这四张纸片放在盒子里搅匀，然后随机抽取两张，将这两张纸片不重叠地进行拼接，有下列情况：能拼成矩形；能拼成平行四边形；能拼成等腰三角形；只能拼成一般四边形.问：这4种情况的可能性大小一样吗？请说明理由. 23．如图是两个转盘，每个转盘都被圆的半径三等分，甲转盘的三个扇形上标有数字2，4，6，乙转盘的三个扇形上标有数字1，3，5，小明和小力分别转动甲、乙转盘，每人转动一次，记录转盘停止后指针指向的数字，若指针指在分界线上则重转．    (1)两人分别转动甲、乙转盘后，可能出现的全部可能有哪些？请用列表或画树状图的方法表示． (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小力赢，此游戏公平吗？为什么？ 24．已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共5个，小明进行多次摸球试验，并将数据记录如下表： 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为 　　； (2)从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 简单事件的概率（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点2．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点3．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点4．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点5．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型强化 题型一．可能性的大小 1．（2023秋•余姚市期末）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是　　 A．朝上一面的点数大于3 B．朝上一面的点数小于3 C．朝上一面的点数是3的倍数 D．朝上一面的点数是3的因数 【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可． 【解答】解：、朝上一面的点数大于3的可能性的大小是， 、朝上一面的点数小于3的可能性的大小是， 、朝上一面的点数是3的倍数的可能性为， 、朝上一面的点数是3的因数的可能性为． 可能性最大的是， 故选：． 【点评】本题主要考查了如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A），两个独立事件的概率两个事件概率的积，难度适中． 2．（海曙区期末）下列第一排表示各盒中球的情况， 第二排的语言描述了摸到蓝球的可能性大小， 请你用线把第一排的盒子与第二排的描述连起来使之相符 ． 【分析】①中摸到蓝球的可能为 0 ，②摸到蓝球的可能性较小，③中摸到蓝球的可能性大，④一定摸到蓝球 ． 连线即可解答 ． 【解答】解： 根据分析可得： 【点评】此题考查可能性大小的比较： 只要总情况数目相同， 谁包含的情况数目多， 谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当， 那么它们的可能性就相等 ． 若只要总情况数目不相同， 就比较各自所占的比例 ． 3．（2021秋•下城区校级期中）从标有1到20号的卡片中任意抽取一张，记事件“抽到2的倍数”发生的可能性为（A），事件“抽到5的倍数”发生的可能性为（B），事件”抽到13的倍数”发生的可能性为（C），请用“”连接（A），（B），（C）为 　（A）（B）（C）　． 【分析】根据概率的定义求出（A），（B），（C），再比较大小即可． 【解答】解：由题意，（A），（B），（C）， （A）（B）（C）， 故答案为：（A）（B）（C）． 【点评】本题考查可能性的大小，只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 题型二．概率的意义 4．（2023•舟山三模）如图，某天气预报软件显示“舟山市定海区明天的降水概率为”，对这条信息的下列说法中，正确的是　　 A．定海区明天下雨的可能性较大 B．定海区明天下雨的可能性较小 C．定海区明天将有的时间下雨 D．定海区明天将有的地区下雨 【分析】根据概率反映随机事件出现的可能性大小，即可进行解答． 【解答】解：“舟山市定海区明天的降水概率为”表示“舟山市区明天下雨的可能性较大”． 故选：． 【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 5．（2021秋•鹿城区校级期中）投掷三次硬币，前两次均正面朝上，则第三次正面朝上的概率为 　　． 【分析】根据概率的意义，即可解答． 【解答】解：投掷三次硬币，前两次均正面朝上，则第三次正面朝上的概率为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 题型三．概率公式 6．（2024•温州模拟）在一个不透明的袋子中装有3个红球，2个白球和4个黄球．每个球除颜色外其余均相同，从袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】根据概率的公式计算即可． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题主要考查了概率的公式，熟知：如果一个事件有种可能，而且这些事件发生的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率为：． 7．（2023秋•西湖区校级月考）在一个不透明的袋子中装有除颜色外都相同的黄球、绿球和红球共12个，其中红球有2个． （1）摸到红球的概率是 　　； （2）若摸到绿球的概率是，求袋子中黄球的个数． 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）设袋子中黄球的个数为个，利用概率公式得到，然后解方程即可． 【解答】解：（1）摸到红球的概率； 故答案为； （2）设袋子中黄球的个数为个， 根据题意得，解得， 即袋子中黄球的个数为2个． 【点评】本题考查了概率公式：某事件的概率某事件所占的结果数除以所有结果数． 8．（2024•余姚市一模）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则　3　． 【分析】由红球的个数及任意摸出一个球是红球的概率求得袋中球的总个数，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，袋中球的总个数为（个， 所以， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 题型四．游戏公平性 9．（2022秋•西湖区校级月考）小亮和小芳都想参加学校社团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个材质均匀的转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到4的倍数，小亮去参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘， （1）转盘转到4的倍数的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断． 【解答】解：（1）共有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9种等可能的结果，其中4的倍数有2个， （转到4的倍数）； （2）游戏不公平， 小亮去参加活动的概率为， 小芳去参加活动的概率为：， ， 游戏不公平． 【点评】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 10．（萧山区期中）小明和小亮用如图所示两个转盘（每个转盘被分成四个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，如果两次数字之和为奇数，则小明胜；否则，小亮胜，这个游戏公平吗？答：　公平　（填“公平”或“不公平” ． 【分析】先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，然后计算小明胜的概率和小亮胜的概率，再通过比较两概率的大小判断游戏的公平性． 【解答】解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数为8，两次数字之和为偶数的结果数为8， 所以小明胜的概率，小亮胜的概率， 所以这个游戏公平． 故答案为：公平． 【点评】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 题型五．利用频率估计概率 11．（2023秋•安吉县月考）在一个不透明的布袋中，黄色、红色的乒乓球共10个，这些球除颜色外其他都相同．小刚通过多次摸球试验后发现其中摸到黄球的频率稳定在，则布袋中红色球的个数很可能是 　4　个． 【分析】用球的总个数乘以摸到白色球的频率即可． 【解答】解：布袋中红色球的个数约为（个， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12．（2023秋•绍兴期中）在一个不透明的口袋中装有5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有　　个 A．15个 B．20个 C．25个 D．30个 【分析】设黑球可能有个，根据摸到白球的频率稳定在附近得到口袋中摸到白球的概率，根据概率公式即可求出黑球的个数． 【解答】解：设黑球可能有个， 摸到白球的频率稳定在附近， 所以摸到白球的概率为，， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点；由频率估计概率是解答本题的关键． 13．（2023秋•西湖区校级期中）某园林基地，特地考查一种花卉移植的成活率，对本基地这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在 　0.9　附近，估计成活概率为 　　（精确到 （2）该园林基地已经移植这种花卉10000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据某大型小区需要成活99000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【分析】（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用10000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【解答】解：（1）由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9； 故答案为：0.9，0.9； （2）①（棵， 答：估计这种花卉成活9000棵； ②（棵， 答：估计还要移植100000棵． 【点评】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． 分层练习 一、单选题 1．口袋中有白球和红球共10个，这些球除颜色外其它都相同．小明将口袋中的球搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，小明继续重复这一过程，共摸了100次，结果有40次是红球，请你估计下一次操作拱到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，在反复试验下，摸到红球的频率为， ∴摸到红球的概率为， ∴估计下一次操作拱到红球的概率是， 故选：B． 2．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，，或C），再经过第二道门（或）才能出去．问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（   ）种不同的可能？ A．12 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况，然后再进行组合得到打开两道门的方法，这类题要读懂题意，从中找出组合的规律进行求解，本题不同的是首先分析每道门的情况数，然后整体进行组合即可得解． 【详解】解：因为第一道门有A、B、C三个出口，所以出第一道门有三种选择；又因第二道门有两个出口，故出第二道门有D、E两种选择，因此小松鼠走出笼子的路线有6种选择，分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE． 故选：B． 【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径． 3．假设甲是确诊感染者，乙与甲有接触，乙称为密切接触者；丙与乙有接触，且与甲没有接触，丙称为次密切接触者．经调查，发现的接触情况如图所示．若两人有接触，则在代表两人的两个点之间连结一条线段．已知是确诊感染者，则从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，正确理解题意和利用概率公式是关键． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知B，D，F为密切接触者，C、E为次密切接触者， ∴从其余五人中随机抽取一名，是次密切接触者的概率为． 故选：C． 4．有两件不同款式的衬衣和3条不同款式的裤子， 各取一件衬衣和一条裤子搭配， 则不同的搭配共有（    ）种 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查画树状图或列表法，设上衣为a，b，裤子为c，d，e，列表即可得到所有等可能的结果． 【详解】解：设上衣为a，b，裤子为c，d，e， 列表如下： 由表可知，不同的搭配共有6种等可能的结果， 故选：D． 5．下列事件中，属于必然事件的是（    ） A．小明买彩票中奖 B．任选三角形的两边，其差小于第三边 C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件的分类逐项分析即可． 【详解】解：A．小明买彩票中奖是随机事件，故不符合题意； B．任选三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，故符合题意； C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，故不符合题意； D．在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，故不符合题意； 故选：B． 6．在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（　　） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 【答案】D 【分析】由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出红球个数即可. 此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键． 【详解】解：设袋中红球的个数为， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以口袋中红球可能有16个， 故选：D． 7．在一个不透明的口袋里装有3个白球，2个黑球和3个红球，它们除颜色外其余都相同，现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了概率的定义：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率为． 让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率． 【详解】解：在一个不透明的口袋里装有3个白球，2个黑球和3个红球， 口袋里共有8个球， 摸出白球的概率是． 故选：D． 8．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于不可能事件的是（　　） A．百步穿杨 B．瓜熟蒂落 C．瓮中捉鳖 D．水中捞月 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、百步穿杨是随机事件； B、瓜熟蒂落是必然事件； C、瓮中捉鳖是必然事件； D、水中捞月是不可能事件； 故选：D． 9．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满元以上都可以获得一次转动转盘的机会．如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品．转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可． 【详解】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于， 以频率估计概率，即， 优胜奖区域的圆心角， 故选：B． 10．甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只有一砖高．例如，如图，一组（4，2）的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种：（3，2），（1，2，2），（2，1，2），（4），（4，1），（2，2）或（1，1，2）．若甲先开局，而拿下最后一块砖的选手获胜，对于以下开局，甲没有必胜策略的开局是（    ） A．（6，1，1） B．（6，2，1） C．（6，3，1） D．（6，2，2） 【答案】A 【分析】根据游戏规则总结规律然后分析各个选项得出结论即可． 【详解】解：A选项中6个连续的砖墙无论甲先拿几块对方都能拿到最后一块，后面的两个1块的砖墙需要拿两次，符合题意； B选项中后面的一个2块连续的墙砖，一个1块的墙砖即可以分三次也能两次拿完， ∴6个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，不符合题意； C选项先拿走6块连续墙砖边上的两个，无论对方怎么拿都让他拿到这6块连续墙砖的最后一块，然后拿3块连续墙砖边上的两个即可保证甲能拿最后一块；不符合题意； D选项同理B，后面的两个2块连续的墙砖，即可以分三次也能分四次拿完， ∴6个连续的砖墙无论谁拿到最后一块，甲都能拿下最后一块砖，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查推理能力，根据游戏规则总结砖墙的变化规律是解题的关键． 二、填空题 11．事件“某人的体温是”是 （填“随机”、“不可能”或“必然”）事件． 【答案】不可能 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可求解． 【详解】解：事件“某人的体温是”是不可能事件． 故答案为：不可能 【点睛】本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 12．如图为某农科所在相同条件下做玉米种子发芽实验结果统计图，某位顾客购进这种玉米种子千克，那么能发芽的种子质量大约为 千克．    【答案】8.8 【分析】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验后，可以发现玉米种子发芽的频率稳定在左右． 【详解】解：大量重复试验后，可以发现玉米种子发芽的频率稳定在左右， 千克种子中能发芽的种子的质量是： 千克， 故答案为：． 13．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置 位． 【答案】4． 【分析】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可． 【详解】因为取一位数时一次就拨对密码的概率为； 取两位数时一次就拨对密码的概率为； 取三位数时一次就拨对密码的概率为； 取四位数时一次就拨对密码的概率为． 故一次就拨对的概率小于，密码的位数至少需要4位． 故答案为4． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 14．一个不透明的口袋中装有1个红球，3个黄球，5个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 （填“红”、“黄”或“白”）球的可能性最大． 【答案】白 【分析】本题主要考查事件发生的可能性大小的计算， 分别计算出摸到红球、黄球、白球的可能性，然后判断可能性的大小． 【详解】解：∵袋中装有1个红球，3个黄球，5个白球， ∴球的个数为（个）， ∴摸到红球的可能性∶， 摸到黄球的可能性：， 摸到白球的可能性：， ∵ ∴摸到白球的可能性最大． 故答案为：白． 15．为开展“学习贯彻二十大、凝聚创造新伟业”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取一名进行宣进，则恰好选中丙的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，直接根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵一共有四名宣讲员，且每名宣讲员被选中的概率相同， ∴随机选取一名进行宣进，恰好选中丙的概率为， 故答案为：． 16．有5张扑克牌，牌面朝下，随机抽出一张记下花色后放回，洗牌后再这样抽，经历多次试验后，得到随机抽出一张牌是红桃的频率是0.2，则红桃大约有　 张． 【答案】1 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，根据概率的频率定义可知，由于抽到红桃的概率为0.2，根据概率公式即可求出红桃的张数． 【详解】解：设红桃大约有x张， 根据题意有：， 解得：， 故答案为：1． 三、解答题 17．为了有效保护环境，某居委会倡议居民将生活垃圾进行可回收的、不可回收的和有害的分类投放．一天，小林把垃圾分装在三个袋中，可他在投放时不小心把三个袋子都放错了位置．你能确定小林是怎样投放的吗？—个人任意投放垃圾，把三个袋子都放错位置的概率是多少？ 【答案】能， 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：小林把装有不可回收垃圾的袋子放在可回收垃圾的投放处，把装有有害垃圾的袋子放在不可回收垃圾的投放处，把装有可回收垃圾的袋子放在有害垃圾投放处或把装有有害垃圾的袋子放在可回收垃圾的投放处，把装有可回收垃圾的袋子放在不可回收垃圾的投放处，把装有不可回收垃圾的袋子放在有害垃圾投放处； ∴能确定小林是怎样投放的； 画树状图为：（用A、B、C表示可回收的、不可回收的和有害垃圾投放位置，用a、b、c表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾的袋子） 共有6种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为2种， 所以把三个袋子都放错位置的概率为． 18．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个红球，1个白球．小真和小凡同学设计了一个游戏．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，记下颜色．若摸出的2个球颜色相同，则小真获胜；若摸出的2个球颜色不同，则小凡获胜．请问这个游戏公平吗?请用画树状图或列表法说明理由． 【答案】这个游戏不公平． 【分析】本题考查了游戏公平性，列表法与树状图法．先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出2个球颜色相同的结果数和2个球颜色不相同的结果数，接着计算出小真获胜的概率和小凡获胜的概率，然后比较两概率的大小可判断游戏是否公平． 【详解】解：这个游戏不公平． 理由如下：画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中2个球颜色相同的结果数为5，2个球颜色不相同的结果数为4， 所以小真获胜的概率，小凡获胜的概率， 因为， 所以这个游戏不公平． 19．春节期间，小玉计划到玉环市体验民俗文化，想从“龙灯滚舞”“祭海神”“敲鱼面”“捏糕元宝”四种民俗文化进行选择． (1)若随机选择一项民俗文化，请求出小玉选择体验“捏糕元宝”的概率； (2)若随机选择两项民俗文化，请用画树状图或列表的方法求出小玉选择体验“龙灯滚舞”和“敲鱼面”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法或树状图求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式求出结果即可； （2）根据树状图求出概率即可． 【详解】（1）解：； （2）解：画树状图如下: 由图可知，一共有种等可能的结果，其中有种符合条件的结果， ． 答：小玉选择体验“龙灯滚舞”和“敲鱼面”的概率为． 20．某盒子中装有6张黑色卡片和若干张白色卡片，它们除颜色外其余都相同．某班级为估计盒子中白色卡片的张数，分15个组进行摸卡片试验．每一组做300次试验，汇总后，摸到白色卡片的次数为1500次． (1)估计从盒子中任意摸出一张卡片，恰好是白色卡片的概率． (2)请你估计这个盒子中白色卡片接近多少张． 【答案】(1) (2)3张 【分析】（1）根据概率公式即可得到结论； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： ， 答：恰好是白色卡片的概率为； （2）解：总的张数：（张）， 白色卡片的张数：（张）， 答：白色卡片的张数接近3张． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． 21．盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，每次从盒中摸到一个球，摸三次，不放回，请你按要求设计出摸球方案： (1)“摸到三个球都是红球”是不可能事件； (2)“摸到红球”是必然事件； (3)“摸到两个黄球”是随机事件； (4)“摸到两个黄球”是确定事件． 【答案】(1)盒中装有红球2个、黄球8个（答案不唯一）； (2)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； (3)盒中装有红球8个、黄球2个（答案不唯一）； (4)盒中装有红球9个、黄球1个（答案不唯一）． 【分析】（1）要使“摸出的3个球都是红球”是不可能事件，只要盒子中的红球数不足3个即可； （2）要使“摸出红球”是必然事件，只要盒子中的黄球数最多为2个，则摸三次，必然会摸到红球； （3）要使“摸出2个黄球”是随机事件，即可能摸出2个黄球，也可能摸不出2个黄球，则黄球最少有2个，才能保证摸出2个黄球，但是最多有8个，否则一定可以摸出2个黄球； （4）确定事件包含不可能事件和必然事件，要使“摸出2个黄球”是必然事件，即一定可以摸出2个黄球，要使“摸出2个黄球”是不可能事件，即一定摸不出2个黄球． 【详解】（1）解：盒中装有红球2个、黄球8个，则“摸到三个球都是红球”是不可能事件； （2）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红球”是必然事件； （3）解：盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到两个黄球”是随机事件； （4）解：盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到两个黄球”是不可能事件，属于确定事件． 【点睛】本题主要考查了随机事件、必然事件以及不可能事件，解答此题要注意：不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在0和1之间． 22．如图，四张三角形纸片中有三个是完全相同的直角三角形，另一个也有一边长与其他三个直角三角形的斜边长相等，把这四张纸片放在盒子里搅匀，然后随机抽取两张，将这两张纸片不重叠地进行拼接，有下列情况：能拼成矩形；能拼成平行四边形；能拼成等腰三角形；只能拼成一般四边形.问：这4种情况的可能性大小一样吗？请说明理由. 【答案】一样 【详解】试题分析：先求出所有情况数，再求出能拼成矩形、能拼成平行四边形、能拼成等腰三角形、只能拼成一般四边形的情况数，再根据概率公式，即可得出结果. 试题解析： 四个图形中任取两个，共有6种取法：①②，①③，①④，②③，②④，③④，其中①②，①③，②③都能拼成矩形、平行四边形、等腰三角形；①④，②④，③④只能拼成一般四边形，都是3种可能， ∴4种情况的可能性大小一样. 23．如图是两个转盘，每个转盘都被圆的半径三等分，甲转盘的三个扇形上标有数字2，4，6，乙转盘的三个扇形上标有数字1，3，5，小明和小力分别转动甲、乙转盘，每人转动一次，记录转盘停止后指针指向的数字，若指针指在分界线上则重转．    (1)两人分别转动甲、乙转盘后，可能出现的全部可能有哪些？请用列表或画树状图的方法表示． (2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小明赢；若得到的两数字之和是7的倍数，则小力赢，此游戏公平吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)游戏是公平的 【分析】本题主要考查根据列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键． （1）将所有情况放入表格即可； （2）找出满足条件的结果分别求出概率即可得到答案． 【详解】（1）解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 小明 小力 2 4 6 1 2，1 4，1 6，1 3 2，3 4，3 6，3 5 2，5 4，5 6，5 共有9种不同结果，即． （2）解：将题（1）出现的结果相加，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种，P（小明胜）， P（小力胜）， 因此游戏是公平的． 24．已知一个不透明布袋中装有形状、大小、材质完全相同的红球和白球共5个，小明进行多次摸球试验，并将数据记录如下表： 摸球次数 10 20 40 60 100 150 200 红球出现次数 5 9 18 26 41 61 81 红球出现的频率 0.5 0.45 0.45 0.433 0.41 0.407 0.405 (1)从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为 　　； (2)从这个布袋中随机摸出两个球，请用树形图或列表法求摸出的两个球恰好“一红一白”的概率． 【答案】(1)0.4 (2) 【分析】题考查了利用频率估计概率的方法，列表法与树状图法求概率，理解频率、概率的意义以及频率估计概率的方法是解决问题的关键． （1）根据大量的试验结果稳定在0.4左右即可得出结论； （2）先求出袋中红、白球的个数，再列表得出所有等可能结果，继而利用概率公式求解即可． 【详解】（1）从这个布袋中随机摸出一个球，这个球恰好是红球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （2）∵袋子中红球的个数约为（个）， ∴袋子中白球有3个， 列表如下： 红 红 白 白 白 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） （白，红） （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） （白，白） 由表可知共有种等可能结果，其中摸出的两个球恰好“一红一白”的有种结果， ∴摸出的两个球恰好“一红一白”的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $$